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Coordenadas accion-angulo y aplicacionesEncuentro de Jovenes de la red de Geometrıa, Mecanica

y Control.

Eva Miranda

Universidad Autonoma de Barcelona

Madrid, CSIC, 18-20 de Diciembre, 2007

Eva Miranda (UAB) Coordenadas accion-angulo y aplicaciones 18 Diciembre 1 / 44

Esquema:

1 Simetrıas

2 Liouville: La integracion de las ecuaciones de Hamilton

3 Sistemas Completamente Integrables

4 Mineur: un entorno de la orbita

5 Singularidades

6 Aplicaciones

Simetrıas

Principios basicos

La simetrıas permiten simplificar los problemas.

Si la simetrıa degenera (singularidades) podemos tener una perdida dela simplificacion.

Principio de Noether

Principio de Noether y acciones de grupos

Las cantidades conservadas dan lugar a simetrıas en los sistemas fısicos ypueden ser codificadas como acciones de grupos en las variedades quemodelizan el problema.

Pendulo simple:

Simetrıas

La existencia de acciones de grupos permite reducir los grados de libertady puede ser formulado en terminos de reduccion simplectica (Teorema deMarsden-Weinstein) para acciones Hamiltonianas.

El problema es:

Determinacion del grupo

¿Que grupo considerar?

El movimiento de los planetas

Copernico: Los planetas se mueven alrededor del sol.

Kepler: Los planetas se mueven en orbitas elıpticas.

¿Por que?

La integracion de las ecuaciones de Hamilton

Consideremos las ecuaciones de Hamilton. Son las ecuaciones del flujo delcampo Hamiltoniano asociado a H en (M2n, ω).

iXHω = −dH

En coordenadas Darboux obtenemos:

∂t= −∂H

Liouville observo que la existencia de n− 1 integrales primeras adicionalesfi cumpliendo {fi, fj} = 0 ∀i, j y {fi,H} = 0, ∀i, permitıa resolver elproblema mediante integracion por cuadraturas.

El oscilador armonico

Consideremos el oscilador armonico 2-dimensional (acoplando dososciladores armonicos simples)

El espacio de configuraciones es R2 x = (x1, x2). El espacio de posicionesy momentos ((y1, y2)) es (T ∗(R2), ω = dx1 ∧ dy1 + dx2 ∧ dy2).

El oscilador armonico

H es la suma de energıa cinetica y potencial:

1 + y22) +

1 + x22)

H = h es una esfera S3. Tenemos simetrıa rotacional sobre esta esfera.

Otra integral primera es el momento angular L = x1y2 − x2y1.(corresponde a la accion por rotaciones en las posiciones elevada alcotangente).

XL = (−x2, x1,−y2, y1)

y se cumpleXL(H) = {L,H} = 0.

El pendulo esferico

Corresponde al movimiento de una partıcula bajo una fuerza constantegravitatoria cuando la restringimos a una esfera.

El pendulo esferico

El primero en considerar el estudio matematico del pendulo esferico fueHuyghens

El pendulo de Huyghens

En este caso consideramos (T ∗(R3),H, ω) siendo

1 + y22 + y2

3) + 〈x, e3〉

Si consideramosJ = x1y2 − x2y1

Se puede demostrar:

{H|TS2 , J|TS2}|TS2 = 0.

Sistemas completamenteintegrables

Sistemas completamente integrables

Un sistema integrable en una variedad simplectica (M2n, ω) viene dadopor funciones genericamente independientes F = (f1, . . . , fn) cumpliendo{fi, fj} = 0,∀i, j. 1

La aplicacion F : M2n −→ Rn dada por F = (f1, . . . , fn) se llamaaplicacion momento.

Bajo condiciones de compacidad y de regularidad, el sistema integrableviene dada por una accion semi-local por toros (accion-angulo dadas por elteorema de Liouville-Mineur-Arnold).

El problema global de existencia de coordenadas accion angulo es mascomplicado y esta relacionado monodromıa y la clase de Chern dada porlas fibras de la aplicacion momento.

1Tambien existe una nocion de sistemas completamente integrables en variedades dePoisson.

El Teorema de Liouville-Mineur-Arnold

Teorema

Sea (M2n, ω) una variedad simplectica i sea F : M2n −→ Rn unaaplicacion tal que las componentes fi de F estan en involucion dos a dosrespecto el parentesis de Poisson asociado a ω i que df1 ∧ · · · ∧ dfn 6= 0 enun conjunto denso. Sea N = F−1(c), c ∈ Rn un nivel connexo de laaplicacion momento F .Entonces existe un entorno U(N) de N y un difeomorfismoφ : U(N) −→ Dn × Tn tal que,

1 φ(N) = {0} × Tn.

2 Existen coordenadas µi en un disco Dn y coordenadas βi definidas enun toro Tn tales que, φ∗(

∑ni=1 dµi ∧ dβi) = ω.

3 F solo depende φ∗(µi) = pi y no depende de φ∗(βi) = θi.

Las nuevas coordenadas pi se llaman coordenadas accion. Las coordenadasθi se denominan coordenadas angulo.

Las orbitas de un sistema Hamiltoniano completamente integrable en unentorno de una orbita compacta son toros. Las coordenadas accion-anguloque describen dicha foliacion son coordenadas de Darboux para la formasimplectica.

Observaciones:

Si nos interesa aplicar dicho resultado a la integracion de un sistemaHamiltoniano, podemos tomar H = f1.

Como consecuencia del teorema de Liouville-Mineur-Arnold, el campoHamiltoniano restringido a cada toro de Liouville es lineal.

H = φ(p1, . . . , pn)

XH =i=n∑i=1

∂θi

Recuperando las simetrıas...

Como consecuencia del teorema de Arnold Liouville existe una accionHamiltoniana de un toro Tn que actua por traslaciones en un entornode una orbita compacta (que tambien es un toro). La aplicacionmomento para dicha accion coincide con φ∗(F ) = (p1, . . . , pn).

Dicha accion esta definida en un entorno de la orbita y, en general, nopuede extenderse a toda la variedad.

Las obstrucciones a la existencia de coordenadas accion-anguloglobales y por lo tanto a la extension de la accion vienen dadas por lamonodromıa y la clase de Chern.

El caso de las variedades toricas...

En el caso en que el sistema integrable venga dada por una accion toricaen una variedad simplectica compacta, existe una correspondencia entre lageometrıa simplectica de la variedad y la imagen de la aplicacionmomento. La imagen de la aplicacion momento es un politopo de Delzant.

Ejemplo: Consideramos la accion de T2 en CP 2 dada por:(eiθ1 , eiθ2) · [z0 : z1 : z2] := [z0 : eiθ1z1 : eiθ2z2]

La aplicacion momento para esta accion es:

µ([z0 : z1 : z2]) := −1

(|z0|2 + |z1|2 + |z2|2),

(|z0|2 + |z1|2 + |z2|2))

El caso de las variedades toricas...

En el caso en que el sistema integrable venga dada por una accion toricaen una variedad simplectica compacta, existe una correspondencia entre lageometrıa simplectica de la variedad y la imagen de la aplicacionmomento. La imagen de la aplicacion momento es un politopo de Delzant.

Ejemplo: Consideramos la accion de T2 en CP 2 dada por:(eiθ1 , eiθ2) · [z0 : z1 : z2] := [z0 : eiθ1z1 : eiθ2z2]

La aplicacion momento para esta accion es:

µ([z0 : z1 : z2]) := −1

(|z0|2 + |z1|2 + |z2|2),

(|z0|2 + |z1|2 + |z2|2))

El Teorema de Delzant

Teorema (Delzant)

Las variedades toricas estan clasificadas por los politopos de Delzant.Concretamente tenemos una correspondencia biyectiva dada por laaplicacion momento entre los dos conjuntos:

{variedades toricas} −→ {politopos de Delzant}(M2n, ω, Tn, F ) −→ F (M)

El Teorema la fase estacionaria de Duistermaat-Heckmann

Otro resultado destacable relacionando con propiedades globales de lavariedad simplectica compacta y la accion de un toro de dimension r es elteorema de Duistermaat-Heckmann.

2π)n/2

∫eifξtµ =

∑c(p)eitfξ(p)

Siendo ξ ∈ t∗ y fξ la componente ξ-esima de la aplicacion momento F (i.efξ = 〈F, ξ〉).µ es la medida inducida por la forma simplectica ω y p es un punto crıticode fξ

La formula es cierta para ξ no-degenerado (si Xfξsolo se anula en los

puntos fijos de la accion).

Singularidades

El caso singular simplectico

Sea p un punto singular de rango 0 (rango dpF = 0) deF = (f1, . . . , fn) se dice que p es no-degenerado si las partescuadraticas de F generan una subalgebra de Cartan del algebra defunciones cuadraticas Q(2n, R)

En el caso en que 0 < rango dpF = k < n decimos que p es nodegenerado si tras cocientar por la accion simplectica de Rk

obtenemos un punto fijo no degenenerado en la reduccion simplectica.

El caso singular simplectico

Sea p un punto singular de rango 0 (rango dpF = 0) deF = (f1, . . . , fn) se dice que p es no-degenerado si las partescuadraticas de F generan una subalgebra de Cartan del algebra defunciones cuadraticas Q(2n, R)

En el caso en que 0 < rango dpF = k < n decimos que p es nodegenerado si tras cocientar por la accion simplectica de Rk

obtenemos un punto fijo no degenenerado en la reduccion simplectica.

El Teorema de Williamson

Teorema (Williamson)

Dada un algebra de Cartan C de Q(2n, R) existe un sistema decoordenadas (x1, . . . , xn, y1, . . . , yn) en R2n y una base f1, . . . , fn de C talque:

fi = x2i + y2

i para 1 ≤ i ≤ ke , (elıptica)fi = xiyi para ke + 1 ≤ i ≤ ke + kh , (hiperbolica){

fi = xiyi+1 − xi+1yi, (par focus-focus )fi+1 = xiyi + xi+1yi+1 for i = ke + kh + 2j − 1, 1 ≤ j ≤ kf

Un modelo para singularidades no-degeneradas en unrecubrimiento

Sean (p1, ..., pm) coordenadas en Dm, (q1(mod1), ..., qm(mod1))coordenadas en Tm, and (x1, y1, ..., xn−m, yn−m) coordenadas enD2(n−m). Consideramos la variedad producto

V = Dm × Tm ×D2(n−m) (5.2)

con la forma simplectica∑

dpi ∧ dqi +∑

dxj ∧ dyj , y la aplicacionmomento:

(p,h) = (p1, ..., pm, h1, ..., hn−m) : V → Rn (5.3)

hi = x2i + y2

i for 1 ≤ i ≤ ke ,hi = xiyi for ke + 1 ≤ i ≤ ke + kh ,hi = xiyi+1 − xi+1yi andhi+1 = xiyi + xi+1yi+1 for i = ke + kh + 2j − 1, 1 ≤ j ≤ kf

El modelo lineal en un entorno de una orbita

El modelo lineal es V/Γ, con un sitema integrable dado por:

(p,h) = (p1, ..., pm, h1, ..., hn−m) : V/Γ → Rn (5.5)

(Γ es un grupo finito que actua libremente y simplecticamente en el modelolineal en un recubrimiento y proviene de las componentes hiperbolicas.)

Forma normal en un entorno de la orbita

Teorema (M-Zung)

El sistema completamente integrable es equivalente al modelo linealizadoen un entorno de una orbita singular no-degenerada.

Toros de Liouville ke comp. elıptica kh comp. hiperbolica kf comp. focus

La version equivariante

Teorema (M-Zung)

Sea G un grupo de Lie compacto que preserva F y la forma simplectica.Entonces el sistema completamente integrable es equivalente al modelolinealizado en un entorno de una orbita singular no-degenerada con laaccion del grupo linealizada.

Dicho resultado es una generalizacion del teorema de slice simplectico alcaso de sistemas Hamiltonianos completamente integrables preservadospor la accion de grupo G.

El caso de Poisson: Teorema de Splitting

Teorema (Weinstein)

Sea (Pn,Π) una variedad de Poisson y sea p un punto de rango 2k paraP , existe un sistema de coordenadas diferenciable(x1, y1, . . . , x2k, y2k, z1, . . . , zn−2k) en un entorno de p, en el que laestructura de Poisson Π se escribe:

Π =k∑

∂xi∧ ∂

∂yi+

fij(z)∂

∂zi∧ ∂

∂zj,

donde las funciones fij se anulan en el origen.

Un dibujo

(Pn,Π, p) ≈ (M2k, ω, p1)× (Pn−2k0 ,Π0, p2)

La variedad de Poisson es localmente un producto de una variedadsimplectica con una variedad de Poisson que se anula en dicho punto. Lafoliacion simplectica es localmente un producto de la foliacion inducida enP0 con la hoja simplectica en x.

El caso de Poisson local: Darboux-Caratheodory

Teorema (Laurent-Gengoux, M., Vanhaecke)

Sea m un punto en una variedad de Poisson (M,Π) de dimension n. Seanp1, . . . , pr r funciones que commutan para el parentesis de Poissondefinidas en un entorno de m, que se anulan en m y cuyos camposHamiltonianos son independientes en m. Existen, en un entorno de mfunciones q1, . . . , qr, z1, . . . , zn−2r, tal que:

1 Las n funciones (p1, q1, . . . , pr, qr, z1, . . . , zn−2r) forman un sistemade coordenadas centradas en m;

2 La estructura de Poisson Π esta dada en estas coordenadas por:

Π =r∑

∂qi∧ ∂

∂pi+

n−2r∑i,j=1

gij(z)∂

∂zi∧ ∂

∂zj, (5.6)

El rango de Π en m es 2r si y solo si las funciones gij(z) se anulan enz = 0.

El caso de variedades de Poisson

Sea (M,Π) una variedad de Poisson de dimension n, con una familia defunciones F = (f1, . . . , fn−r′) tal que las funciones f1, . . . , fr′ commutancon todas las funciones f1, . . . , fn−r′ . Sea m un punto tal que lasdiferenciales df1, . . . , dfn−r′ son independentes en m. Supongamos que:

1 La subvariedad invariante Fm es compacta;

2 Los primeros r′ campos hamiltonianos Xf1 , . . . ,Xfr′ son linealmenteindependientes en m.

El caso de variedades de Poisson

Teorema (Laurent-Gengoux, M, Vanhaecke)

Existen funciones (p1, . . . , pr′ , z1, . . . , zs) y funciones con valores en R/Z(θ1, . . . , θr′), definidas en un entorno U de la fibra en m Fm tal que

1 Las funciones (θ1, . . . , θr′ , p1, . . . , pr′ , z1, . . . , zs) (con n = 2r′ + s)definen un difeomorfismo U ' Tr′ ×Bn−r′

2 La estructura de Poisson se escribe

Π =r′∑

∂θi∧ ∂

∂pi+

n−2r′∑i,j=1

gij(z)∂

∂zi∧ ∂

∂zj;

3 Las fibras de la submersion F = (f1, . . . , fn−r′) vienen dadas por laproyeccion en la segunda componente Tr′ ×Bn−r′

, en particular, lasfunciones p1, . . . , pr′ , z1, . . . , zs solo dependen de las funcionesf1, . . . , fn−r′ .

Las funciones θ1, . . . , θr se llaman variables angulo y las funcionesp1, . . . , pr variables accion.

Aplicaciones

Entropıa topologica de los sistemas integrables

Dada una aplicacion contınua Φ : (X, d) −→ (X, d) de un espacio metricocompacto en si mismo se puede definir la entropıa de Φ

Para definirla consideramos la familia de metricas para n ≥ 0:

dn(x, y) = max{d(Φi(x),Φi(y)) : 0 ≤ i < n}, x, y ∈ X

Para ε > 0 y n ≥ 0 decimos que el conjunto F ⊂ X es un conjunto(n, ε)-separado si para cada par de puntos x, y de F tenemos dn(x, y) > ε.Denotamos por N(n, ε) el cardinal maximo de un conjunto (n, ε) separado.

La entropıa topologica de Φ se define como

htop(f) = limε→0

(lim supn→∞

nlog N(n, ε)

En el caso de tener un sistema Hamiltoniano (de Hamiltoniano XH). Sepuede considerar como f = φ1

XHel flujo a tiempo 1 del campo

Hamiltoniano XH .

Como corolario de Liouville-Mineur-Arnold obtenemos:

Teorema

La entropıa topologica de un sistema regular es cero.

Teorema (M.-Marco)

La entropıa topologica de un sistema con sigularidades no degeneradas escero.

Trabajo en curso

La entropıa topologica de un sistema con sigularidades estratificadas escero.

Cuantizacion geometrica

La cuantizacion es un proceso que asocia a una variedad simplectica(M,ω) un espacio de Hilbert Q(M).

El metodo de cuantizacion geometrica precisa

1 un fibrado de lınea complejo sobre M , L.

2 una conexion ∇ en L con curvatura ω.

3 una polarizacion.

Los espacios de Hilbert se construyen a partir de secciones del fibrado L, omas en general a partir de grupos de cohomologıa asociados a L.Requerimos una polarizacion en M porque en general el conjunto desecciones es demasiado grande.

En el caso de considerar una polarizacion real las secciones que son deinteres son las que son planas (con respecto a ∇) a lo largo de la foliacion(i.e covariantemente constantes a lo largo de las hojas de la foliacion).

Cuantizacion geometrica con singularidades degeneradas

Sea S el haz de secciones localmente planas.

Definimos la cuantizacion de M como

Q(M) =⊕

Hk(M ;S).

En el caso en que el espacio de hojas Bn sea Hausdorff y la fibracionπ : M2n −→ Bn sea una fibracion con fibras compactas, un resultado deSniatycki garantiza que los grupos de homologıa anteriores son ceroexcepto en dimension n ademas la dimension de Hn(M ;S) coindide con elnumero de hojas de Bohr-Sommerfeld.

Cuantizacion geometrica con singularidades no degeneradas

Trabajo en curso con V. Guillemin y M. Hamilton

Estudiar el caso en que la polarizacion real venga dada por un sistemaintegrable singularidades de tipo no-degenerado.

Teorema (M-Hamilton)

Si la polarizacion tiene singularidades hiperbolicas en una variedad dedimension 2 el resultado de Sniatycki se mantiene salvo funciones planasprobando ası independencia respecto de la polarizacion.

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