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IntroducciónEFIE

Aplicación del método en una antena lineal

Caracterización de antenas linealesusando el Método de los Momentos

Prof. A. Zozaya, Dr.1

1Laboratorio de Electromagnetismo Aplicado (LABEMA)Departamento de Electrónica y Comunicaciones

Universidad de Carabobo

Valencia, junio/2010

a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

IntroducciónEFIE

Aplicación del método en una antena lineal

Contenido

Introducción

Ecuación integral del campo eléctrico

Aplicación del método en una antena linealFunciones base y de pesoDistribución de corrienteDiagrama de radiación

a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

IntroducciónEFIE

Aplicación del método en una antena lineal

Introducción

2 En un problema de radiación de antenas lin-eales, se desea, conocidas las fuentes impresaso primarias, (e.g. el voltaje en los bornes de al-imentación) conocer:

2 por un lado: la distribución de corriente I (u) enlos alambres,2 por el otro: los campos de radiación E y H.2 pero: la distribución de corriente es una funciónde los campos y éstos de la corriente.

¿Cómo proceder?

a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

IntroducciónEFIE

Aplicación del método en una antena lineal

Introducción

2 En un problema de radiación de antenas lin-eales, se desea, conocidas las fuentes impresaso primarias, (e.g. el voltaje en los bornes de al-imentación) conocer:2 por un lado: la distribución de corriente I (u) enlos alambres,

2 por el otro: los campos de radiación E y H.2 pero: la distribución de corriente es una funciónde los campos y éstos de la corriente.

¿Cómo proceder?

a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

IntroducciónEFIE

Aplicación del método en una antena lineal

Introducción

2 En un problema de radiación de antenas lin-eales, se desea, conocidas las fuentes impresaso primarias, (e.g. el voltaje en los bornes de al-imentación) conocer:2 por un lado: la distribución de corriente I (u) enlos alambres,2 por el otro: los campos de radiación E y H.

2 pero: la distribución de corriente es una funciónde los campos y éstos de la corriente.

¿Cómo proceder?

a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

IntroducciónEFIE

Aplicación del método en una antena lineal

Introducción

2 En un problema de radiación de antenas lin-eales, se desea, conocidas las fuentes impresaso primarias, (e.g. el voltaje en los bornes de al-imentación) conocer:2 por un lado: la distribución de corriente I (u) enlos alambres,2 por el otro: los campos de radiación E y H.2 pero: la distribución de corriente es una funciónde los campos y éstos de la corriente.

¿Cómo proceder?

a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

IntroducciónEFIE

Aplicación del método en una antena lineal

Introducción

2 En un problema de radiación de antenas lin-eales, se desea, conocidas las fuentes impresaso primarias, (e.g. el voltaje en los bornes de al-imentación) conocer:2 por un lado: la distribución de corriente I (u) enlos alambres,2 por el otro: los campos de radiación E y H.2 pero: la distribución de corriente es una funciónde los campos y éstos de la corriente.

¿Cómo proceder?

a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

IntroducciónEFIE

Aplicación del método en una antena lineal

Ecuación integral del campo eléctrico –EFIE–

2 El campo radiado por una antena lineal se puede calcular, mediante elTeorema de Equivalencia, integrando las corrientes equivalentes (inducidas)en los alambres:

E = `|!„1 +

1»2rr´

«A

donde

A =—

4ı

ZS0Js (r 0)g(r ; r 0) ds 0

siendo g(r ; r 0) = e`j»jr`r0j

jr`r 0j

a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

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Aplicación del método en una antena lineal

Ecuación integral del campo eléctrico –EFIE–

2 El campo radiado por una antena lineal se puede calcular, mediante elTeorema de Equivalencia, integrando las corrientes equivalentes (inducidas)en los alambres:

E = `|!„1 +

1»2rr´

«A

donde

A =—

4ı

ZS0Js (r 0)g(r ; r 0) ds 0

siendo g(r ; r 0) = e`j»jr`r0j

jr`r 0j

a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

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Aplicación del método en una antena lineal

Ecuación integral del campo eléctrico –EFIE–

2 Sustituyendo A = —4ı

RS0 Js (r 0)g(r ; r 0) ds 0 en E = `|!

“1 + 1

»2rr´

”A,

se obtiene

E = ` |!—4ı

ZS0Js (r 0) ´

„I +

1»2rr

«g(r ; r 0) ds 0

donde I = axax + ayay + azaz es la diádica de Green.

2 Esta ecuación se conoce como Ecuación Integral del Campo Eléctri-co, EFIE (por sus siglas en inglés)2 En general, la corriente Js , cuyo valor viene dado por an ˆ H(SC ), sedesconoce: el campo H forma parte, en conjunto con E , de las incógnitasdel problema.

a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

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Aplicación del método en una antena lineal

Ecuación integral del campo eléctrico –EFIE–

2 Sustituyendo A = —4ı

RS0 Js (r 0)g(r ; r 0) ds 0 en E = `|!

“1 + 1

»2rr´

”A,

se obtiene

E = ` |!—4ı

ZS0Js (r 0) ´

„I +

1»2rr

«g(r ; r 0) ds 0

donde I = axax + ayay + azaz es la diádica de Green.2 Esta ecuación se conoce como Ecuación Integral del Campo Eléctri-co, EFIE (por sus siglas en inglés)

2 En general, la corriente Js , cuyo valor viene dado por an ˆ H(SC ), sedesconoce: el campo H forma parte, en conjunto con E , de las incógnitasdel problema.

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Aplicación del método en una antena lineal

Ecuación integral del campo eléctrico –EFIE–

2 Sustituyendo A = —4ı

RS0 Js (r 0)g(r ; r 0) ds 0 en E = `|!

“1 + 1

»2rr´

”A,

se obtiene

E = ` |!—4ı

ZS0Js (r 0) ´

„I +

1»2rr

«g(r ; r 0) ds 0

donde I = axax + ayay + azaz es la diádica de Green.2 Esta ecuación se conoce como Ecuación Integral del Campo Eléctri-co, EFIE (por sus siglas en inglés)2 En general, la corriente Js , cuyo valor viene dado por an ˆ H(SC ), sedesconoce: el campo H forma parte, en conjunto con E , de las incógnitasdel problema.

a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

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Aplicación del método en una antena lineal

Funciones base y de pesoDistribución de corrienteDiagrama de radiación

Aplicación del método en una antena lineal

2 En la figura se muestra la apariencia general deuna antena lineal alimentada en un punto central.

2 Para caracterizar esta antena (e.g. conocer suimpedancia de entrada y su diagrama de radiación),es necesario conocer la distribución de corriente.2 Como ejercicio de aplicación programaremos elmétodo de los momentos para estimar la distribu-ción de corriente de esta antena lineal.2 Premisas que aplicarán en nuestro análisis:

2 El radio a del alambre es muy pequeño comparado con su longitud L:afi L.2 El radio a del alambre es muy pequeño comparado con la longitud deonda –: afi –.2 El conductor se asume perfecto (ff ! 1), por esta razón la corrientese distribuye superficialmente: ff " ) J ! JS .2 La alimentación de la antena se efectúa a través de un «gap» ∆“ muypequeño comparado con –: ∆“ fi –

a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

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Aplicación del método en una antena lineal

Funciones base y de pesoDistribución de corrienteDiagrama de radiación

Aplicación del método en una antena lineal

2 En la figura se muestra la apariencia general deuna antena lineal alimentada en un punto central.2 Para caracterizar esta antena (e.g. conocer suimpedancia de entrada y su diagrama de radiación),es necesario conocer la distribución de corriente.

2 Como ejercicio de aplicación programaremos elmétodo de los momentos para estimar la distribu-ción de corriente de esta antena lineal.2 Premisas que aplicarán en nuestro análisis:

2 El radio a del alambre es muy pequeño comparado con su longitud L:afi L.2 El radio a del alambre es muy pequeño comparado con la longitud deonda –: afi –.2 El conductor se asume perfecto (ff ! 1), por esta razón la corrientese distribuye superficialmente: ff " ) J ! JS .2 La alimentación de la antena se efectúa a través de un «gap» ∆“ muypequeño comparado con –: ∆“ fi –

a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

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Aplicación del método en una antena lineal

Funciones base y de pesoDistribución de corrienteDiagrama de radiación

Aplicación del método en una antena lineal

2 En la figura se muestra la apariencia general deuna antena lineal alimentada en un punto central.2 Para caracterizar esta antena (e.g. conocer suimpedancia de entrada y su diagrama de radiación),es necesario conocer la distribución de corriente.2 Como ejercicio de aplicación programaremos elmétodo de los momentos para estimar la distribu-ción de corriente de esta antena lineal.

2 Premisas que aplicarán en nuestro análisis:

2 El radio a del alambre es muy pequeño comparado con su longitud L:afi L.2 El radio a del alambre es muy pequeño comparado con la longitud deonda –: afi –.2 El conductor se asume perfecto (ff ! 1), por esta razón la corrientese distribuye superficialmente: ff " ) J ! JS .2 La alimentación de la antena se efectúa a través de un «gap» ∆“ muypequeño comparado con –: ∆“ fi –

a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

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Aplicación del método en una antena lineal

Funciones base y de pesoDistribución de corrienteDiagrama de radiación

Aplicación del método en una antena lineal

2 En la figura se muestra la apariencia general deuna antena lineal alimentada en un punto central.2 Para caracterizar esta antena (e.g. conocer suimpedancia de entrada y su diagrama de radiación),es necesario conocer la distribución de corriente.2 Como ejercicio de aplicación programaremos elmétodo de los momentos para estimar la distribu-ción de corriente de esta antena lineal.2 Premisas que aplicarán en nuestro análisis:

2 El radio a del alambre es muy pequeño comparado con su longitud L:afi L.2 El radio a del alambre es muy pequeño comparado con la longitud deonda –: afi –.2 El conductor se asume perfecto (ff ! 1), por esta razón la corrientese distribuye superficialmente: ff " ) J ! JS .2 La alimentación de la antena se efectúa a través de un «gap» ∆“ muypequeño comparado con –: ∆“ fi –

a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

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Aplicación del método en una antena lineal

Funciones base y de pesoDistribución de corrienteDiagrama de radiación

Aplicación del método en una antena lineal

2 En la figura se muestra la apariencia general deuna antena lineal alimentada en un punto central.2 Para caracterizar esta antena (e.g. conocer suimpedancia de entrada y su diagrama de radiación),es necesario conocer la distribución de corriente.2 Como ejercicio de aplicación programaremos elmétodo de los momentos para estimar la distribu-ción de corriente de esta antena lineal.2 Premisas que aplicarán en nuestro análisis:

2 El radio a del alambre es muy pequeño comparado con su longitud L:afi L.

2 El radio a del alambre es muy pequeño comparado con la longitud deonda –: afi –.2 El conductor se asume perfecto (ff ! 1), por esta razón la corrientese distribuye superficialmente: ff " ) J ! JS .2 La alimentación de la antena se efectúa a través de un «gap» ∆“ muypequeño comparado con –: ∆“ fi –

a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

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Aplicación del método en una antena lineal

Funciones base y de pesoDistribución de corrienteDiagrama de radiación

Aplicación del método en una antena lineal

2 En la figura se muestra la apariencia general deuna antena lineal alimentada en un punto central.2 Para caracterizar esta antena (e.g. conocer suimpedancia de entrada y su diagrama de radiación),es necesario conocer la distribución de corriente.2 Como ejercicio de aplicación programaremos elmétodo de los momentos para estimar la distribu-ción de corriente de esta antena lineal.2 Premisas que aplicarán en nuestro análisis:

2 El radio a del alambre es muy pequeño comparado con su longitud L:afi L.2 El radio a del alambre es muy pequeño comparado con la longitud deonda –: afi –.

2 El conductor se asume perfecto (ff ! 1), por esta razón la corrientese distribuye superficialmente: ff " ) J ! JS .2 La alimentación de la antena se efectúa a través de un «gap» ∆“ muypequeño comparado con –: ∆“ fi –

a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

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Aplicación del método en una antena lineal

Funciones base y de pesoDistribución de corrienteDiagrama de radiación

Aplicación del método en una antena lineal

2 En la figura se muestra la apariencia general deuna antena lineal alimentada en un punto central.2 Para caracterizar esta antena (e.g. conocer suimpedancia de entrada y su diagrama de radiación),es necesario conocer la distribución de corriente.2 Como ejercicio de aplicación programaremos elmétodo de los momentos para estimar la distribu-ción de corriente de esta antena lineal.2 Premisas que aplicarán en nuestro análisis:

2 El radio a del alambre es muy pequeño comparado con su longitud L:afi L.2 El radio a del alambre es muy pequeño comparado con la longitud deonda –: afi –.2 El conductor se asume perfecto (ff ! 1), por esta razón la corrientese distribuye superficialmente: ff " ) J ! JS .

2 La alimentación de la antena se efectúa a través de un «gap» ∆“ muypequeño comparado con –: ∆“ fi –

a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

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Aplicación del método en una antena lineal

Funciones base y de pesoDistribución de corrienteDiagrama de radiación

Aplicación del método en una antena lineal

2 En la figura se muestra la apariencia general deuna antena lineal alimentada en un punto central.2 Para caracterizar esta antena (e.g. conocer suimpedancia de entrada y su diagrama de radiación),es necesario conocer la distribución de corriente.2 Como ejercicio de aplicación programaremos elmétodo de los momentos para estimar la distribu-ción de corriente de esta antena lineal.2 Premisas que aplicarán en nuestro análisis:

2 El radio a del alambre es muy pequeño comparado con su longitud L:afi L.2 El radio a del alambre es muy pequeño comparado con la longitud deonda –: afi –.2 El conductor se asume perfecto (ff ! 1), por esta razón la corrientese distribuye superficialmente: ff " ) J ! JS .2 La alimentación de la antena se efectúa a través de un «gap» ∆“ muypequeño comparado con –: ∆“ fi –

a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

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Aplicación del método en una antena lineal

Funciones base y de pesoDistribución de corrienteDiagrama de radiación

Aplicación del método en una antena linealCampo impreso

2 Admitimos que en nuestro problema el campoeléctrico consiste de dos partes:

E = Es + E i

2 E i es el campo impreso, debido a la excitación, que es distinto de cerosolo en el gap de alimentación:

E i =∆V∆“az ; 8z < j∆“=2j

a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

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Aplicación del método en una antena lineal

Funciones base y de pesoDistribución de corrienteDiagrama de radiación

Aplicación del método en una antena linealCampo impreso

2 Admitimos que en nuestro problema el campoeléctrico consiste de dos partes:

E = Es + E i

2 E i es el campo impreso, debido a la excitación, que es distinto de cerosolo en el gap de alimentación:

E i =∆V∆“az ; 8z < j∆“=2j

a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

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Aplicación del método en una antena lineal

Funciones base y de pesoDistribución de corrienteDiagrama de radiación

Aplicación del método en una antena linealCampo disperso

2 Es es el campo disperso, debido a la corrienteinducida en la superficie de la antena.

2 El campo Es se relaciona con la corriente segúnla ecuación

Es = ` |!—4ı

RS0 Js (r 0) ´

“I + 1

»2rr

”g(r ; r 0) ds 0

2 Como Js ! I (z 0)az , con Iaz = Js2ıa,2 Entonces

RS0 !

RL0 , ds

0 ! dz 0.2 Así las cosas, az ´ I = az , y az ´ r = @

@z ,

2 y como g(r ; r 0) ” e`j»p

(z`z 0)2+2p

(z`z 0)2+2, resulta:

Es = ` |!—4ı

Z L2

` L2

I (z 0)„az +

1»2

@

@zr«e`j»p

(z`z 0)2+2p(z ` z 0)2 + 2

dz 0

donde – a.

a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

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Aplicación del método en una antena lineal

Funciones base y de pesoDistribución de corrienteDiagrama de radiación

Aplicación del método en una antena linealCampo disperso

2 Es es el campo disperso, debido a la corrienteinducida en la superficie de la antena.2 El campo Es se relaciona con la corriente segúnla ecuación

Es = ` |!—4ı

RS0 Js (r 0) ´

“I + 1

»2rr

”g(r ; r 0) ds 0

2 Como Js ! I (z 0)az , con Iaz = Js2ıa,2 Entonces

RS0 !

RL0 , ds

0 ! dz 0.2 Así las cosas, az ´ I = az , y az ´ r = @

@z ,

2 y como g(r ; r 0) ” e`j»p

(z`z 0)2+2p

(z`z 0)2+2, resulta:

Es = ` |!—4ı

Z L2

` L2

I (z 0)„az +

1»2

@

@zr«e`j»p

(z`z 0)2+2p(z ` z 0)2 + 2

dz 0

donde – a.

a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

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Aplicación del método en una antena lineal

Funciones base y de pesoDistribución de corrienteDiagrama de radiación

Aplicación del método en una antena linealCampo disperso

2 Es es el campo disperso, debido a la corrienteinducida en la superficie de la antena.2 El campo Es se relaciona con la corriente segúnla ecuación

Es = ` |!—4ı

RS0 Js (r 0) ´

“I + 1

»2rr

”g(r ; r 0) ds 0

2 Como Js ! I (z 0)az , con Iaz = Js2ıa,

2 EntoncesRS0 !

RL0 , ds

0 ! dz 0.2 Así las cosas, az ´ I = az , y az ´ r = @

@z ,

2 y como g(r ; r 0) ” e`j»p

(z`z 0)2+2p

(z`z 0)2+2, resulta:

Es = ` |!—4ı

Z L2

` L2

I (z 0)„az +

1»2

@

@zr«e`j»p

(z`z 0)2+2p(z ` z 0)2 + 2

dz 0

donde – a.

a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

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Aplicación del método en una antena lineal

Funciones base y de pesoDistribución de corrienteDiagrama de radiación

Aplicación del método en una antena linealCampo disperso

2 Es es el campo disperso, debido a la corrienteinducida en la superficie de la antena.2 El campo Es se relaciona con la corriente segúnla ecuación

Es = ` |!—4ı

RS0 Js (r 0) ´

“I + 1

»2rr

”g(r ; r 0) ds 0

2 Como Js ! I (z 0)az , con Iaz = Js2ıa,2 Entonces

RS0 !

RL0 , ds

0 ! dz 0.

2 Así las cosas, az ´ I = az , y az ´ r = @@z ,

2 y como g(r ; r 0) ” e`j»p

(z`z 0)2+2p

(z`z 0)2+2, resulta:

Es = ` |!—4ı

Z L2

` L2

I (z 0)„az +

1»2

@

@zr«e`j»p

(z`z 0)2+2p(z ` z 0)2 + 2

dz 0

donde – a.

a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

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Aplicación del método en una antena lineal

Funciones base y de pesoDistribución de corrienteDiagrama de radiación

Aplicación del método en una antena linealCampo disperso

2 Es es el campo disperso, debido a la corrienteinducida en la superficie de la antena.2 El campo Es se relaciona con la corriente segúnla ecuación

Es = ` |!—4ı

RS0 Js (r 0) ´

“I + 1

»2rr

”g(r ; r 0) ds 0

2 Como Js ! I (z 0)az , con Iaz = Js2ıa,2 Entonces

RS0 !

RL0 , ds

0 ! dz 0.2 Así las cosas, az ´ I = az , y az ´ r = @

@z ,

2 y como g(r ; r 0) ” e`j»p

(z`z 0)2+2p

(z`z 0)2+2, resulta:

Es = ` |!—4ı

Z L2

` L2

I (z 0)„az +

1»2

@

@zr«e`j»p

(z`z 0)2+2p(z ` z 0)2 + 2

dz 0

donde – a.

a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

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Aplicación del método en una antena lineal

Funciones base y de pesoDistribución de corrienteDiagrama de radiación

Aplicación del método en una antena linealCampo disperso

2 Es es el campo disperso, debido a la corrienteinducida en la superficie de la antena.2 El campo Es se relaciona con la corriente segúnla ecuación

Es = ` |!—4ı

RS0 Js (r 0) ´

“I + 1

»2rr

”g(r ; r 0) ds 0

2 Como Js ! I (z 0)az , con Iaz = Js2ıa,2 Entonces

RS0 !

RL0 , ds

0 ! dz 0.2 Así las cosas, az ´ I = az , y az ´ r = @

@z ,

2 y como g(r ; r 0) ” e`j»p

(z`z 0)2+2p

(z`z 0)2+2, resulta:

Es = ` |!—4ı

Z L2

` L2

I (z 0)„az +

1»2

@

@zr«e`j»p

(z`z 0)2+2p(z ` z 0)2 + 2

dz 0

donde – a.

a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

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Aplicación del método en una antena lineal

Funciones base y de pesoDistribución de corrienteDiagrama de radiación

Aplicación del método en una antena lineal2 Nos consta que Et ı 0 en = a:

(E i + Es ) ´ az j=a = 0

por tanto:

[ ∆V∆“

‹(z)az ` |!—4ı

RL0 I (z

0)„az + 1

»2@@z r

«g(r ; r 0) dz 0 ] ´ az = 0

y

RL0 I (z

0)“»2 + @2

@z2

”g(r ; r 0) dz 0 = ` |4ı»

”∆V∆“ ‹(z)

resultando:

Z L2

` L2

I (z 0)„»2 +

@2

@z2

«e`j»p

(z`z 0)2+a2p(z ` z 0)2 + a2

dz 0 = ` |4ı»”

∆V∆“

‹(z)

a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

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Aplicación del método en una antena lineal

Funciones base y de pesoDistribución de corrienteDiagrama de radiación

Aplicación del método en una antena lineal2 Nos consta que Et ı 0 en = a:

(E i + Es ) ´ az j=a = 0

por tanto:

[ ∆V∆“

‹(z)az ` |!—4ı

RL0 I (z

0)„az + 1

»2@@z r

«g(r ; r 0) dz 0 ] ´ az = 0

y

RL0 I (z

0)“»2 + @2

@z2

”g(r ; r 0) dz 0 = ` |4ı»

”∆V∆“ ‹(z)

resultando:

Z L2

` L2

I (z 0)„»2 +

@2

@z2

«e`j»p

(z`z 0)2+a2p(z ` z 0)2 + a2

dz 0 = ` |4ı»”

∆V∆“

‹(z)

a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

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Aplicación del método en una antena lineal

Funciones base y de pesoDistribución de corrienteDiagrama de radiación

Aplicación del método en una antena lineal2 Nos consta que Et ı 0 en = a:

(E i + Es ) ´ az j=a = 0

por tanto:

[ ∆V∆“

‹(z)az ` |!—4ı

RL0 I (z

0)„az + 1

»2@@z r

«g(r ; r 0) dz 0 ] ´ az = 0

y

RL0 I (z

0)“»2 + @2

@z2

”g(r ; r 0) dz 0 = ` |4ı»

”∆V∆“ ‹(z)

resultando:

Z L2

` L2

I (z 0)„»2 +

@2

@z2

«e`j»p

(z`z 0)2+a2p(z ` z 0)2 + a2

dz 0 = ` |4ı»”

∆V∆“

‹(z)

a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

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Aplicación del método en una antena lineal

Funciones base y de pesoDistribución de corrienteDiagrama de radiación

Aplicación del método en una antena lineal2 Nos consta que Et ı 0 en = a:

(E i + Es ) ´ az j=a = 0

por tanto:

[ ∆V∆“

‹(z)az ` |!—4ı

RL0 I (z

0)„az + 1

»2@@z r

«g(r ; r 0) dz 0 ] ´ az = 0

y

RL0 I (z

0)“»2 + @2

@z2

”g(r ; r 0) dz 0 = ` |4ı»

”∆V∆“ ‹(z)

resultando:

Z L2

` L2

I (z 0)„»2 +

@2

@z2

«e`j»p

(z`z 0)2+a2p(z ` z 0)2 + a2

dz 0 = ` |4ı»”

∆V∆“

‹(z)

a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

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Aplicación del método en una antena lineal

Funciones base y de pesoDistribución de corrienteDiagrama de radiación

Aplicación del método en una antena lineal2 En la ecuación:

RL0 I (z

0)“»2 + @2

@z2

”g(r ; r 0) dz 0 = ` |4ı»

”∆V∆“ ‹(z)

I (z 0) se desconoce.

2 I (z 0) se puede estimar usando el MoM.2 Para ello será necesario una expansión del tipo:I (z 0) ı

Pn Infn(z 0).

2 Establecer un procedimiento de pruebahwm;Lfni.2 Un dominio fuente.2 Un dominio de observación.

Discretización de los dominios de interés:2 Discretizamos ahora el dominio físico de las fuentes en un número N(par) de tramos, y seleccionamos N + 1 puntos fz 0ng con una separaciónconstante h = L=N: z 0n = nh, con n = 0;˚1;˚2; : : :˚ N

2 .2 Hacemos lo propio con el dominio físico de observación el cualse localiza en la superficie de la antena: fzmg: zm = mh con m =0;˚1;˚2; : : :˚ N

2 .

a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

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Aplicación del método en una antena lineal

Funciones base y de pesoDistribución de corrienteDiagrama de radiación

Aplicación del método en una antena lineal2 En la ecuación:

RL0 I (z

0)“»2 + @2

@z2

”g(r ; r 0) dz 0 = ` |4ı»

”∆V∆“ ‹(z)

I (z 0) se desconoce.2 I (z 0) se puede estimar usando el MoM.

2 Para ello será necesario una expansión del tipo:I (z 0) ı

Pn Infn(z 0).

2 Establecer un procedimiento de pruebahwm;Lfni.2 Un dominio fuente.2 Un dominio de observación.

Discretización de los dominios de interés:2 Discretizamos ahora el dominio físico de las fuentes en un número N(par) de tramos, y seleccionamos N + 1 puntos fz 0ng con una separaciónconstante h = L=N: z 0n = nh, con n = 0;˚1;˚2; : : :˚ N

2 .2 Hacemos lo propio con el dominio físico de observación el cualse localiza en la superficie de la antena: fzmg: zm = mh con m =0;˚1;˚2; : : :˚ N

2 .

a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

IntroducciónEFIE

Aplicación del método en una antena lineal

Funciones base y de pesoDistribución de corrienteDiagrama de radiación

Aplicación del método en una antena lineal2 En la ecuación:

RL0 I (z

0)“»2 + @2

@z2

”g(r ; r 0) dz 0 = ` |4ı»

”∆V∆“ ‹(z)

I (z 0) se desconoce.2 I (z 0) se puede estimar usando el MoM.2 Para ello será necesario una expansión del tipo:I (z 0) ı

Pn Infn(z 0).

2 Establecer un procedimiento de pruebahwm;Lfni.2 Un dominio fuente.2 Un dominio de observación.

Discretización de los dominios de interés:2 Discretizamos ahora el dominio físico de las fuentes en un número N(par) de tramos, y seleccionamos N + 1 puntos fz 0ng con una separaciónconstante h = L=N: z 0n = nh, con n = 0;˚1;˚2; : : :˚ N

2 .2 Hacemos lo propio con el dominio físico de observación el cualse localiza en la superficie de la antena: fzmg: zm = mh con m =0;˚1;˚2; : : :˚ N

2 .

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Aplicación del método en una antena lineal

Funciones base y de pesoDistribución de corrienteDiagrama de radiación

Aplicación del método en una antena lineal2 En la ecuación:

RL0 I (z

0)“»2 + @2

@z2

”g(r ; r 0) dz 0 = ` |4ı»

”∆V∆“ ‹(z)

I (z 0) se desconoce.2 I (z 0) se puede estimar usando el MoM.2 Para ello será necesario una expansión del tipo:I (z 0) ı

Pn Infn(z 0).

2 Establecer un procedimiento de pruebahwm;Lfni.

2 Un dominio fuente.2 Un dominio de observación.

Discretización de los dominios de interés:2 Discretizamos ahora el dominio físico de las fuentes en un número N(par) de tramos, y seleccionamos N + 1 puntos fz 0ng con una separaciónconstante h = L=N: z 0n = nh, con n = 0;˚1;˚2; : : :˚ N

2 .2 Hacemos lo propio con el dominio físico de observación el cualse localiza en la superficie de la antena: fzmg: zm = mh con m =0;˚1;˚2; : : :˚ N

2 .

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Aplicación del método en una antena lineal

Funciones base y de pesoDistribución de corrienteDiagrama de radiación

Aplicación del método en una antena lineal2 En la ecuación:

RL0 I (z

0)“»2 + @2

@z2

”g(r ; r 0) dz 0 = ` |4ı»

”∆V∆“ ‹(z)

I (z 0) se desconoce.2 I (z 0) se puede estimar usando el MoM.2 Para ello será necesario una expansión del tipo:I (z 0) ı

Pn Infn(z 0).

2 Establecer un procedimiento de pruebahwm;Lfni.2 Un dominio fuente.

2 Un dominio de observación.

Discretización de los dominios de interés:2 Discretizamos ahora el dominio físico de las fuentes en un número N(par) de tramos, y seleccionamos N + 1 puntos fz 0ng con una separaciónconstante h = L=N: z 0n = nh, con n = 0;˚1;˚2; : : :˚ N

2 .2 Hacemos lo propio con el dominio físico de observación el cualse localiza en la superficie de la antena: fzmg: zm = mh con m =0;˚1;˚2; : : :˚ N

2 .

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Aplicación del método en una antena lineal

Funciones base y de pesoDistribución de corrienteDiagrama de radiación

Aplicación del método en una antena lineal2 En la ecuación:

RL0 I (z

0)“»2 + @2

@z2

”g(r ; r 0) dz 0 = ` |4ı»

”∆V∆“ ‹(z)

I (z 0) se desconoce.2 I (z 0) se puede estimar usando el MoM.2 Para ello será necesario una expansión del tipo:I (z 0) ı

Pn Infn(z 0).

2 Establecer un procedimiento de pruebahwm;Lfni.2 Un dominio fuente.2 Un dominio de observación.

Discretización de los dominios de interés:2 Discretizamos ahora el dominio físico de las fuentes en un número N(par) de tramos, y seleccionamos N + 1 puntos fz 0ng con una separaciónconstante h = L=N: z 0n = nh, con n = 0;˚1;˚2; : : :˚ N

2 .2 Hacemos lo propio con el dominio físico de observación el cualse localiza en la superficie de la antena: fzmg: zm = mh con m =0;˚1;˚2; : : :˚ N

2 .

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Funciones base y de pesoDistribución de corrienteDiagrama de radiación

Aplicación del método en una antena lineal2 En la ecuación:

RL0 I (z

0)“»2 + @2

@z2

”g(r ; r 0) dz 0 = ` |4ı»

”∆V∆“ ‹(z)

I (z 0) se desconoce.2 I (z 0) se puede estimar usando el MoM.2 Para ello será necesario una expansión del tipo:I (z 0) ı

Pn Infn(z 0).

2 Establecer un procedimiento de pruebahwm;Lfni.2 Un dominio fuente.2 Un dominio de observación.

Discretización de los dominios de interés:

2 Discretizamos ahora el dominio físico de las fuentes en un número N(par) de tramos, y seleccionamos N + 1 puntos fz 0ng con una separaciónconstante h = L=N: z 0n = nh, con n = 0;˚1;˚2; : : :˚ N

2 .2 Hacemos lo propio con el dominio físico de observación el cualse localiza en la superficie de la antena: fzmg: zm = mh con m =0;˚1;˚2; : : :˚ N

2 .

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Funciones base y de pesoDistribución de corrienteDiagrama de radiación

Aplicación del método en una antena lineal2 En la ecuación:

RL0 I (z

0)“»2 + @2

@z2

”g(r ; r 0) dz 0 = ` |4ı»

”∆V∆“ ‹(z)

I (z 0) se desconoce.2 I (z 0) se puede estimar usando el MoM.2 Para ello será necesario una expansión del tipo:I (z 0) ı

Pn Infn(z 0).

2 Establecer un procedimiento de pruebahwm;Lfni.2 Un dominio fuente.2 Un dominio de observación.

Discretización de los dominios de interés:2 Discretizamos ahora el dominio físico de las fuentes en un número N(par) de tramos, y seleccionamos N + 1 puntos fz 0ng con una separaciónconstante h = L=N: z 0n = nh, con n = 0;˚1;˚2; : : :˚ N

2 .

2 Hacemos lo propio con el dominio físico de observación el cualse localiza en la superficie de la antena: fzmg: zm = mh con m =0;˚1;˚2; : : :˚ N

2 .

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Aplicación del método en una antena lineal

Funciones base y de pesoDistribución de corrienteDiagrama de radiación

Aplicación del método en una antena lineal2 En la ecuación:

RL0 I (z

0)“»2 + @2

@z2

”g(r ; r 0) dz 0 = ` |4ı»

”∆V∆“ ‹(z)

I (z 0) se desconoce.2 I (z 0) se puede estimar usando el MoM.2 Para ello será necesario una expansión del tipo:I (z 0) ı

Pn Infn(z 0).

2 Establecer un procedimiento de pruebahwm;Lfni.2 Un dominio fuente.2 Un dominio de observación.

Discretización de los dominios de interés:2 Discretizamos ahora el dominio físico de las fuentes en un número N(par) de tramos, y seleccionamos N + 1 puntos fz 0ng con una separaciónconstante h = L=N: z 0n = nh, con n = 0;˚1;˚2; : : :˚ N

2 .2 Hacemos lo propio con el dominio físico de observación el cualse localiza en la superficie de la antena: fzmg: zm = mh con m =0;˚1;˚2; : : :˚ N

2 .

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Aplicación del método en una antena lineal

Funciones base y de pesoDistribución de corrienteDiagrama de radiación

Aplicación del método en una antena lineal

2 Selección de las funciones bases y de peso.

2Seleccionamos la siguiente familia de funcionesbases:

fn(z 0) =

8><>:sin»[z 0`h(n`1)]

sin»h ; hn > z 0 > (h ` 1)n;sin»[h(n+1)`z 0]

sin»h ; h(n + 1) > z 0 > hn;0; para el resto.

con n = 0;˚1;˚2; : : : ;˚N2

2 Seleccionamos la siguiente familia de funciones de peso:

w = ‹(z `mh)

con m = 0;˚1;˚2; : : : ;˚N2

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Funciones base y de pesoDistribución de corrienteDiagrama de radiación

Aplicación del método en una antena lineal

2 Selección de las funciones bases y de peso.2Seleccionamos la siguiente familia de funcionesbases:

fn(z 0) =

8><>:sin»[z 0`h(n`1)]

sin»h ; hn > z 0 > (h ` 1)n;sin»[h(n+1)`z 0]

sin»h ; h(n + 1) > z 0 > hn;0; para el resto.

con n = 0;˚1;˚2; : : : ;˚N2

2 Seleccionamos la siguiente familia de funciones de peso:

w = ‹(z `mh)

con m = 0;˚1;˚2; : : : ;˚N2

a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

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Aplicación del método en una antena lineal

Funciones base y de pesoDistribución de corrienteDiagrama de radiación

Aplicación del método en una antena lineal

2 Selección de las funciones bases y de peso.2Seleccionamos la siguiente familia de funcionesbases:

fn(z 0) =

8><>:sin»[z 0`h(n`1)]

sin»h ; hn > z 0 > (h ` 1)n;sin»[h(n+1)`z 0]

sin»h ; h(n + 1) > z 0 > hn;0; para el resto.

con n = 0;˚1;˚2; : : : ;˚N2

2 Seleccionamos la siguiente familia de funciones de peso:

w = ‹(z `mh)

con m = 0;˚1;˚2; : : : ;˚N2

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Aplicación del método en una antena lineal

Funciones base y de pesoDistribución de corrienteDiagrama de radiación

Aplicación del método en una antena lineal

2 Llenado de la matriz del sistema o matriz deimpedancias y del vector de valores conocidos:

2 Dado que Zm;n = hw;Lfni, tenemos:2 Zm;n =

RL ‹(z `mh)Lfn dz , así:

2 Zm;n = Lfnjmh, esto es:

Zm;n =RL0 fn(z 0)

“»2 + @2

@z2

”g(r ; r 0)jmh dz 0

Así se tiene:

Zm;n =

Z L2

` L2

fn(z 0)„»2 +

@2

@z2

«e`j»p

(z`z 0)2+a2p(z ` z 0)2 + a2

˛̨̨̨˛z=mh

dz 0

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Aplicación del método en una antena lineal

Funciones base y de pesoDistribución de corrienteDiagrama de radiación

Aplicación del método en una antena lineal

2 Llenado de la matriz del sistema o matriz deimpedancias y del vector de valores conocidos:2 Dado que Zm;n = hw;Lfni, tenemos:

2 Zm;n =RL ‹(z `mh)Lfn dz , así:

2 Zm;n = Lfnjmh, esto es:

Zm;n =RL0 fn(z 0)

“»2 + @2

@z2

”g(r ; r 0)jmh dz 0

Así se tiene:

Zm;n =

Z L2

` L2

fn(z 0)„»2 +

@2

@z2

«e`j»p

(z`z 0)2+a2p(z ` z 0)2 + a2

˛̨̨̨˛z=mh

dz 0

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Aplicación del método en una antena lineal

Funciones base y de pesoDistribución de corrienteDiagrama de radiación

Aplicación del método en una antena lineal

2 Llenado de la matriz del sistema o matriz deimpedancias y del vector de valores conocidos:2 Dado que Zm;n = hw;Lfni, tenemos:2 Zm;n =

RL ‹(z `mh)Lfn dz , así:

2 Zm;n = Lfnjmh, esto es:

Zm;n =RL0 fn(z 0)

“»2 + @2

@z2

”g(r ; r 0)jmh dz 0

Así se tiene:

Zm;n =

Z L2

` L2

fn(z 0)„»2 +

@2

@z2

«e`j»p

(z`z 0)2+a2p(z ` z 0)2 + a2

˛̨̨̨˛z=mh

dz 0

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Aplicación del método en una antena lineal

Funciones base y de pesoDistribución de corrienteDiagrama de radiación

Aplicación del método en una antena lineal

2 Llenado de la matriz del sistema o matriz deimpedancias y del vector de valores conocidos:2 Dado que Zm;n = hw;Lfni, tenemos:2 Zm;n =

RL ‹(z `mh)Lfn dz , así:

2 Zm;n = Lfnjmh, esto es:

Zm;n =RL0 fn(z 0)

“»2 + @2

@z2

”g(r ; r 0)jmh dz 0

Así se tiene:

Zm;n =

Z L2

` L2

fn(z 0)„»2 +

@2

@z2

«e`j»p

(z`z 0)2+a2p(z ` z 0)2 + a2

˛̨̨̨˛z=mh

dz 0

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Aplicación del método en una antena lineal

Funciones base y de pesoDistribución de corrienteDiagrama de radiación

Aplicación del método en una antena lineal

2 Llenado de la matriz del sistema o matriz deimpedancias y del vector de valores conocidos:2 Dado que Zm;n = hw;Lfni, tenemos:2 Zm;n =

RL ‹(z `mh)Lfn dz , así:

2 Zm;n = Lfnjmh, esto es:

Zm;n =RL0 fn(z 0)

“»2 + @2

@z2

”g(r ; r 0)jmh dz 0

Así se tiene:

Zm;n =

Z L2

` L2

fn(z 0)„»2 +

@2

@z2

«e`j»p

(z`z 0)2+a2p(z ` z 0)2 + a2

˛̨̨̨˛z=mh

dz 0

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Aplicación del método en una antena lineal

Funciones base y de pesoDistribución de corrienteDiagrama de radiación

Aplicación del método en una antena lineal

2 Llenado de la matriz del sistema o matriz deimpedancias y del vector de valores conocidos:2 Dado que Zm;n = hw;Lfni, tenemos:2 Zm;n =

RL ‹(z `mh)Lfn dz , así:

2 Zm;n = Lfnjmh, esto es:

Zm;n =RL0 fn(z 0)

“»2 + @2

@z2

”g(r ; r 0)jmh dz 0

Así se tiene:

Zm;n =

Z L2

` L2

fn(z 0)„»2 +

@2

@z2

«e`j»p

(z`z 0)2+a2p(z ` z 0)2 + a2

˛̨̨̨˛z=mh

dz 0

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Aplicación del método en una antena lineal

Funciones base y de pesoDistribución de corrienteDiagrama de radiación

Aplicación del método en una antena lineal

2 Aproximando @2f@2z mediante diferencias finitas:

@2f@2z ı

1h2 [f (z ` h)` 2f (z) + f (z + h)]

se obtiene

Zm;n =R L2` L2

fn(z 0) 1h2

"e`j»Rm`1Rm`1

+ (h2»2 ` 2) e`j»RmRm

+ e`j»Rm+1Rm+1

#dz 0

donde Rm =p

(mh ` z 0)2 + a2.

2 La integral en z 0 se puede resolver asumiendo que (»2 + @2

@z2 )g(r ; r 0) semantiene uniforme en el subdominio fuente. En efecto:

Zm;n = 1h2

he`j»Rm`1;nRm`1;n

+ (h2»2 ` 2) e`j»Rm;nRm;n

+ e`j»Rm+1;n

Rm+1;n

i R L2

` L2fn(z 0) dz 0

donde Rm;n =p

[(m ` n)h]2 + a2.

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Aplicación del método en una antena lineal

Funciones base y de pesoDistribución de corrienteDiagrama de radiación

Aplicación del método en una antena lineal

2 Aproximando @2f@2z mediante diferencias finitas:

@2f@2z ı

1h2 [f (z ` h)` 2f (z) + f (z + h)]

se obtiene

Zm;n =R L2` L2

fn(z 0) 1h2

"e`j»Rm`1Rm`1

+ (h2»2 ` 2) e`j»RmRm

+ e`j»Rm+1Rm+1

#dz 0

donde Rm =p

(mh ` z 0)2 + a2.

2 La integral en z 0 se puede resolver asumiendo que (»2 + @2

@z2 )g(r ; r 0) semantiene uniforme en el subdominio fuente. En efecto:

Zm;n = 1h2

he`j»Rm`1;nRm`1;n

+ (h2»2 ` 2) e`j»Rm;nRm;n

+ e`j»Rm+1;n

Rm+1;n

i R L2

` L2fn(z 0) dz 0

donde Rm;n =p

[(m ` n)h]2 + a2.

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Aplicación del método en una antena lineal

Funciones base y de pesoDistribución de corrienteDiagrama de radiación

Aplicación del método en una antena lineal

2 Aproximando @2f@2z mediante diferencias finitas:

@2f@2z ı

1h2 [f (z ` h)` 2f (z) + f (z + h)]

se obtiene

Zm;n =R L2` L2

fn(z 0) 1h2

"e`j»Rm`1Rm`1

+ (h2»2 ` 2) e`j»RmRm

+ e`j»Rm+1Rm+1

#dz 0

donde Rm =p

(mh ` z 0)2 + a2.

2 La integral en z 0 se puede resolver asumiendo que (»2 + @2

@z2 )g(r ; r 0) semantiene uniforme en el subdominio fuente.

En efecto:

Zm;n = 1h2

he`j»Rm`1;nRm`1;n

+ (h2»2 ` 2) e`j»Rm;nRm;n

+ e`j»Rm+1;n

Rm+1;n

i R L2

` L2fn(z 0) dz 0

donde Rm;n =p

[(m ` n)h]2 + a2.

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Aplicación del método en una antena lineal

Funciones base y de pesoDistribución de corrienteDiagrama de radiación

Aplicación del método en una antena lineal

2 Aproximando @2f@2z mediante diferencias finitas:

@2f@2z ı

1h2 [f (z ` h)` 2f (z) + f (z + h)]

se obtiene

Zm;n =R L2` L2

fn(z 0) 1h2

"e`j»Rm`1Rm`1

+ (h2»2 ` 2) e`j»RmRm

+ e`j»Rm+1Rm+1

#dz 0

donde Rm =p

(mh ` z 0)2 + a2.

2 La integral en z 0 se puede resolver asumiendo que (»2 + @2

@z2 )g(r ; r 0) semantiene uniforme en el subdominio fuente. En efecto:

Zm;n = 1h2

he`j»Rm`1;nRm`1;n

+ (h2»2 ` 2) e`j»Rm;nRm;n

+ e`j»Rm+1;n

Rm+1;n

i R L2

` L2fn(z 0) dz 0

donde Rm;n =p

[(m ` n)h]2 + a2.

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Aplicación del método en una antena lineal

Funciones base y de pesoDistribución de corrienteDiagrama de radiación

Aplicación del método en una antena lineal

2 Aproximando @2f@2z mediante diferencias finitas:

@2f@2z ı

1h2 [f (z ` h)` 2f (z) + f (z + h)]

se obtiene

Zm;n =R L2` L2

fn(z 0) 1h2

"e`j»Rm`1Rm`1

+ (h2»2 ` 2) e`j»RmRm

+ e`j»Rm+1Rm+1

#dz 0

donde Rm =p

(mh ` z 0)2 + a2.

2 La integral en z 0 se puede resolver asumiendo que (»2 + @2

@z2 )g(r ; r 0) semantiene uniforme en el subdominio fuente. En efecto:

Zm;n = 1h2

he`j»Rm`1;nRm`1;n

+ (h2»2 ` 2) e`j»Rm;nRm;n

+ e`j»Rm+1;n

Rm+1;n

i R L2

` L2fn(z 0) dz 0

donde Rm;n =p

[(m ` n)h]2 + a2.

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Aplicación del método en una antena lineal

Funciones base y de pesoDistribución de corrienteDiagrama de radiación

Aplicación del método en una antena lineal2 Como:

R L2

` L2fn(z 0) dz 0 =R nh

(n`1)hsin»[z 0`h(n`1)]

sin»h dz 0 +R (n+1)hnh

sin»[h(n+1)`z 0]sin»h dz 0

2 Al resolver las integrales, se obtiene:

Z L2

` L2

fn(z 0) dz 0 =4 sin2(»h2 )

» sin»h

2 Finalmente Zmn tiene la forma:

Zm;n =1h2

»e`j»Rm`1;n

Rm`1;n+ (h2»2 ` 2)

e`j»Rm;n

Rm;n+e`j»Rm+1;n

Rm+1;n

– 4 sin2(»h2 )

» sin»h

donde Rm;n =p

[(m ` n)h]2 + a2.

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Funciones base y de pesoDistribución de corrienteDiagrama de radiación

Aplicación del método en una antena lineal2 Como:

R L2

` L2fn(z 0) dz 0 =R nh

(n`1)hsin»[z 0`h(n`1)]

sin»h dz 0 +R (n+1)hnh

sin»[h(n+1)`z 0]sin»h dz 0

2 Al resolver las integrales, se obtiene:

Z L2

` L2

fn(z 0) dz 0 =4 sin2(»h2 )

» sin»h

2 Finalmente Zmn tiene la forma:

Zm;n =1h2

»e`j»Rm`1;n

Rm`1;n+ (h2»2 ` 2)

e`j»Rm;n

Rm;n+e`j»Rm+1;n

Rm+1;n

– 4 sin2(»h2 )

» sin»h

donde Rm;n =p

[(m ` n)h]2 + a2.

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Aplicación del método en una antena lineal

Funciones base y de pesoDistribución de corrienteDiagrama de radiación

Aplicación del método en una antena lineal2 Como:

R L2

` L2fn(z 0) dz 0 =R nh

(n`1)hsin»[z 0`h(n`1)]

sin»h dz 0 +R (n+1)hnh

sin»[h(n+1)`z 0]sin»h dz 0

2 Al resolver las integrales, se obtiene:

Z L2

` L2

fn(z 0) dz 0 =4 sin2(»h2 )

» sin»h

2 Finalmente Zmn tiene la forma:

Zm;n =1h2

»e`j»Rm`1;n

Rm`1;n+ (h2»2 ` 2)

e`j»Rm;n

Rm;n+e`j»Rm+1;n

Rm+1;n

– 4 sin2(»h2 )

» sin»h

donde Rm;n =p

[(m ` n)h]2 + a2.

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Aplicación del método en una antena lineal

Funciones base y de pesoDistribución de corrienteDiagrama de radiación

Aplicación del método en una antena lineal2 Como:

R L2

` L2fn(z 0) dz 0 =R nh

(n`1)hsin»[z 0`h(n`1)]

sin»h dz 0 +R (n+1)hnh

sin»[h(n+1)`z 0]sin»h dz 0

2 Al resolver las integrales, se obtiene:

Z L2

` L2

fn(z 0) dz 0 =4 sin2(»h2 )

» sin»h

2 Finalmente Zmn tiene la forma:

Zm;n =1h2

»e`j»Rm`1;n

Rm`1;n+ (h2»2 ` 2)

e`j»Rm;n

Rm;n+e`j»Rm+1;n

Rm+1;n

– 4 sin2(»h2 )

» sin»h

donde Rm;n =p

[(m ` n)h]2 + a2.

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Funciones base y de pesoDistribución de corrienteDiagrama de radiación

Aplicación del método en una antena lineal2 Como:

R L2

` L2fn(z 0) dz 0 =R nh

(n`1)hsin»[z 0`h(n`1)]

sin»h dz 0 +R (n+1)hnh

sin»[h(n+1)`z 0]sin»h dz 0

2 Al resolver las integrales, se obtiene:

Z L2

` L2

fn(z 0) dz 0 =4 sin2(»h2 )

» sin»h

2 Finalmente Zmn tiene la forma:

Zm;n =1h2

»e`j»Rm`1;n

Rm`1;n+ (h2»2 ` 2)

e`j»Rm;n

Rm;n+e`j»Rm+1;n

Rm+1;n

– 4 sin2(»h2 )

» sin»h

donde Rm;n =p

[(m ` n)h]2 + a2.

a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

IntroducciónEFIE

Aplicación del método en una antena lineal

Funciones base y de pesoDistribución de corrienteDiagrama de radiación

Aplicación del método en una antena lineal

2 Dado que Vm = hwm;` |4ı»”

∆V∆“ i, al poner:

2 ∆V = 1, y2 ∆“ = h, se obtiene:

Vm =

Z L2

` L2

‹(z `mh)

„` |4ı»

”

1h

«dz

2 Y:

Vm =

` |4ı»

”1h ; m = N+1

2 ;0; para el resto.

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Aplicación del método en una antena lineal

Funciones base y de pesoDistribución de corrienteDiagrama de radiación

Aplicación del método en una antena lineal

2 Dado que Vm = hwm;` |4ı»”

∆V∆“ i, al poner:

2 ∆V = 1, y

2 ∆“ = h, se obtiene:

Vm =

Z L2

` L2

‹(z `mh)

„` |4ı»

”

1h

«dz

2 Y:

Vm =

` |4ı»

”1h ; m = N+1

2 ;0; para el resto.

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Aplicación del método en una antena lineal

Funciones base y de pesoDistribución de corrienteDiagrama de radiación

Aplicación del método en una antena lineal

2 Dado que Vm = hwm;` |4ı»”

∆V∆“ i, al poner:

2 ∆V = 1, y2 ∆“ = h,

se obtiene:

Vm =

Z L2

` L2

‹(z `mh)

„` |4ı»

”

1h

«dz

2 Y:

Vm =

` |4ı»

”1h ; m = N+1

2 ;0; para el resto.

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Aplicación del método en una antena lineal

Funciones base y de pesoDistribución de corrienteDiagrama de radiación

Aplicación del método en una antena lineal

2 Dado que Vm = hwm;` |4ı»”

∆V∆“ i, al poner:

2 ∆V = 1, y2 ∆“ = h, se obtiene:

Vm =

Z L2

` L2

‹(z `mh)

„` |4ı»

”

1h

«dz

2 Y:

Vm =

` |4ı»

”1h ; m = N+1

2 ;0; para el resto.

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Aplicación del método en una antena lineal

Funciones base y de pesoDistribución de corrienteDiagrama de radiación

Aplicación del método en una antena lineal

2 Dado que Vm = hwm;` |4ı»”

∆V∆“ i, al poner:

2 ∆V = 1, y2 ∆“ = h, se obtiene:

Vm =

Z L2

` L2

‹(z `mh)

„` |4ı»

”

1h

«dz

2 Y:

Vm =

` |4ı»

”1h ; m = N+1

2 ;0; para el resto.

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Aplicación del método en una antena lineal

Funciones base y de pesoDistribución de corrienteDiagrama de radiación

Distribución de corrienteResultados

−0.25 −0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.250

1

2

3

4

5

6

7

8x 10

−3

z′/λ

Re{

i(z′)}

<fI (z 0)g vs. z0

–

−0.25 −0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25−6

−5

−4

−3

−2

−1

0x 10

−3

z′/λIm

{i(z′

)}

=fI (z 0)g vs. z0

–

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Aplicación del método en una antena lineal

Funciones base y de pesoDistribución de corrienteDiagrama de radiación

Diagrama de radiación

2 El patrón de radiación F („) viene dadopor:

F („) =jN„(„)jjN„(ı=2)j

donde

N„(„) = [RL0 I (z

0)az e|»z0 cos „ dz 0] ´ a„

2 F („) se puede estimar, numéricamente, para un conjunto de K valoresdel ángulo „: „ = f„0; „1; ´ ´ ´ ; „Kg.2 Para ello se reemplaza I (z 0) por su aproximación: I (z 0) ı

Pn Infn(z 0):

N„(„) = ` sin „RL0Pn Infn(z 0) e|»z

0 cos „ dz 0

con „ = f„0; „1; ´ ´ ´ ; „Kg.

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Aplicación del método en una antena lineal

Funciones base y de pesoDistribución de corrienteDiagrama de radiación

Diagrama de radiación

2 El patrón de radiación F („) viene dadopor:

F („) =jN„(„)jjN„(ı=2)j

donde

N„(„) = [RL0 I (z

0)az e|»z0 cos „ dz 0] ´ a„

2 F („) se puede estimar, numéricamente, para un conjunto de K valoresdel ángulo „: „ = f„0; „1; ´ ´ ´ ; „Kg.2 Para ello se reemplaza I (z 0) por su aproximación: I (z 0) ı

Pn Infn(z 0):

N„(„) = ` sin „RL0Pn Infn(z 0) e|»z

0 cos „ dz 0

con „ = f„0; „1; ´ ´ ´ ; „Kg.

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Aplicación del método en una antena lineal

Funciones base y de pesoDistribución de corrienteDiagrama de radiación

Diagrama de radiación

2 El patrón de radiación F („) viene dadopor:

F („) =jN„(„)jjN„(ı=2)j

donde

N„(„) = [RL0 I (z

0)az e|»z0 cos „ dz 0] ´ a„

2 F („) se puede estimar, numéricamente, para un conjunto de K valoresdel ángulo „: „ = f„0; „1; ´ ´ ´ ; „Kg.

2 Para ello se reemplaza I (z 0) por su aproximación: I (z 0) ıPn Infn(z 0):

N„(„) = ` sin „RL0Pn Infn(z 0) e|»z

0 cos „ dz 0

con „ = f„0; „1; ´ ´ ´ ; „Kg.

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Aplicación del método en una antena lineal

Funciones base y de pesoDistribución de corrienteDiagrama de radiación

Diagrama de radiación

2 El patrón de radiación F („) viene dadopor:

F („) =jN„(„)jjN„(ı=2)j

donde

N„(„) = [RL0 I (z

0)az e|»z0 cos „ dz 0] ´ a„

2 F („) se puede estimar, numéricamente, para un conjunto de K valoresdel ángulo „: „ = f„0; „1; ´ ´ ´ ; „Kg.2 Para ello se reemplaza I (z 0) por su aproximación: I (z 0) ı

Pn Infn(z 0):

N„(„) = ` sin „RL0Pn Infn(z 0) e|»z

0 cos „ dz 0

con „ = f„0; „1; ´ ´ ´ ; „Kg.

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Aplicación del método en una antena lineal

Funciones base y de pesoDistribución de corrienteDiagrama de radiación

Diagrama de radiación

2 La integral IN =RL0Pn Infn(z 0) e|»z

0 cos „ se puederesolver numéricamente.

2 Intercambiando los operadoresPn!

RL0 ,

2 Llamando ‘0n el sub-dominio de integración defn(z 0):

IN ıPn InR‘0nfn(z 0) e|»z

0 cos „ dz 0

con „ = f„0; „1; ´ ´ ´ ; „Kg.2 Sub-dividiendo ‘0n en M sub-tramos de longitud∆.

2 Aproximando IN :

IN ıPn InPMm fn(zc

0m ) e|»z

c0m cos „ ∆

donde zc0m es la coordenada z 0 del centro del tramo m-ésimo, y „ =

f„0; „1; ´ ´ ´ ; „Kg.

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Funciones base y de pesoDistribución de corrienteDiagrama de radiación

Diagrama de radiación

2 La integral IN =RL0Pn Infn(z 0) e|»z

0 cos „ se puederesolver numéricamente.2 Intercambiando los operadores

Pn!

RL0 ,

2 Llamando ‘0n el sub-dominio de integración defn(z 0):

IN ıPn InR‘0nfn(z 0) e|»z

0 cos „ dz 0

con „ = f„0; „1; ´ ´ ´ ; „Kg.2 Sub-dividiendo ‘0n en M sub-tramos de longitud∆.

2 Aproximando IN :

IN ıPn InPMm fn(zc

0m ) e|»z

c0m cos „ ∆

donde zc0m es la coordenada z 0 del centro del tramo m-ésimo, y „ =

f„0; „1; ´ ´ ´ ; „Kg.

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Funciones base y de pesoDistribución de corrienteDiagrama de radiación

Diagrama de radiación

2 La integral IN =RL0Pn Infn(z 0) e|»z

0 cos „ se puederesolver numéricamente.2 Intercambiando los operadores

Pn!

RL0 ,

2 Llamando ‘0n el sub-dominio de integración defn(z 0):

IN ıPn InR‘0nfn(z 0) e|»z

0 cos „ dz 0

con „ = f„0; „1; ´ ´ ´ ; „Kg.

2 Sub-dividiendo ‘0n en M sub-tramos de longitud∆.

2 Aproximando IN :

IN ıPn InPMm fn(zc

0m ) e|»z

c0m cos „ ∆

donde zc0m es la coordenada z 0 del centro del tramo m-ésimo, y „ =

f„0; „1; ´ ´ ´ ; „Kg.

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Aplicación del método en una antena lineal

Funciones base y de pesoDistribución de corrienteDiagrama de radiación

Diagrama de radiación

2 La integral IN =RL0Pn Infn(z 0) e|»z

0 cos „ se puederesolver numéricamente.2 Intercambiando los operadores

Pn!

RL0 ,

2 Llamando ‘0n el sub-dominio de integración defn(z 0):

IN ıPn InR‘0nfn(z 0) e|»z

0 cos „ dz 0

con „ = f„0; „1; ´ ´ ´ ; „Kg.2 Sub-dividiendo ‘0n en M sub-tramos de longitud∆.

2 Aproximando IN :

IN ıPn InPMm fn(zc

0m ) e|»z

c0m cos „ ∆

donde zc0m es la coordenada z 0 del centro del tramo m-ésimo, y „ =

f„0; „1; ´ ´ ´ ; „Kg.

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Funciones base y de pesoDistribución de corrienteDiagrama de radiación

Diagrama de radiación

2 La integral IN =RL0Pn Infn(z 0) e|»z

0 cos „ se puederesolver numéricamente.2 Intercambiando los operadores

Pn!

RL0 ,

2 Llamando ‘0n el sub-dominio de integración defn(z 0):

IN ıPn InR‘0nfn(z 0) e|»z

0 cos „ dz 0

con „ = f„0; „1; ´ ´ ´ ; „Kg.2 Sub-dividiendo ‘0n en M sub-tramos de longitud∆.

2 Aproximando IN :

IN ıPn InPMm fn(zc

0m ) e|»z

c0m cos „ ∆

donde zc0m es la coordenada z 0 del centro del tramo m-ésimo, y „ =

f„0; „1; ´ ´ ´ ; „Kg.

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Aplicación del método en una antena lineal

Funciones base y de pesoDistribución de corrienteDiagrama de radiación

Diagrama de radiaciónResultados

0.2 0.4 0.6 0.8 1

π/6

5π/6

π/3

2π/3

π/2 π/2

2π/3

π/3

5π/6

π/6

π

0

N=i2.*exp(1j*2*pi*Zpctheta);N=sum(N,2);Nz=N'.*-sin(theta).*Delta;

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