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Universidad Industrial de Santander
Fundamentos de Matemáti as
Solu ión Previo Fabuloso (IV).
Abril 22/2014
Tema O.
Nombre Código
Pregunta de es ogen ia múltiple mal ontestada baja 2 puntos, falso y verdadero mal ontestada
baja 1 punto. Para sa ar nota máxima (3.0) haga 60 puntos! Al �nal de estos puntos viene la
nota ión y el glosario y luego los puntos argumentados en la siguiente hoja.
1. Entre palabras notamos u � v siem-
pre que existan palabras x y z tales que
v = xuz. De imos que u es subpalabra
de v.[8℄El siguiente diagrama representa
al POSET de todas las subpalabras
de 01101 on esta rela ión (se omiten
las �e has que se dedu en de la
transitividad). Complete el diagrama:
λ
0 1
01 10 11
101 011 110
01101101
01101
[6℄ Las otas superiores de {01, 10}son:
101, 1110 0110, 01101
[6℄ El sup de {01, 10} es:
No existe
[6℄ Las otas inferiores de {01, 10} son:0, 1,λ
[6℄ El inf de {01, 10} es:
No existe
[8℄ Los sub onjuntos de un poset que
están totalmente ordenados se llaman
adenas y están ordenados por la in-
lusión. Muestre una adena maximal.
{λ, 0, 01, 011, 0110, 01101}
2. [6℄ El grafo (no dirigido) de n vérti es
que tiene una arista entre ualquier par
de vérti es diferentes se nota Kn y se
llama grafo ompleto de n vérti es. El
número de aristas que en total tiene Kn
es:
a) n2
b) n(n + 1)/2
) n(n− 1)/2
d) Ninguna de las anteriores.
[6℄ Podemos asegurar que el Kn tiene
ir uitos de Euler sí y sólo si:
a) Siempre.
b) Nun a.
) n es par.
d) n es impar.
e) Ninguna de las anteriores.
3. [6℄ Sea R = {(n, n + 2) ∈ N× N | n ∈N}, ; para que en el grafo (N, R ∪R−1)los elementos n y m estén one tados
una ondi ión ne esaria y su� iente es:
a) n+m es impar.
b) n+m es par.
) Siempre están one tados.
d) Ninguna de las anteriores.
4. [4℄ Sólo hay dos grafos (no dirigidos)
onexos no isomorfos de tres vérti es.
1
5. [6℄ Sea X ualquier onjunto y P(X)el onjunto de todos los sub onjuntos
de X . Enton es (P(X),⊆) es un poset.
Si A ⊆ P(X) en este poset ese tiene
que infA:
a) Es
⋂A.
b) Es
⋃A.
) Es ∅.
d) No existe.
e) Ninguna de las anteriores
6. [8℄ Las siguientes rela iones sobre los
naturales forman un poset (N, R) (Fal-so/Verdadero):
a)
V
nRm ⇔ ∃k ∈ N(n = k +m)
b)
V
nRm ⇔ n/m es poten ia de 2.
)
F
nRm ⇔ n−m es múltiplo de 5.
d)
V
nRm ⇔ n divide a m
7. [10℄ Los siguientes grafos onexos:
•5
•2
•3•4
•1
•a
•b
•c
•d
•e
son isomorfos según la fun ión Γ uan-
do ha emos:
Γ(1) = b Γ(2) = a Γ(3) = eΓ(4) = d Γ(5) = c
8. [10℄ Sea R = {(n, n+2) ∈ N×N | n ∈N}; siendo R la menor rela ión transi-
tiva que ontiene a R, (se di e que R es
la lausura transitiva de R), enton es(Falso/Verdadero):
a)
V
(1, 5) ∈ R
b)
F
(5, 1) ∈ R
)
F
(5, 5) ∈ R
d)
V
(6, 10) ∈ R
e)
F
(10, 5) ∈ R
[6℄ R̃ la menor rela ión de equivalen ia
que ontiene a R, es:
a) N× N
b) (2N× 2N)∪ ((2N+ 1)× (2N+ 1))
) ((2N+ 1)× 2N)∪ (2N× (2N+ 1))
d) Ninguna de las anteriores.
9. [12℄ Si R y S son rela iones sobre un
onjunto A y IA es la idénti a sobre A(Falso/Verdadero):
a)
F
Si R y S son transitivas enton es
R ∪ S lo es.
b)
V
Si R es re�exiva enton es IA ⊂ R.
)
F
Si R ⊂ IA enton es R es re�exiva.
d)
V
Si R y S son rela iones simétri as
enton es R ∪ S es simétri a
e)
F
Si R y S son transitivas enton es
R ◦ S lo es.
f)
V
Si R es simétri a enton es
R = R−1.
NOTACIÓN y GLOSARIO: (x, y) ∈ R ◦ S signi� a que ∃z((x, z) ∈ S ∧ (z, y) ∈ R)2N son los naturales pares y 2N+ 1 los impares.
Sea (A,≤) un poset ( onjunto par ialmente ordenado es de ir, ≤ es re�exiva,antisimétri a y transitiva sobre A), a, b ∈ A y
B ⊆ A enton es se de�ne:
b es mínimo de B si b ∈ B ∧ ∀x(x ∈ B ⇒ b ≤ x). De manera dual se de�ne máximo de B
a es ota inferior de B si ∀x ∈ B(a ≤ x); de manera dual se de�ne ota superior de B
a es ín�mo de B si es el máximo de las otas inferiores es de ir ∀x ∈ B(b ≤ x) ∧ (∀y∀x ∈ B(y ≤ x)) ⇒ y ≤ b. Se nota
a = inf(B).De manera dual se de�ne que a sea el supremo de B y se nota a = sup(B).Un poset (A,≤) es un orden total (o lineal) si todo par de elementos son omparables, es de ir se umple:
∀a, b ∈ A(a ≤ b ∨ b ≤ a)IdA es la rela ión idénti a sobre A.
2
Tema O.
Nombre Código
Para los dos (2.0) puntos que ha en falta, anali e la VERACIDAD de CUATRO de las
siguientes a�rma iones, justi� ando plenamente su asevera ión on una demostra ión o un
ontraejemplo:
U0 Si f ◦ g existe y es inye tiva enton es g es fun ión inye tiva.
U1 Si R y S son rela iones de equivalen ia sobre A enton es R ∪ S también es rela ión de
equivalen ia sobre A.U2 SiR y S son rela iones transitivas sobre A enton es R◦S también es rela ión de transitiva
sobre A.U3 Siendo f : A −→ B una fun ión inye tiva enton es existe g : B −→ A tal que g◦f = IdA.U4 Siendo R ⊆ A× B si R ◦ R−1 ⊆ IdB y IdA ⊆ R−1 ◦ R enton es R es una fun ión de Aen BU5 Siendo f : A −→ B una fun ión tal que para ualquier onjunto C y ualesquier fun iones
h1 : C −→ A y h2 : C −→ A se tiene que
f ◦ h1 = f ◦ h2 ⇒ h1 = h2
enton es f es inye tiva.
U0 Si f ◦ g existe y es inye tiva enton es g es fun ión inye tiva.
VERDADERO: Sean x1, x2 tal que g(x1) = g(x2) enton es apli ando f tenemos f(g(x1)) =f(g(x2)) o sea (f ◦ g)(x1) = (f ◦ g)(x2), pero por hipótesis f ◦ g es 1-1 enton es x1 = x2
on luyendo que g es 1-1.
U1 Si R y S son rela iones de equivalen ia sobre A enton es R ∪ S también es rela ión de
equivalen ia sobre A.FALSO: Sea R = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (b, a)} y S = {(a, a), (b, b), (c, c), (c, b), (b, c)}. Setiene que R y S son de equivalen ia pero R ∪ S no lo es, pues falla la transitiva.
U2 SiR y S son rela iones transitivas sobre A enton es R◦S también es rela ión de transitiva
sobre A.FALSO: R = {(b, c), (d, a)} y S = {(a, b), (c, d)} enton es R ◦ S = {(a, c), (c, a)} que no es
transitiva.
U3 Siendo f : A −→ B una fun ión inye tiva enton es existe g : B −→ A tal que g◦f = IdA.VERDAD: Se onstruye g así: Si b ∈ f(A) exite un úni o a ∈ A (por ser f inye tiva) tal
que f(a) = b y ha emos g(b) = a. Si b /∈ f(A) de�nimos g(b) omo ualquier elemento de A(se requiere que A 6= ∅).
3
Tema O.
Nombre Código
U4. Siendo R ⊆ A×B si R ◦R−1 ⊆ IdB y IdA ⊆ R−1 ◦ R enton es R es una fun ión de Aen BVERDADERO: Primero veamos que R−1 ◦R ⊇ IdA signi� a que para todo x ∈ A se tiene
(x, x) ∈ R−1 ◦ R a sea que por de�ni ión de ompuesta, ∃y ∈ B[(x, y) ∈ R ∧ (y, x) ∈ R−1
que simplemente quiere de ir que
∀x ∈ A∃y ∈ B((x, y) ∈ R)
que signi� a que por medio de R ada elemento de A tiene por lo menos una imagen en B.
Por otra parte: R ◦R−1 ⊆ IdB signi� a por de�ni ión de ontenen ia que (y1, y2) ∈ R ◦R−1
impli a y1 = y2 esto signi� a que R aso ia a ada elemento de A a lo más un elemento de B.
Con estas dos ondi iones aseguramos que R es fun ión de A en B por de�ni ión de fun ión.
U5 Siendo f : A −→ B una fun ión tal que para ualquier onjunto C y ualesquier fun iones
h1 : C −→ A y h2 : C −→ A se tiene que
f ◦ h1 = f ◦ h2 ⇒ h1 = h2
enton es f es inye tiva.
VERDADERO: Sean x1, x2 ∈ A tales que f(x1) = f(x2). Construyamos un onjunto C y
fun iones h1 : C −→ A y h2 : C −→ A así: C = {1} on h1(1) = x1 y h2(1) = x2. Enton es
f ◦h1 = f ◦h2 (no hay que valorar las dos ompuestas sino en un punto: 1). Por la hipóte4sisse debe tener que h1 = h2 y por tanto x1 = x2.
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Universidad Industrial de Santander
Fundamentos de Matemáti as
Solu ión Previo Fabuloso (IV).
Abril 22/2014
Tema P.
Nombre Código
Pregunta de es ogen ia múltiple mal ontestada baja 2 puntos, falso y verdadero mal ontestada
baja 1 punto. Para sa ar nota máxima (3.0) haga 60 puntos! Al �nal de estos puntos viene la
nota ión y el glosario y luego los puntos argumentados en la siguiente hoja.
1. Entre palabras notamos u � v siem-
pre que existan palabras x y z tales que
v = xuz. De imos que u es subpalabra
de v.[8℄El siguiente diagrama representa al
POSET de todas las subpalabras de
01010 on esta rela ión (se omiten las
�e has que se dedu en de la transitivi-
dad). Complete el diagrama:
λ
0 1
01 10
101 010
01011010
01010
[6℄ Las otas superiores de {01, 10}son:
010, 0101, 01010, 101, 1010
[6℄ El sup de {01, 10} es: No existe
[6℄ Las otas inferiores de {01, 0101}son:
01, 0, 1,λ[6℄ El inf de {01, 0101} es:
01[8℄ Los sub onjuntos de un poset que
están totalmente ordenados se llaman
adenas y están ordenados por la in-
lusión. Muestre una adena maximal.
{λ, 0, 01, 010, 0101, 01010}
2. [6℄ El grafo (no dirigido) de n vérti es
que tiene una arista entre ualquier par
de vérti es diferentes se nota Kn y se
llama grafo ompleto de n vérti es. El
número de aristas que en total tiene Kn
es:
a) n(n− 1)/2
b) n2
) n(n + 1)/2
d) Ninguna de las anteriores.
[6℄ Podemos asegurar que el Kn tiene
ir uitos de Euler sí y sólo si:
a) n es par.
b) n es impar.
) Siempre.
d) Nun a.
e) Ninguna de las anteriores.
3. [6℄ Sea R = {(n, n + 2) ∈ N× N | n ∈N}, ; para que en el grafo (N, R ∪R−1)los elementos n y m estén one tados
una ondi ión ne esaria y su� iente es:
a) Siempre están one tados.
b) n+m es impar.
) n+m es par.
d) Ninguna de las anteriores.
4. [4℄ Sólo hay dos grafos (no dirigidos)
onexos no isomorfos de tres vérti es.
7
5. [6℄ Sea X ualquier onjunto y P(X)el onjunto de todos los sub onjuntos
de X . Enton es (P(X),⊆) es un poset.
Si A ⊆ P(X) en este poset ese tiene
que infA:
a) Es
⋃A.
b) Es ∅.
) No existe.
d) Es
⋂A.
e) Ninguna de las anteriores
6. [8℄ Las siguientes rela iones sobre los
naturales forman un poset (N, R) (Fal-so/Verdadero):
a)
V
nRm ⇔ ∃k ∈ N(n = k +m)
b)
V
nRm ⇔ n/m es poten ia de 2.
)
F
nRm ⇔ n−m es múltiplo de 5.
d)
V
nRm ⇔ n divide a m
7. [10℄ Los siguientes grafos onexos:
•1
•2
•3•4
•5
•a
•b
•c
•d
•e
son isomorfos según la fun ión Γ uan-
do ha emos:
Γ(1) = b Γ(2) = d Γ(3) = eΓ(4) = a Γ(5) = c
8. [10℄ Sea R = {(n, n+2) ∈ N×N | n ∈N}; siendo R la menor rela ión transi-
tiva que ontiene a R, (se di e que R es
la lausura transitiva de R), enton es(Falso/Verdadero):
a)
V
(1, 5) ∈ R
b)
F
(5, 1) ∈ R
)
F
(5, 5) ∈ R
d)
F
(10, 32) ∈ R
e)
F
(10, 5) ∈ R
[6℄ R̃ la menor rela ión de equivalen ia
que ontiene a R, es:
a) N× N
b) ((2N+ 1)× 2N)∪ (2N× (2N+ 1))
) (2N× 2N)∪ ((2N+ 1)× (2N+ 1))
d) Ninguna de las anteriores.
9. [12℄ Si R y S son rela iones sobre un
onjunto A y IA es la idénti a sobre A(Falso/Verdadero):
a)
V
Si R y S son transitivas enton es
R ∩ S lo es.
b)
V
Si R es re�exiva enton es IA ⊂ R.
)
V
Si R y S son rela iones simétri as
enton es R ∪ S es simétri a
d)
V
Siempre R ∪ R−1es simétri a en
A.
e)
F
Si R y S son transitivas enton es
R ◦ S lo es.
f)
V
Si R es simétri a enton es
R = R−1.
NOTACIÓN y GLOSARIO: (x, y) ∈ R ◦ S signi� a que ∃z((x, z) ∈ S ∧ (z, y) ∈ R)2N son los naturales pares y 2N+ 1 los impares.
Sea (A,≤) un poset ( onjunto par ialmente ordenado es de ir, ≤ es re�exiva,antisimétri a y transitiva sobre A), a, b ∈ A y
B ⊆ A enton es se de�ne:
b es mínimo de B si b ∈ B ∧ ∀x(x ∈ B ⇒ b ≤ x). De manera dual se de�ne máximo de B
a es ota inferior de B si ∀x ∈ B(a ≤ x); de manera dual se de�ne ota superior de B
a es ín�mo de B si es el máximo de las otas inferiores es de ir ∀x ∈ B(b ≤ x) ∧ (∀y∀x ∈ B(y ≤ x)) ⇒ y ≤ b. Se nota
a = inf(B).De manera dual se de�ne que a sea el supremo de B y se nota a = sup(B).Un poset (A,≤) es un orden total (o lineal) si todo par de elementos son omparables, es de ir se umple:
∀a, b ∈ A(a ≤ b ∨ b ≤ a)IdA es la rela ión idénti a sobre A.
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Tema P.
Nombre Código
Para los dos (2.0) puntos que ha en falta, anali e la VERACIDAD de CUATRO de las
siguientes a�rma iones, justi� ando plenamente su asevera ión on una demostra ión o un
ontraejemplo:
U0 Si f ◦ g existe y es biye tiva enton es f y g son fun iones biye tivas.
U1 Si R y S son rela iones de equivalen ia sobre A enton es R ∩ S también es rela ión de
equivalen ia sobre A.U2 Si R y S son rela iones transitivas sobre A enton es R ∪ S también es rela ión de
transitiva sobre A.U3 Siendo f : A −→ B una fun ión sobreye tiva enton es existe g : B −→ A tal que
g ◦ f = IdA.U4 Siendo R ⊆ A× B si R ◦ R−1 ⊆ IdB y IdA ⊆ R−1 ◦ R enton es R es una fun ión de Aen BU5 Siendo f : A −→ B una fun ión inye tiva enton es para ualquier onjunto C y ua-
lesquier fun iones h1 : C −→ A y h2 : C −→ A se tiene que
f ◦ h1 = f ◦ h2 ⇒ h1 = h2
.
U0 Si f ◦ g existe y es biye tiva enton es f y g son fun iones biye tivas.
FALSO: Por ejemplo g = {(1, a)} y f = {(a, 1), (b, 1)} se �ene f ◦ g = {(1, 1)} biye ión
pero ni f ni g son biye iones.
U1 Si R y S son rela iones de equivalen ia sobre A enton es R ∩ S también es rela ión de
equivalen ia sobre A.VERDAD: La demostra ión es ompletamente me áni a.
U2 Si R y S son rela iones transitivas sobre A enton es R ∪ S también es rela ión de
transitiva sobre A.FALSO: Por ejemplo R = {(a, b)} y S = {(b, a)} son transitivas pero R ∪ S no lo es pues
falta (a, a) y (b, b).
U3 Siendo f : A −→ B una fun ión sobreye tiva enton es existe g : B −→ A tal que
f ◦ g = IdB.VERDADERO: Construya g : B −→ A así: para ada b ∈ B omo f es sobre es oja a ∈ Atal que f(a) = b enton es (f ◦g)(b) = f(g(b)) = f(a) = b. Como esto es para ualquier b ∈ Benton es f ◦ g = IdB. Nótese que g ⊆ f−1
pero f−1no ne esariamente es fun ión.
9
Tema P. Nombre Código
U4. Siendo R ⊆ A×B si R ◦R−1 ⊆ IdB y IdA ⊆ R−1 ◦ R enton es R es una fun ión de Aen BVERDADERO: Primero veamos que R−1 ◦R ⊇ IdA signi� a que para todo x ∈ A se tiene
(x, x) ∈ R−1 ◦ R a sea que por de�ni ión de ompuesta, ∃y ∈ B[(x, y) ∈ R ∧ (y, x) ∈ R−1]que simplemente quiere de ir que
∀x ∈ A∃y ∈ B((x, y) ∈ R)
que signi� a que por medio de R ada elemento de A tiene por lo menos una imagen en B.
Por otra parte: R ◦R−1 ⊆ IdB signi� a por de�ni ión de ontenen ia que (y1, y2) ∈ R ◦R−1
impli a y1 = y2; pero (y1, y2) ∈ R ◦ R−1signi� a que ∃x ∈ A((y2, x) ∈ R−1 ∧ (x, y1) ∈ R) es
de ir ∃x ∈ A((x, y2) ∈ R ∧ (x, y1) ∈ R) y esto impli a que y1 = y2, esta impli a ión signi� a
que R aso ia a ada elemento de A a lo más un elemento de B.
Con estas dos ondi iones aseguramos que R es fun ión de A en B por de�ni ión de fun ión.
U5 Siendo f : A −→ B una fun ión inye tiva enton es para ualquier onjunto C y ua-
lesquier fun iones h1 : C −→ A y h2 : C −→ A se tiene que
f ◦ h1 = f ◦ h2 ⇒ h1 = h2
.
VERDADERO: Supóngase que se tiene f ◦ h1 = f ◦ h2 enton es por igualdad de fun iones
para todo x ∈ C se tiene (f ◦ h1)(x) = (f ◦ h2)(x) esto signi� a por de�ni ión de ompuesta
que f(h1(x)) = f(h2(x)) omo f es inye tiva tenemos que se umple h1(x) = h2(x) para
todo x ∈ C y esto signi� a que h1 = h2.
10
Universidad Industrial de Santander
Fundamentos de Matemáti as
Solu ión Previo Fabuloso (IV).
Abril 22/2014
Tema Q.
Nombre Código
Pregunta de es ogen ia múltiple mal ontestada baja 2 puntos, falso y verdadero mal ontestada
baja 1 punto. Para sa ar nota máxima (3.0) haga 60 puntos! Al �nal de estos puntos viene la
nota ión y el glosario y luego los puntos argumentados en la siguiente hoja.
1. Entre palabras notamos u � v siem-
pre que existan palabras x y z tales que
v = xuz. De imos que u es subpalabra
de v.[8℄El siguiente diagrama representa
al POSET de todas las subpalabras
de 01101 on esta rela ión (se omiten
las �e has que se dedu en de la
transitividad). Complete el diagrama:
λ
0 1
01 10 11
101 011 110
01101101
01101
[6℄ Las otas superiores de {01, 10}son:
101, 1110 0110, 01101
[6℄ El sup de {01, 10} es:
No existe
[6℄ Las otas inferiores de {01, 10} son:0, 1,λ
[6℄ El inf de {01, 10} es:
No existe
[8℄ Los sub onjuntos de un poset que
están totalmente ordenados se llaman
adenas y están ordenados por la in-
lusión. Muestre una adena maximal.
{λ, 0, 01, 011, 0110, 01101}
2. [6℄ El grafo (no dirigido) de n vérti es
que tiene una arista entre ualquier par
de vérti es diferentes se nota Kn y se
llama grafo ompleto de n vérti es. El
número de aristas que en total tiene Kn
es:
a) n2
b) n(n + 1)/2
) n(n− 1)/2
d) Ninguna de las anteriores.
[6℄ Podemos asegurar que el Kn tiene
ir uitos de Euler sí y sólo si:
a) n es impar.
b) n es par.
) Siempre.
d) Nun a.
e) Ninguna de las anteriores.
3. [6℄ Sea R = {(n, n + 2) ∈ N× N | n ∈N}, ; para que en el grafo (N, R ∪R−1)los elementos n y m estén one tados
una ondi ión ne esaria y su� iente es:
a) n+m es par.
b) n+m es impar.
) Siempre están one tados.
d) Ninguna de las anteriores.
4. [4℄ Sólo hay dos grafos (no dirigidos)
onexos no isomorfos de tres vérti es.
13
5. [6℄ Sea X ualquier onjunto y P(X)el onjunto de todos los sub onjuntos
de X . Enton es (P(X),⊆) es un poset.
Si A ⊆ P(X) en este poset ese tiene
que infA:
a) No existe.
b) Es
⋂A.
) Es
⋃A.
d) Es ∅.
e) Ninguna de las anteriores
6. [8℄ Las siguientes rela iones sobre los
naturales forman un poset (N, R) (Fal-so/Verdadero):
a)
V
nRm ⇔ ∃k ∈ N(n = k +m)
b)
V
nRm ⇔ n/m es poten ia de 2.
)
V
nRm ⇔ n/m es impar.
d)
V
nRm ⇔ n divide a m
7. [10℄ Los siguientes grafos onexos:
•1
•2
•3•4
•5
•a
•b
•c
•d
•e
son isomorfos según la fun ión Γ uan-
do ha emos:
Γ(1) = b Γ(2) = d Γ(3) = eΓ(4) = a Γ(5) = c
8. [10℄ Sea R = {(n, n+2) ∈ N×N | n ∈N}; siendo R la menor rela ión transi-
tiva que ontiene a R, (se di e que R es
la lausura transitiva de R), enton es(Falso/Verdadero):
a)
V
(1, 5) ∈ R
b)
V
(1, 6) ∈ R
)
V
(6, 7) ∈ R
d)
V
(6, 19) ∈ R
[6℄ R̃ la menor rela ión de equivalen ia
que ontiene a R, es:
a) (2N× 2N)∪ ((2N+ 1)× (2N+ 1))
b) N× N
) ((2N+ 1)× 2N)∪ (2N× (2N+ 1))
d) Ninguna de las anteriores.
9. [12℄ Si R y S son rela iones sobre un
onjunto A y IA es la idénti a sobre A(Falso/Verdadero):
a)
F
Si R y S son transitivas enton es
R ◦ S lo es.
b)
F
Si R y S son transitivas enton es
R ∪ S lo es.
)
V
Si R es re�exiva enton es IA ⊂ R.
d)
V
Si R y S son rela iones simétri as
enton es R ∪ S es simétri a
e)
F
Siempre R ◦ R−1es la idénti a en
A.
f)
V
Si R es simétri a enton es
R = R−1.
NOTACIÓN y GLOSARIO: (x, y) ∈ R ◦ S signi� a que ∃z((x, z) ∈ S ∧ (z, y) ∈ R)2N son los naturales pares y 2N+ 1 los impares.
Sea (A,≤) un poset ( onjunto par ialmente ordenado es de ir, ≤ es re�exiva,antisimétri a y transitiva sobre A), a, b ∈ A y
B ⊆ A enton es se de�ne:
b es mínimo de B si b ∈ B ∧ ∀x(x ∈ B ⇒ b ≤ x). De manera dual se de�ne máximo de B
a es ota inferior de B si ∀x ∈ B(a ≤ x); de manera dual se de�ne ota superior de B
a es ín�mo de B si es el máximo de las otas inferiores es de ir ∀x ∈ B(b ≤ x) ∧ (∀y∀x ∈ B(y ≤ x)) ⇒ y ≤ b. Se nota
a = inf(B).De manera dual se de�ne que a sea el supremo de B y se nota a = sup(B).Un poset (A,≤) es un orden total (o lineal) si todo par de elementos son omparables, es de ir se umple:
∀a, b ∈ A(a ≤ b ∨ b ≤ a)IdA es la rela ión idénti a sobre A.
14
Tema Q.
Nombre Código
Para los dos (2.0) puntos que ha en falta, anali e la VERACIDAD de CUATRO de las
siguientes a�rma iones, justi� ando plenamente su asevera ión on una demostra ión o un
ontraejemplo:
U0 Si R y S son rela iones de equivalen ia sobre A enton es R ∩ S también es rela ión de
equivalen ia sobre A.U1 Si R y S son rela iones transitivas sobre A enton es R ∪ S también es rela ión de
transitiva sobre A.U2 Siendo f : A −→ B una fun ión inye tiva enton es existe g : B −→ A tal que g◦f = IdA.U3 Siendo f : A −→ B una fun ión sobreye tiva enton es existe g : B −→ A tal que
f ◦ g = IdB.U4 Siendo R ⊆ A × B si R ◦ R−1 ⊆ IdB y IdA ⊆ R−1 ◦ R enton es R−1
es una fun ión de
B en A.U5 Siendo f : A −→ B una fun ión tal que para ualquier onjunto C y ualesquier fun iones
h1 : C −→ A y h2 : C −→ A se tiene que
f ◦ h1 = f ◦ h2 ⇒ h1 = h2
enton es f es inye tiva.
U0 Si R y S son rela iones de equivalen ia sobre A enton es R ∩ S también es rela ión de
equivalen ia sobre A.VERDAD: La demostra ión es ompletamente me áni a.
U1 Si R y S son rela iones transitivas sobre A enton es R ∪ S también es rela ión de
transitiva sobre A.FALSO: Por ejemplo R = {(a, b)} y S = {(b, a)} son transitivas pero R ∪ S no lo es pues
falta (a, a) y (b, b).
U2 Siendo f : A −→ B una fun ión inye tiva enton es existe g : B −→ A tal que g◦f = IdA.VERDAD: Se onstruye g así: Si b ∈ f(A) exite un úni o a ∈ A (por ser f inye tiva) tal
que f(a) = b y ha emos g(b) = a. Si b /∈ f(A) de�nimos g(b) omo ualquier elemento de A(se requiere que A 6= ∅).
U3 Siendo f : A −→ B una fun ión sobreye tiva enton es existe g : B −→ A tal que
f ◦ g = IdB.VERDADERO: Construya g : B −→ A así: para ada b ∈ B omo f es sobre es oja a ∈ Atal que f(a) = b enton es (f ◦g)(b) = f(g(b)) = f(a) = b. Como esto es para ualquier b ∈ Benton es f ◦ g = IdB. Nótese que g ⊆ f−1
pero f−1no ne esariamente es fun ión.
15
Tema Q.
Nombre Código
U4. Siendo R ⊆ A×B si R ◦R−1 ⊆ IdB y IdA ⊆ R−1 ◦ R enton es R es una fun ión de Aen BVERDADERO: Primero veamos que R−1 ◦R ⊇ IdA signi� a que para todo x ∈ A se tiene
(x, x) ∈ R−1 ◦ R a sea que por de�ni ión de ompuesta, ∃y ∈ B[(x, y) ∈ R ∧ (y, x) ∈ R−1
que simplemente quiere de ir que
∀x ∈ A∃y ∈ B((x, y) ∈ R)
que signi� a que por medio de R ada elemento de A tiene por lo menos una imagen en B.
Por otra parte: R ◦R−1 ⊆ IdB signi� a por de�ni ión de ontenen ia que (y1, y2) ∈ R ◦R−1
impli a y1 = y2 esto signi� a que R aso ia a ada elemento de A a lo más un elemento de B.
Con estas dos ondi iones aseguramos que R es fun ión de A en B por de�ni ión de fun ión.
U5 Siendo f : A −→ B una fun ión tal que para ualquier onjunto C y ualesquier fun iones
h1 : C −→ A y h2 : C −→ A se tiene que
f ◦ h1 = f ◦ h2 ⇒ h1 = h2
enton es f es inye tiva.
VERDADERO: Sean x1, x2 ∈ A tales que f(x1) = f(x2). Construyamos un onjunto C y
fun iones h1 : C −→ A y h2 : C −→ A así: C = {1} on h1(1) = x1 y h2(1) = x2. Enton es
f ◦h1 = f ◦h2 (no hay que valorar las dos ompuestas sino en un punto: 1). Por la hipóte4sisse debe tener que h1 = h2 y por tanto x1 = x2.
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Universidad Industrial de Santander Fundamentos de Matemáti as
Solu ión Previo Fabuloso (IV).
Abril 22/2014
Tema R.
Nombre Código
Pregunta de es ogen ia múltiple mal ontestada baja 2 puntos, falso y verdadero mal ontestada
baja 1 punto. Para sa ar nota máxima (3.0) haga 60 puntos! Al �nal de estos puntos viene la
nota ión y el glosario y luego los puntos argumentados en la siguiente hoja.
1. Entre palabras notamos u � v siem-
pre que existan palabras x y z tales que
v = xuz. De imos que u es subpalabra
de v.[8℄El siguiente diagrama representa al
POSET de todas las subpalabras de
01010 on esta rela ión (se omiten las
�e has que se dedu en de la transitivi-
dad). Complete el diagrama:
λ
0 1
01 10
101 010
01011010
01010
[6℄ Las otas superiores de {01, 10}son:
010, 0101, 01010, 101, 1010
[6℄ El sup de {01, 10} es:
No existe
[6℄ Las otas inferiores de {01, 0101}son:
01, 0, 1,λ
[6℄ El inf de {01, 0101} es:
01[8℄ Los sub onjuntos de un poset que
están totalmente ordenados se llaman
adenas y están ordenados por la in-
lusión. Muestre una adena maximal.
{λ, 0, 01, 010, 0101, 01010}
2. [6℄ El grafo (no dirigido) de n vérti es
que tiene una arista entre ualquier par
de vérti es diferentes se nota Kn y se
llama grafo ompleto de n vérti es. El
número de aristas que en total tiene Kn
es:
a) n2
b) n(n + 1)/2
) n(n− 1)/2
d) Ninguna de las anteriores.
[6℄ Podemos asegurar que el Kn tiene
ir uitos de Euler sí y sólo si:
a) n es impar.
b) n es par.
) Siempre.
d) Nun a.
e) Ninguna de las anteriores.
3. [6℄ Sea R = {(n, n + 2) ∈ N× N | n ∈N}, ; para que en el grafo (N, R ∪R−1)los elementos n y m estén one tados
una ondi ión ne esaria y su� iente es:
a) n+m es impar.
b) nm es par.
) Siempre están one tados.
d) Ninguna de las anteriores.
4. [4℄ Sólo hay dos grafos (no dirigidos)
onexos no isomorfos de tres vérti es.
19
5. [6℄ Sea X ualquier onjunto y P(X)el onjunto de todos los sub onjuntos
de X . Enton es (P(X),⊆) es un poset.
Si A ⊆ P(X) en este poset ese tiene
que infA:
a) Es ∅.
b) Es
⋂A.
) Es
⋃A.
d) No existe.
e) Ninguna de las anteriores
6. [8℄ Las siguientes rela iones sobre los
naturales forman un poset (N, R) (Fal-so/Verdadero):
a)
F
nRm ⇔ n+m es impar.
b)
F
nRm ⇔ n+m es poten ia de 2.
)
F
nRm ⇔ n−m es múltiplo de 5.
d)
V
nRm ⇔ n divide a m
7. [10℄ Los siguientes grafos onexos:
•5
•2
•3•4
•1
•a
•b
•c
•d
•e
son isomorfos según la fun ión Γ uan-
do ha emos:
Γ(1) = b Γ(2) = a Γ(3) = eΓ(4) = d Γ(5) = c
8. [10℄ Sea R = {(n, n+2) ∈ N×N | n ∈N}; siendo R la menor rela ión transi-
tiva que ontiene a R, (se di e que R es
la lausura transitiva de R), enton es(Falso/Verdadero):
a)
V
(1, 5) ∈ R
b)
V
(5, 7) ∈ R
)
F
(5, 5) ∈ R
d)
V
(6, 10) ∈ R
e)
F
(10, 5) ∈ R
[6℄ R̃ la menor rela ión de equivalen ia
que ontiene a R, es:
a) ((2N+ 1)× 2N)∪ (2N× (2N+ 1))
b) N× N
) (2N× 2N)∪ ((2N+ 1)× (2N+ 1))
d) Ninguna de las anteriores.
9. [12℄ Si R y S son rela iones sobre un
onjunto A y IA es la idénti a sobre A(Falso/Verdadero):
a)
V
Si R y S son transitivas enton es
R ∩ S lo es.
b)
V
Si R es re�exiva enton es IA ⊂ R.
)
V
Si R y S son rela iones simétri as
enton es R ∪ S es simétri a
d)
F
Siempre R ◦ R−1es la idénti a en
A.
e)
F
Si R y S son transitivas enton es
R ◦ S lo es.
f)
F
Si R y S son transitivas enton es
R ∪ S lo es.
NOTACIÓN y GLOSARIO: (x, y) ∈ R ◦ S signi� a que ∃z((x, z) ∈ S ∧ (z, y) ∈ R)2N son los naturales pares y 2N+ 1 los impares.
Sea (A,≤) un poset ( onjunto par ialmente ordenado es de ir, ≤ es re�exiva,antisimétri a y transitiva sobre A), a, b ∈ A y
B ⊆ A enton es se de�ne:
b es mínimo de B si b ∈ B ∧ ∀x(x ∈ B ⇒ b ≤ x). De manera dual se de�ne máximo de B
a es ota inferior de B si ∀x ∈ B(a ≤ x); de manera dual se de�ne ota superior de B
a es ín�mo de B si es el máximo de las otas inferiores es de ir ∀x ∈ B(b ≤ x) ∧ (∀y∀x ∈ B(y ≤ x)) ⇒ y ≤ b. Se nota
a = inf(B).De manera dual se de�ne que a sea el supremo de B y se nota a = sup(B).Un poset (A,≤) es un orden total (o lineal) si todo par de elementos son omparables, es de ir se umple:
∀a, b ∈ A(a ≤ b ∨ b ≤ a)IdA es la rela ión idénti a sobre A.
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Tema R.
Nombre Código
Para los dos (2.0) puntos que ha en falta, anali e la VERACIDAD de CUATRO de las
siguientes a�rma iones, justi� ando plenamente su asevera ión on una demostra ión o un
ontraejemplo:
U0 Si f ◦ g existe y es sobreye tiva enton es f es fun ión sobreye tiva.
U1 Si R y S son rela iones de equivalen ia sobre A enton es R ∩ S también es rela ión de
equivalen ia sobre A.U2 Siendo f : A −→ B una fun ión inye tiva enton es existe g : B −→ A tal que g◦f = IdA.U3 Siendo f : A −→ B una fun ión sobreye tiva enton es existe g : B −→ A tal que
f ◦ g = IdB.U4 Siendo R ⊆ A× B si R ◦ R−1 ⊆ IdB y IdA ⊆ R−1 ◦ R enton es R es una fun ión de Aen BU5 Siendo f : A −→ B una fun ión inye tiva enton es para ualquier onjunto C y ua-
lesquier fun iones h1 : C −→ A y h2 : C −→ A se tiene que
f ◦ h1 = f ◦ h2 ⇒ h1 = h2
.
U0 Si f ◦ g existe y es sobreye tiva enton es f es sobreye tiva.
VERDADERO: Consideremos g : A −→ B y f : B −→ C. Dado z ∈ C omo f ◦ g es
sobreye tiva existe x ∈ A tal que (f ◦ g)(x) = z por tanto ha iendo y = g(x) ∈ B se tiene
que f(y) = f(g(x)) = z; hemos visto que dado z ∈ C existe y ∈ B tal que f(y) = z, portanto f es sobreye tiva.
U1 Si R y S son rela iones de equivalen ia sobre A enton es R ∩ S también es rela ión de
equivalen ia sobre A.VERDAD: La demostra ión es ompletamente me áni a.
U2 Siendo f : A −→ B una fun ión inye tiva enton es existe g : B −→ A tal que g◦f = IdA.VERDAD: Se onstruye g así: Si b ∈ f(A) exite un úni o a ∈ A (por ser f inye tiva) tal
que f(a) = b y ha emos g(b) = a. Si b /∈ f(A) de�nimos g(b) omo ualquier elemento de A(se requiere que A 6= ∅).
U3 Siendo f : A −→ B una fun ión sobreye tiva enton es existe g : B −→ A tal que
f ◦ g = IdB.VERDADERO: Construya g : B −→ A así: para ada b ∈ B omo f es sobre es oja a ∈ Atal que f(a) = b enton es (f ◦g)(b) = f(g(b)) = f(a) = b. Como esto es para ualquier b ∈ Benton es f ◦ g = IdB. Nótese que g ⊆ f−1
pero f−1no ne esariamente es fun ión.
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Tema R.
Nombre Código
U4. Siendo R ⊆ A×B si R ◦R−1 ⊆ IdB y IdA ⊆ R−1 ◦ R enton es R es una fun ión de Aen BVERDADERO: Primero veamos que R−1 ◦R ⊇ IdA signi� a que para todo x ∈ A se tiene
(x, x) ∈ R−1 ◦ R a sea que por de�ni ión de ompuesta, ∃y ∈ B[(x, y) ∈ R ∧ (y, x) ∈ R−1
que simplemente quiere de ir que
∀x ∈ A∃y ∈ B((x, y) ∈ R)
que signi� a que por medio de R ada elemento de A tiene por lo menos una imagen en B.
Por otra parte: R ◦R−1 ⊆ IdB signi� a por de�ni ión de ontenen ia que (y1, y2) ∈ R ◦R−1
impli a y1 = y2 esto signi� a que R aso ia a ada elemento de A a lo más un elemento de B.
Con estas dos ondi iones aseguramos que R es fun ión de A en B por de�ni ión de fun ión.
U5 Siendo f : A −→ B una fun ión inye tiva enton es para ualquier onjunto C y ua-
lesquier fun iones h1 : C −→ A y h2 : C −→ A se tiene que
f ◦ h1 = f ◦ h2 ⇒ h1 = h2
.
VERDADERO: Supóngase que se tiene f ◦ h1 = f ◦ h2 enton es por igualdad de fun iones
para todo x ∈ C se tiene (f ◦ h1)(x) = (f ◦ h2)(x) esto signi� a por de�ni ión de ompuesta
que f(h1(x)) = f(h2(x)) omo f es inye tiva tenemos que se umple h1(x) = h2(x) para
todo x ∈ C y esto signi� a que h1 = h2.
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