La cinemática estudia la descripción matemática de la

trayectoria de un objeto. Se preocupa del movimiento,

pero sin atenerse a las causas que lo producen.

Como en un principio es muy difícil trabajar directamente con

cuerpos, nos restringimos al estudio de partículas

Contenido Desplazamiento

Velocidad media

Velocidad instantánea

Aceleración media

Aceleración instantánea

Aceleración constante

Objetivos de Aprendizaje

Calcular las cantidades de desplazamiento, distancia

recorrida, velocidad media, rapidez media, velocidad

instantánea, rapidez instantánea, aceleración media y

aceleración instantánea para la resolución de problemas de

cinemática en una dimensión.

Resolver problemas que impliquen movimiento en línea recta

con aceleración constante, aplicando las ecuaciones del

movimiento.

Interpretar gráficas de posición - tiempo, velocidad - tiempo y

aceleración - tiempo para el movimiento en una dimensión,

que le permitan dar respuestas numéricas y de contenido

conceptual.

Usar el lenguaje del Cálculo para discutir el movimiento.

En el estudio de la mecánica clásica es conveniente describir el

movimiento en términos del posición y el tiempo, sin tomar en

cuenta las causa que lo producen.

POSICION es un vector que parte del origen y se dirige

hasta el punto donde se halla la partícula.

origen

Lugar donde se halla la partícula

x

Vector posición xir

VECTOR DESPLAZAMIENTO es aquel que

parte del punto inicial hasta el final donde se ha

movido la partícula.

continuación

origen

desplazamiento

x

Posición final

Posición inicial

x

Cuando el movimiento es en una dimensión, el vector

desplazamiento puede ser positivo o negativo.

ix

fx

El desplazamiento de una partícula se define como el

cambio en su posición.

if xxx ixxrrr )( 1212

Se denomina movimiento rectilíneo, aquél movimiento

cuya trayectoria es una línea recta.

En la recta situamos un origen O, donde estará un observador

que medirá la posición del móvil x en el instante t.

MOVIMIENTO RECTILINEO

Las posiciones serán positivas si el móvil está a la derecha

del origen y negativas si está a la izquierda del origen.

DESPLAZAMIENTO

La posición del objeto está definida por su desplazamiento

medido desde un punto O, u origen.

El desplazamiento Δx puede relacionarse con el tiempo

mediante una relación funcional Δ x = f ( t )

Velocidad media se define como el desplazamiento (Δx)

dividido para el intervalo de tiempo Δt

t

rvm

Sus

unidades

son m/s

en el SI

La velocidad media es un vector y por lo tanto tiene magnitud

y dirección.

RAPIDEZ MEDIA se define como la distancia total

recorrida dividida para el intervalo de tiempo.

totaltiempo

totaldistanciamedia rapidez La rapidez media sólo

tiene magnitud.

t

xvm

itt

xxvm

12

12

Calcular la distancia recorrida para cada

partícula hasta el instante de encontrarse. Si las

dos partículas parten simultáneamente como se

indica en la figura

smVA /20 smVB /10

-200m +100

X (m)

Y (m)

Resp :t = 30s y la distancia (d) recorrida por la partícula A

es 600m y dB = 300m

A B

a

d

Un automóvil se mueve con una velocidad media de 10 km/h

durante los primeros 30 min (1/2h) de su trayectoria recta; luego

aumenta su velocidad de tal manera que, en los siguientes 30

s(1/120h), su velocidad media es 12 km/h; pero encuentra un

obstáculo, por lo que retrocede 100 m en 30 s(1/120h) y se detiene.

Encontrar su velocidad media desde el inicio de su movimiento

hasta que se detiene. h

min

hminmint

2

1

60

1 30 301

kmm

kmmmx

10

1

10

1100100

3

hs

hsst

120

1

3600

1 30 302

hs

hsst

120

1

3600

1 30 30

totaltiempo

totalentodesplazami

t

x

v

ttt

xtvtvv

21

2211

hkm

hv / 7.9

h 120

1h

120

1 h

2

1

km 10/1h 1/120 12 2/1 10 hkm

hkm

EJEMPLO

Una persona camina del punto A al punto B con una rapidez

constante de 5.00 m/s a lo largo de una línea recta, y después

regresa a lo largo de la línea B a A con una rapidez constante

de 3.00 m/s.

a) ¿Cuáles es su rapidez media en el recorrido completo.

b) ¿Su velocidad media en el recorrido completo.

SOLUCION

La persona camina una distancia

total de 2x.

1111

v

xttvx

00.51

xt

22 te,similarmen tvx 2

2v

xt

00.32

xt

VELOCIDAD INSTANTANEA

origen

Desplazamiento=

x

Posición inicial

x

X=X(t) es la ecuación de movimiento

xxi

xxx f

El desplazamiento de una partícula se define como el

cambio en su posición.

)()( txttxx

tti ttt f

i

t

txttxvm

)()(

Si hacemos el Δt que sea tan pequeno la velocidad

media obtenida se convierte en velocidad

instanatanea

La velocidad instantánea, v, se define como el límite de la

velocidad promedio, X/t, conforme t tiende a cero.

dt

dx

t

x

t

lim

0

V

La velocidad

instantánea tiene la

dirección de la

tangente a la

trayectoria en el punto

P. P

t

X

O

Velocidad instantánea

X=x(t)

CALCULO DIFERENCIAL. En diversas ramas de la ciencia, en ocasiones

es necesario usar las herramientas básicas del

calculo, inventadas por Newton, para describir

los fenómenos físicos.

Suponga que una de las variables se denomina

y (la variable dependiente) y la otra x (la

variable independiente). Podríamos tener una

relación de función como

a, b, c y d son constantes

especificadas

DERIVADAS La derivada de y respecto de x se define como

el limite, a medida que Δx tiente a cero, de las

pendientes de las cuerdas dibujadas entre dos

puntos en la curva y contra x.

Matemáticamente, esta definición como

Una expresión útil que se debe

recordarse cuando , donde a

es una constante y n es cualquier numero

positivo o negativo (entero o

fraccionario), es

y

y1

x+Δx

2

x1

Δx

Δy

x

y2

VELOCIDAD PROMEDIO E INSTANTANEA Una partícula se mueve a lo largo del eje X . Su

coordenada X varia con el tiempo de acuerdo con la expresión X 4 t 2 t 2, donde X esta en metros y t en segundos. La grafica posición – tiempo para este movimiento se muestra en el siguiente grafico. Advierta que la partícula se desplaza en la dirección X negativa en el primer segundo del movimiento, que esta en reposo en el momento t 1 s, y que después regresa a la dirección de X(+) en t >1 s.

a) Determine el desplazamiento de la

partícula en los intervalos de tiempo

t 0 a t= 1 s y t= 1 s a t 3 s.

Solución En el primer intervalo de tiempo se establece que ti = 0 y tf = 1s. Como x= -4t + 2t2, con la ecuación se obtiene para el primer desplazamiento.

Δx01 = xf – xi

= [- 4 (1) + 2(1)2]-[-4(0)+2(0)2]

= - 2 m

En el segundo intervalo de tiempo se admite que ti = 1s y tf = 3s. Por tanto, el desplazamiento en este intervalo es

Δx13 = xf – xi

= [-4(3) + 2(3)2]-[- 4(1) + 2(1)2]

= 8m

b) Calcule la velocidad media en los intervalos de

tiempo t= 0 a t = 1s y t = 1s a t = 3s

Solución En el primer intervalo de tiempo Δt =

tf – ti =1s. En consecuencia, se obtiene.

En el segundo intervalo de tiempo, Δt = 2s.

c) Encuentre la velocidad instantánea de la

partícula en t = 2.5s.

Solución Al medir la pendiente de la grafica

posición –tiempo en t = 2.5s, se encuentra que

v = 6m/s. También se pueden utilizar alguna

ecuación y las reglas del calculo deferencial

para encontrar la velocidad a partir del

desplazamiento:

Por tanto, en t = 2.5s,

Aceleracion media

origen x x

La aceleración media es la razón de cambio de la velocidad

para el cambio de tiempo de una partícula con respecto a

un sistema de referencia.

1t ft

t

vam

ivv 11 ivv 22

itt

vvam

12

12

ma

am

Aceleracion instantanea

origen x x

La aceleración instantánea es la aceleración media medida

en un Δt sumamente pequeno.

tt 1ttt f

vv 1

vvv 2

am

itvttvv )()( i

t

tvttvam

)()(

La aceleración instantánea, a, se define como el límite de la

razón, v/t, cuando t tiende a cero:

dt

d

tt

vva

lim

0

Aceleración instantánea

i

dt

dvi

t

tvttva tins

)()(lim 0

DERIVADAS DE ACELERACON Y LA VELOCIDAD

idt

xda

2

2

La aceleración de una partícula puede ocurrir de varias

maneras.

•La magnitud del vector velocidad (la rapidez) puede cambiar

con el tiempo como en el movimiento en línea recta.

•Sólo la dirección del vector velocidad puede cambiar con el

tiempo cuando la magnitud permanece constante, como en

una trayectoria curva.

•Tanto la magnitud como la dirección del vector velocidad

pueden cambiar con el tiempo como en un péndulo.

En el momento en que se enciende la luz verde de un

semáforo, un automóvil arranca con aceleración constante

de 1.83 m/s2. En ese mismo momento un camión que lleva

una velocidad constante de 9.14 m/s sobrepasa al

automóvil. (a) ¿A qué distancia del punto de partida el

automóvil alcanzará al camión? (b) ¿Qué velocidad llevará

el automóvil en ese momento?

Si t1 es el instante en que el auto

alcanza al camión, entonces:

s

s

La velocidad del camión (Vc) y la aceleración del automóvil (a) son vectoresparalelos. El movimiento del camión es uniforme (con velocidad constante),mientras que el movimiento del automóvil es uniformemente acelerado. En elinstante t1 ambos vehículos ocupan la misma posición en X.

ANÁLISIS GRÁFICO DEL

MOVIMIENTO RECTILINEO

MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME

La posición x del móvil en el

instante t lo podemos ver en la

representación de v en función de t.

La función desplazamiento es el área bajo la curva de la función

velocidad

Por tanto el desplazamiento será

x ( t ) = x0 + v . t

Donde x0 será la posición inicial del móvil.

MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE

ACELERADO

Un movimiento uniformemente acelerado es aquél cuya aceleración

es constante.

Dada la aceleración podemos

obtener el cambio de velocidad v-v0

entre los instantes t0 y t

El desplazamiento x-x0 del

móvil entre los instantes t0 y

t, gráficamente (área de un

rectángulo + área de un

triángulo)

Pregunta Clicker 1

La figura muestra el gráfico posición-tiempo para

cuatro objetos. ¿En cuál gráfico el objeto empieza

lentamente y luego su rapidez aumenta?

A. B. C. D.

Pregunta clicker 2 Un motociclista pasa raudo enfrente de un carro

de policía estacionado, el cual emprende la

persecución. El carro de policía sale del reposo y

alcanza el doble de la velocidad del motociclista

cuando éste es alcanzado. En algun instante

intermedio el carro de policía debe ir a la misma

velocidad que el motociclista. ¿Cuándo es ese

instante?

A. Cerca del momento en que la policía empieza la

persecución

B. Cerca del momento en el que la policía alcanza al

motociclista

C. A medio camino en el momento en que los dos

vehículos se encuentran

Cual gráfica velocidad-tiempo describiría el

escenario narrado a continuación:

Un hombre comienza a caminar con

velocidad constante durante 6 segundos hacia

atrás y desde el origen. Luego se detiene

durante 6 segundos, luego camina hacia

adelante de manera constante con el doble de

su velocidad durante 6 segundos.

Pregunta clicker 3

Seleccione la grafica que describe mejor el escenario

previamente indicado.

Pregunta clicker 3

Para el mismo escenario anterior, seleccione la gráfica

posición-tiempo que describe mejor la situación.

Pregunta clicker 4

Un carro circula por una carretera. Su velocidad se

registra como una función del tiempo y se

muestra en el siguiente gráfico.

Pregunta clicker 5

¿Cuál de las siguientes gráficas posición-

tiempo sería coherente con el movimiento del

carro en la pregunta cliker 5?

Pregunta clicker 5

Un carro se está moviendo hacia adelante y aplica

los frenos. ¿Cuál gráfica posición-tiempo

representa mejor este movimiento?

Pregunta clicker 6