capítulo 2. - conceptos básicos del cálculo estructural
Post on 31-Dec-2016
245 Views
Preview:
TRANSCRIPT
CONCEPTOS BÁSICOSDEL
CÁLCULO ESTRUCTURAL
Prof. Carlos Navarro
Departamento de Mecánica de Medios Continuosy Teoría de Estructuras
MODELO DEL MATERIAL
Mientras no digamos los contrario, supondremos que el
material del que está realizada la estructura muestra un
comportamiento elástico-lineal hasta rotura
MODELO DE DEFORMACIÓN
Mientras no digamos los contrario, supondremos que
consideramos la hipótesis de pequeñas deformaciones
PRINCIPIO DE SUPERPOSICION
q q
P
P+
=
Supongamos que las cargas aplicadas al sólido crecen, progresivamente, desde cero hasta su valor final de una manera continua. En ese caso, el trabajo W realizado por todas las cargas que actúan sobre el sólido quedaría almacenado como energía elástica de deformación U en el sólido y, por tanto:
WU =
ENERGÍA INTERNA, ELÁSTICA O DE DEFORMACIÓN
Trabajo externo y energía de deformación
La mayoría de los métodos energéticos en el cálculo de estructuras se basan en elPrincipio de la conservación de la energía, que establece que el trabajo realizadopor las fuerzas exteriores que actúan sobre un sistema estructural, We, coincide con laenergía de deformación que almacena dicho sistema, Ui.
We = Ui
• Trabajo de una fuerza exterior
Ui
Energíainterna
L
F
δx
F
P
Cuando la fuerza F se incrementa desde cerohasta un valor final F = P, la elongación de laBarra resulta ser ∆:
δ
FdxdWe =
∫=x
e FdxW0
∫∆
δ=
0
)( dxxPWe
δ=δ
=∆
PxPUe 21)
2(
0
2
xPFδ
=
El trabajo realizado por las cargas exteriores aplicadas a un sólido es la mitad de la suma del producto de dichas cargas por los desplazamientos de sus puntos de aplicación (en las dirección de las mismas, por supuesto).
Si entre las cargas aplicadas existiera algún momento, bastaría con tener en cuenta que:- donde se dijera fuerza se debería decir momento- donde se dijera desplazamiento se debería decir giro- donde se expresara trabajo (W=Fd, en el caso de fuerzas) se debería escribir W=Mθ.
∑=
⋅=n
1iii dF
21W
Fi
di
i
i∆r
d
P
W=1/2 P.d
M
W=1/2 M.θθ
EJEMPLOS:
2
F1
F2 1
21
F1F2 ∆1d1∆2
d2
α
2211 21
21 dFdFUW
rr+==
¡Las reacciones en el empotramiento (fuerzas y momento) no producenTrabajo, pues la sección sobre la que actúan no sufre movimientos!
ds
z
x
y
NN G
ds
z
x
y
NN
dsds
z
x
y
NN G
ds duzds duz
dsEANds
Edsduz ===
σε
DEFORMACIÓN DE UNA REBANADA POR ESFUERZO AXIL
¿Qué energía elástica almacena una rebanada sometida a esfuerzo axil?
ds
z
x
y
NN G
ds
z
x
y
NN
dsds
z
x
y
NN G
ds duzds duz
dsAENds
Edsdu z ===
σε
dsEANduNdU z
2
21
21
=⋅=
LA HIPÓTESIS DE NAVIER (FLEXIÓN)
Una cara de cualquier rebanada, que era plana antes dedeformarse la pieza, sigue permaneciendo plana una vez que la pieza se ha deformado.
)(
)(
tracciónI
CGM
compresiónI
AGM
xx
C
xx
A
=
=
σ
σ
dsEI
AGMds
EdsAB
xxA
AA ===σ
ε '2
dsEI
CGMds
EdsCD
xxC
CC ===σ
ε '2
dsEI
MCGCD
AGABd
xxx
22===
θ
dsEIMd
x
xx =θ
DEFORMACIÓN DE UNA REBANADA POR MOMENTO FLECTOR
x
y
G
h 2
h 1
σ1=Μx h1
Ιx
σ2=Μx h2
Ιx
Mx
SECCION ALZADO LATERAL
Cantox
y
G
h 2
h 1
σ1=Μx h1
Ιx
σ2=Μx h2
Ιx
Mxx
y
G x
y
G
h 2
h 1
σ1=Μx h1
Ιxσ1=
Μx h1
Ιx
σ2=Μx h2
Ιxσ2=
Μx h2
Ιx
Mx
SECCION ALZADO LATERAL
Canto
σC
σA
C
AHipótesis de Navier
¿Qué energía elástica almacena una rebanada sometida a momento flector?
dsEIMd
x
xx =θ
dsEIMdMdU
xx
2
21
21
=⋅= θ
ds
z
x
y
Qy
G
dsds
z
x
y
Qy
G
ds
γ
duy
ds
γ
duy
( )ν
τγ
+=
==
12EG
dsG
dsdu my
c
ym
Q
Ωτ =
El área a cortante Ωc depende de la geometría de la sección y, en general, se puede escribir como: Ωc=Ω/k. Para el caso de una sección rectangular k=6/5(para el caso de una sección circular, por ejemplo, k=10/9)
dsGQ
dsduc
yy Ω
== γ
DEFORMACIÓN DE UNA REBANADA POR ESFUERZO CORTANTE
¿Qué energía elástica almacena una rebanada sometida a esfuerzo cortante?
ds
z
x
y
Qy
G
dsds
z
x
y
Qy
G
ds
γ
duy
ds
γ
duy
dsGQ
dsduc
yy Ω
== γ
dsGQ
duQdUc
yyy Ω=⋅=
2
21
21
ds
z
x
y
MzGMz
dsds
z
x
y
MzGMz
ds
ωdz
dsds
ωdz
dsGKM
dsd zz == ωθ
DEFORMACIÓN DE UNA REBANADA POR MOMENTO TORSOR
ds
z
x
y
MzGMz
dsds
z
x
y
MzGMz
ds
ωdz
dsds
ωdz
dsGKM
dsd zz == ωθ
¿Qué energía elástica almacena una rebanada sometida a momento torsor?
dsGKM
dMdU zzz
2
21
21
=⋅= θ
dsGKM
dMdU zzz
2
21
21
=⋅= θ
dsGQ
duQdUc
yyy Ω=⋅=
2
21
21
dsEIMdMdU
xx
2
21
21
=⋅= θ
dsEANduNdU z
2
21
21
=⋅=
En resumen:
Axil
Flector
Cortante
Torsor
¿Qué energía interna se almacena en una pieza cargadaen la que aparecen todos los tipos de esfuerzos en todas las secciones de la pieza?
A
B
s
ds
dsGK
)s(MG
)s(QEI
)s(MAE
)s(NUB
A
z
c
y
x∫
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+
Ω++=
2222
21
La variable “s” del integrando indica que los esfuerzos puedenvariar a lo largo de la pieza en función del valor de dicha variables
¿Podríamos calcular ya los desplazamientos en algúnelemento estructural simple que se encuentre cargado?
Supongamos que nos piden los desplazamientos (horizontal yvertical) del extremo B de la ménsula de la figura sometida a lacarga inclinada que se indica:
F45º
L
A B
La carga anterior puede descomponerse en sus dos componentes:
A B 22
1 FF =
22
2 FF =
A B
22F
Ley de axiles Ley de cortantesA B
22F
A B
LF22
Ley de flectores
EA
LFdz
EA
Fw
L
B2
22
2
0=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛= ∫
A B’WB
zVB
c
L
cB G
LFdz
G
Fv
Ω=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
Ω= ∫ 2
22
2
0
z
y
dVB
( ) ( ) ( )
( )( )zLdz
EI
zLF
zLdzEI
zMzLddvB
−⋅−
=
=−⋅=−⋅=
22
θ
( )3
22
22 3
0
2 LEI
FdzzL
EI
Fv
L
B ⋅=−= ∫
A Bz
y
z
y
A Bz
y
L-zz
A
B
¿Qué cuantía tienen esos desplazamientos?
Supongamos una viga en ménsula de sección cuadrada de 20 cm2 de hormigón (E=20 GPa y ν=0,2) y de longitud 4 m. Supongamos F=20 kN.
A=0,04 m2 I=1,33.10-4 m4 Ωc=A/1,2=0,0333
mwB5
9 1007,704,01020
42220000
−⋅=⋅⋅
= mvB4
9 1004,20333,01033,8
42220000
−⋅=⋅⋅
= mvB 227,034
1033,110202
220000 3
49 =⋅⋅⋅⋅
= −
Desplazamiento según el ejede la viga
Flecha debida a cortante Flecha debida a flexión
¡Los desplazamientos debidos a flexión son mucho más grandes quelos debidos a los esfuerzos axil y cortante!
A B
22F
Ley de axiles Ley de cortantesA B
22F
A B
LF22
Ley de flectores
A B’WB
zVB
z
y
dVB
( )2
22 2
00
LEI
Fdz
EIzMdd
LL
B ⋅=== ∫∫ θθ
A Bz
y
z
y
A Bz
y
L-zz
A
B
¿Cómo podríamos calcular el giro de la sección B?
¡No gira! ¡No gira!
F45º
L
A B
EL TEOREMA DE CASTIGLIANO
ij
dFU
=∂∂
APLICACIÓN DEL TEOREMA DE CASTIGLIANO A ESTRUCTURAS
RETICULADAS
Problema de la aplicación del Teorema de Castigliano:
Este teorema sólo proporciona desplazamientos y giros en aquellas secciones de la pieza en las que actúa una fuerzao un momento, respectivamente.
Es decir, si en una sección deseamos determinar el giro queexperimenta no podemos aplicar (como hemos hecho antes)este teorema.
Para solventar esta dificultad, podemos proceder cómo seindica a continuación:
Obtener el giro en la sección B aplicando el Teorema de Castigliano
P
P
M
Estado auxiliar (ficticio) de cargas que se propone (además del ya existente):
A B
P.L
A B
MP
Mz
[ ]∫=
=+−=
Lz
zx
dzM)zL(PEI
U0
2
21
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⋅+⋅
⋅+⋅= L
EIML
EIMPL
EIP
Uxxx
2232
22
321
LEIML
EIP
MU
xxB ⋅+⋅=
∂∂
=2
2
θ
Si M=02
2LEIP
xB ⋅=θ
(Los momentos flectores los consideraremos positivos si producenun giro en las rebanadas que induzcan un giro horario en B)
Cómo vamos a utilizar el teorema de Castigliano a lo largo de este curso
A
B
s
ds
dsGK
)s(MG
)s(QEI
)s(MAE
)s(NUB
AT
cx∫
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+
Ω++=
2222
21
dsP
)s(MGK
)s(MP
)s(QG
)s(QP
)s(MEI
)s(MP
)s(NAE
)s(NPUv
B
ATT
cx∫ ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡∂
∂+
∂∂
Ω+
∂∂
+∂
∂=
∂∂
=
P de sentido y dirección la en carga de unidadpor torsor momento del Variación
P de sentido y dirección la en carga de unidadpor cortante esfuerzo del Variación
P de sentido y dirección la en carga de unidadpor flector momento del Variación
P de sentido y dirección la en carga de unidadpor axil esfuerzo del Variación
=∂
∂
=∂
∂
=∂
∂
=∂
∂
P)s(M
P)s(Q
P)s(M
P)s(N
T
Pv
Es práctica habitual, en el cálculo manual de vigas y estructuras reticuladas, despreciar los efectos en los movimientos de una pieza causados por los esfuerzos axil y cortante.
Por otra parte, si la estructura es plana, y las cargas a las que se ve sometida están contenidas en el plano de la estructura, no aparecen momentos torsores en la misma.
Por todo esto, la expresión del Teorema de Castigliano que utilizaremosserá la que se deriva del ejemplo siguiente:
P
M=1Estado 0 (estado real) Estado I (estado auxiliar)
Veamos cómo aplicar esto último al problema que acabamos de analizar
AB
P.L
AB
MP
1z
dz)z(MGK
)z(M)z(QG
)z(Q)z(MEI
)z(M)z(NAE
)z(NB
A
IT
TI
c
I
x
IB ∫ ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+
Ω++=
0000
θ
En el sentido del momento auxiliar unidad
[ ][ ]x
Lzz
xB EI
PLdzzLPEI 2
11 2
0 =∫ −=θ =
= )(
FÓRMULAS DE NAVIER-BRESSE
Desplazamiento inducidopor los giros de las rebanadas
Desplazamiento inducidopor los propios de las rebanadas
Desplazamientosólido rígido
Suma de giros delas rebanadas
Giro sólido rígido
FÓRMULAS DE NAVIER-BRESSE
X
Y
Z
A
B
zx
y
P
X
Y
Z
A
B
zx
y
X
Y
Z
A
B
zx
y
P
∫ ∫∫
∧++∧+=
+=B
A
B
AABAAB
B
AAB
rdudruu
drrrrrvv
rrr
θθ
θθθ
PBr =r
PIEZA PLANA CON CARGAS EN SU PLANO
Qx = Mz = My = 0 Mx = M Qy = Qux = θy = θz = 0 uy = v uz = w θx = θ
Y
Z
AB
Esfuerzos y desplazamientos en ejes locales:
Giros y desplazamientos en ejes globales:
Criterios de signos:Giros Momentos
( ) ( )
( ) ( )∫∫
∫∫
∫
−+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Ω
−Ω
+−+=
−−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Ω
+Ω
+−+=
−=
B
A BB
A cABAAB
B
A BB
A cABAAB
B
AAB
dsYYEIMdY
GQdZ
ENYYww
dsZZEIMdZ
GQdY
ENZZvv
dsEIM
θ
θ
θθ
∫−=B
AAB dsEIMθθ
A
B
A
B
A
B
dsEIM
dsEIM
A
BAθ
Aθ
A
B
Z
Y
B
Z
Y
A
θAθA(YB- YA)
θA(ZB- ZA)
?( ) ( )
( ) ( )∫∫
∫∫
−+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Ω
−Ω
+−+=
−−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Ω
+Ω
+−+=
B
A BB
A cABAAB
B
A BB
A cABAAB
dsYYEIMdY
GQdZ
ENYYww
dsZZEIMdZ
GQdY
ENZZvv
θ
θ
A
B
Z
Y
VA
VA
WA
WA
( ) ( )
( ) ( )∫∫
∫∫
−+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Ω
−Ω
+−+=
−−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Ω
+Ω
+−+=
B
A BB
A cABAAB
B
A BB
A cABAAB
dsYYEIMdY
GQdZ
ENYYww
dsZZEIMdZ
GQdY
ENZZvv
θ
θ
A
Z
Y
N
N
α
ds
Bα
dsENΩ
dzENds
EN
Ω=⋅
Ωαcos
dyENds
EN
Ω=⋅
Ωαsen
Alargamientopor axil
A
Z
Y
α
ds
B
α
dsG
Q
cΩ
dyG
QdsG
Q
cc Ω−=⋅
Ω− αsen
dzG
QdsG
Q
cc Ω−=⋅
Ωαcos
( ) ( )
( ) ( )∫∫
∫∫
−+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Ω
−Ω
+−+=
−−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Ω
+Ω
+−+=
B
A BB
A cABAAB
B
A BB
A cABAAB
dsYYEIMdY
GQdZ
ENYYww
dsZZEIMdZ
GQdY
ENZZvv
θ
θ
A
B
A
B
( ) ( )
( ) ( )∫∫
∫∫
−+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Ω
−Ω
+−+=
−−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Ω
+Ω
+−+=
B
A BB
A cABAAB
B
A BB
A cABAAB
dsYYEIMdY
GQdZ
ENYYww
dsZZEIMdZ
GQdY
ENZZvv
θ
θ
A
BdsEIM
Z
Y
ZBZ
Y
YB ( )dsZZEIM
B −−
( )dsYYEIM
B −
PIEZA RECTA CON CARGAS EN SU PLANO
00 ==== BA yydydzds
( ) ( )
∫
∫∫
∫
Ω+=
−−Ω
+−θ+=
−θ=θ
B
AAB
B
A B
B
Ac
ABAAB
B
AAB
dzENww
dzzzEIMdz
GQzzvv
dzEIM
CortanteFlexión
Ejemplo: Determinar la flecha en B
BA ww =( )( )∫∫ −
−−
Ω−
=B
A
B
Ac
B dzzlEI
zLPdzG
Pv
( ) lz
0z
3
cB 3
zLEIP
GPLv
=
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−−
Ω−=
EI3PL
GPLv
3
cB −
Ω−=
PA B
PLey de cortantes
A B
P.l Ley de flectores
c
h
x
y c
tetancorB G
PLvΩ
−=
EI3PLv
3flexiónB −=
( )
( )ν+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
⋅ν+
=Ω
=Ω
= 1Lh6,0
L2,1
ch12E
ch121E3
LGEI3
EI3PL
GPL
vv 2
2
3
2c
3c
flexiónB
tetancorB
Si hacemos, por ejemplo, L/h = 50, ν=0,2, el cociente anterior resulta ser 0,000288.La flecha debida al cortante es despreciable (0,03%) frente a la de flexión.
Pero, ¿qué sucede en la práctica?
En Resistencia de Materiales y en Cálculo de Estructurasse suele despreciar la contribución a los desplazamientosy giros debidos a los esfuerzos axil y cortante.
Esto, de ninguna manera, quiere decir que dichos esfuerzossean nulos en la pieza.
Pieza recta con cargas en su plano despreciando las deformaciones inducidas por esfuerzo cortante y esfuerzo axil
( ) ( )
AB
B
A BABAAB
B
AAB
ww
dzzzEIMzzvv
dzEIM
=
−−−θ+=
−θ=θ
∫
∫
( ) ( )
∫
∫∫
∫
Ω+=
−−Ω
+−θ+=
−θ=θ
B
AAB
B
A B
B
Ac
ABAAB
B
AAB
dzENww
dzzzEIMdz
GQzzvv
dzEIM
A B
y
z
q
l
A B
ql2/2M=q.(l-z)2/2
( ) ( )EI8Lqdz
EI2zLqdz
EI2zLMv
4B
A
3B
AB
⋅=
−⋅=
−⋅=⇓ ∫∫
( )∫ ∫ =
−==θ
B
A
l
0
32
B EI6qldz
EI2zlqdz
EIM
EJEMPLO:
¿Flecha y giro en B?
Ley de momentosflectores:
Otras aplicaciones en problemas isostáticos:
Determinar giros en vigas apoyadas
l
MA B
l
MA B
θA
A B
θBθA
A BA B
θB
horariosentidoenEI
MlEI
MlEI
ll
M
l AA 623.
23
=⇒+−= θθ
L
MA B
M/l M/l
MA B
M/l M/lM/L M/L
( ) ( )∫ ∫ =
−+−−=−=
B
A
L
AAB dzEI
zLLMM
dzEI
zM0
θθθ
zSentidos positivos:
giros Momentosflectores( ) ( ) ( )
EIMLdzzL
EI
zLM
LdzzLEI
zMLvvB
A
L
AAAB 60
2
0−=−−⋅=−−⋅+== ∫ ∫θθ
EIML
A 6−=θ
)()()/()(
oantihorariMporproducidooantihorarilMporproducidooantihorarioantihorari
A
BBB
θθθθ
+++=
EIMloantihorari
EIMl
EIMl
EIMloantihorari BB 3
)(62
)( =⇒−+−= θθ
APLICACIÓN A PROBLEMAS HIPERESTÁTICOS
y
AB
z
l
M
A
B M
A+B
RA
B M
A+B
R
0=+=↑ IIestadoB
IestadoBB vvv
( )EIlMdz
EIzlMv
BA
IestadoB 2
2
∫ −=−
−=↑EI
Rlv IIestadoB 3
3=↑
lMR
EIRl
EIlM
230
32
32
=⇒=+−
( ) ( )
AB
B
A BABAAB
B
AAB
ww
dzzzEIMzzvv
dzEIM
=
−−−θ+=
−θ=θ
∫
∫
ECUACIONES DE NAVIER-BRESSE PARA UNA PIEZA RECTA CON CARGAS EN SU PLANO DESPRECIANDOLA CONTRIBUCION A LOS MOVIMIENTOS DE LOS ESFUERZOS CORTANTES Y AXILES
TEOREMAS DE MOHR
PRIMER TEOREMA DE MOHR
( ) ( )
BB A A
B
B A A B A BA
B A
M dzEI
Mv v z z z z dzEI
w w
θ = θ +
⇑ =⇑ − θ − − −
=
∫
∫
∫=−B
AAB dzEIMθθ
A B
Ley de momentosflectores
A’
B’Directriz deformada
Directriz sindeformar
θB
θA
θB-θA
A B
Ley de momentosflectores
A’
B’Directriz deformada
Directriz sindeformar
θB
θA
θB-θA
“El ángulo girado por la directriz entre dos secciones A y B de una pieza prismática recta de sección constante es igual al área del diagrama de momentos flectores entre ambas secciones dividido por el producto EI”
EJEMPLO DE APLICACIÓN DEL PRIMER TEOREMA DE MOHR
¿Giro en B?
A B
P.l
( )
EIPL
EI
PLL
AB 221
2
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅
=−θθ
0
P
(horario)
SEGUNDO TEOREMA DE MOHR
( ) ( )∫ −−−−=↑↑BA BABAAB dzzz
EIMzzvv θ
A’
B’
Directriz deformada
A B
Directriz sindeformar
z
y
dz zB-z
vB
vA
θA.(zB-zA)
B’’
B’’’
A’
B’
Directriz deformada
A B
Directriz sindeformar
z
y
dz zB-z
vB
vA
θA.(zB-zA)
B’’
B’’’ “La distancia, en dirección perpendicular a la directriz sin deformar, entre un punto B’ de la directriz deformada a la recta tangente a la directriz deformada en otro (A) es igual al momento estático del área de momentos flectores entre las secciones A y B respecto del eje perpendicular a la directriz sin deformar que pasa por el punto B, dividido por el producto EI”
A B
y
z
q
L
. G
3/4(L)
ql 2/2
EIql
EI
l/lq.lvB 8
432
31
42
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅
=↓
EJEMPLO DE APLICACIÓN DEL SEGUNDO TEOREMA DE MOHR
¿Flecha en B?
EL DIBUJO DE LA DEFORMADA A ESTIMA
P=20 kN
2 m 1 m 1 m
A B C D
A B C D
15 kN·m
5 kN·m
DA CB
Ley de flectores
C AB
D
294,9 kN.m
237,3 kN.m
28,5 kN.m
71,5 kN.m 63,9 kN.m
3,84 m
7,68 m
C AB
D
294,9 kN.m
237,3 kN.m
28,5 kN.m
71,5 kN.m 63,9 kN.m
3,84 m
7,68 m
OTRO EJEMPLO:
Generalización al caso de puntos angulosos en la directriz. Primer teorema
Movimientos en barras prismáticas: Teoremas de Mohr (Cont.)
P’
E
C
A
B
PP’’
E
C
A
B
D
A1
A2
A3
A4Sentidos positivos (por ejemplo):
girosMomentosflectores
( ) ( ) ( ) ( )DECDBCABA EI
AEI
AEI
AEI
A 4321 −++=θ
AB
C
h
L
EI
P PL
PLA
A1 +
A2 +
EI
hLPL
EIh)PL(
EI
L)PL(A
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=+= 221
θ
Ejemplo de aplicación: determinar el giro experimentadopor la sección A (positivo si horario)
Generalización al caso de puntos angulosos en la directriz. Segundo teoremaMovimientos en barras prismáticas: Teoremas de Mohr (Cont.)
E
C
D
B
A
δ
hdδA
α
Caso a): el eje δ no corta a la directriz
∫∫∫ === dsMfEI
dsEIM
ffd ff
A1
θδ
dsEIM
ffdd fA == θδ
C
dS
G
G’
B
A
f
fG’
dδA=(h dθ).cosαdδΑ
δ
α
hα
f =h.cos α
dδA=
PL
PLA
A1
A2
G2 G2’
G1
G1’u
v
AB
C
h
L
EI
P
( ) ( )[ ]EI
)hL(PLLhPLLPL
EIv,´G.distAv,´G.distA
EIvA
+=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ ⋅⋅+⋅=⋅+⋅= 3
32
2111
2
22211
( )EI
PLhhPLhEI
u,´G.distAEI
uA 2211 2
222 ==⋅=
Ejemplo de aplicación: determinar los desplazamientos en la sección A
Generalización al caso de puntos angulosos en la directriz. Segundo teoremaMovimientos en barras prismáticas: Teoremas de Mohr (Cont.)
Caso b): el eje δ corta a la directriz
C
D
B
A δ
E
C
D
B
Aδ
+-=-
++=+
-+=-
-+=-
++=+
++=+
E
Sentidos positivos (por ejemplo):
girosMomentosflectores
δA
E
C B
AP
L
2L
L
E
C B
A
PL
PLPL
PL+
+++ +
+
=
=
=
=+ +
+
- - +
δ
EIPLLLPLLLPLLLPLLLPL
EIA
3332
21
32
212
32
211
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=δ
Ejemplo de aplicación: determinar el desplazamiento según ladirección δ de la sección A
TEOREMA DE RECIPROCIDAD DE MAXWELL-BETTI
“En un sólido elástico el trabajo realizado por un sistema de cargas I al aplicar otro sistema de cargas II, es idéntico al trabajo realizado por el sistema de cargas II al aplicar el sistema de cargas I”
Sobre la ménsula que se observa en la figura pueden actuar, separadamente, los sistemas de cargas distintos 1 y 2 que se recogen en la figura. Suponiendo constante el producto EI, determinar el valor de la flecha en C correspondiente al sistema 2 de cargas.
Ejemplo
L/2 L/2
P
A CB
L/2 L/2
MA C B
SISTEMA 1 SISTEMA 2
L/2 L/2
P
A CB
L/2 L/2
MA C B
L/2 L/2
P
A CB
L/2 L/2
MA C B
SISTEMA 1 SISTEMA 2
EIMLv
EI
LPMvP
horarioMvP
sistemaC
sistemaC
sistemaB
sistemaC
822 2
2
2
2
12
↓=⇒⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⋅↓=⋅
⋅↓=⋅
−−
−− )(θ
ARCOS: PIEZAS DE DIRECTRIZ CURVA
x
y
PB
θ
R.cosθ
A
R
R.cosθ
P
P cosθP sen θPR cosθ
π/2 - θ
P
θ
R
M = PRcosθ
Momentos flectoresP
θ
R
Esfuerzos cortantes
Q = P sen θP
θ
R
Esfuerzos axiles
N = P cos θ
Leyes de esfuerzos
x
y
PB
θ
Rcosθ
A
R
Desplazamientos horizontal y vertical de la sección B (despreciando losmovimientos inducidos por esfuerzos axil y cortante):
x
y
PuB
vB
B P
θ
R
M=PRcosθ
Ley de momentos flectores
Utilizando Navier-Bresse:
( ) ( ) ( )EIcosPRcosR
EIMcosRdv dB
θθθθθ
22
===
debido al giro dθ de una rebanada genérica:
( )∫ θθ∫ =θ↓=ππ2
0222
022 11 RdPR
EIdsPR
EIvB coscos
Utilizando Castigliano:
( )∫ θθ=∫=ππ2
0
22
0
2
21
2RdPR
EIds
EIMU cos
∫ θθ=∂∂
↓=π2
0221 RdPR
EIPUvB cos
Desplazamiento vertical vB
Desplazamiento horizontal uB
( )
EI)sen(cosPR
)sen(REIM)sen(Rdu dB
θθ
θθθθ
−=
=−=−=
1
11
2
∫ −= 20
2 11 π
θθ ds)sen(cosPREI
uBr
Utilizando Navier-Bresse:
debido al giro dθ de una rebanada genérica:
Utilizando Castigliano:
∫ θ−θ=
∫=
π
π
20
20
0
11
1
dssenRPREI
dsMMEI
u IB
)(cos
r
1
θ
R(1-senθ)
x
y
PuB
vB
B P
θ
R
M=PRcosθ
R(1-senθ)
Ley de flectores Estado 0 Ley de flectores Estado I
Giro de la sección B (θB)
Utilizando Navier-Bresse: Utilizando Castigliano:
x
y
PuB
vB
B P
θ
R
M=PRcosθ
Ley de flectores Estado 0 Ley de flectores Estado I
M=11
∫∫∫ === 20
20
20
11 πππ
θθθ dscosPREI
MdsEI
dB
( )∫ ⋅⋅θ=
=∫ ⋅=θ
π
π
20
20
0
11
1
dsPREI
dsMMEI
IB
cos
Deformación de una rebanada
Tratamiento de las cargas térmicas
B B´
F´FEE´
A´ A
C D D´C´
∆T2
∆T1
ds
c
dθ/2dθ/2
)( 12 TTcdsd ∆−∆
α=θ
B C
D
120ºC80ºC
100ºC
100ºC
c=canto45º
Barras de directriz recta
212 TTdsFFEE ∆+∆
α=+ ´'
Alargamiento o acortamiento:
Giro:
Tratamiento de las cargas térmicas (Cont.)Barras de directriz curvilínea sometidas a una variación uniforme de temperatura
“El movimiento en una dirección definida por un vector, del extremo de una barra curvilínea en ménsula se obtiene multiplicando el coeficiente de dilatación por el incremento de temperatura y por la proyección de la directriz de la viga en la dirección u”.
LTdscosTcos)Tds(UA
B
A
BA ⋅∆=∆=∆= ∫∫ αθαθα
)( T∆
AB
δA1
1´
1
1´ δδθ θ
U
)( T∆
APLICACIÓN DEL TEOREMA DE CASTIGLIANO A ESTRUCTURAS
ARTICULADAS
PROBLEMA PROPUESTO
Determinar, para la estructura articulada de la figura, los desplazamientos horizontaly vertical que sufre el nudo 3.
NOTA: Considérese que E=200 GPa y A=1.200 mm2
1 3 4
2
1
2
3 4
5
84 kN
35 kN
1 3 4
2
1
2
3 4
5
84 kN
35 kN
ESTADO 0
Resolvemos la estructura, obteniéndose los siguientes esfuerzos axiles:
-66,0-79.19612,00300,0min
70,084.00012,00565,7max
Tracción17,521.00012,00300,0435
Compresión-29,2-35.00012,00500,0424
Tracción70,084.00012,00400,0323
Tracción17,521.00012,00400,0312
Compresión-66,0-79.19612,00565,7211
σ[N/mm2]
N0
[N][cm2][cm]
Notas
Tensión axial
Esfuerzo axilÁreaLongitudNudo
finalNudo inicialNum
Información sobre los elementos
1 3 4
2
1
2
3 4
5
1 kN
Desplazamiento horizontal del nudo 3
ESTADO I
En este estado, sólo la barra 2 trabaja, haciéndolo a un exfuerzo axil de tracción de valor N 1I= 1 kN.Los axiles en el resto de barras es nulo.
mmmkNEA
LNNui ii
iIii 00035,04
)(101200)/(10200121
26260
2 =⋅×⋅×
⋅== −∑r
Desplazamiento vertical del nudo 3
ESTADO II
1 3 4
2
1
2
3 4
5
1 kN
-0,6-71412,00300,0min
0,81.00012,00565,7max
Tracción0,442912,00300,0435
Compresión-0,6-71412,00500,0424
Tracción0,81.00012,00400,0323
Tracción0,442912,00400,0312
Compresión-0,5-60612,00565,7211
σ[N/mm2]
NII
[N][cm2][cm]
Notas
Tensión axial
Esfuerzo axilAreaLongitudNudo
finalNudo inicialNum
Información sobre los elementos
Resolvemos la estructura para el caso de carga II, obteniéndose los siguientes esfuerzos axiles:
mmmkNEA
LNNvi ii
iIIii
0033146,0)3429,0215)714,0()35(4184
4429,021657,5)606,0()196,79(()(101200)/(10200
12626
02
=⋅⋅+⋅−⋅−+⋅⋅+
+⋅⋅+⋅−⋅−×⋅×
=↓= −∑
Estructura deformada:
1− 0.357− 0.286 0.929 1.571 2.214 2.857 3.5 4.143 4.786 5.429 6.071 6.714 7.357 81−
0
1
2
3
4
5
Estructura deformadaBarras a compresiónBarras a tracción
Estructura sin deformar y deformada
[m]
[m]
top related