curso de física i: vectoresdepa.fquim.unam.mx/jesusht/fis1_vectores.pdfsistemas de coordenadas...
Post on 21-Jan-2021
17 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Vectores/JHT 1 / 19
Curso de Física I:
Vectores
Jesús Hernández Trujillo
Facultad de Química, UNAM
Octubre de 2020
Vectores en ℜ2 y ℜ3
❖ Vectores en ℜ2 y
ℜ3
❖ Sistemas decoordenadas❖ Operacionesbásicas de vectores
Vectores/JHT 2 / 19
Vector:
Cantidad matemática que tiene magnitud y dirección
(segmento dirigido).
Gráficamente:
P
Q# »
PQ
• Hay leyes físicas que se expresan mediante vectores.
Ejemplo:
#»
F = m #»a
❖ Vectores en ℜ2 y
ℜ3
❖ Sistemas decoordenadas❖ Operacionesbásicas de vectores
Vectores/JHT 3 / 19
Definiciones:
ℜ2 = {(a, b)|a, b ∈ ℜ}
ℜ3 = {(a, b, c)|a, b, c ∈ ℜ}
a, b, c : componentes
(a, b) : par ordenado
(a, b, c) : terna ordenada
Un segmento dirigido es la representación grá-
fica de un par o una terna ordenada
Sistemas de coordenadas
❖ Vectores en ℜ2 y
ℜ3
❖ Sistemas decoordenadas❖ Operacionesbásicas de vectores
Vectores/JHT 4 / 19
En coordenadas cartesianas (rectangulares), se requiere:
1. Un punto de referencia fijo llamado origen, O.
2. Un conjunto de rectas perpendiculares entre sí (2 ó 3)
que se cruzan en el orígen, cada una con una etiqueta.
3. La asignación de una dirección positiva y una unidad
de longitud para cada eje.
Además, a un punto se le asignan coordenadas
correspondientes a cada eje.
❖ Vectores en ℜ2 y
ℜ3
❖ Sistemas decoordenadas❖ Operacionesbásicas de vectores
Vectores/JHT 5 / 19
Cuadrantes en ℜ2:
❖ Vectores en ℜ2 y
ℜ3
❖ Sistemas decoordenadas❖ Operacionesbásicas de vectores
Vectores/JHT 6 / 19
Puntos e ℜ2:
❖ Vectores en ℜ2 y
ℜ3
❖ Sistemas decoordenadas❖ Operacionesbásicas de vectores
Vectores/JHT 7 / 19
El segmento dirigido de P1(x1, y1) a P2(x2, y2) es:
#»u =# »
P1P2 = (x2 − x1, y2 − y1) = (u1, u2)
#»u está anclado a P1
Magnitud:
|| #»u|| =√
u2
1+ u2
2
=√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
Dirección:
θ = arc cosu1
|| #»u||= arc cos
x2 − x1
√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
~u = (u1, u2) es equivalente a la magnitud + dirección de ~u
❖ Vectores en ℜ2 y
ℜ3
❖ Sistemas decoordenadas❖ Operacionesbásicas de vectores
Vectores/JHT 8 / 19
A partir de ||~u|| y θ:
~u = (||~u|| cos θ, ||~u|| sen θ)
Otra notación para la norma o magnitud del vector:
u ≡ ||~u||
❖ Vectores en ℜ2 y
ℜ3
❖ Sistemas decoordenadas❖ Operacionesbásicas de vectores
Vectores/JHT 9 / 19
En ℜ3:
❖ Vectores en ℜ2 y
ℜ3
❖ Sistemas decoordenadas❖ Operacionesbásicas de vectores
Vectores/JHT 10 / 19
Octantes ℜ3:
❖ Vectores en ℜ2 y
ℜ3
❖ Sistemas decoordenadas❖ Operacionesbásicas de vectores
Vectores/JHT 11 / 19
Sistema derecho de coordenadas:
Se utiliza la regla de la mano derecha
❖ Vectores en ℜ2 y
ℜ3
❖ Sistemas decoordenadas❖ Operacionesbásicas de vectores
Vectores/JHT 12 / 19
#»u =# »
PQ = (x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1) = (u1, u2, u3)
Magnitud:
||~u|| =√
∆2 + (z2 − z1)2
donde
∆ =√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
por lo que
||~u|| =√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2
❖ Vectores en ℜ2 y
ℜ3
❖ Sistemas decoordenadas❖ Operacionesbásicas de vectores
Vectores/JHT 13 / 19
Dirección:
Ángulos directores: α, β, γ
❖ Vectores en ℜ2 y
ℜ3
❖ Sistemas decoordenadas❖ Operacionesbásicas de vectores
Vectores/JHT 14 / 19
❖ Vectores en ℜ2 y
ℜ3
❖ Sistemas decoordenadas❖ Operacionesbásicas de vectores
Vectores/JHT 15 / 19
α = arc cosx2 − x1
√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2
Además:
β = arc cosy2 − y1
√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2
γ = arc cosz2 − z1
√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2
❖ Vectores en ℜ2 y
ℜ3
❖ Sistemas decoordenadas❖ Operacionesbásicas de vectores
Vectores/JHT 16 / 19
Vector de posición:
~v =# »
OP = (x1 − 0, y1 − 0, z1 − 0)
= (x1, y1, z1)
❖ Vectores en ℜ2 y
ℜ3
❖ Sistemas decoordenadas❖ Operacionesbásicas de vectores
Vectores/JHT 17 / 19
Igualdad de vectores:
Dos vectores son iguales cuando la primera componente del
primer vector es igual a la primera componente del segundo
vector, la segunda componente del primer vector es igual a la
segunda componente del segundo vector, etc.
Por ejemplo, sean ~u = (u1, u2) y ~v = (v1, v2):
~u = ~v ↔ u1 = v1 & u2 = v2
Operaciones básicas de vectores
❖ Vectores en ℜ2 y
ℜ3
❖ Sistemas decoordenadas❖ Operacionesbásicas de vectores
Vectores/JHT 18 / 19
En ℜ2:
Suma de vectores.
Sean ~u = (u1, u2) y ~v = (v1, v2):
~u + ~v = (u1 + v1, u2 + v2)
Gráficamente:
~u
~v
La definición es similar en ℜ3.
❖ Vectores en ℜ2 y
ℜ3
❖ Sistemas decoordenadas❖ Operacionesbásicas de vectores
Vectores/JHT 19 / 19
Multiplicación por un escalar:
Sean ~u = (u1, u2) y k ∈ ℜ:
k~u = k(u1, u2) = (ku1, ku2)
Gráficamente:~u
k~u, k > 1
k ∈ [0, 1]
k ∈ [−1, 0]
k < 1
La definición es similar en ℜ3.
top related