clase 1 cinematica 1d
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La cinemática estudia la descripción matemática de la
trayectoria de un objeto. Se preocupa del movimiento,
pero sin atenerse a las causas que lo producen.
Como en un principio es muy difícil trabajar directamente con
cuerpos, nos restringimos al estudio de partículas
Contenido Desplazamiento
Velocidad media
Velocidad instantánea
Aceleración media
Aceleración instantánea
Aceleración constante
Objetivos de Aprendizaje
Calcular las cantidades de desplazamiento, distancia
recorrida, velocidad media, rapidez media, velocidad
instantánea, rapidez instantánea, aceleración media y
aceleración instantánea para la resolución de problemas de
cinemática en una dimensión.
Resolver problemas que impliquen movimiento en línea recta
con aceleración constante, aplicando las ecuaciones del
movimiento.
Interpretar gráficas de posición - tiempo, velocidad - tiempo y
aceleración - tiempo para el movimiento en una dimensión,
que le permitan dar respuestas numéricas y de contenido
conceptual.
Usar el lenguaje del Cálculo para discutir el movimiento.
En el estudio de la mecánica clásica es conveniente describir el
movimiento en términos del posición y el tiempo, sin tomar en
cuenta las causa que lo producen.
POSICION es un vector que parte del origen y se dirige
hasta el punto donde se halla la partícula.
origen
Lugar donde se halla la partícula
x
Vector posición xir
VECTOR DESPLAZAMIENTO es aquel que
parte del punto inicial hasta el final donde se ha
movido la partícula.
continuación
origen
desplazamiento
x
Posición final
Posición inicial
x
Cuando el movimiento es en una dimensión, el vector
desplazamiento puede ser positivo o negativo.
ix
fx
El desplazamiento de una partícula se define como el
cambio en su posición.
if xxx ixxrrr )( 1212
Se denomina movimiento rectilíneo, aquél movimiento
cuya trayectoria es una línea recta.
En la recta situamos un origen O, donde estará un observador
que medirá la posición del móvil x en el instante t.
MOVIMIENTO RECTILINEO
Las posiciones serán positivas si el móvil está a la derecha
del origen y negativas si está a la izquierda del origen.
DESPLAZAMIENTO
La posición del objeto está definida por su desplazamiento
medido desde un punto O, u origen.
El desplazamiento Δx puede relacionarse con el tiempo
mediante una relación funcional Δ x = f ( t )
Velocidad media se define como el desplazamiento (Δx)
dividido para el intervalo de tiempo Δt
t
rvm
Sus
unidades
son m/s
en el SI
La velocidad media es un vector y por lo tanto tiene magnitud
y dirección.
RAPIDEZ MEDIA se define como la distancia total
recorrida dividida para el intervalo de tiempo.
totaltiempo
totaldistanciamedia rapidez La rapidez media sólo
tiene magnitud.
t
xvm
itt
xxvm
12
12
Calcular la distancia recorrida para cada
partícula hasta el instante de encontrarse. Si las
dos partículas parten simultáneamente como se
indica en la figura
smVA /20 smVB /10
-200m +100
X (m)
Y (m)
Resp :t = 30s y la distancia (d) recorrida por la partícula A
es 600m y dB = 300m
A B
a
d
Un automóvil se mueve con una velocidad media de 10 km/h
durante los primeros 30 min (1/2h) de su trayectoria recta; luego
aumenta su velocidad de tal manera que, en los siguientes 30
s(1/120h), su velocidad media es 12 km/h; pero encuentra un
obstáculo, por lo que retrocede 100 m en 30 s(1/120h) y se detiene.
Encontrar su velocidad media desde el inicio de su movimiento
hasta que se detiene. h
min
hminmint
2
1
60
1 30 301
kmm
kmmmx
10
1
10
1100100
3
hs
hsst
120
1
3600
1 30 302
hs
hsst
120
1
3600
1 30 30
totaltiempo
totalentodesplazami
t
x
v
ttt
xtvtvv
21
2211
hkm
hv / 7.9
h 120
1h
120
1 h
2
1
km 10/1h 1/120 12 2/1 10 hkm
hkm
EJEMPLO
Una persona camina del punto A al punto B con una rapidez
constante de 5.00 m/s a lo largo de una línea recta, y después
regresa a lo largo de la línea B a A con una rapidez constante
de 3.00 m/s.
a) ¿Cuáles es su rapidez media en el recorrido completo.
b) ¿Su velocidad media en el recorrido completo.
SOLUCION
La persona camina una distancia
total de 2x.
1111
v
xttvx
00.51
xt
22 te,similarmen tvx 2
2v
xt
00.32
xt
VELOCIDAD INSTANTANEA
origen
Desplazamiento=
x
Posición inicial
x
X=X(t) es la ecuación de movimiento
xxi
xxx f
El desplazamiento de una partícula se define como el
cambio en su posición.
)()( txttxx
tti ttt f
i
t
txttxvm
)()(
Si hacemos el Δt que sea tan pequeno la velocidad
media obtenida se convierte en velocidad
instanatanea
La velocidad instantánea, v, se define como el límite de la
velocidad promedio, X/t, conforme t tiende a cero.
dt
dx
t
x
t
lim
0
V
La velocidad
instantánea tiene la
dirección de la
tangente a la
trayectoria en el punto
P. P
t
X
O
Velocidad instantánea
X=x(t)
CALCULO DIFERENCIAL. En diversas ramas de la ciencia, en ocasiones
es necesario usar las herramientas básicas del
calculo, inventadas por Newton, para describir
los fenómenos físicos.
Suponga que una de las variables se denomina
y (la variable dependiente) y la otra x (la
variable independiente). Podríamos tener una
relación de función como
a, b, c y d son constantes
especificadas
DERIVADAS La derivada de y respecto de x se define como
el limite, a medida que Δx tiente a cero, de las
pendientes de las cuerdas dibujadas entre dos
puntos en la curva y contra x.
Matemáticamente, esta definición como
Una expresión útil que se debe
recordarse cuando , donde a
es una constante y n es cualquier numero
positivo o negativo (entero o
fraccionario), es
y
y1
x+Δx
2
x1
Δx
Δy
x
y2
VELOCIDAD PROMEDIO E INSTANTANEA Una partícula se mueve a lo largo del eje X . Su
coordenada X varia con el tiempo de acuerdo con la expresión X 4 t 2 t 2, donde X esta en metros y t en segundos. La grafica posición – tiempo para este movimiento se muestra en el siguiente grafico. Advierta que la partícula se desplaza en la dirección X negativa en el primer segundo del movimiento, que esta en reposo en el momento t 1 s, y que después regresa a la dirección de X(+) en t >1 s.
a) Determine el desplazamiento de la
partícula en los intervalos de tiempo
t 0 a t= 1 s y t= 1 s a t 3 s.
Solución En el primer intervalo de tiempo se establece que ti = 0 y tf = 1s. Como x= -4t + 2t2, con la ecuación se obtiene para el primer desplazamiento.
Δx01 = xf – xi
= [- 4 (1) + 2(1)2]-[-4(0)+2(0)2]
= - 2 m
En el segundo intervalo de tiempo se admite que ti = 1s y tf = 3s. Por tanto, el desplazamiento en este intervalo es
Δx13 = xf – xi
= [-4(3) + 2(3)2]-[- 4(1) + 2(1)2]
= 8m
b) Calcule la velocidad media en los intervalos de
tiempo t= 0 a t = 1s y t = 1s a t = 3s
Solución En el primer intervalo de tiempo Δt =
tf – ti =1s. En consecuencia, se obtiene.
En el segundo intervalo de tiempo, Δt = 2s.
c) Encuentre la velocidad instantánea de la
partícula en t = 2.5s.
Solución Al medir la pendiente de la grafica
posición –tiempo en t = 2.5s, se encuentra que
v = 6m/s. También se pueden utilizar alguna
ecuación y las reglas del calculo deferencial
para encontrar la velocidad a partir del
desplazamiento:
Por tanto, en t = 2.5s,
Aceleracion media
origen x x
La aceleración media es la razón de cambio de la velocidad
para el cambio de tiempo de una partícula con respecto a
un sistema de referencia.
1t ft
t
vam
ivv 11 ivv 22
itt
vvam
12
12
ma
am
Aceleracion instantanea
origen x x
La aceleración instantánea es la aceleración media medida
en un Δt sumamente pequeno.
tt 1ttt f
vv 1
vvv 2
am
itvttvv )()( i
t
tvttvam
)()(
La aceleración instantánea, a, se define como el límite de la
razón, v/t, cuando t tiende a cero:
dt
d
tt
vva
lim
0
Aceleración instantánea
i
dt
dvi
t
tvttva tins
)()(lim 0
DERIVADAS DE ACELERACON Y LA VELOCIDAD
idt
xda
2
2
La aceleración de una partícula puede ocurrir de varias
maneras.
•La magnitud del vector velocidad (la rapidez) puede cambiar
con el tiempo como en el movimiento en línea recta.
•Sólo la dirección del vector velocidad puede cambiar con el
tiempo cuando la magnitud permanece constante, como en
una trayectoria curva.
•Tanto la magnitud como la dirección del vector velocidad
pueden cambiar con el tiempo como en un péndulo.
En el momento en que se enciende la luz verde de un
semáforo, un automóvil arranca con aceleración constante
de 1.83 m/s2. En ese mismo momento un camión que lleva
una velocidad constante de 9.14 m/s sobrepasa al
automóvil. (a) ¿A qué distancia del punto de partida el
automóvil alcanzará al camión? (b) ¿Qué velocidad llevará
el automóvil en ese momento?
Si t1 es el instante en que el auto
alcanza al camión, entonces:
s
s
La velocidad del camión (Vc) y la aceleración del automóvil (a) son vectoresparalelos. El movimiento del camión es uniforme (con velocidad constante),mientras que el movimiento del automóvil es uniformemente acelerado. En elinstante t1 ambos vehículos ocupan la misma posición en X.
ANÁLISIS GRÁFICO DEL
MOVIMIENTO RECTILINEO
MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME
La posición x del móvil en el
instante t lo podemos ver en la
representación de v en función de t.
La función desplazamiento es el área bajo la curva de la función
velocidad
Por tanto el desplazamiento será
x ( t ) = x0 + v . t
Donde x0 será la posición inicial del móvil.
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE
ACELERADO
Un movimiento uniformemente acelerado es aquél cuya aceleración
es constante.
Dada la aceleración podemos
obtener el cambio de velocidad v-v0
entre los instantes t0 y t
El desplazamiento x-x0 del
móvil entre los instantes t0 y
t, gráficamente (área de un
rectángulo + área de un
triángulo)
Pregunta Clicker 1
La figura muestra el gráfico posición-tiempo para
cuatro objetos. ¿En cuál gráfico el objeto empieza
lentamente y luego su rapidez aumenta?
A. B. C. D.
Pregunta clicker 2 Un motociclista pasa raudo enfrente de un carro
de policía estacionado, el cual emprende la
persecución. El carro de policía sale del reposo y
alcanza el doble de la velocidad del motociclista
cuando éste es alcanzado. En algun instante
intermedio el carro de policía debe ir a la misma
velocidad que el motociclista. ¿Cuándo es ese
instante?
A. Cerca del momento en que la policía empieza la
persecución
B. Cerca del momento en el que la policía alcanza al
motociclista
C. A medio camino en el momento en que los dos
vehículos se encuentran
Cual gráfica velocidad-tiempo describiría el
escenario narrado a continuación:
Un hombre comienza a caminar con
velocidad constante durante 6 segundos hacia
atrás y desde el origen. Luego se detiene
durante 6 segundos, luego camina hacia
adelante de manera constante con el doble de
su velocidad durante 6 segundos.
Pregunta clicker 3
Seleccione la grafica que describe mejor el escenario
previamente indicado.
Pregunta clicker 3
Para el mismo escenario anterior, seleccione la gráfica
posición-tiempo que describe mejor la situación.
Pregunta clicker 4
Un carro circula por una carretera. Su velocidad se
registra como una función del tiempo y se
muestra en el siguiente gráfico.
Pregunta clicker 5
¿Cuál de las siguientes gráficas posición-
tiempo sería coherente con el movimiento del
carro en la pregunta cliker 5?
Pregunta clicker 5
Un carro se está moviendo hacia adelante y aplica
los frenos. ¿Cuál gráfica posición-tiempo
representa mejor este movimiento?
Pregunta clicker 6
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