circuitos eléctricos en corriente continua unidad 7 ... 7_ver_18-19.pdf · 7.1 función escalón...
Post on 17-Aug-2021
7 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Circuitos Eléctricos en Corriente Continua
Verano 2018-2019
Ing. Sergio Arriola-Valverde. M.Sc
Escuela de Ingeniería Electrónica
Instituto Tecnológico de Costa Rica
Unidad 7Circuitos Eléctricos RL y RC con excitación
Contenidos y Cronograma
2
• Cronograma
• Circuitos Eléctricos RL y RC con excitación
3
Cronograma del CursoDía Fecha Tema / Actividad
1 L 10-12-2018 1. Definiciones fundamentales
2 K 11-12-2018 2. Introducción a los circuitos eléctricos
3 M 12-12-20183. Técnicas de análisis para circuitos eléctricos simples
4 J 13-12-2018
5 V 14-12-2018
4. Técnicas de análisis para circuitos eléctricos complejos6 L 17 -12-2018
7 K 18 -12-2018
8 M 19-12-2018
9 J 20-12-2018 5. Dispositivos de almacenamiento de energía eléctrica
Receso de Navidad y Fin de Año
10 M 02-01-20196. Circuitos eléctricos simples RL y RC
11 J 03-01-2019
V 04-01-2019 Examen 1 (Temas 1,2,3 y 4)
12 K 08-01-2019
7. Circuitos RL y RC con excitación13 M 09-01-2019
14 J 10-01-2019
15 K 15-01-2019
8. El circuito RLC16 M 16-01-2019
17 J 17-01-2019
L 21-01-2019 Examen 2 (Temas 5,6,7 y 8)
18 J 24-01-2019 Entrega de actas
Contenidos y Cronograma
4
• Cronograma
• Circuitos Eléctricos RL y RC con excitación
5
7.1 Función escalón unitario
Cuando a un circuito eléctrico se le aplica de manera repentina una
fuente de energía, este pasa a tener idealmente cero energía a una
cantidad finita aplicada.
Lo anterior generalmente ese instante se elige como el tiempo t = 0.
Para representar esto se utiliza la “función escalón unitario”.
A la función de escalón unitario, entra en la familia de funciones de
singularidad o también llamadas funciones de conmutación.
6
7.1 Función escalón unitario
Las funciones de conmutación, son utilizadas frecuentemente debido a
que sirven para proporcionar una aproximación más realista de las
señales que aparecen en los circuitos eléctricos.
Con base a lo anterior se puede decir que:
Las funciones de singularidad son discontinuas o tienen derivadas
discontinuas.
7
7.1 Función escalón unitario
Existen al menos 3 funciones singulares frecuentemente utilizadas y
son comunes en los análisis de circuitos eléctricos:
• Escalón Unitario.
• Impulso Unitario.
• Rampa Unitaria.
8
7.1 Función escalón unitario
Existen al menos 3 funciones singulares frecuentemente utilizadas y
son comunes en los análisis de circuitos eléctricos:
• Escalón Unitario.
• Impulso Unitario.
• Rampa Unitaria.
9
7.1 Función escalón unitario
Escalón Unitario
La función escalón unitario u(t) es 0 para valores negativos de t y de 1
para valores positivos de t.
En términos matemáticos se representa como:
10
7.1 Función escalón unitario
A nivel gráfico se representa como:
Esta función matemática
esta indefinida en t = 0,
debido a que cambia
abruptamente de 0 a 1.
Es adimensional u(t).
11
7.1 Función escalón unitario
Ahora bien de forma más general se tiene el caso cuando el escalón
unitario se puede representar en un 𝑡 ≠ 0.
Asuma que para este caso 𝑡 = 𝑡0 donde 𝑡0 > 0, en lugar que sea t = 0
De forma matemática se describe como:
12
7.1 Función escalón unitario
A nivel gráfico se representa como:
Al haber una traslación
temporal, esto significa
para este caso que la señal
se atrasa 𝑡0 segundos en el
dominio del tiempo.
13
7.1 Función escalón unitario
Asuma que para este caso 𝑡 = 𝑡0 donde 𝑡0 < 0, en lugar que sea t = 0
De forma matemática se describe como:
A diferencia de los casos anteriores, el cambio de 0 a 1 se da en 𝑡 =−𝑡0
14
7.1 Función escalón unitario
A nivel gráfico se representa como:
Al haber una traslación
temporal, esto significa
para este caso que la señal
se adelanta 𝑡0 segundos en
el dominio del tiempo.
15
7.1 Función escalón unitario
Ahora bien una vez definido la función escalón unitario, debido a que
se han estudiado circuitos RC y RL, con esta función es posible
representar cambios de tensión y corriente según la naturaleza del
circuito por ejemplo.
16
7.1 Función escalón unitario
Otra manera de representar la función a trozos para una señal de
tensión eléctrica como:
Es reescribiéndola como:
17
7.1 Función escalón unitario
Si tomamos en que 𝑡0 = 0, a nivel de circuito eléctrico es equivalente
decir:
18
7.1 Función escalón unitario
Ejemplo
Describa el siguiente pulso de tensión eléctrica, únicamente en
términos de escalones unitarios.
19
7.1 Función escalón unitario
Analizando la señal, se infiere que la activación de la misma se da en 2
segundos y es desactivada por completo en 5 segundos.
20
7.1 Función escalón unitario
Pensemos en que puede haber una función escalón unitario en t = 2
21
7.1 Función escalón unitario
Del mismo modo pensemos que exista una una función escalón
unitario en t = 5 pero con signo invertido en su magnitud.
22
7.1 Función escalón unitario
Aplicando el principio de linealidad, vamos a sumar las dos señales
23
7.1 Función escalón unitario
Aplicando el principio de linealidad, se obtiene el pulso de tensión
24
7.1 Función escalón unitario
Matemáticamente este pulso puede descrito como:
25
7.1 Función escalón unitario
Ejemplo
Describa el siguiente pulso de corriente eléctrica, únicamente en
términos de escalones unitarios.
R/ 10[u(t)-2u(t-2)+u(t-4)]
26
7.1 Función escalón unitario
Existen al menos 3 funciones singulares frecuentemente utilizadas y
son comunes en los análisis de circuitos eléctricos:
• Escalón Unitario.
• Impulso Unitario.
• Rampa Unitaria.
27
7.1 Función escalón unitario
Impulso Unitario
La función impulso unitario 𝜹(t) es 0 siempre, excepto para t = 0,
donde esta indefinida.
En términos matemáticos se representa como:
28
7.1 Función escalón unitario
A nivel gráfico se representa como:
Esta función matemática
no físicamente realizable.
Es adimensional 𝜹(t).
29
7.1 Función escalón unitario
De forma más general es posible obtener diferentes pulso unitarios en
diversos instantes de tiempo, a como se vio con el escalón unitario.
30
7.1 Función escalón unitario
La aparición de diversos impulsos realmente si afecta a otras funciones
es por ello que considere la siguiente expresión:
Donde 𝑎 < 𝑡0 < 𝑏, se sabe que 𝛿(𝑡 − 𝑡0) en 𝑡 = 𝑡0 la integral es
diferente de 0.
31
7.1 Función escalón unitario
Es posible reescribir la expresión como:
32
7.1 Función escalón unitario
Lo anterior demuestra que cuando cualquier función matemática se
integra con la función de impulso unitario, se obtiene el valor de la
función evaluada en el punto donde ocurre.
Generalmente esta propiedad es frecuentemente utilizada en
Procesamiento Digitales Señales (DSP) como propiedad del muestreo
o filtrado.
33
7.1 Función escalón unitario
Existen al menos 3 funciones singulares frecuentemente utilizadas y
son comunes en los análisis de circuitos eléctricos:
• Escalón Unitario.
• Impulso Unitario.
• Rampa Unitaria.
34
7.1 Función escalón unitario
Rampa Unitaria
La función rampa unitario 𝒓(t) es 0 para valores negativos de t, y tiene
una pendiente unitaria para valores positivos de t.
En términos matemáticos se representa como:
35
7.1 Función escalón unitario
A nivel gráfico se representa como:
Esta función matemática se
deriva de:
Es adimensional 𝒓(t).
36
7.1 Función escalón unitario
De forma más general es posible obtener diferentes rampas unitarias en
diversos instantes de tiempo, a como se vio con el escalón unitario.
37
7.1 Función escalón unitario
38
7.2 Respuestas natural y forzada
Ahora bien, ante la aplicación de la función escalón unitario a un
circuito RL o RC, estas configuraciones experimentan un proceso
transitorio antes de llegar a un estado estable.
No obstante el proceso transitorio es la respuesta natural del circuito
ante el estimulo (la fuente), y el estado estable es la condición que
define la fuente, forzando al circuito mantener ahí.
39
7.2 Respuestas natural y forzada
No obstante de manera matemática se demuestra por que la respuesta
completa tiene dos partes.
• Respuesta Natural (transitoria)
• Respuesta Forzada (estado permanente)
La razón de esto remonta en el hecho de resolver la ecuación
diferencial lineal que describe a los circuito RC y RL, debido a ello la
respuesta completa se deriva como:
• Solución complementaria (respuesta natural)
• Solución particular (respuesta forzada)
40
7.2 Respuestas natural y forzada
Sin adentrarse en temas relacionados a matemáticas y formalidades de
resoluciones de ecuaciones diferenciales consideremos la siguiente
ecuación diferencial:
𝒅𝒊
𝒅𝒕+ 𝑷𝒊 = 𝑸
Donde se puede reacomodar como:
𝒅𝒊 + 𝑷𝒊 ⋅ 𝒅𝒕 = 𝑸 𝒅𝒕
41
7.2 Respuestas natural y forzada
Considerando la ecuación diferencial
𝒅𝒊 + 𝑷𝒊 ⋅ 𝒅𝒕 = 𝑸 𝒅𝒕
Es posible identificar Q como una función forzada y expresarla como
Q(t) y para P se supondrá que es una constante positiva, y luego
tomaremos Q constante, para restringir el análisis a funciones forzadas
de tipo CD.
42
7.2 Respuestas natural y forzada
Desde una perspectiva matemática
𝒅𝒊 + 𝑷𝒊 ⋅ 𝒅𝒕 = 𝑸 𝒅𝒕
Para resolver la ecuación multiplicaremos por un factor de integración
apropiado para ello se considera utilizar 𝒆𝑷𝒕
𝒆𝑷𝒕𝒅𝒊 + 𝒆𝑷𝒕𝑷𝒊 ⋅ 𝒅𝒕 = 𝒆𝑷𝒕𝑸 𝒅𝒕
43
7.2 Respuestas natural y forzada
Simplificando la expresión a una ecuación diferencial exacta
𝒆𝑷𝒕𝒅𝒊 + 𝒆𝑷𝒕𝑷𝒊 ⋅ 𝒅𝒕 = 𝒆𝑷𝒕𝑸 𝒅𝒕
𝒅(𝒊𝒆𝑷𝒕) = 𝒆𝑷𝒕𝒅𝒊 + 𝒊𝑷𝒆𝑷𝒕 𝒅𝒕Es por ello que
𝒅(𝒊𝒆𝑷𝒕) = 𝒆𝑷𝒕𝑸 𝒅𝒕
Integrando a cada lado
𝒊𝒆𝑷𝒕= 𝒆𝑷𝒕𝑸 𝒅𝒕 + 𝑨
44
7.2 Respuestas natural y forzada
Asumimos que A es la constante de integración
𝒊𝒆𝑷𝒕= 𝒆𝑷𝒕𝑸 𝒅𝒕 + 𝑨
Despejando i
𝒊 = 𝒆−𝑷𝒕 𝒆𝑷𝒕𝑸 𝒅𝒕 + 𝑨𝒆−𝑷𝒕
Finalmente si se conoce la función forzada Q(t) es posible determinar
la forma funcional de i(t) al evaluar la integral. La expresión anterior
servirá para generar conclusiones mas generales.
45
7.2 Respuestas natural y forzada
Respuesta Natural
Asuma por ejemplo un circuito RL sin fuente, debido a ello la ecuación
se reduce a:
𝒊 = 𝒆−𝑷𝒕 𝒆𝑷𝒕𝑸 𝒅𝒕 + 𝑨𝒆−𝑷𝒕
𝒊𝒏 = 𝑨𝒆−𝑷𝒕
46
7.2 Respuestas natural y forzada
De la expresión anterior se infiere que la constante P nunca es negativa
debido a que depende de elementos pasivos como resistencias,
inductores y capacitores. No obstante P puede ser negativa si hay
presencia de resistencia negativas o fuente dependientes.
En resumen
𝒊𝒏 = 𝑨𝒆−𝑷𝒕
Conforme el tiempo avance la respuesta natural se aproximara a cero,
debido a que los elementos que almacenan energía van disipando su
energía en forma de calor mediante las resistencias eléctricas.
47
7.2 Respuestas natural y forzada
Respuesta Forzada
Ahora retomando la ecuación para i
𝒊 = 𝒆−𝑷𝒕 𝒆𝑷𝒕𝑸 𝒅𝒕 + 𝑨𝒆−𝑷𝒕
El primer término depende de la forma funcional de Q(t) función
forzada. Fue evidente observar que conforme 𝑡 → ∞ la respuesta
natural desvanece.
48
7.2 Respuestas natural y forzada
No obstante si 𝑡 → ∞ el primer término de la ecuación
𝒊 = 𝒆−𝑷𝒕 𝒆𝑷𝒕𝑸 𝒅𝒕 + 𝑨𝒆−𝑷𝒕
Se reescribe la ecuación como:
𝒊𝒇 =𝑸
𝑷
A la variable 𝒊𝒇 se le denomina respuesta forzada, donde el valor de
Q para este curso será de fuente en CD.
49
7.2 Respuestas natural y forzada
Respuesta Completa
Finalmente retomando el ejemplo con un circuito RL, la respuesta
completa se forma a partir de la suma de la respuesta natural y forzada,
esto equivale a decir que:
𝒊 = 𝒊𝒏 + 𝒊𝒇
𝒊 = 𝑨𝒆−𝑷𝒕 +𝑸
𝑷
Donde aún falta saber quien es A
50
7.2 Respuestas natural y forzada
El valor de la constante A al aplicarse a la respuesta completa, no se
puede suponer simplemente que es la condición inicial.
Si consideramos un circuito RL básico se sabe que:
51
7.2 Respuestas natural y forzada
Del circuito anterior se sabe que:
𝒊 = 𝑨𝒆−𝑹𝒕/𝑳 +𝑽𝒔𝑹
Para este caso la respuesta forzada es constante debido a que la fuente
de tensión 𝑽𝒔 es constante.
Ahora bien si aplicamos la condición inicial para definir quien es A, la
corriente es cero en t = 0, y se sabe que un inductor no acepta cambios
bruscos de corriente, se tiene:
52
7.2 Respuestas natural y forzada
Se tiene que:
𝟎 = 𝑨 +𝑽𝒔𝑹
Finalmente se tiene que:
𝒊 =𝑽𝒔𝑹
𝟏 − 𝒆−𝑹𝒕/𝑳
Observe de manera cuidadosa que A no corresponde al valor inicial,
esto sucede al haber funciones forzada en el sistema.
53
7.2 Respuestas natural y forzada
Importante, para determinar 𝝉, en
esta forma de onda, la constante de
tiempo estará ubicada al 63,2% de𝑉𝑠
𝑅.
54
7.2 Respuestas natural y forzada
A manera de resumen, se puede decir que la respuesta completa se
debe tomar en cuenta lo siguiente:
1. Cálculo condición inicial i(0) para el inductor y v(0) para el
capacitor.
2. Cálculo condición final i(∞) para el inductor (cortocircuito)
y v(∞) para el capacitor (circuito abierto).
3. Constante de tiempo 𝝉
4. Suma de respuesta natural y forzada
55
7.2 Respuestas natural y forzada
Para un circuito RL
56
7.2 Respuestas natural y forzada
Para un circuito RC
57
7.2 Respuestas natural y forzada
Respuesta Natural
Respuesta Forzada
58
7.3 Circuitos RL y RC
En relación a los circuitos RL y RC, hay que tener en cuenta al menos
que estos circuitos poseen una respuesta total la cuales esta
conformada por:
1. Respuesta natural
2. Respuesta forzada
59
7.3 Circuitos RL y RC
Ejemplo
Determine la respuesta natural v(t) t > 0 y la energía inicial almacenada
en el capacitor.
60
7.3 Circuitos RL y RC
Caso t < 0
Se tiene el siguiente circuito
Aplicando un divisor de
tensión
𝑣𝑐 =9
9 + 320𝑉 = 15 𝑉
𝑣𝑐 0− = 𝑣𝑐 0+ = 15 𝑉
61
7.3 Circuitos RL y RC
Caso t > 0
Se tiene el siguiente circuito
Calculando 𝑹𝒆𝒒
𝑅𝑒𝑞 = 1 + 9 = 10 Ω
Ahora bien 𝝉
𝝉 = 𝑹𝒆𝒒𝑪 = 𝟏𝟎Ω ∗ 𝟐𝟎𝒎𝑭 = 𝟎, 𝟐 𝒔
Para t ≥ 0, se tiene que:
𝑣 𝑡 = 𝑣𝑐 0 𝑒−𝑡𝜏 𝑉 = 𝟏𝟓𝒆−𝟓𝒕 𝑽
62
7.3 Circuitos RL y RC
Caso t > 0 𝑣 𝑡 = 𝑣𝑐 0 𝑒−𝑡𝜏 𝑉 = 𝟏𝟓𝒆−𝟓𝒕 𝑽
63
7.3 Circuitos RL y RC
Caso t > 0
La energía almacenada en el capacitor es de:
𝑤𝑐 0 =1
2𝐶𝑣𝑐
2 0 =1
2∗ 20𝑚𝐹 ∗ 152
𝑤𝑐 0 = 2.25 𝐽
64
7.3 Circuitos RL y RC
Ejemplo
Determine la respuesta natural v(t) t > 0 y la energía inicial almacenada
en el capacitor, si el interruptor se abre en t = 0.
65
7.3 Circuitos RL y RC
Caso t < 0
Se tiene el siguiente circuito
Aplicando un divisor de
tensión
𝑣𝑐 =12//4
12//4 + 624𝑉 = 8 𝑉
𝑣𝑐 0− = 𝑣𝑐 0+ = 8 𝑉
66
7.3 Circuitos RL y RC
Caso t > 0
Se tiene el siguiente circuito
Calculando 𝑹𝒆𝒒
𝑅𝑒𝑞 = 12//4 = 3 Ω
Ahora bien 𝝉
𝝉 = 𝑹𝒆𝒒𝑪 = 𝟑Ω ∗𝟏
𝟔𝑭 = 𝟎, 𝟓 𝒔
Para t ≥ 0, se tiene que:
𝑣 𝑡 = 𝑣𝑐 0 𝑒−𝑡𝜏 𝑉 = 𝟖𝒆−𝟐𝒕 𝑽
67
7.3 Circuitos RL y RC
Caso t > 0 𝑣 𝑡 = 𝑣𝑐 0 𝑒−𝑡𝜏 𝑉 = 𝟖𝒆−𝟐𝒕 𝑽
68
7.3 Circuitos RL y RC
Caso t > 0
La energía almacenada en el capacitor es de:
𝑤𝑐 0 =1
2𝐶𝑣𝑐
2 0 =1
2∗1
6∗ 82
𝑤𝑐 0 = 5.33 𝐽
69
7.3 Circuitos RL y RC
Ejemplo
Determine la respuesta natural i(t) t > 0.
70
7.3 Circuitos RL y RC
Caso t < 0
Se tiene el siguiente circuito
Simplificando el circuito
𝑖1 =40
12//4 + 2= 8 𝐴
Divisor de corriente
𝑖 =12
12 + 48𝐴 = 6 𝐴
𝑖 0− = 𝑖 0+ = 6 𝐴
71
7.3 Circuitos RL y RC
Caso t > 0
Se tiene el siguiente circuito
Calculando 𝑹𝒆𝒒
𝑅𝑒𝑞 = 12 + 4 ||16 = 8 Ω
Ahora bien 𝝉
𝝉 =𝑳
𝑹𝒆𝒒=𝟐
𝟖=𝟏
𝟒𝒔
Para t ≥ 0, se tiene que:
𝑖 𝑡 = 𝑖 0 𝑒−𝑡𝜏 𝐴 = 𝟔𝒆−𝟒𝒕 𝑨
72
7.3 Circuitos RL y RC
Caso t > 0 𝑖 𝑡 = 𝑖 0 𝑒−𝑡𝜏 𝐴 = 𝟔𝒆−𝟒𝒕 𝑨
73
7.3 Circuitos RL y RC
Ejemplo
Determine la respuesta natural 𝑖0, 𝑣0 e i, para t > 0.
74
7.3 Circuitos RL y RC
Caso t < 0
Se tiene el siguiente circuito
Determinando la condiciones
iniciales
𝑖0 = 0 𝐴
𝑖 =10 𝑉
5 Ω= 2 𝐴
𝒊 𝟎− = 𝒊 𝟎+ = 𝟐 𝑨
𝑣0 = 6𝑉
75
7.3 Circuitos RL y RC
Caso t > 0
Se tiene el siguiente circuito
Calculando 𝑹𝒆𝒒
𝑅𝑒𝑞 = 3//6 = 2 Ω
Ahora bien 𝝉
𝝉 =𝑳
𝑹𝒆𝒒=𝟐𝑯
𝟐Ω= 𝟏𝒔
Para t ≥ 0, se tiene que:
𝑖 𝑡 = 𝑖 0 𝑒−𝑡𝜏 𝐴 = 𝟐𝒆−𝒕 𝑨
76
7.3 Circuitos RL y RC
Caso t > 0
Se tiene el siguiente circuito
Para t ≥ 0, se tiene que:
𝒊 𝒕 = 𝒊 𝟎 𝒆−𝒕𝝉 𝑨 = 𝟐𝒆−𝒕 𝑨
𝒗𝟎 𝒕 = −𝒗𝑳 = −𝑳𝒅𝒊
𝒅𝒕= 𝟒𝒆−𝒕 𝑽
𝒊𝟎 𝒕 =−𝒗𝑳𝟔
=−𝟐
𝟑𝒆−𝒕 𝑨
77
7.3 Circuitos RL y RC
Caso t > 0
Se tiene el siguiente circuito
En resumen se tiene que:
78
7.3 Circuitos RL y RC
Caso t > 0 𝑖 𝑡 = 𝑖 0 𝑒−𝑡𝜏 𝐴 = 𝟐𝒆−𝒕 𝑨
79
7.3 Circuitos RL y RC
Caso t > 0 𝑖0 𝑡 =−𝑣𝐿6
=−2
3𝑒−𝑡 𝐴
80
7.3 Circuitos RL y RC
Caso t > 0𝑣0 𝑡 = 4𝑒−𝑡 𝑉
81
7.4 Circuitos RL y RC con escalón unitario
Para los circuitos que poseen escalón unitario, o depende de
conmutaciones de interruptores en diversos momentos de tiempo es
necesario hacer uso de la respuesta completa de los circuitos RC y RL.
Ahora bien recordemos lo siguiente:
82
7.4 Circuitos RL y RC con escalón unitario
Ejemplo
Determine la respuesta completa para v(t) e i(t) para t >0
83
7.4 Circuitos RL y RC con escalón unitario
Caso t < 0
Se tiene el siguiente circuito
Se sabe por definición de
escalón unitario que:
𝒗 = 𝟏𝟎 𝑽
𝒗 𝟎− = 𝒗 𝟎+ = 𝟏𝟎 𝑽
84
7.4 Circuitos RL y RC con escalón unitario
Caso t > 0
Se tiene el siguiente circuito
La constante de tiempo 𝝉
𝝉 = 𝑹𝒆𝒒𝑪 =𝟏𝟎 ∗ 𝟐𝟎
𝟑𝟎Ω ∗
𝟏
𝟒𝑭 =
𝟓
𝟑𝒔
𝝉 =𝟓
𝟑𝒔
𝒗 ∞ =𝟐𝟎
𝟑𝟎∗ 𝟑𝟎𝑽 = 𝟐𝟎 𝑽
85
7.4 Circuitos RL y RC con escalón unitario
Caso t > 0
Se tiene el siguiente circuito
La respuesta completa v(t) es
𝒗 𝒕 = 𝒗 ∞ + 𝒗 𝟎 − 𝒗 ∞ 𝒆−𝒕𝝉
𝒗 𝒕 = 𝟐𝟎 + 𝟏𝟎 − 𝟐𝟎 𝒆−𝟑𝒕
𝟓 𝑽 𝒕 > 𝟎
𝒗 𝒕 = 𝟐𝟎 − 𝟏𝟎𝒆−𝟑𝒕
𝟓 𝑽 𝒕 > 𝟎
86
7.4 Circuitos RL y RC con escalón unitario
Caso t > 0
Se tiene el siguiente circuito
La respuesta completa i(t) es
Aplicando un nodo
𝒊 =𝒗
𝟐𝟎+ 𝑪
𝒅𝒗
𝒅𝒕
𝑖 = 1 − 0,5𝑒−3𝑡5 + 0,25(−0,6)(−10)𝑒−
3𝑡5
𝒊 𝒕 = 𝟏 + 𝒆−𝟑𝒕
𝟓 𝑨 𝒕 > 𝟎
87
7.4 Circuitos RL y RC con escalón unitario
88
7.4 Circuitos RL y RC con escalón unitario
89
7.4 Circuitos RL y RC con escalón unitario
Ejemplo
Determine la respuesta completa para v(t) para t >0
90
7.4 Circuitos RL y RC con escalón unitario
El circuito anterior al menos se deben de considerar 3 casos de análisis:
1. Accionamiento en t < 0
2. Accionamiento en 𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝟑
3. Accionamiento en 𝒕 ≥ 𝟑
Y además que van a existir al menos 2 condiciones iniciales para el
cálculo de v(t).
91
7.4 Circuitos RL y RC con escalón unitario
Caso t < 0
Se tiene el siguiente circuito
Determinando la condiciones
iniciales
𝒗 = 𝟎 𝑽
𝒗 𝟎− = 𝒗 𝟎+ = 𝟎 𝑽
92
7.4 Circuitos RL y RC con escalón unitario
Caso 𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝟑Se tiene el siguiente circuito
La constante de tiempo 𝜏 es:
𝝉 = 𝑹𝒆𝒒𝑪 =𝟑 ∗ 𝟓
𝟓 + 𝟑𝒌Ω ∗ 𝟎. 𝟓𝒎𝑭
= 𝟎, 𝟗𝟑𝟕𝟓 𝒔
Asumiendo que ha pasado mucho
tiempo hay que buscar 𝒗(∞)
𝒗 ∞ =𝟓
𝟖∗ 𝟐𝟒𝑽 = 𝟏𝟓𝑽
93
7.4 Circuitos RL y RC con escalón unitario
Caso 𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝟑Se tiene el siguiente circuito
Para este intervalo temporal se tiene
como respuesta completa:
𝒗 𝒕 = 𝒗 ∞ + [𝒗 𝟎 − 𝒗(∞)]𝒆−𝒕/𝝉
𝑣 𝑡 = 15 + [0 − 15] 𝒆−𝟏𝟔
𝟏𝟓𝒕 𝑽
𝒗 𝒕 = 𝟏𝟓 − 𝟏𝟓𝒆−𝟏𝟔𝟏𝟓
𝒕 𝑽𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝟑
94
7.4 Circuitos RL y RC con escalón unitario
Caso t ≥ 3
Se tiene el siguiente circuito
La constante de tiempo 𝝉 cambia
debido a que el circuito es
completamente distinto
𝝉 = 𝑹𝒆𝒒𝑪 = 𝟒𝒌Ω ∗ 𝟎. 𝟓𝒎𝑭 = 𝟐𝒔
95
7.4 Circuitos RL y RC con escalón unitario
Caso t ≥ 3
Se tiene el siguiente circuito
Debido a que el capacitor no cambia
abruptamente de tensión se tiene
que:
𝒗 𝒕 = 𝟏𝟓 − 𝟏𝟓𝒆−𝟏𝟔𝟏𝟓
𝒕 𝑽𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝟑
Hay que evaluar en t = 3
𝒗 𝟑 = 𝟏𝟓 − 𝟏𝟓𝒆−𝟏𝟔𝟏𝟓
∗𝟑 𝑽
𝒗 𝟑− = 𝒗 𝟑+ = 𝟏𝟒, 𝟑𝟖 𝑽
96
7.4 Circuitos RL y RC con escalón unitario
Caso t ≥ 3
Se tiene el siguiente circuito
Determinando la condición
en un t muy amplio, el
capacitor se ve como un
circuito abierto
𝑣 ∞ = 30 𝑉
𝒗(∞) = 𝟑𝟎 𝑽
97
7.4 Circuitos RL y RC con escalón unitario
Caso t ≥ 3
Se tiene el siguiente circuito
Para este intervalo temporal se tiene
como respuesta completa:
𝒗 𝒕 = 𝒗 ∞ + [𝒗 𝟑 − 𝒗(∞)]𝒆−(𝒕−𝒕𝟎)/𝝉
𝑣 𝑡 = 30 + [14,38 − 30] 𝒆−𝟎,𝟓(𝒕−𝟑) 𝑽
𝒗 𝒕 = 𝟑𝟎 − 𝟏𝟓, 𝟔𝟐𝒆−𝟏𝟐(𝒕−𝟑) 𝑽
t ≥ 3
98
7.4 Circuitos RL y RC con escalón unitario
En resumen la respuesta de v(t) para t > 0 es:
𝑣 𝑡 =
𝟎 𝑽 t < 0
𝟏𝟓 − 𝟏𝟓𝒆−𝟏𝟔𝟏𝟓
𝒕 𝑽 𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝟑
𝟑𝟎 − 𝟏𝟓, 𝟔𝟐𝒆−𝟏𝟐(𝒕−𝟑) 𝑽 t ≥ 3
99
7.4 Circuitos RL y RC con escalón unitario
Graficando la respuesta de v(t) para t > 0 es:
𝟏𝟓 − 𝟏𝟓𝒆−𝟏𝟔𝟏𝟓
𝒕 𝑽 𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝟑
100
7.4 Circuitos RL y RC con escalón unitario
Graficando la respuesta de v(t) para t > 0 es:
𝟑𝟎 − 𝟏𝟓, 𝟔𝟐𝒆−𝟏𝟐(𝒕−𝟑) 𝑽 t ≥ 3
101
7.4 Circuitos RL y RC con escalón unitario
102
7.4 Circuitos RL y RC con escalón unitario
103
7.4 Circuitos RL y RC con escalón unitario
Ejemplo
Determine la respuesta completa para i(t) para t > 0.
104
7.4 Circuitos RL y RC con escalón unitario
Antes de iniciar con el calculo de las condiciones iniciales es necesario
construir la señal de entrada 𝑣𝑠, en términos de escalones unitarios.
Corresponde a:
𝒗𝒔 𝒕 = 𝟏𝟎 𝒖 𝒕 − 𝒖 𝒕 − 𝟏 𝑽
Note que hay dos intervalos de
tiempo.
105
7.4 Circuitos RL y RC con escalón unitario
Caso t < 0
Se tiene el siguiente circuito
Se sabe por definición de escalón
unitario que:
𝒗𝒔 𝒕 = 𝟏𝟎 𝒖 𝒕 − 𝒖 𝒕 − 𝟏 𝑽
𝒊 = 𝟎 𝑨
𝒊 𝟎− = 𝒊 𝟎+ = 𝟎 𝑨
106
7.4 Circuitos RL y RC con escalón unitario
Caso 0 < t < 1
Se tiene el siguiente circuito
La constante de tiempo 𝝉
𝝉 =𝑳
𝑹𝒆𝒒=
𝟐𝑯
𝟓 ∗ 𝟐𝟎𝟐𝟓
Ω=𝟏
𝟐𝒔
𝝉 =𝟏
𝟐𝒔
𝒊 ∞ =𝟏𝟎
𝟓= 𝟐 𝑨
107
7.4 Circuitos RL y RC con escalón unitario
Caso 0 < t < 1
Se tiene el siguiente circuito
La respuesta completa i(t) es
𝒊 𝒕 = 𝒊 ∞ + 𝒊 𝟎 − 𝒊 ∞ 𝒆−𝒕𝝉
𝒊 𝒕 = 𝟐 + 𝟎 − 𝟐 𝒆−𝟐𝒕 𝑨
𝒊 𝒕 = 𝟐 − 𝟐𝒆−𝟐𝒕 𝑨0 < t < 1
108
7.4 Circuitos RL y RC con escalón unitario
Caso t > 1
Se tiene el siguiente circuito
La constante de tiempo 𝝉 no cambia
𝝉 =𝑳
𝑹𝒆𝒒=
𝟐𝑯
𝟓 ∗ 𝟐𝟎𝟐𝟓
Ω=𝟏
𝟐𝒔
𝝉 =𝟏
𝟐𝒔
109
7.4 Circuitos RL y RC con escalón unitario
Caso t > 1
Se tiene el siguiente circuito
Debido a que el inductor no cambia
abruptamente de corriente se tiene
que:
𝒊 𝒕 = 𝟐 − 𝟐𝒆−𝟐𝒕 𝑨0 < t < 1
Hay que evaluar en t = 1
𝒊 𝟏 = 𝟐 − 𝟐𝒆−𝟐𝑨
𝒊 𝟏− = 𝒊 𝟏+ = 𝟏, 𝟕𝟐𝟗 𝑨
110
7.4 Circuitos RL y RC con escalón unitario
Caso t > 1
Se tiene el siguiente circuito
Determinando la condición
en un t muy amplio, el
inductor se ve como un corto
circuito
𝑖 ∞ = 0 𝐴
𝒊(∞) = 𝟎 𝑨
111
7.4 Circuitos RL y RC con escalón unitario
Caso t > 1
Se tiene el siguiente circuito
Para este intervalo temporal se tiene
como respuesta completa:
𝒊 𝒕 = 𝒊 ∞ + [𝒊 𝟏 − 𝒊(∞)]𝒆−(𝒕−𝒕𝟎)/𝝉
𝑖 𝑡 = 0 + [1,729 − 0] 𝒆−𝟐(𝒕−𝟏) 𝑨
𝒊 𝒕 = 𝟏, 𝟕𝟐𝟗𝒆−𝟐(𝒕−𝟏) 𝑨t > 𝟏
112
7.4 Circuitos RL y RC con escalón unitario
En resumen la respuesta de i(t) para t > 0 es:
𝑖 𝑡 = 𝟎 𝑨 t < 0
𝟐 − 𝟐𝒆−𝟐𝒕 𝑨 𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝟏
𝟏, 𝟕𝟐𝟗𝒆−𝟐(𝒕−𝟏) 𝑨 t ≥ 1
113
7.4 Circuitos RL y RC con escalón unitario
114
7.4 Circuitos RL y RC con escalón unitario
115
7.4 Circuitos RL y RC con escalón unitario
116
7.4 Circuitos RL y RC con escalón unitario
Ejemplo
Determine la respuesta completa para i(t) para t > 0.
117
7.4 Circuitos RL y RC con escalón unitario
El circuito anterior al menos se deben de considerar 3 casos de análisis:
1. Accionamiento en t < 0
2. Accionamiento en 𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝟒
3. Accionamiento en 𝒕 ≥ 𝟒
Y además que van a existir al menos 2 condiciones iniciales para el
calculo de i(t).
118
7.4 Circuitos RL y RC con escalón unitario
Caso t < 0
Se tiene el siguiente circuito
Determinando la condiciones
iniciales
𝒊 = 𝟎 𝑨
𝒊 𝟎− = 𝒊 𝟎+ = 𝟎 𝑨
119
7.4 Circuitos RL y RC con escalón unitario
Caso 𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝟒Se tiene el siguiente circuito
La constante de tiempo 𝜏 es:
𝝉 =𝑳
𝑹𝒆𝒒=
𝟓𝑯
𝟏𝟎 Ω=𝟏
𝟐𝒔
Asumiendo que ha pasado mucho
tiempo hay que buscar 𝒊(∞)
𝑖 ∞ =𝟒𝟎 𝑽
𝟏𝟎 Ω= 𝟒 𝑨
120
7.4 Circuitos RL y RC con escalón unitario
Caso 𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝟒Se tiene el siguiente circuito
Para este intervalo temporal se tiene
como respuesta completa:
𝒊 𝒕 = 𝒊 ∞ + [𝒊 𝟎 − 𝒊(∞)]𝒆−𝒕/𝝉
𝑖 𝑡 = 4 + [0 − 4] 𝒆−𝟐𝒕 𝑨
𝒊 𝒕 = 𝟒 − 𝟒𝒆−𝟐𝒕 𝑨𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝟒
121
7.4 Circuitos RL y RC con escalón unitario
Caso t ≥ 4
Se tiene el siguiente circuito
La constante de tiempo 𝝉 cambia
debido a que el circuito es
completamente distinto
𝝉 =𝑳
𝑹𝒆𝒒=
𝟓𝑯
𝟒 ∗ 𝟐𝟔
Ω + 𝟔Ω=𝟏𝟓
𝟐𝟐𝒔
122
7.4 Circuitos RL y RC con escalón unitario
Caso t ≥ 4
Se tiene el siguiente circuito
Debido a que el inductor no cambia
abruptamente de corriente se tiene
que:
𝒊 𝒕 = 𝟒 − 𝟒𝒆−𝟐𝒕 𝑨𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝟒
Hay que evaluar en t = 4
𝒊 𝟒 = 𝟒 − 𝟒𝒆−𝟐∗𝟒 𝑨
𝒊 𝟒− = 𝒊 𝟒+ ~ 𝟒 𝑨
123
7.4 Circuitos RL y RC con escalón unitario
Caso t ≥ 4
Se tiene el siguiente circuito
Determinando la condición en un t
muy amplio, el inductor se ve como un
corto circuito
Por nodos𝟒𝟎 − 𝒗
𝟒−𝟏𝟎 − 𝒗
𝟐=𝒗
𝟔
𝒗 =𝟏𝟖𝟎
𝟏𝟏𝑽
𝒊 ∞ =𝒗
𝟔=𝟑𝟎
𝟏𝟏𝑨 = 𝟐, 𝟕𝟐𝟕 𝑨
124
7.4 Circuitos RL y RC con escalón unitario
Caso t ≥ 4
Se tiene el siguiente circuito
Para este intervalo temporal se tiene
como respuesta completa:
𝒊 𝒕 = 𝒊 ∞ + [𝒊 𝟒 − 𝒊(∞)]𝒆−(𝒕−𝒕𝟎)/𝝉
𝑖 𝑡 = 2,727 + [4 − 2,727] 𝒆−𝟐𝟐
𝟏𝟓(𝒕−𝟒) 𝑨
𝒊 𝒕 = 𝟐, 𝟕𝟐𝟕 + 𝟏, 𝟐𝟕𝟑𝒆−𝟐𝟐𝟏𝟓
(𝒕−𝟒) 𝑨t ≥ 4
125
7.4 Circuitos RL y RC con escalón unitario
En resumen la respuesta de i(t) para t > 0 es:
𝑖 𝑡 =
𝟎 𝑨 t < 0𝟒 − 𝟒𝒆−𝟐𝒕 𝑨 𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝟒
𝟐, 𝟕𝟐𝟕 + 𝟏, 𝟐𝟕𝟑𝒆−𝟐𝟐𝟏𝟓
(𝒕−𝟒) A t ≥ 4
126
7.4 Circuitos RL y RC con escalón unitario
127
7.4 Circuitos RL y RC con escalón unitario
128
7.4 Circuitos RL y RC con escalón unitario
129
7.4 Circuitos RL y RC con escalón unitario
Ejemplo
Determine la respuesta completa para v(t) y 𝑣0(𝑡) para t > 0.
130
7.4 Circuitos RL y RC con escalón unitario
Caso t < 0
Se tiene el siguiente circuito
Determinando la condiciones
iniciales
𝒗 = 𝟎 𝑽
𝒗 𝟎− = 𝒗 𝟎+ = 𝟎 𝑽
131
7.4 Circuitos RL y RC con escalón unitario
Caso t > 0
Se tiene el siguiente circuito
La constante de tiempo 𝜏 es:
𝝉 = 𝑹𝒆𝒒𝑪 = 𝟓𝟎𝒌Ω ∗ 𝟏µ𝑭 =𝟏
𝟐𝟎𝒔
132
7.4 Circuitos RL y RC con escalón unitario
Caso t > 0
Se tiene el siguiente circuito Asumiendo que ha pasado mucho
tiempo hay que buscar 𝒗(∞)
𝒗𝟏 =𝟐𝟎
𝟏𝟎 + 𝟐𝟎∗ 𝟑𝑽 = 𝟐 𝑽
𝑣0 ∞ = 𝟏 +𝟓𝟎
𝟐𝟎𝒗𝟏 = 𝟕 𝑽
𝒗 ∞ = 𝒗𝟏 − 𝒗𝟎 = −𝟓 𝑽
133
7.4 Circuitos RL y RC con escalón unitario
Caso 𝒕 > 𝟎Se tiene el siguiente circuito
Para este intervalo temporal se tiene
como respuesta completa:
𝒗 𝒕 = 𝒗 ∞ + [𝒗 𝟎 − 𝒗(∞)]𝒆−𝒕/𝝉
𝑣 𝑡 = −5 + [0 − −5] 𝒆−𝟐𝟎𝒕 𝑽
𝒗 𝒕 = −𝟓 + 𝟓𝒆−𝟐𝟎𝒕 𝑽 𝒕 > 𝟎
𝑣0 𝑡 = 𝑣1 𝑡 − 𝑣 𝑡
𝒗𝟎 𝒕 = 𝟕 − 𝟓𝒆−𝟐𝟎𝒕 𝑽 𝒕 > 𝟎
134
7.4 Circuitos RL y RC con escalón unitario
En resumen la respuesta de v(t) para t > 0 es:
𝑣 𝑡 = 𝟎 𝑽 t < 0
−𝟓 + 𝟓𝒆−𝟐𝟎𝒕 𝑽 𝒕 > 𝟎
𝑣0 𝑡 = 𝟐 𝑽 t = 0
𝟕 − 𝟓𝒆−𝟐𝟎𝒕 𝑽 𝒕 > 𝟎
135
7.4 Circuitos RL y RC con escalón unitario
136
7.4 Circuitos RL y RC con escalón unitario
137
7.4 Circuitos RL y RC con escalón unitario
Ejemplo
Determine la respuesta completa para v(t) para t > 0.
138
7.4 Circuitos RL y RC con escalón unitario
Caso t < 0
Se tiene el siguiente circuito
Determinando la condiciones
iniciales
𝒗 = 𝟎 𝑽
𝒗 𝟎− = 𝒗 𝟎+ = 𝟎 𝑽
139
7.4 Circuitos RL y RC con escalón unitario
Caso t > 0
Se tiene el siguiente circuito
Para el calculo de 𝑅𝑡ℎ, es necesario
tomar en cuenta que el amplificador
es ideal, es por ello que 𝑅0 = 0Ω
El circuito se simplifica como:
140
7.4 Circuitos RL y RC con escalón unitario
Caso t > 0
Se tiene el siguiente circuito
La constante de tiempo 𝜏 es:
𝑹𝒆𝒒 =𝟏𝟎 ∗ 𝟏𝟎
𝟏𝟎 + 𝟏𝟎= 𝟓 𝒌Ω
𝝉 = 𝑹𝒆𝒒𝑪 = 𝟓𝒌Ω ∗ 𝟐µ𝑭 =𝟏
𝟏𝟎𝟎𝒔
141
7.4 Circuitos RL y RC con escalón unitario
Caso t > 0
Se tiene el siguiente circuito Asumiendo que ha pasado mucho
tiempo hay que buscar 𝒗(∞)
𝒗𝒂𝒃 =−𝟓𝟎𝒌Ω
𝟐𝟎𝒌Ω∗ 𝟐 𝑽 = 𝟓 𝑽
𝒗 ∞ = 𝒗𝒕𝒉 =𝟏𝟎𝒌Ω
𝟏𝟎𝒌Ω + 𝟏𝟎𝒌Ω∗ 𝒗𝒂𝒃
𝒗 ∞ = −𝟐, 𝟓 𝐕
142
7.4 Circuitos RL y RC con escalón unitario
Caso 𝒕 > 𝟎Se tiene el siguiente circuito
Para este intervalo temporal se tiene
como respuesta completa:
𝒗 𝒕 = 𝒗 ∞ + [𝒗 𝟎 − 𝒗(∞)]𝒆−𝒕/𝝉
𝑣 𝑡 = −2,5 + [0 − −2,5] 𝒆−𝟏𝟎𝟎𝒕 𝑽
𝒗 𝒕 = −𝟐, 𝟓 + 𝟐, 𝟓𝒆−𝟏𝟎𝟎𝒕 𝑽 𝒕 > 𝟎
143
7.4 Circuitos RL y RC con escalón unitario
En resumen la respuesta de v(t) para t > 0 es:
𝑣 𝑡 = 𝟎 𝑽 t < 0
−𝟐, 𝟓 + 𝟐, 𝟓𝒆−𝟐𝟎𝒕 𝑽 𝒕 > 𝟎
144
7.4 Circuitos RL y RC con escalón unitario
145
Bibliografía
[1] Alexander, Charles K. y Sadiku, Matthew N. O. Fundamentos de
Circuitos Eléctricos. 5ª Ed. México: McGraw-Hill, 2013. (Imágenes)
Para más información pueden ingresar a: tec-digital ó
http://www.ie.tec.ac.cr/sarriola/
Esta presentación se ha basado parcialmente en compilación para semestre
anteriores de cursos de Circuitos Eléctricos en Corriente Continua y Teoría
Electromagnética I por Aníbal Coto-Cortés y Renato Rimolo-Donadio
146
top related