clase 4. formas de expresar funciones booleanas forma pos (suma de productos) suma (or) de términos...
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CLASE 4
FORMAS DE EXPRESAR FUNCIONES BOOLEANASForma POS (Suma de productos)
Suma (OR) de términos productos (AND), formadas por varias variables complementadas o no.
Forma POS (Producto de sumas)Productos (AND) de términos sumas (OR) formados por varias variables complementadas o no.
f(a,b,c) = a’bc + ab’c’ + abc + c
Términos producto
f(a,b,c) = (a + b + c) (a + b’ + c) (c’ + a)
Términos suma
Formas de representació
n
FORMAS CANONICAS• En una expresión en forma canónica, cada variable aparece en cada termino.
Mintermino: Termino de producto en el cual cada variable aparece una sola vez en su forma verdadera o complementada pero no ambas.
Maxtermino: Termino de suma en el cual cada variable aparece una sola vez en su forma verdadera o complementada, pero no en ambas.
FORMAS CANONICAS
F(A,B,C) = (A+B+C)(A+B’+C)(A’+B+C) = M0.M2.M5
f(a,b,c) = A’B’C+A’BC+AB´C+ABC’+ABC = m1 + m3 + m5 + m6 + m7
Por teorema de Demorgan es posible observar que: 𝑚𝑖 ′=𝑀 𝑖y 𝑀 𝑖 ′=𝑚𝑖
m1’ = (A’B’C)’ = (A + B + C’) = M1
CONVERSION ENTRE FORMAS CANONICAS
Pasos:1. Evaluar en que valores binarios se representa la SOP estándar
SOP estándar
POS estándar
f(x,y,z) = x’y’z’ + x’yz + x’yz’ + xy’z
f(x,y,z)=(x+y+z’)(x’+y+z) (x’+y’+z)(x’+y’+z’)
2. Determinar los números binarios no incluidos en el paso 1.
f(x,y,z) = x’y’z’ + x’yz + x’yz’ + xy’z000 011 101 010
0 3 5 2
Al tenerse 3 variables (x, y, z) serán 8 () posibles combinaciones, si se observa la anterior expresión los números faltantes son: 1,4,6,7 001, 100,110,111.
3. Escribir los términos suma equivalentes para los valores encontrados en el paso 2 y expresarlos en POS.
f(x,y,z) = (x + y + z’)(x’ + y + z)(x’ + y’ + z)(x’ + y’ + z’)
EJERCICIOS DE REPASO1. Convierta a SOP estándar la siguiente función:
f(x,y,z,w) = xy + zw’ + x’w’
2. Convierta a POS estándar:
f(x,y,z,w) = (x + y’)(z + w’)(x + w)
3. Exprese la función en forma SOP y POS estándar:
f(x,y,z,w) = (x + y’ + w)(y’ + z + w’)(x + y’ + z’ + w)
SIMPLIFICACION DE CIRCUITOS LOGICOS• Algebra booleana:
Buen conocimiento de las reglas. Habilidad para aplicar las reglas.
• Mapas de Karnagh: Método de simplificación grafico. Basado en teoremas booleanos, pero de mayor facilidad al utilizarlo.
• Mapas de Karnagh: Método de simplificación tabular. Directo, sistemático y no importa el numero de variables. No lo vamos a tratar en el curso.
SIMPLIFICACION POR ALGEBRA BOOLEANAPara la siguiente tabla de verdad encuentre las dos formas canónicas, la SOP, el POS y la forma no estándar mínima. Además represéntela en términos de su implementación en compuertas.
S = x’y’c + x’yc’ + xy’c’ + xyc
S = (x+y+c)(x+y’+c’)(x’+y+c’)(x’+y’+c)
Co = x’yc + xy’c + xyc’ + xyc
Co = (x’+y+c)(x+y’+c)(x+y+c’)(x+y+c)
𝑺=∑𝒎(𝟏 ,𝟐 ,𝟒 ,𝟕)
𝑺=∏𝑴 (𝟎 ,𝟑 ,𝟓 ,𝟔)
𝑪𝒐=∑𝒎(𝟑 ,𝟓 ,𝟔 ,𝟕)
𝑪𝒐=∏ 𝑴 (𝟎 ,𝟏 ,𝟐 ,𝟒)
𝑺
𝑪𝒐
POS canónica
POS canónica
SOP canónica
SOP canónica
SIMPLIFICACION POR ALGEBRA BOOLEANA
Para llevar la forma canónica a una forma no estándar simplificada se usa algebra booleana.
S = x’y’c + x’yc’ + xy’c’ + xyc = c(x’y’+xy)+c’(x’y+xy’) = (x y)’c + (x y)c’⊕ ⊕ = (x y) c⊕ ⊕
Co = x’yc + xy’c + xyc’ + xyc = x’yc + xy’c + xyc’ + xyc + xyc = x’yc + xy’c + xy(c’ + c) + xyc + xyc = yc(x’+x) + xc(y’+y) + xy = xy + yc +xc
Para su implementación en puertas lógicas se aprovecha uno de los XOR de la suma.
Co = x’yc + xy’c + xyc’ + xyc = xy(c+c’)+c(x’y+xy’) = xy + c(x y)⊕
MAPAS DE KARNAUGH• Es una representación gráfica de una tabla de verdad, ya que muestra todos los
posibles valores de las variables de entrada y los valores de salida de las respectivas combinación de entradas.
• Un mapa de Karnaugh puede mapear posibles minterminos de una función booleana de n variables.
• Para una función booleana de n variables, un mapa de Karnaugh será: Si n es par: Un cuadrado de . Si n es impar: Un rectángulo de .
MAPAS DE KARNAUGH• Los Mapas de Karnaugh se utilizan para hacer simplificación de funciones lógicas de
2, 3, 4, 5 y 6 variables como máximo.• Cada celda representa un mintermino.
00
11
14
05
13
02
17
16
ABC
00 01 1011
0
1
MAPAS DE KARNAUGH• Los mapas de Karnaugh utilizan código gray en la numeración de las celdas,
esto hace que solo cambie una sola variable entre celdas adyacentes.
00
11
14
05
13
02
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16
ABC
00 01 1011
0
1
01
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10
02
17
05
16
14
CAB
00
01
10
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0 1
AB’C’ AB’C
A’B’C’
ABC’
SOP EN MAPAS DE KARNAUGHSe dibuja el mapa y se coloca un 1 en las celdas que corresponden a los mintérminos de la función. Si se tiene una función SOP no estándar, ésta debe completarse y una vez hecho esto se ubican todos los mintérminos en el mapa de Karnaugh.
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13
02
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06
ABC
00 01 1011
0
1
𝑓 ( 𝐴 ,𝐵 ,𝐶 )=∑𝑚 (1,3,4,5 )=𝐴′𝐵 ′𝐶+𝐴′𝐵𝐶+𝐴𝐵′𝐶 ′+ 𝐴𝐵′𝐶
0 1
4 5
3 2
7 6
ABC
00 01 1011
0
1
SOP EN MAPAS DE KARNAUGH
𝑓 ( 𝐴 ,𝐵 ,𝐶 ,𝐷 )=∑𝑚 (0,3,4,5,9,12,15 )
0 1
4 5
3 2
7 6
12 13
8 9
15 14
11 10
ABCD
00 01 1011
00
01
10
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10 1
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15
13 2
7 6
112 13
8
19
115 14
11 10
ABCD
00 01 1011
00
01
10
11
SOP EN MAPAS DE KARNAUGH¿Qué sucede cuando una función booleana no esta dada en forma canónica?
Supóngase que de da la siguiente función que no esta escrita en forma estándar:
Paso 1. Completar a forma canónica:
Paso 2. Encontrar los minterminos (Aunque la posición de los 1 se puede deducir a partir la forma canónica).
Paso 3. Ubicar en el mapa
𝑓 ( 𝐴 ,𝐵 ,𝐶 )=𝐵𝐶+𝐴𝐶
𝑓 ( 𝐴 ,𝐵 ,𝐶 )=𝐵𝐶 ( 𝐴+ 𝐴)+ 𝐴𝐶 (𝐵+𝐵 )=𝐴𝐵𝐶+𝐴 𝐵𝐶+𝐴𝐶 𝐵+𝐴𝐶𝐵
𝑓 ( 𝐴 ,𝐵 ,𝐶 )=∑𝑚(0,2,3,7)
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4 5
3 2
17 6
ABC
00 01 1011
0
1
1 1
POS EN MAPAS DE KARNAUGHEl procedimiento consiste en dibujar el mapa y ubicar 0s en las celdas correspondientes a los maxtérminos de la función. Es necesario completar los términos cuando no estén en forma estándar y luego identificar los maxtérminos.
𝑓 ( 𝐴 ,𝐵 ,𝐶 )=(𝐴+𝐵+𝐶 )(𝐴+𝐵+𝐶)(𝐴+𝐵+𝐶)(𝐴+𝐵+𝐶)
𝑓 ( 𝐴 ,𝐵 ,𝐶 )=∏𝑀 (0,2,5,6)
00 1
4 5
3 2
7
06
ABC
00 01 1011
0
1
0
0
POS EN MAPAS DE KARNAUGH
𝑓 ( 𝐴 ,𝐵 ,𝐶 )=∏𝑀 (1,7,8,10,11,13,14 )
0 1
4 5
3 2
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12 13
8 9
15 14
11 10
ABCD
00 01 1011
00
01
10
11
0
01
4 5
3 2
07 6
12
013
08 9
15
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011
010
ABCD
00 01 1011
00
01
10
11
SIMPLIFICACION DE SOP Y POS
Reglas de simplificación:• Agrupar celdas adyacentes. Se agrupan 1s (minterm) o 0s (maxterm) de
acuerdo al tipo de funciones lógicas.• Los grupos son potencias de 2, es decir se busca unir 2, 4, 8 (1s o 0s) que
estén en celdas consecutivas.• Para encontrar la ecuación lógica resultante de los mapas de Karnaugh se
observan las variables que no cambian dentro del grupo.
SIMPLIFICACION DE MAPAS DE KARNAUGH
Reglas de simplificación:• Agrupar celdas adyacentes. Se agrupan 1s (minterm) o 0s (maxterm) de
acuerdo al tipo de funciones lógicas.• Los grupos son potencias de 2, es decir se busca unir 2, 4, 8 (1s o 0s) que
estén en celdas consecutivas.• Para encontrar la ecuación lógica resultante de los mapas de Karnaugh se
observan las variables que no cambian dentro del grupo.
MINIMIZACION USANDO MAPAS DE KARNAUGH
Método general1. Convierta la función de la
ecuación a la forma POS.2. Coloque los 1s en la celda
del mapa apropiada para cada termino.
3. Cubra todos los 1s al dibujar la menor cantidad de círculos grandes, con cada 1 incluido en al menos uno; escriba el correspondiente termino para cada circulo.
4. Hacer un OR de los términos resultantes para crear la función minimizada.
MAPAS DE KARNAUGH DE DOS VARIABLES
Algunos tips:• Llene cada celda con el
correspondiente valor de F.• Dibuje los círculos alrededor
de los 1s adyacentes. (Grupos de 1, 2 o 4).
• Los círculos indican oportunidad de optimización (se puede remover una variable).
• Obtener la función OR de todos los términos contenidos en los círculos.
xy
10
01
2 3
0 1
0
1
𝑓 (𝑥 , 𝑦 )=∑𝑚(0,2)
1 0
y’
𝒇 (𝒙 , 𝒚 )=𝒚 ′
𝑓 (𝑥 , 𝑦 )=∑𝑚(0,2,3)x
y
10
01
2 3
0 1
0
1 1 1
y’
x
𝒇 (𝒙 , 𝒚 )=𝒚 ′+𝒙
MAPAS DE KARNAUGH DE TRES VARIABLES
Recuerde: un K-map gráficamente coloca los minterminos uno próximo a otro solo cuando ellos difieren en una sola variable
MAPAS DE KARNAUGH DE TRES VARIABLES
Algunos tips:• Los círculos pueden cruzar los
lados derecho o izquierdo, esto por que los ejes son adyacentes.
• Los círculos deben tener 1, 2, 4 o 8 celdas. 3, 5 o 7 no son permitidas.
• Cuando se llenan todas la celdas la función es igual a 1.
MAPAS DE KARNAUGH DE TRES VARIABLES
MAPAS DE KARNAUGH DE TRES VARIABLES
MAPAS DE KARNAUGH DE 4 VARIABLES
MAPAS DE KARNAUGH DE 4 VARIABLES
Algunos tips:• Los K-maps de 4 variables
siguen el mismo principio: Adyacencia
derecha/izquierda. Adyacencia arriba/abajo.
• Adyacencia implica diferencia en una sola variable: Dos 1s adyacentes
significa que una variable puede ser eliminada.
Cuatro 1s adyacentes significa que 2 variables pueden ser eliminadas.
Ocho 1s adyacentes significa que 3 variables pueden ser eliminadas.
MAPAS DE KARNAUGH DE 4 VARIABLES
SIMPLIFICACION DE SOP
ABCDCBDBADBCADCBAf ),,,(
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11
14
15
13 2
7
16
112 13
8
19
115
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11 10
ABCD
00 01 1011
00
01
10
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SIMPLIFICACION DE SOP
BADAACDADCBAf ),,,(
0
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4
15
13 2
17 6
112 13
18
19
115
114
111
110
ABCD
00 01 1011
00
01
10
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SIMPLIFICACION DE POS
0
01
4 5
03
02
07 6
012 13
8 9
015
014
011 10
ABCD
00 01 1011
00
01
10
11
DBACBADBADCDCBAf ),,,(
SIMPLIFICACION DE POS
00
01
04 5
3 2
07 6
012 13
8
09
15
014
011 10
ABCD
00 01 1011
00
01
10
11
DCBADCBDBADBADCADCBAf ),,,(
ESTADOS DON’T CARE EN MAPAS KAlgunas veces se producen combinaciones de las variables de entrada que no están definidas, es decir que no tienen un valor asignado para una combinación de entradas en especifico. Estas combinaciones se marcan con una X y pueden tomar el valor tanto de “1” ó “0” según la utilidad que presten en la simplificación de la función lógica.
ESTADOS DON’T CARE EN MAPAS K
10 1
4
X5
13
X2
7 6
112 13
18 9
X15
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111
110
ABCD
00 01 1011
00
01
10
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0
01
04
X5
3
X2
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06
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013
8
09
X15 14
11 10
ABCD
00 01 1011
00
01
10
11
BADCDCBAf ),,,(DBDACBDCBAf ),,,(
CONVERSION SOP POS
DCBACDBADCABDCBABCDAABCDDCBAf ),,,(
BD
AD
CONVERSION SOP POS
A+B
0 0 0 0
0
0
00 0 0
D
CONVERSION SOP POS
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4 5
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12
7 6
112 13
18 9
115
114
111
110
ABCD
00 01 1011
00
01
10
11
0
01
04
05
3 2
07
06
12
013
8
09
15 14
11 10
ABCD
00 01 1011
00
01
10
11
BADCDCBAf ),,,(DBDAACCBDCBAf ),,,(
SOP POS
PROCESO DE SIMPLIFICACION COMPLETO1. Construya un K-map y coloque los 1s y 0s en las celdas de acuerdo a la
tabla de verdad.2. Agrupe los 1s aislados los cuales no son adyacentes a otros 1s (single
loops).3. Agrupe cualquier par el cual contenga un 1 adyacente con solo otro 1 (loop
doble).4. Agrupe cualquier octeto aun si este contiene 1 o mas 1s que ya han sido
agrupados.5. Agrupe cualquier cuarteto que contenga uno o mas 1s que aun no han sido
agrupados, asegúrese de usar el mínimo numero de grupos.6. Agrupe cualquier par necesario para incluir cualquier 1s que no han sido
aun agrupados, asegúrese de usar el mínimo numero de grupos.7. Forme la expresión suma (OR) con todos los términos generados por cada
grupo.
PROCESO DE SIMPLIFICACION COMPLETO
MAPAS K DE 5 VARIABLES Y 6 VARIABLESLos mapas K de 5 y 6 variables existen pero son difíciles de minimizar.
MAPAS K DE 5 VARIABLES
MAPAS K DE 5 VARIABLES• Variables: A, B, C, D y E donde A = MSB y E = LSB.• Se hacen 2 mapas de 4 variables, donde un mapa es para una variable y el
otro es para la misma variable pero complementada.
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4 5
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12
7 6
112 13
18 9
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BCDE
00 01 1011
00
01
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10 1
4
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BCDE
00 01 1011
00
01
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A = 0 A = 1
SIMPLIFICACION DE LOS MAPAS K DE 5 VARIABLES
Paso 1. Identificar grupos comunes a ambos Mapas
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BCDE
00 01 1011
00
01
10
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10 1
4
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115 14
111
110
BCDE
00 01 1011
00
01
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11
A = 0 A = 1
f(A,B,C,D,E) = BDE + …+CE +CD +BDE
SIMPLIFICACION DE LOS MAPAS K DE 5 VARIABLES
Paso 2. Identificar grupos en cada mapa que agrupen a los 1s faltantes
10 1
4 5
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12
7 6
112 13
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BCDE
00 01 1011
00
01
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11
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112 13
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115 14
111
110
BCDE
00 01 1011
00
01
10
11
A = 0 A = 1
f(A,B,C,D,E) = BDE ++CE +CD +BDE +ABD +ABC ABCDE
MAPAS K DE 6 VARIABLES
SIMPLIFICACION DE LOS MAPAS K DE 6 VARIABLES
1 0 1
4 15
3 1 2
1 7 1 6
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115 114
111 110
CDEF
00 01 1011
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1 0 1
4 5
1 3 1 2
7 1 6
112 13
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111 110
CDEF
00 01 1011
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1 0 11
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111 110
CDEF
00 01 1011
00
01
10
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1 0 1
4 15
1 3 1 2
1 7 6
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111 110
CDEF
00 01 1011
00
01
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A=0 A=1
B=0
B=1
f(A,B,C,D,E,F)
SIMPLIFICACION DE LOS MAPAS K DE 6 VARIABLES
1 0 1
4 15
3 1 2
1 7 1 6
112 13
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111 110
CDEF
00 01 1011
00
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1 0 1
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111 110
CDEF
00 01 1011
00
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11
1 0 11
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1 3 1 2
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115 114
111 110
CDEF
00 01 1011
00
01
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1 0 1
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1 3 1 2
1 7 6
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18 9
115 114
111 110
CDEF
00 01 1011
00
01
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A=0 A=1
B=0
B=1
FD
SIMPLIFICACION DE LOS MAPAS K DE 6 VARIABLES
1 0 1
4 15
3 1 2
1 7 1 6
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111 110
CDEF
00 01 1011
00
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1 0 1
4 5
1 3 1 2
7 1 6
112 13
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111 110
CDEF
00 01 1011
00
01
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1 0 11
4 5
1 3 1 2
7 6
12 13
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115 114
111 110
CDEF
00 01 1011
00
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1 0 1
4 15
1 3 1 2
1 7 6
112 13
18 9
115 114
111 110
CDEF
00 01 1011
00
01
10
11
A=0 A=1
B=0
B=1
FDCFA
FEBBCE
EDB
FCB
FAC
EDA
SIMPLIFICACION DE LOS MAPAS K DE 6 VARIABLES
1 0 1
4 15
3 1 2
1 7 1 6
112 13
18 9
115 114
111 110
CDEF
00 01 1011
00
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1 0 1
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1 3 1 2
7 1 6
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CDEF
00 01 1011
00
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1 0 11
4 5
1 3 1 2
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115 114
111 110
CDEF
00 01 1011
00
01
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1 0 1
4 15
1 3 1 2
1 7 6
112 13
18 9
115 114
111 110
CDEF
00 01 1011
00
01
10
11
A=0 A=1
B=0
B=1
FDCFAFEB
BCEEDBFCBFACEDA
DFCBADFCAB
DCBA
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