1

RDPR-1- 1

TEMA 1: DEFINICIÓN Y FUNDAMENTOS DE ANTENAS

1. Introducción y definición de antena.2. Tipos de antenas y bandas de frecuencia de radio.

3. Fundamentos de radiación y de propagación.4. Distribución de corriente y teorema de Poynting.

5. Potenciales retardados.6. Radiación de un elemento de corriente

7. Campos radiados por una antena: condición de campo lejano.

RDPR-1- 2

ReceptorTransmisor

Medio

Antena RxAntena Tx

Definición de Antena

• Una antena es un “dispositivo generalmente metálico capaz de radiar y recibir ondas de radio” que adapta la entrada/ salida del receptor/ transmisor al medio.

• Las propiedades de una buena antena son:– Buen Rendimiento– Buena direccionalidad u omnidireccionalidad (dependiendo de la aplicación)

2

RDPR-1- 3

Analog and Digital Mobile Services

DBS: Direct Broadcasting Services

Bandas de Frecuencia de Radio

RDPR-1- 4

Tipos de Antenas

• Según el “modo de radiación” se definen cuatro grupos de antenas:– elementos de corriente

(eléctrica o magnética),– antenas de onda progresiva,– arrays y – aperturas.

10K 100K 1M 10M 100M 1G 10G 100G

ElementosOnda Progresiva

ArraysAperturas

0.01 0.1 1 10 100 1000

ElementosOnda Progresiva

ArraysAperturas

Frecuencia (Hz)

Tamaño de antena en λλλλ

3

RDPR-1- 5

Antenas Lineales(Elementos de Corriente y Onda Progresiva)

RDPR-1- 6

Arrays

4

RDPR-1- 7

Aperturas (Bocinas)

RDPR-1- 8

Aperturas (Reflectores)

5

RDPR-1- 9

Aperturas (Lentes)

RDPR-1- 10

Ecuaciones de Maxwell

EJ

HB

ED

0jJ

0B

D

JDjH

BjE

c

!!

!!

!!

!

!

!

!!!

!!

σ=

µ=

ε=

=ωρ+⋅∇

=⋅∇

ρ=⋅∇

+ω=×∇

ω−=×∇ Ley de FaradayLey de Amper generalizadaLey de GaussContinuidad de Flujo Magnético

Ecuación de ContinuidadEcuacionesConstitutivasde la Materia

FUENTESρ: Densidad de carga eléctrica

J: Densidad de corrienteJc: D. de Corriente de Conducción

MEDIOε: Permitividad eléctrica

µ: Permeabilidad magnéticaσ: Conductividad

CAMPOSE: Intensidad de campo eléctrico

H: Intensidad de campo magnéticoD: Inducción de campo eléctrico

B: Inducción de campo magnético

ωεσ−ε=ε ′′−ε′=ε⇒

+

ωσ+εω=×∇

σ=j1j

JEj

jH

EJ

cext

c

!!!

!!

Permitividad Complejaen un medio con pérdidas

6

RDPR-1- 11

Condiciones de contorno deConductor Perfecto.

Condiciones de contorno deConductor Real

Condiciones de contorno

0H0Hn

0E0En

nor

tan

=⇒=⋅

=⇒=×!!

!

Dn

HnJ

s

s!

!!

⋅=ρ

×=

n

∞=σ

sJ

tanH0H

0E

=

=!

!

0H0Hn

HZEn

nor

tans

=⇒=⋅

−=×!!

!!n

∞≠σ

J

tanHδ

−∝

z

eJHE

!

!

!

σδ+=µσπ=δ j1Zf1 s

tanEz

profundidad de penetración

RDPR-1- 12

Distribución de Corriente

• Es la función que define la forma que toma la corriente sobre la antena

• Está fijada por las condiciones de contorno de las E. Maxwell.– En régimen permanente sinusoidal

basta con aplicar:Et (sobre conductores)=0

• El Método de los Momentos se aplica numéricamente sobre esta condición y permite obtener la distribución “exacta” de corriente.

• En algunos casos la distribución se modela utilizando razonamientos muy simples: p.e., la figura justifica la distribución aproximada en onda estacionaria típica de un dipolo.

( )I z I k L z= −

0 0 2

sen

( )I z I k L z= −

0 0 2

sen

7

RDPR-1- 13

Distribución de Corriente: Variación temporal

• Para un dipolo λ/2

( ) ( )zkcosIzI 00=Amplitud compleja:

( ) ( )[ ] ( ) ( )tcoszkcosIezIRet,zI 00tj ω== ω

Corriente instantánea:

RDPR-1- 14

Mecanismo de Radiación

• Generación de las líneas de campo para un dipolo

– (a) Durante el primer cuarto de periodo la corriente acumula carga positiva en el semibrazo superior y negativa en el inferior, cerrándose el circuito a través de las corrientes de desplazamiento que siguen las líneas de campo.

– (b) En el siguiente cuarto de periodo la corriente se invierte generando corrientes de desplazamiento (líneas de campo) de sentido contrario que empujan a las anteriores hacia fuera.

– (c) Finalizado el primer semiperiodo la carga es nula sobre todo el dipolo y las líneas de campo se cierran sobre si mismas.

• Evolución de la onda radiada en régimen permanente sinusoidal.

– Las ondas electromagnéticas radiadas se comportan de un modo parecido a las ondas de agua en un estanque.

( ) ( ) ( )tsenzIt,zI ω=

a) t=T/4 b) t=T/2 c) t>T/2

t=0 T/8

3T/8T/4

8

RDPR-1- 15

• Para una antena elijamos una superficie S que la rodee.• El campo total es:

– Campo impreso– Campo dispersado

• Balance de Energía mediante el Teorema de Poynting:

• El rendimiento de radiación vale:

• Para que el rendimiento sea próximo a la unidad una de las dimensiones de la antena debe ser, al menos, comparable a λ.

[ ] [ ]∫∫∫∫∫∫∫∫ ⋅+⋅σ=⋅−S

*

Antena s*sv i

*in Sd)HxE(Re

21dVEE

21dVEJRe

21 !!!!!!!

! ! !E E Ei s= +

P P PENTREGADA DISIPADA RADIADA= +

!Es

!Ei

1PP

ENTREGADA

RADIADAR ≤=ξ

Teorema de Poynting y Rendimiento de Radiación

[ ] [ ]∫∫∫∫∫ ⋅+⋅=S

*

V

* Sd)HxE(Re21dVEJRe

210

!!!!!Ei

J(r´)

(V)

S

ε0 µ0σ = 0

σc

inJ!

!Es

Ei

J(r´)

(V)

S

0σ = 0

σc

inJ!

!Es

RDPR-1- 16

• Densidades de Corriente: J = I/dS [A/m2], Js=I/dC [A/m]• Campos: E [V/m], H [A/m]• Densidad de Potencia transportada por la onda radiada=<S>

– [watios/m2]

– Amplitudes complejas de los campos en valores de pico.

• Permitividad del vacío: • Permeabilidad del vacío:• Conductividad:

• Velocidad de propagación:• Impedancia del vacío:

[ ]< >= ×S E H12

Re *! !

! !E y H

[ ]επ0

9136

10= − Faradios m/

[ ]µ π074 10= − Henrios m/

[ ]c m s= = ⋅1 3 100 08µ ε /

[ ]η µ ε π0 0 0 0 120 377= = = = =Z E H Ω

[ ]σ 1/ Ω⋅ =m Siemens

Vector de Poynting y Unidades

9

RDPR-1- 17

• Los problemas electromagnéticos de geometría abierta como los de antenas se resuelven más fácilmente si se introducen unos potenciales auxiliares derivados de las Ecuaciones de Maxwell– (potencial vector magnético)

– (potencial escalar)

A!

Φ

AB0B!!!

×∇=⇒=⋅∇ ya que ( ) 0A ≡×∇⋅∇!

( ) Φ−∇=ω+⇒=ω+×∇

×∇ω−=×∇

ω−=×∇

AjE0AjE

AjE

BjE

!!!!

!!

!!

Potenciales Retardados

ya que ( ) 0≡Φ∇×∇

AjE!!

ω−Φ−∇=

RDPR-1- 18

Ecuaciones de los Potenciales Retardados

• Las otras dos Ecuaciones de Maxwell se pueden reescribir en función de estos potenciales:

( ) ( )( ) ( )

( )Φεωµ+⋅∇∇+µ−=εµω+∆⇒

∆−⋅∇∇≡×∇×∇

ω−Φ∇−εωµ+µ=×∇×∇

εωµ+µ=µ×∇ωε+=×∇

000002

000

00000

jAJAA

AAA

AjjJA

EjJHEjJH

!!!!

!!!

!!!

!!!!!!

JAA

0jA

002

00!!!

!

µ−=εµω+∆

=Φεωµ+⋅∇• Condición de Lorentz (fijación de ∇⋅ A)• Ecuación de Helmholtz para A

( )

000

2

00

0

0

0 0jA

Aj

AjED

ερ−=Φεµω+∆Φ

⇓

=Φ∇εωµ+⋅∇

ερ−=⋅∇ω+∆Φ

ρ=ω−Φ∇−ε⋅∇ρ=ε⋅∇ρ=⋅∇

!

!

!

!!

!

"

( )0000

jAAjE

0jA

AjEεωµ

⋅∇∇+ω−=⇒

=Φεωµ+⋅∇

ω−Φ−∇=!

!!!

!!# H

j1E

0

!!×∇

ωε=Fuera de

las Fuentes

10

RDPR-1- 19

• La fuente de radiación más simple es un elemento lineal de corriente situado en el seno de un medio isótropo, homogéneo, indefinido y sin pérdidas.

• Como en la Ec. escalar la fuente se puede considerar puntual, el problema presenta simetría esférica y queda:

• La parte homogénea es la ecuación esférica de Bessel cuyas soluciones son:

( ) ( ) ( ) ( ) z0z20

0022

0

020 JAk

krJrAkrA

µ−=+∆

εµω=′µ−=+∆!!!!!!

Idl

x y

z !r

00 ,εµJ I dSdV dl dS

z == ⋅

Ec. escalar, con fuente Jz puntual

Radiación de un Elemento de Corriente

z0z20

z22 JAk

drdAr

drd

r1 µ−=+

[1]

( )

( )r

eCrA

reCrA

rjk

22z

rjk

11z

0

0

=

=−

Propagación hacia el ∞

Propagación hacia el origen

La solución física de nuestro problema

Idl4

dVJ4

C 0z

01 π

µ=π

µ=Integrando la Ecuación Completa [1]sobre una esfera de r → 0

RDPR-1- 20

• Para visualizar la onda radiada conviene comparar las expresiones instantáneas de la fuente de corriente y el potencial generado:

– r/c=tiempo de propagación o retardo que tarda la onda en viajar desde el foco emisor al punto de observación.

– A gran distancia, en un intervalo ∆r<<r, la onda esférica se comporta como plana de longitud de onda (distancia entre dos puntos equifásicos consecutivos)

( ) ( )[ ] ( )I t I j t I t= =Re exp cosω ω

( ) [ ] ( )

−ω=−ω=

== ω

−ω

crtcos

rCzrktcos

rCze

reCzReeARet,rA 1

01tj

rjk

1tj

0!!!

( ) ( )GHzf30cm:cmenondadeLongitud

2knpropagaciodeconstante

k212fccT

0

000

=λ

λπ==

π=εµω

π===λ

Concepto de Onda y Longitud de Onda

11

RDPR-1- 21

Campos Radiados por un Elemento de Corriente

• Los campos que produce el elemento de corriente son:

• La densidad de Potencia Radiada (dada por el vector de Poynting) está dirigida radialmente hacia afuera y decrece como 1/r2 (onda esférica progresiva):

Hj

1E

A1H

0

0!!

!!

×∇ωε

=

×∇µ

=( )

"" #"" $%!z

senˆcosrIdlr

e4

Arjk

00

θθ−θπ

µ=−

( )

rjk32

020

320

0

rjk0r

0

0

er1

rjk

rk

2senˆ

r1

rjkcosr

k2IdljE

er1jk

r4senIdlˆArA

rˆH

−

−θ

++−θθ+

+θ

πη=

+

πθφ=

∂θ∂−

∂∂φ=

!

!

θπ

θη=

φπ

θ=−

−

ˆr4

esendlIkjE

ˆr4

esendlIjkHrjk

0

rjk

0

0

0

!

!

Sustituyendo

Si k0r>>1 (r>>λ) predominan los términos en 1/r frente a 1/r2 o 1/r3

Campos de radiación:E ⊥ r, H⊥ r, E⊥ H

RDPR-1- 22

• Una distribución real de corrientese supone formada por infinitos elementosdV de corriente J situados en r’.

• El potencial total radiado será la superposición.

( ) ( )∫ ′

′−−

′′−

′

π

µ=V

rrjk0 Vd

rr

erJ

4rA

0

!!

!!!!

!!

( ) ( )dVrJrr

e

4rAd

rrjk0

0 !!

!!!!

!!

′′−π

µ=′−−

( ) ( )∫ ′

′−−

′′−

′

π

µ=S

rrjks0 Sd

rr

erJ

4rA

0

!!

!!!!

!!

( ) ( )∫ ′

′−−

′′−

′

π

µ=L

rrjk0 ld

rr

erI

4rA

0 !

!!

!!!

!!

Volumen Superficie Línea

Campos de Radiación de una Antena

′!r

P

x y

z

j

!r

( )! !J r ′ ! !r r− ′

'r!dV

12

RDPR-1- 23

• El espacio que envuelve una antena se subdivide en tres regiones:– Región de Campo Próximo Reactivo (r<λ):

– Región de Campo Próximo Radiante (incluye la Zona de Fresnel):

– Región de Campo Lejano (Zona de Radiación, Zona de Fraunhofer):

r D y r≥ >>2 2

λλ

D: Dimensión máxima de la Antena

Campos de Radiación de una Antena: Regiones

Las condiciones de campo lejano son:

RDPR-1- 24

Campos de Radiación de una AntenaAproximaciones de Campo Lejano

• Estamos en Campo lejano cuando k0 r >>1 y r>>r’max ⇔ r >>λ , r ≥ (2D2)/λ

[ ]212

2122

r

rr2

r

r1rrr2rrrrR

′⋅−

′+=′⋅−′+=′−=

!!!!!

( ) ( )∫∫ ′′π

µ= ′⋅−

S

rrjks

rjk0 SderJ

r

e

4rA 0

0 !!!!!rrr

r

rr2

2

11rR !!

′⋅−=

′⋅−≈

( ) ( )∫ ′

′−′

πµ=

′−−

S

rrjks0 Sd

rrerJ

4rA

0

!!

!!!!

!!

( )( )( ) ( )rHErArjE

ErHArjH

×η=××ω−=η

×=×η

ω−=

!!!!

!!!!

! !

!

!

E HE rH r

⊥⊥⊥&

&

• Los campos de Radiación cuando k0r >>1 valen:

P

x y

z

!r'r!

'rr!!

−( )'J!!

13

RDPR-1- 25

Interpretación Geométrica de la Aproximación

• La interpretación geométrica de la aproximación de campo lejano es la que se da en la figura– Si el punto de observación se considera a distancia infinita el vector de distancia R se

considera paralelo a la dirección de observación r por lo que entonces:

! ′r

&r r⋅ ′!

R r r= − ′! !

!r

!Js

PR r r r r r= − ′ ≈ − ⋅ ′! ! !

&

RDPR-1- 26

• El máximo error de fase cometido permite definir una condición de distancia mínima. Dandole un valor de π/8 (=22,5º), que introduce poco error en los cálculos.

• Este criterio de rmin=2D2/λ es necesario aplicarlo a la hora de realizar medidas de antenas, si bien a veces es insuficiente para medir lóbulos secundarios muy bajos.

Condición de Campo Lejano

R r D= +22

4

DrrrrR aprox =′⋅−= !

′!r

P

8r8

Dkrr4

D

2

11rkr4

Drk2

2

222

faseπ=≈

−

++=

−+=ε '

r DMinima ≈ 2 2

λ dB

14

RDPR-1- 27

Campos de Radiación de una AntenaPropiedades

• Los campos de radiación de cualquier antena cumplen:– La dependencia de E y H con r es la de una onda esférica e-jk0r/r.– Los campos E y H dependen de θ y φpuesto que la onda

esférica es no homogénea.– La onda esférica radiada se comporta localmente como plana:

– Los campos E y H no poseen componente radiales:

– La densidad de potencia que transporta la onda decrece como 1/r2. Si el medio no tiene pérdidas toma el valor:

( )( )! !

! !A r A r A A

E j r A rr( ) & & &

& &

= + +

= − × ×

θ φθ φ

ω η=−ω−=η=ω−=

==

θφφφ

φθθθ

HEAjEHEAjE

0H0E rr

!! !E r

H rE H

⊥⊥

=&

&η

[ ] ( ) ( )[ ] r,,rE,,rE2

1HERe2

1S22* φθ+φθ

η=×>=< φθ

!!!

φ

θ

&r

&φ

&θ

00 2

≤ ≤≤ <

θ πφ π

x y

z