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CAPITULO 5: CINÉTICA DE CUERPOS RIGIDOS
5.1.1. INTRODUCCIÓN
El análisis cinético de los cuerpos rígidos esta basado en la Segunda Ley de Newton. En capítulos
anteriores definimos La Primera Ecuación Fundamental de la Dinámica, es decir:
ag
WamRF .. 1era E.F.D…………… (1)
Pero existen una 2da formula que tiene la siguiente forma.
HM 2da E.F.D……………. (2)
Donde: H : Cantidad de movimiento angular.
H : Derivada respecto el tiempo de la cantidad de movimiento angular, que representa la variación
respecto el tiempo de la cantidad de movimiento angular del cuerpo.
Las ecuaciones (1) y (2) están relacionadas entre si por una correlación de movimiento lineal y
angular. Esto lo visualizamos en los siguientes gráficos:
a) Movimiento circular de una partícula.
Cantidad de movimiento angular de una partícula de masa
“M” en un movimiento de rotación alrededor de un eje fijo.
b) Movimiento general de una partícula
ere
r
vm.
rvm.
vm.
rmrH ..0
vm.
r
La magnitud será:
wmrH
rmvmrH
..
....
2
0
2
0
De los gráficos: el vector resultantes de vmr . lo denominamos: H
vmrH .
Por otro lado:
Si: kZjYiXr
y kVzmjVymiVxmvm ....
vmrH .
=
iVyzmjVzxmkVxymjVxzmkVyxmiVzym ............
kVxyVyxmjVzxVxzmiVyzVzymH )..()..()..(
Haciendo:
)..(
)..(
)..(
VxyVyxmHz
VzxVxzmHy
VyzVzymHx
kHzjHyiHxH ……………(α)
La ecuación (α) representa el vector de cantidad de movimiento angular en un entorno
tridimensional en términos de componentes rectangulares.
Donde:
Hx: cantidad de movimiento Angular alrededor del eje X.
Hy: cantidad de movimiento Angular alrededor del eje Y.
Hz: cantidad de movimiento Angular alrededor del eje Z.
ZYX mVmVmV
zyx
kji
ZYX VVV
zyx
kji
m
Marco de
referencia fijo
VARIACION CON RESPECTO AL TIEMPO DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO
ANGULAR
Sabemos: vmrH .
Finalmente:
5.2. ECUACIONES DE MOVIMIENTO BIDIMENSIONAL DE UN CUERPO RIGIDO
.GGIM , donde:
GI : Momento de inercia del cuerpo tomado en su centro de gravedad
α : Aceleración angular de movimiento del cuerpo.
Sea el grafico:
Y
X
y
x
j
i
k
G
B
r
R
dm
Donde:
®: Cuerpo en movimiento.
y : Velocidad y aceleración angular del movimiento cuyos vectores son:
kk y
G: Centro de masa del cuerpo rígido
dm: Masa infinitesimal del cuerpo rígido.
: Vector de posición de “dm”
Marco de
referencia móvil
MH
FrH
amrH
amrvmvH
amrvmrH
vmdt
drvm
dt
rdH
vmrdt
dH
.
..
..
..
.
Del grafico: jyix
Si a la velocidad VB/G lo multiplicamos por la masa infinitesimal dm, obtenemos:
VB/G.dm – Cantidad de movimiento relativo alrededor de “G”
Y si a VB/G lo multiplicamos por el vector jyix , obtenemos el momento de la Cantidad de
movimiento relativo alrededor de “G” representado por “H”. Es decir:
GBVdmH .
Pero, como: GBGB rdt
dV /
Y: GBr - Vector de magnitud constante fijo en cuerpo rigido que gira, entonces le aplicamos
el Teorema Omega
dmH
rrdt
dGBGB
.
/
Integrando:
dmH )( (Cantidad de mov. Angular total del CR)…… (1)
Pero:
iyjx
jyixk
..
)(
Entonces:
kkyx
kykx
iyjxjyix
..
..
)..()()(
222
22
Reemplazando en la Ecuación (1):
dmH
dmH
.
..
2
2
Por estática: Idm2
.IH
Derivando respecto el tiempo:
.
..
GIH
IIdt
dH
Por otro lado como:
.IM
HM
Finalmente para un movimiento bidimensional de cuerpos rígidos las ecuaciones escalares teniendo
como referencia el plano XY y teniendo en cuenta la 1era y 2da ecuación de la dinámica son las
siguientes.
.
.
.
IM
amF
amF
YX
XX
5.3 ECUACIONES DE MOVIMIENTO PARA CUERPOS RIGIDOS EN TRANSLACION
Si un cuerpo rígido esta en traslación, solo es necesario la 1era ecuación para determinar su
movimiento. No existe movimiento rotacional, pero sin embargo puede ser necesaria la aplicación
del movimiento angular para determinar fuerzas o pares desconocidos. Las ecuaciones de
movimiento serán:
0 y . , . MamFamF YYXX
5.3.1 ECUACIONES DE MOVIMIENTO PARA UN CUERPO RIGIDO CON
ROTACIÓN ALREDEDOR DE UN EJE FIJO
a) Rotación Centroidal:
El eje de rotación pasa por el centro de masa. En este caso la aceleración lineal 0a .Los
diagramas equivalentes de fuerzas aplicadas y efectos dinámicos son como se indica en el siguiente
diagrama.
P
I
2
1P
Rv
hRW
En este caso las ecuaciones del movimiento serán:
y 0 , 0 IMFF YX
OBS.: El signo barra se usa para determinar la suma de momentos respecto el eje centroidal de
rotación.
b) Rotación No Centroidal.- En este caso, el eje de rotación no pasa por el centro de masa. Por lo
tanto debido a la acción de las fuerzas se generan una velocidad y una aceleración angular ),(
. Sea el grafico:
hR W
G
A
P
r
A
r
G
I m an
m at
Del grafico deducimos lo siguiente:
1. Las fuerzas W, P, Rh y Rv dan los valores instantáneos de y .
2. El centro de masa G se mueve en forma circular en una circunferencia de radio r y tiene una
aceleración a cuyas componentes son:
2ran (Hacia A)
rat (Perpendicular a r en sentido de )
3. nam. y tam. como componentes de la fuerza resultante ag
R , actúan tal como se
muestra en la figura. Y junto a .I componen un sistema dinámico que es equivalente al sistema
de fuerzas inicial.
Entonces, tomando suaba de momentos respecto “O” (centro de rotación)
.
..
2r
gIM
rrg
IM
O
O
Haciendo: 2
0 rg
II
.0IMO
Donde:
2
rg
I Se interpreta de la siguiente manera:
“El momento de inercia centroidal se transfiere desde “G” hacia “O” en una distancia r ”.Por lo
tanto las ecuaciones de movimiento tomaran la siguiente forma:
. , .. , .. 0
2 IMrmFrmF Otn
Ejemplo:
1G
2G
5.3.2 ECUACIONES DE MOVIMIENTO PARA CUERPOS RODANTES
En cuerpos rodantes, el centro de masa tiene un movimiento rectilíneo paralelo a la superficie plana
sobre la cual rueda.
Sea el grafico:
P
I
N
F
y
x
y
x
Cr
r
m a
Donde:
ag
W : Fuerza resultante que pasa por “G” y es paralela a la superficie de rodamiento.
Además: la aceleración lineal a donde sus componentes: 0Xa y 0Xa
Entonces las ecuaciones del movimiento serán:
. , 0 , . IMFamF YX
En el movimiento de cuerpos rodantes se presentan 2 casos:
a) Disco rodante sin deslizamiento
Esto ocurre solo si hay suficiente fuerza de fricción en el C.I. para mantener ese punto instantáneo
en reposo.
La fuerza de fricción se encuentra entre “O y f .N”
.I
am.r
Dado que desconoce el valor de dicha fuerza de fricción entonces, para eliminarla tomamos sumas
de momentos respecto de “C”.
rag
IM C . .
Dado que: el disco rueda sin deslizamiento .ra
.
. .
2
2
rg
IM
rg
IM
C
C
Haciendo: CIrg
I2
.CC IM
b) Discos Rodantes Desbalanceados
En este caso el centro de masa “G” y el centro geométrico del disco no coinciden tal
como se muestra en la figura.
Rh
O G O
aO
aG/O
n
ta
G/O
Oa
Del grafico:
tOG
nOGOG
OGOG
aaaa
aaa
//
/
Donde: ).(
).(
/
2
/
OGa
OGa
t
OG
n
OG
5.4 MOVIMIENTO PLANO GENERAL (MPG)
Se dice que un cuerpo rígido esta en MPG cuando se traslada y gira. Este movimiento combinado se
analiza utilizando las ecuaciones de la primera ecuación fundamental de la dinámica y la ecuación
del movimiento angular, entonces las ecuaciones de movimiento serán:
. y . , . IMamFamF YGYXGX
Pasos para la Solución de Problemas de Cinética:
1) Construcción del DCL del sistema o DCL de cada uno de los componentes del sistema.
2) Determinar la dirección del movimiento.
3) Hacer positivo la dirección del movimiento.
4) Aplicar las ecuaciones de movimiento de cuerpos rígidos, según sea el tipo de movimiento:
(traslación, rotación, rotación pura, etc.)
5) Determinar las relaciones cinemáticas en caso de que el número de ecuaciones sea menor al
número de incógnitas.
6) Crear un equilibrio dinámico (opcional).
EJERCICIOS DESARROLLADOS:
1. Una varilla de 1.8m que pesa 50kg. esta rígidamente asegurado a un cilindro de 100kg. Para
ello se pide calcular la aceleración lineal del bloque “W” de 150kg. en la posición dada.
Solución:
DCL de los componentes.
Determinamos la dirección del movimiento.
La
aceleración lineal del bloque será:
6,0.rab ……………….. (1)
Calculo de la aceleración angular .
Aplicando la ecuación del movimiento para el conjunto.
…………..…. (2)
B
V
BV
BB
I
WT
IWT
IM
9,0.6,0
.9,06,0
.
dWVW
hRVR
150
.100
.50
W
kgW
kgW
d
V
Calculo del momento de inercia BI
Calculo de la tensión.
Aplicando la ecuación del movimiento para el bloque.
X
XX
ag
WTW
amF .
Pero: 6,0Xa
………………. (4)
Reemplazando (3) y (4) en (2).
45549072
72
9,0506,0.90150
9,06,0
gg
g
g
I
WT
B
V
)3(...............................72
6,0100
2
19,0
508,1
50
12
1
2
1
12
1
2
1
12
1
var
2
222
222
222
smkgg
I
gggI
rg
Wd
g
WL
g
WI
rmdmLmI
discoIillaII
B
B
dVVB
dVVB
B
gT
gT
g
WWT
90150
6,0150150
6,0
Pero: g = 9,81 m/s2
2502,3 srad
Finalmente:
De la ecuación (1):
21,2
502,36,0
6,0
sma
a
a
b
b
b
2. En el mecanismo con cuerpos rodantes mostrada en la figura calcule la tensión en la cuerda
que sostiene el cuerpo A teniendo en cuenta que WA = 50kg.
.
Solución:
DCL de cada componente.
CIR.
mr
kgW
g
D
6,0
150
mr
kgW
g
B
27,0
100
kgWA 50
mr
kgW
g
B
27,0
100
mr
kgW
g
D
6,0
150
D
BDT
DW
BW
BTDT
Relaciones cinemáticas:
Aplicamos relaciones cinemáticas: (Del gráfico anterior):
BD
BD
BD
BD
.2,1
5,1
8,1
.8,1.5,1
.8,1.5,1
Calculo de los momentos de inercia de los cuerpos rodantes respecto su CIR.
a) Del Cuerpo Rígido D:
2
22
2
1
2
2
1
2
2
1
..5,175
9,0150
6,0150
..
.
smkgg
I
ggI
dg
Wgr
g
WI
dmgrmI
dmII
D
D
DDD
DDD
DD
b) Del Cuerpo Rígido B:
kgWA 50AW
D
1dB
2d
gT
ggT
BD
BD
4,140
5,1
12,15,175
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
..108
9,0100
27,0100
..
.
smkgg
I
ggI
dg
Wgr
g
WI
dmgrmI
dmII
B
B
BBB
BBB
BB
Aplicando las ecuaciones de movimiento o cinéticas:
a) El bloque:
X
XX
ag
WTW
amF .
Pero: BXa .6,0
………………………..…. (1)
b) Al cuerpo rodante D:
DD
DDCD
gT
IM
5,1755,1.
.
Pero: BD .2,1
B
B
B
gT
gT
g
WWT
3050
6,050
50
6,0
.……..………. (2)
c) Al cuerpo rodante B:
BBBD
BBCB
ITWT
IM
.6,09,08,1
.
Reemplazando valores de TD, T, IB en la ecuación:
2108,3
3168,0
12072,378
10818309072,252
10830506,09,01008,14,140
srad
g
g
ggg
ggg
B
B
B
BBB
BBB
Finalmente de la ecuación (1):
kgT
T
5,40
3168,03050
3. Se tiene un conjunto de poleas mostrado en la figura con un peso de 75kg. y un radio de
giro centroidal de 0,6m. los bloques se encuentran unidos por cuerdas y
pesan WA = 50kg y WB = 100kg,
Calcular:
a. “α” de las poleas y aceleración lineales de los bloques A y B.
b. Tensiones en las cuerdas y la reacción en el eje de las poleas.
gT
gT
g
WamWT
A
A
AXA
4550
509,050
9,0.
?, RyTT BA
.6,0
.75
mr
kgW
g
P
Solución: Parte A
Construcción del DCL de los componentes:
Determinamos la dirección del movimiento y hacemos (+) positivo en dirección X para el
bloque A y B.
Escribiendo las ecuaciones de movimiento:
Para el bloque A:
...…………………………. (1)
Para el bloque B:
……………………….……. (2)
Para la polea: Rotación alrededor de un eje fijo (centroidal)
“El bloque B esta bajando”
gT
gT
g
WamTW
B
B
BXBB
60100
6,0100100
6,0.
AT BT
hR
VR
PW
AW BW
AT BT
2. grmI P Pero:
…………………. (3)
Reemplazando los valores: (TA y TB) en (3)
242,11449,0
9,0.45362715
2736609,04545
27601006,045509,0
sradg
ggg
ggg
ggg
Reemplazan (1) y (2) obtenemos BA TyT
kgT
T
A
A
5,56
1449,04550
kgT
gT
B
B
3,91
60100
Parte B:
Dado que 0hR
gTT
gTT
g
WTT
ITT
IM
BA
BA
PBA
PBA
276,09,0
6,0756,09,0
.6,06,09,0
.6,09,0
.
2
2
AT BT
hR
VR
PW
kgR
R
TTWR
TTWR
F
V
V
BAPV
BAPV
y
8,222
3,915,5675
0
0
4. Un cuerpo rígido CR mostrado en la figura conectada de una barra uniforme AB que pesa
32,2 lb. soldada en el punto “A” a un disco homogéneo que pesa 64,4 lb. Un peso W esta
suspendido de un cable sin masa el cual esta unido en B a la barra; pasando por una polea, la cual
pesa 16,1 lb. con un radio de giro de 0,5 pies alrededor de su eje.
a) Calcular las aceleraciones angulares de la polea y el CR compuesto.
b) Calcular las reacciones en la polea “P”.
Solución:
DCL de los componentes:
Análisis de movimiento:
Bloque: Movimiento de Traslación.
Polea: Movimiento de Rotación alrededor del eje fijo.
piesrg 5,0
.2,32 lbWAB
1O
2O
R
elaciones cinemáticas.
Aceleración del bloque: PPXaRa 1;
Aceleración de CRC: 6
16 PABPAB
Aplicación de las ecuaciones cinemáticas:
Bloque: XX amF .
Polea: .IM
Para el cuerpo compuesto:
)1(................6,642
2,32
6,646,64
2
2
2
P
P
P
T
T
g
WTW
2
2
5,0
.
g
WI
rmI
PP
gPP
)2(......................125,0
.5,02,32
1,161
12
2
12
P
P
TT
TT
YO2
XO1
YO1
Wd
AB
ABW
1T
1T 2T
2T
PWP
.11 OO IM ; Aplicando: 2.dmIIO
2
2
22
1
2
1 ..12
1..
2
1dmLmdmrmI ABABddO
I Disco I Barra
2
1
1
2222
1
..33,20
1633,121
42,32
2,324
2,32
2,32
12
11
2,32
4,641
2,32
4,64
2
1
slbpiesI
I
I
O
O
O
)3(......................2,14356,0
633,20)14,6442,326
6:;33,20146
1
1
1
P
P
PABABdAB
T
T
peroWWT
Reemplazando (1) y (3) en (2)
.12
125,02,19356,026,64
segradP
PPP
De las relaciones cinemáticas: .26
segradPAB
Parte B: Reacción en la polea:
a) 0YF ;
)4(..........................
0
122
122
TTWO
TTWO
PY
PY
b) Calculo de 12 TyT :
De la ecuación (1):
De la ecuación (2):
.6,40
1226,64
26,64
2
2
2
lbT
T
T P
.200
2,1931256,0
1
1
lbT
T
Reemplazando en (4):
.7,256
2006,401,16
2
2
122
lbO
O
TTWO
Y
Y
PY
EJERCICIOS PROPUESTOS:
1) En la figura mostrada sin deslizamiento una varilla AB de 1,8 m. de largo y con un peso de
30 kg. Cuelga del centro de un cilindro macizo de 0,6 m. de radio y un peso de 50 kg. Si el cilindro
puede rodar, determinar las aceleraciones del centro de masa A. después de aplicar una fuerza de 33
kg. En el punto B. El cuerpo se encuentra inicialmente en reposo.
3) El disco y el tambor acoplados que vemos en la figura están bajo el efecto de una fuerza P =
50 kg. Que siempre permanece horizontal, suponiendo que ruedan libremente, determine la
aceleración y la fuerza de fricción requerida
Resp. 296,1 smaA
2) En el sistema de cuerpos conectados mostrado en la figura AB es una barra de 25 kg. Y 1,8
m. de largo, la cual se encuentra firmemente adherida al tambor B. El sistema parte del reposo,
cuando se encuentra en su posición mas baja. Calcular la velocidad angular de B cuando 030
Resp. 215,2s
ma
.1,42 kgf
mL
kgWA
8,1
25
mr
kgW
g
C
27,0
25mr
kgW
g
B
6,0
50
20,0
150
fk
kgWD
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