ceros de una funciÓn polinomial - matemáticas 3 · ceros de un funciÓn polinomial • los...
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CEROS DE UNA FUNCIÓN POLINOMIAL
DIVISIÓN SINTÉTICA
TEOREMA DEL RESIDUO
TEOREMA DEL FACTOR
Ing. Caribay Godoy
OBJETIVOS• Definir el teorema del residuo.
• Utilizar el teorema del residuo para evaluar funciones polinomiales.
• Definir el teorema del factor.
• Utilizar el teorema del factor para determinar si un binomio es factor de un polinomio.
• Definir el Teorema fundamental del álgebra.
• Establecer la relación entre el grado del polinomio y el número de raíces que éste tiene (teorema de los “n” ceros).
• Determinar los ceros racionales de un polinomio de grado menor o igual a 4 a partir del teorema de raíces racionales.
• Definir el teorema de los ceros complejos.
• Determinar una función polinomial a partir de sus ceros.
• Obtener los ceros de una función polinomial utilizando recursos tecnológicos.Ing. Caribay Godoy
CEROS DE UN FUNCIÓN POLINOMIAL• Los valores de la variable x para los cuales la función es igual a cero, a los que se
llaman raíces del polinomio y se representan de la forma 𝑟1, 𝑟2, 𝑟3, … , 𝑟𝑛.
• Estos puntos tienen coordenadas (𝑟1, 0) para cada una delas raíces reales del polinomio. Y se les llama ceros de la función.
• La mayoría de las funciones polinómicas tiene n ceros reales.
• La mayoría de la funciones polinomicas tiene n-1 puntos de inflexión. (También llamada máximos relativos o mínimos relativos que son los puntos donde la gráfica pasa de creciente a decreciente o viceversa.)
Ing. Caribay Godoy
• 1.- Factorización
Encuentre los ceros reales (intersecciones con el eje x) de la función:
𝑓 𝑥 = −4𝑥4 + 2𝑥2
Para encontrar los ceros resuelvo para x, (encuentro los valores de x cuando y es igual a cero).
0 = −4𝑥4 + 2𝑥2
0 = −2𝑥2 𝑥2 − 2
0 = −2𝑥2(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)
Entonces los ceros reales son: x = 0, x = -1, x = 1
¿CÓMO OBTENGO LOS CEROS DE UNA FUNCIÓN?
Recuerda: como es un polinomio de grado 4, puede tener a lo sumo 4-1 = 3 puntos de inflexión.
Ing. Caribay Godoy
REPETICIÓN DE CEROS
• El factor (𝑥 − 𝑎)𝑘 , 𝑘 > 1 indica una intersección del eje x,en x = a.
• Si k es impar: la grafica cruza el eje de las x en x = a
• Si k es par: la gráfica toca el eje x pero no lo atraviesa.
Ing. Caribay Godoy
• Encuentre los ceros reales (intersecciones con el eje x) de la función:
𝑓 𝑥 = 3𝑥4 − 4𝑥3
0 = 3𝑥4 − 4𝑥3
0 = 𝑥3 3𝑥 − 4
Entonces los ceros reales son: x = 0 (exponente impar), x = 4/3 (exponente impar)
Ing. Caribay Godoy
• Encuentre los ceros reales (intersecciones con el eje x) de la función:
𝑓 𝑥 = −2𝑥3 + 6𝑥2 −9
2𝑥
0 = −1
2𝑥(4𝑥2 − 12𝑥 + 9)
0 = −1
2𝑥(2𝑥 − 3)2
Entonces los ceros reales son: x = 0 (exponente impar), x = 3/2 (exponente par)
Ing. Caribay Godoy
¿CÓMO OBTENGO LOS CEROS DE UNA FUNCIÓN?
• 2.- División sintética (Teorema del factor)
Suponga que tiene la gráfica de la función: 𝑓 𝑥 = 6𝑥3 − 19𝑥2 + 16𝑥 − 4
Un cero de la función ocurre en x = 2 para que sepa que (x-2) es un factor de f (x). Esto significa que existe un polinomio de segundo grado tal que:
f (x) = (x-2) q (x)
Para conocer q (x) podemos usar la división sintética.
Ing. Caribay Godoy
DIVISIÓN SINTÉTICA
• De la división podemos concluir que:
6𝑥3 − 19𝑥2 + 16𝑥 − 4= (𝑥 − 2)(6𝑥2 − 7𝑥 + 2)
Factorizando la ecuación cuadrática tenemos:
= (𝑥 − 2)(2𝑥 − 1)(3𝑥 − 2)
Ing. Caribay Godoy
DIVISIÓN SINTÉTICA (ALGORITMO CORTO)
• Una forma sencilla de ver la división sintética es como sigue:
• Divide el polinomio 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 (𝑥 − 𝑘), podemos usar el siguiente patrón:
Coeficientes de la función
residuo
Coeficientes de la función resultante
Ing. Caribay Godoy
• EJEMPLO: Divide 𝑥4 − 10𝑥2 − 2𝑥 + 4 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑥 + 3
Dividendo: 𝑥4 − 10𝑥2 − 2𝑥 + 4
Divisor: x+3
Residuo
Coeficientes del nuevo polinomio𝑥3 − 3𝑥2 + 9𝑥 + 1
Al final tenemos que: 𝑥4−10𝑥2−2𝑥+4
𝑥+3= 𝑥3 − 3𝑥2 + 9𝑥 + 1 +
1
(𝑥+3)Ing. Caribay Godoy
TEOREMA DEL RESIDUO
EN PALABRAS SENCILLAS: si un polinomio 𝑓(𝑥) se divide entre (𝑥 − 𝑐), el residuo “r” es igual a 𝑓(𝑐).
Ing. Caribay Godoy
• Determine el residuo de
𝑓 𝑥 = −50𝑥3 + 2𝑥5 + 4𝑥 − 25 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 (𝑥 − 5)
Y demostrar que f(5) = residuo
Ing. Caribay Godoy
• Ejercicios propuestos:
1) Determine el residuo de
𝑓 𝑥 = −2𝑥6 + 3𝑥3 + 5𝑥 − 4 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 (𝑥 − 1)
Y demostrar que f(1)= residuo
2) Determine el residuo de
𝑓 𝑥 = 3𝑥3 − 5𝑥2 + 3𝑥 + 8 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 (−𝑥 + 1)
Y demostrar que f(1) = residuo
3) Determine el residuo de
𝑓 𝑥 = −2𝑥4 + 4𝑥3 + 3𝑥2 + 4𝑥 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 (2 − 𝑥)
Y demostrar que f(2) = residuo
Ing. Caribay Godoy
TEOREMA DEL FACTOR
• El teorema del factor establece que un polinomio 𝑓(𝑥)tiene un factor
(𝑥 − 𝑘) si y solo si k es una raíz de 𝑓(𝑥), es decir 𝑓 𝑘 = 0
Ing. Caribay Godoy
TEOREMA DEL FACTOR
• Demuestre que el binomio es un factor del polinomio:
𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 5𝑥2 + 2𝑥 + 8 (𝑥 + 1)
Ing. Caribay Godoy
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