calidad co

Control Estadístico de la Calidad y los Procesos

CO-4311 Estadística para la Calidad, Productividad y Simulación.

¿Qué es calidad?

Concordancia con los requisitos y especificaciones (Crosby).

Adecuación para el uso (Juran).Un grado previsible de uniformidad y

confiabilidad a bajo costo y adecuado para el mercado (Deming).

¿Qué es calidad? (cont)

Calidad de diseño: corresponde a la medida en que el producto satisface las necesidades del cliente.

Calidad de conformidad: se refiere al grado en que el producto o servicio concuerda con los requerimientos de diseño.

Normalmente la calidad se asocia con una característica medible del producto, la cual se denomina característica de calidad. Así, la calidad de diseño se tranforma en especificaciones adecuadas.

Frecuentemente no se diferencia entre la calidad de diseño y la de conformidad, sin embargo el área de producción suele centrarse en la segunda.

¿Está fuera de las especificaciones un producto que no cumple las especificaciones?

Caracteristica de calidad

LIE Objetivo LSE

Caracteristica de calidad

LIE Objetivo LSE

Taguchi argumenta quePara el cliente, prácticamente no hay

diferencia entre un producto que apenas cae en las especificaciones y otro que apenas está fuera.

A medida que los clientes se vuelven más exigentes, aumenta la presión para reducir la variabilidad.

El papel de la estadística en el aseguramiento de calidad

Para mejorar es necesario hacer cambios.Nos gustaría tener buenos datos sobre los

cuales realizar los cambios.Necesitamos herramientas que nos

permitan convertir datos en información (es decir, que nos permitan responder preguntas).

La estadística es la ciencia que soluciona ambos problemas.

Gerencia de Calidad Total

El concepto de calidad está determinado por el cliente, no por la empresa.

Calidad desde la fuente, lo cual se traduce en una orientación a la prevención.

Es posible obtener cero defectos, y esa debe ser la meta.

Mejora continua.

Evolución del concepto de control de calidad

En un inicio se intentaba asegurar la calidad mediante la inspección de los productos antes de salir al mercado.

A partir de los años 30’s se trata de minimizar la producción con defectos reduciendo el tiempo de detección de cualquier desajuste. La inspección se mantiene, pero cambia su finalidad.

Evolución del concepto de control de calidad (cont)

Inspección

Usuario

Producto Defectuoso

Desechos

ReprocesosAviso para actuar sobre el proceso

Materias Primas

Inspección

UsuarioMaterias

Primas

Producto Defectuoso

Desechos

Reprocesos

Ajustes constantes basados en muestreo selectivo del producto y del

proceso.

ConcepciónTradicional

ConcepciónCEP

Herramientas para el aseguramiento de calidad

Se trata de herramientas estadísticas y analíticas de uso general

Diagramas causa-efecto.Diagramas de flujo de procesos.Plantillas para recolección de datos.Histogramas y diagramas de Pareto.Diagramas bivariantes.Control estadístico de procesos.

Herramientas para el aseguramiento de calidad

Estas herramientas, aunque son muy sencillas son muy importantes ya que son en gran medida desconocidas en la industria.

Muchas de estas herramientas pueden (y deben) ser aplicadas directamente por los operarios.

Diagramas de causa-efecto

En muchos casos se resuelven los problemas sin atacar las causas de los mismos, lo cual es una práctica perjudicial.

En estos diagramas las causas que potencialmente pueden generan un determinado efecto se presentan en forma jerarquizada.

Por su forma, también se denominan diagramas de espina de pescado.

Diagramas de causa-efecto (cont)

Los pasos para su construcción son:Determinar claramente el efecto a

estudiar.Reunir a las personas que conocen del

problema y realizar una lluvia de ideas.Seleccionar las causas aportadas,

eliminando repeticiones y errores.Dibujar el diagrama. Lo debe hacer una

persona que conozca del problema.

Diagramas de causa-efecto (cont)

Variabilidad en la dimensión

MANO DE OBRA

Concentración

Habilidad

Fatiga

Enfermedad

MAQUINARIAAbrasión

Herramientas

Deformación

Mantenimiento

MATERIALES

Diámetro

Calidad

Componente

Almacenamiento

MÉTODO

Puesta apunto

Velocidad

Ajuste

Ángulo

Posición

Diagrama causa-efecto para estudiar las causas de la variabilidad en la dimensión de una pieza.

Plantillas para recolección de datos

Los datos que se recopilan deben ser confiables. Además deben ser tales que puedan ser convertidos en información (solo tomar los datos útiles y su análisis debe ser fácil análisis).

Las planillas deben diseñarse de tal modo que faciliten las tareas de recogida de datos y que puedan ser utilizadas por los operarios.

Plantillas para recolección de datos (cont)

Diagramas de Pareto

Son representaciones de la densidad y la distribución de variables aleatorias nominales (usualmente causas de falla en sistemas o defectos en productos).

Las causas se ordenan de modo de distinguir cuales son las más importantes.

Usualmente opera la regla del 80-20, el 80% de los problemas se deben al 20% de las causas.

C A B D F E G

Causas

Diagramas de Pareto (cont)

C A B D G F E

Causas

Número de Paradas Tiempo de Parada

Turno 1 Turno 2 Total Turno 1 Turno 2 Total

(A) Rotura de hilo 18 24 42 20 31 51

(B) Cinta 15 10 25 12 10 22

(C) Vibrador 92 88 180 62 68 130

(D) Tornillo sin fin 1 6 7 2 8 10

(E) Apelmazamiento 0 1 1 0 1 1

(F) Rotura de saco 2 1 3 4 1 5

(G) Otros 1 0 1 8 0 8

Número y tiempos de parada en una línea de envasado

Diagramas bivariantes

Son una forma sencilla de evaluar la dependencia entre variables, por lo que puede ser utilizada por cualquiera

Los modelos (lineales o de otro tipo) son una forma más refinada de evaluar dependencia.

Recuerde que correlación y causalidad no son la misma cosa.

Control de procesos

Históricamente ha evolucionado en dos vertientes: Control automático de procesos (APC)

empresas de producción continua (empresas químicas)

Control estadístico de procesos (SPC) en sistemas de producción en serie (empresas metalmecánicas).

Vamos a concentrarnos en el SPC.

Control estadístico de procesosLos objetivos son:

Monitorear y vigilar el desempeño del proceso en cuanto a las características de calidad críticas del producto, para así minimizar la producción defectuosa Gráficos de Control.

Estimar los parámetros del proceso para comparar la producción con las especificaciones Estudios de Capacidad.

En ambos casos, se trata de herramientas por y para la mejora continua.

Causas de la variabilidad en un proceso

Causas Comunes Suelen ser muchas y

cada una produce pequeñas variaciones.

Son parte permanente del proceso

Son difíciles de eliminar y forman parte del sistema.

Afectan a todo el conjunto de máquinas y operarios

Causas Asignables Suelen ser pocas pero

con efectos importantes en la variabilidad.

Aparecen esporádicamente.

Son relativamente fáciles de eliminar

Por lo general su efecto está localizado en una(s) máquina(s) u operario(s).

Definición de proceso bajo control estadístico

Se dice que un proceso está bajo control estadístico cuando solo está afectado por causas comunes de variabilidad. Esto significa que podemos predecir lo que va a suceder con el proceso y sus productos.

A diferencia del APC, en el SPC el significado de “control” está más vinculado con el monitoreo del sistema que con la actuación sobre el mismo.

Gráficos de control

Se trata de diagramas en los que se representa el comportamiento de un proceso en el tiempo a través de los valores de un estadístico asociado con una característica de calidad del producto.

Desde el punto de vista estadístico, estos gráficos permiten realizar continuamente pruebas de hipótesis sobre una de las característica del proceso.

Gráficos de control (cont)

El objetivo de los gráficos de control es facilitar la vigilancia del proceso para así detectar rápidamente la presencia de causas asignables y minimizar la producción defectuosa.

Los diagramas de control están pensados para ser usados directamente por los propios operadores, de modo que las acciones se tomen rápidamente.

Un gráfico de control se construye a partir de muestras tomadas regularmente en el tiempo, para cada una de las cuales se calcula un estadístico W asociado con un parámetro de la distribución de la característica de calidad. Estos valores se grafican junto con una línea central y un par de líneas de control (superior e inferior).

Gráficos de control (cont)C

ristica

Tiempo

Para poder considerar al proceso bajo control, los puntos del gráfico deben estar dentro de los límites de control y presentar comportamiento aleatorio.

Por simplicidad, las líneas suelen escogerse en base a una aproximación normal de W:

)(3)( )(

WVWELSC

WVWELICWELC

Los valores de E(W) y V(W) pueden estimarse de la muestra u obtenerse de registros históricos. En el segundo caso, es importante recordar que los límites se refieren al proceso (lo que realmente sucede en planta) y no a las especificaciones de producción (lo que debería suceder en la planta).

Gráficos de control (cont)Las muestras que se obtienen en cada

punto de observación deben ser subgrupos racionales.

La selección de la frecuencia de muestreo y del tamaño de los subgrupos debe estar basada en los conocimientos que se tengan sobre proceso. Usualmente se recomienda tomar al menos 20 muestras para construir los límites de control.

Diagramas para control de variables: se utiliza cuando la característica de calidad puede expresarse como una medida numérica (diámetro de un cojinete, longitud de un eje, etc.)

Diagramas para control de atributos: se utiliza cuando la característica de calidad corresponde a una variable binaria (presencia o no de defectos, etc.)

Gráficos de control para variables

Se supone que la distribución de la característica de calidad es normal(,), al menos aproximadamente. De aquí que se requieran dos gráficos, uno para cada parámetro de la distribución.

Los pares más comunes son los de medias y desviaciones estándar, los de medias y rangos, y los gráficos para observaciones individuales y rangos móviles.

Gráficos de medias y rangos( )

Se construye un gráfico para la evolución de las medias de los grupos (asociado con la ubicación de la característica ) y otro para la evolución de los rangos (asociado con la dispersión de la característica ).

Se utilizan los rangos para medir la variabilidad ya que son fáciles de calcular y tienen una eficiencia similar a la desviación estándar para subgrupos pequeños.

Pasos para la construcción de gráficos

Se toman k muestras de tamaño n (usualmente constante y menor a 7).

Se calcula la media y el rango de cada muestra:

Se estiman los promedios poblacionales

jiji xminxRx

Gráficos de medias y rangos ( )

Para construir los límites de control, recordemos que bajo la suposición de normalidad y control estadístico se tiene

donde d2 y d3 son constantes que dependen solo de n y pueden encontrarse en tablas como la que se presenta a continuación.

232 )()(

dREdRSDdRE

Gráficos de medias y rangos ( ) RX

La tabla de la derecha muestra el valor de las constantes d2, d3, A2, D3 y D4 para distintos tamaños de los subgrupos racionales.

n d2 A2 d3 D3 D42 1,128 1,880 0,853 0,000 3,2673 1,693 1,023 0,888 0,000 2,5754 2,059 0,729 0,880 0,000 2,2825 2,326 0,577 0,864 0,000 2,1156 2,534 0,483 0,848 0,000 2,0047 2,704 0,419 0,833 0,076 1,9248 2,847 0,373 0,820 0,136 1,8649 2,970 0,337 0,808 0,187 1,81610 3,078 0,308 0,797 0,223 1,77711 3,173 0,285 0,787 0,256 1,74412 3,258 0,266 0,778 0,284 1,71613 3,336 0,249 0,770 0,308 1,69214 3,407 0,235 0,763 0,329 1,67115 3,472 0,223 0,756 0,348 1,65216 3,532 0,212 0,750 0,640 1,63617 3,588 0,203 0,744 0,379 1,62118 3,640 0,194 0,739 0,392 1,60819 3,689 0,187 0,734 0,404 1,59620 3,735 0,180 0,729 0,414 1,58621 3,778 0,173 0,724 0,425 1,57522 3,819 0,167 0,720 0,434 1,56623 3,858 0,162 0,716 0,443 1,55724 3,895 0,157 0,712 0,452 1,54825 3,931 0,153 0,708 0,459 1,541

Si se conocen y , estos se pueden usarse para calcular los límites de control: Medias

Rangos

ALICLCALSC

RDLICdLCRDLSC 122

322321 3 3 3

ddDddDn

Si no se conocen y (lo más común) deben estimarse a partir de los datos. Para las medias

Para los rangos

RAXLICXLCRAXLSC 22

RDLICRLCRDLSC 34

2 31 31 3

¿Puede justificar estas selecciones para los límites de control?

Lo más común es trabajar con n fijo para todos los subgrupos, sin embargo en algunos casos esto no es posible. ¿Cómo quedarían los límites de control en ese caso?

Gráficos de medias y rangos (cont)

Ejemplo 1.- Se muestran datos correspondientes a la apertura del alabe (en milímetros) para un componente de la turbina de un avión. Se pueden ver los cálculos preliminares en la misma tabla.

Muestra Observaciones en la muestra Media Rango1 33.00 29.00 31.00 32.00 33.00 31.60 4.002 33.00 31.00 35.00 37.00 31.00 33.40 6.003 35.00 37.00 33.00 34.00 36.00 35.00 4.004 30.00 31.00 33.00 34.00 33.00 32.20 4.005 33.00 34.00 35.00 33.00 34.00 33.80 2.006 38.00 37.00 39.00 40.00 38.00 38.40 3.007 30.00 31.00 32.00 34.00 31.00 31.60 4.008 29.00 39.00 38.00 39.00 39.00 36.80 10.009 28.00 33.00 35.00 36.00 43.00 35.00 15.0010 38.00 33.00 32.00 35.00 32.00 34.00 6.0011 28.00 30.00 28.00 32.00 31.00 29.80 4.0012 31.00 35.00 35.00 35.00 34.00 34.00 4.0013 27.00 32.00 34.00 35.00 37.00 33.00 10.0014 33.00 33.00 35.00 37.00 36.00 34.80 4.0015 35.00 37.00 32.00 35.00 39.00 35.60 7.0016 33.00 33.00 27.00 31.00 30.00 30.80 6.0017 35.00 34.00 34.00 30.00 32.00 33.00 5.0018 32.00 33.00 30.00 30.00 33.00 31.60 3.0019 25.00 27.00 34.00 27.00 28.00 28.20 9.0020 35.00 35.00 36.00 33.00 30.00 33.80 6.00

Promedios: 33.32 5.80

Los límites de control son, en este caso, Para el gráfico de medias:

Para el gráfico de rangos

65,368,5577,032,33

95,298,5577,032,33

RAXLSC

RAXLIC

27,128,5115,2

Muestra

5 10 15 20

LIC=29.98

LSC=36.67

LC=33.32

Muestra

5 10 15 20

LSC=12.27

LC=5.80

Las muestras 6, 8, 11 y 19 están fuera de control en gráfico de medias y la 9 lo esta en el gráfico de rangos.

Cuando se estudian las causas asignables, estas llevan a una herramienta defectuosa en el área de moldeo. Los límites deben ser recalculados excluyendo estas observaciones atípicas, obteniéndose así un nuevo gráfico.

Muestra

5 10 15 20

LIC=30.33

LSC=36.10

LC=33.21

Muestra

5 10 15 20

LSC=10.57

LC=5.00

Gráficos de medias y desviaciones estándar ( )

El utiliza el mismo gráfico de medias anterior, pero ahora se estudia la dispersión usando un gráfico de las desviaciones standard de cada subgrupo.

La desviación muestral es un mejor estimador de la variabilidad, pero más difícil de calcular. Se prefiere en procesos con subgrupos racionales grandes (10 o más) o en procesos automatizados.

Se toman k muestras de tamaño n.Se calcula la media y la desviación

standard de cada muestra:

Se calculan los parámetros poblacionales.

Para calcular los límites de control necesitamos conocer la esperanza y la varianza de estos estimadores:

donde de nuevo c4 depende solo de n puede obtenerse de tablas.

4244 1)()(

cSEcSSDcSE

Si se conocen y el cálculo de los límites de control es muy sencillo: Para las medias:

Para las desviaciones estándar:

ALICLCALSC

RBLICcLCRBLSC 546

2445 1313

3ccBccB

Pasos para la construcción de gráficos sX

Cuando no se conocen los valores de y los mismos se calculan a partir de los datos para obtener los límites de control Para el gráfico de medias:

Para el gráfico de desviaciones estándar:SBLICSLCSBLSC 34

SAXLICXLCSAXLSC 33

Pasos para la construcción de gráficos sX

Tabla 2.- La tabla de la derecha muestra el valor de las constantes c4, A3, B3 y B4 para distintos tamaños de los subgrupos racionales.

n c4 A3 B3 B42 0,7979 2,6590 0,0000 3,26703 0,8862 1,9540 0,0000 2,56804 0,9213 1,6280 0,0000 2,26605 0,9400 1,4270 0,0000 2,08906 0,9515 1,2870 0,0300 1,97007 0,9594 1,1820 0,1180 1,88208 0,9650 1,0990 0,1850 1,81509 0,9693 1,0320 0,2390 1,761010 0,9727 0,9750 0,2840 1,716011 0,9754 0,9270 0,3210 1,679012 0,9776 0,8860 0,3540 1,646013 0,9794 0,8500 0,3820 1,618014 0,9810 0,8170 0,4000 1,594015 0,9823 0,7890 0,4280 1,572016 0,9835 0,7630 0,4480 1,552017 0,9845 0,7390 0,4660 1,534018 0,9854 0,7180 0,4820 1,518019 0,9862 0,6980 0,4970 1,503020 0,9869 0,6800 0,5100 1,490021 0,9876 0,6630 0,5230 1,477022 0,9882 0,6470 0,5340 1,466023 0,9887 0,6330 0,5450 1,455024 0,9892 0,6190 0,5550 1,445025 0,9896 0,6060 0,5650 1,4350

Gráficos para observaciones individuales (I)

En general, es preferible utilizar más de una observaciones para estimar el estado del proceso en cada instante de tiempo.

Numero de elementos en el supgrupo racional

1 2 3 4 5 6

k=1.0k=1.5k=2.0

Gráficos para observaciones individuales (I) (cont)

Sin embargo, en algunos procesos no es posible obtener más de una observación: Debido a la forma del proceso, donde las

condiciones cambian con cada producto. Donde se quiere comparar cada producto

con la especificación (se producen pocos artículos y son muy caros).

En procesos continuos, donde no hay individuos.

Gráficos para observaciones individuales (I) (cont)

Cuando solo se dispone de una observación en cada instante es necesario modificar los diagramas anteriores ya que ni podemos promediar en cada punto ni es posible obtener estimaciones de la variabilidad en cada instante.

Así, el gráfico de medias se sustituye por el gráfico de las observaciones y el de rangos por el de rangos móviles.

Gráficos para observaciones individuales I (cont)

El rango móvil utiliza la información de las últimas w observaciones para estimar la variabilidad.

Estos gráficos son más susceptibles a alteraciones en la hipótesis de normalidad de la característica de calidad. ¿Puede explicar por qué?

Para w = 2

Se toma una observación para cada uno de k puntos en el tiempo.

Para cada instante se calcula el rango móvil basado en w observaciones, definido por

Se estiman los parámetros poblacionales

Pasos para la construcción de gráficos I

11 ,max11

wkixminxR jwiji

Pasos para la construcción de gráficos I (cont)

Los límites de control y línea central son: Para el gráfico de medias:

Para el gráfico de rangos:

Para obtener d2, D3, D4 y se utiliza la tabla 1 con n = w. Usualmente se escoge w = 2 por simplicidad.

RDLICRLCRDLSC 34

dR XLICXLCXLSC

Otros gráficos para control de variables

Diagramas de sumas acumulativas (CUSUM), los cuales permiten detectar más rápidamente cambios en la media de una variable.

Gráficos de medias móviles pesadas exponencialmente (EWMA), para procesos donde las observaciones no son independientes (procesos continuos).

Gráficos de control para atributos

Se consideran dos situaciones: Nos interesa la presencia o ausencia del

atributo en el individuo, o se trata de un atributo que solo puede presentarse una vez (un fusible está quemado o no) Diagrama p.

Nos interesa contar el número de veces que se presenta el atributo en cada individuo (poros en una superficie plástica extruida) Diagramas u.

Gráficos para control de proporciones (p)

Se utiliza para atributos binarios, y por tanto el número de ocurrencias del mismo en un lote puede modelarse por una v.a. Binomial. Así, basta con un gráfico que corresponde a la proporción p de defectuosos en la muestra.

El otro parámetro de la distribución (n), puede ser constante o no y es conocido.

Pasos para la construcción de gráficos pSe toman k muestras cada una de tamaño

ni (ni suele escogerse de manera que se presenten por lo menos tres o cuatro defectos).

Se calcula la fracción de individuos con el atributo en la muestra pi.

Se grafican los valores de pi en el tiempo.grupo elen artículos de Número

grupo elen sdefectuoso artículos de Número

Pasos para la construcción de gráficos p (cont)Se estima el parámetro poblacional

Se obtienen y grafican los límites de control y la línea central.

pppLIC

pppLSC

3max ,1)1(

smuestreado artículos de Total

defectuos artículos de Total

Gráficos para control para cantidades (u)

El interés se centra ahora en ci,el número de veces que el atributo se presenta en cada individuo (no solo su presencia).

Si se supone que la tasa de ocurrencia de los eventos que generan el atributo es constante entonces es razonable asumir que la v.a. sigue una distribución de Poisson, y por tanto, hay que monitorear un solo parámetro ().

Pasos para la construcción de gráficos uSe toman ni individuos (con ni tal que se

presente el atributo alrededor de 10 veces) en cada uno de k puntos en el tiempo.

Se calcula el número promedio de defectos en cada instante:

Se grafican los valores de i en el tiempo.grupo elen artículos de Número

grupo elen atributo el presenta se queen Veces

Pasos para la construcción de gráficos u (cont)

Se estima el parámetro poblacional

Se obtienen y grafican los límites de control y la línea central.

ii nLICLC

smuestreado artículos de Total

defectos de Total

Ejemplo de gráficos u

Ejemplo 2: En una línea de estampado de telas, se toman rollos de 50 metros de tela y se cuenta en cada uno de ellos el número de manchas de pintura que se presentan. Los resultados para 10 muestras se muestran a continuación:Muestra 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Total

Defectos 14 12 20 11 7 10 21 16 19 23 153Num de rollos 10,0 8,0 13,0 10,0 9,5 10,0 12,0 10,5 12,0 12,5 107,5

1,40 1,50 1,54 1,10 0,74 1,00 1,75 1,52 1,58 1,84 1,42

Ejemplo de gráficos u (cont)

Tiempo

2 4 6 8 10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

El gráfico muestra un proceso claramente bajo control.

Ejemplo de gráficos u (cont)

En este caso una “unidad” corresponde a un rollo de tela de 50 metros cuadrados. Otra elección adecuada para la unidad sería simplemente los metros cuadrados. ¿Cómo quedaría el gráfico de control en ese caso? ¿Proveen la misma información ambos gráficos?

Gráficos u y el sistema de deméritos

En algunos casos no todos los tipos de defectos que pueden presentar las piezas tienen la misma gravedad. En ese caso hay dos opciones: Construir un gráfico u para cada uno de

los tipos de defectos. Asignar un “puntaje” a cada tipo de

defecto dependiendo de su gravedad y luego graficar un índice promediado de los defectos.

Gráficos p y el sistema de deméritos (cont)

En este caso se construye un gráfico muy similar al gráfico u, pero donde la variable de interés no es el número de defectos sino el total de deméritos por unidad:

¿cómo hallar la esperanza y la varianza de d?

Defecto Grave Normal LeveDeméritos 10 5 1#/ unidad x3 x2 x1

321 105 xxxd

Otros gráficos para control de atributos

Gráficos np para control del número de defectuosos. Se utilizan en las mismas circunstancias que los gráficos p, pero necesitan que el número de individuos muestreados sea constante en el tiempo.

Gráficos c para control de la cantidad de defectos, que son un caso particular de los gráficos u. También suponen un número de individuos fijo en el tiempo

Variaciones sobre los gráficos de control

Construcción de límites de control en base a valores históricos de los parámetros.

Construcción probabilística de los límites de control. Aunque en la mayor parte de los casos los límites son aproximadamente iguales a los limites probabilísticos, para muestras pequeñas es posible mejorar.

Interpretación de los gráficos de control

Necesitamos determinar si el proceso está bajo control, lo cual se traduce en que los puntos mostrados estén dentro de los límites de control y presenten un comportamiento aleatorio.

Para esto se utilizan una serie de reglas empíricas, cuya presentación se facilita si el área dentro de los límites de control se divide en regiones iguales.

Muestra

rística

5 10 15 20 25

Zona A

Zona B

Zona C

Zona B

Zona A

Interpretación de los gráficos de control (cont)

A las reglas empíricas que se utilizan para determinar si un proceso está bajo control se les suele denominar reglas de parada.

Corresponden a sucesos que tienen muy baja probabilidad de ocurrir si el proceso está bajo control.

Cada una de ellas provee información sobre el tipo de causa asignable que puede estar afectando al proceso.

Reglas de parada

Un punto fuera de la zona A. Corresponde a un cambio repentino en la media o la dispersión del proceso.

Muestra

rística

5 10 15 20 25

Zona A

Zona B

Zona C

Zona B

Zona A

Reglas de parada

Siete puntos en fila, todos crecientes o decrecientes. Se presenta cuando hay cambios paulatinos en la media, debida a desgastes en herramientas o personal.

Muestra

rística

5 10 15 20 25

Zona A

Zona B

Zona C

Zona B

Zona A

Reglas de parada (cont)

Catorce puntos en fila alternando arriba y abajo. Indica correlación negativa entre los datos (cuando hay excesos en una, a la siguiente pieza es muy reducida y viceversa).

Muestra

5 10 15 20 25

Zona A

Zona B

Zona C

Zona B

Zona A

Quince puntos en fila en la zona C. El proceso ha reducido su varianza (hay sobreestabilidad en el sistema). Es importante investigar la fuente de la mejora.

Muestra

rística

5 10 15 20 25

Zona A

Zona B

Zona C

Zona B

Zona A

Dos de tres puntos consecutivos en la zona A o más allá. Indican un incremento en la varianza del proceso.

Muestra

5 10 15 20 25

Zona A

Zona B

Zona C

Zona B

Zona A

Estructuras periódicas. Estas están asociadas normalmente con cambios de turnos, operarios, días de la semana, etc.

Muestra

rística

5 10 15 20 25

Zona A

Zona B

Zona C

Zona B

Zona A

Nunca trate de explicar la influencia de todos y cada uno de los eventos que ocurren en la planta a través de gráficos de control. El procedimiento correcto es detectar ALARMAS y luego usar los registros de eventos para determinar si corresponden a causas asignables o a causas comunes.

Interpretación de los gráficos de control (cont)

El calculo del nivel de significancia para las reglas de parada que se establezcan es importante para un correcto análisis. Un punto que incumple una regla de parada es una ALARMA pero no necesariamente significa que nuestro proceso está fuera de control, ya que si no podemos ligarlo a una causa asignable puede tratarse del azar.

Ejemplos adicionales

Ejemplo 3.- Dentro de un proceso de moldeo de PVC las piezas elaboradas pueden presentar o no defectos superficiales. Cada día se toman 100 piezas al azar de la línea de producción y se cuenta el número de piezas defectuosas.

Día Defectos Día Defectos1 9 16 92 16 17 53 5 18 64 6 19 45 7 20 116 9 21 37 3 22 18 9 23 39 10 24 010 4 25 411 7 26 612 10 27 113 6 28 614 6 29 515 7 30 4

Ejemplos adicionales (cont)

También se dispone de un registro de eventos en la línea, que puede resumirse como:Día Evento5 Reemplazo de la mezcladora.10 Nuevo empleado asume la operación del

proceso.18 Se comenzó a utilizar resina (materia

prima) de otro proveedor.22 Sustitución del sistema de enfriamiento, lo

que permitió un incremento en latemperatura de inyección de PVC.

El gráfico p correspondiente a estos datos es el siguiente

0 5 10 15 20 25 30

LSC=0.1323

LC=0.0606

LIC=0.0000

Ejemplos adicionales (cont)Si bien el punto 2 aparece fuera de los

límites, no existe en el registro ningún evento que nos haga creer que el proceso se encontraba fuera de control.

Al llegar al punto 29 se presenta una racha de 9 puntos bajo la línea central (lo cual tiene una probabilidad de 0,00195 en un proceso bajo control). Esto se puede relacionar con el cambio en el sistema de enfriamiento (día 22). El 30 es similar.

Nuestra conclusión es que la temperatura de inyección influye sobre la frecuencia en que aparecen defectos superficiales. El cambio del sistema de enfriamiento permitió elevar la temperatura, lo cual redujo el número de defectos.

Para avalar nuestra observación se podría haber realizado una prueba de igualdad de proporciones.

Tolerancias y capacidad

La literatura suele distinguir entre dos tipos de tolerancias: Tolerancias de diseño: las cuales son

fijadas por el departamento de ingeniería. Están relacionadas con el concepto de calidad en el diseño.

Tolerancias de naturales: que vienen dadas por las características de la máquina o proceso.

Tolerancias y capacidad (cont)

Si las tolerancias naturales de un proceso son más estrictas que las tolerancias de diseño entonces es fácil obtener calidad de conformidad.

Sin embargo, si las tolerancias de diseño se vuelven incompatibles con las tolerancias naturales de nuestro proceso, muy difícilmente lograremos elaborar productos que las satisfagan.

Las tolerancias de diseño deben ser realistas: deben representar un compromiso entre el mercado y nuestro sistema de producción.

Tolerancias de diseño

Tolerancias naturalesMercado

Tolerancias y capacidad (cont)

Estudios de capacidad

Su objetivo es cuantificar la variabilidad inherente a un proceso o a una parte del mismo (determinar tolerancias naturales) y analizar dicha variabilidad en relación con las especificaciones del producto (tolerancias de diseño).

No tiene sentido hablar de capacidad para procesos que no se encuentran en estado de control.

Estudios de capacidad (cont)Los objetivos que se pueden perseguir a la

hora de realizar un estudio de capacidad pueden ser diversas: Determinar si nuestros procesos son capaces

de elaborar productos con la calidad que requiere el mercado. Esto permite detectar la necesidad de acciones drásticas.

Determinar valores “razonables” para las especificaciones de un producto nuevo.

Elegir entre diversos proveedores.

Estudios de capacidad (cont)

En la industria a veces se habla de dos tipos de capacidad Capacidad de las máquinas (u operarios) o

capacidad a corto plazo. Capacidad del proceso o capacidad a largo

plazo.Los requisitos de capacidad a corto

plazo suelen ser más exigentes que los de largo plazo, ¿puede decir por qué?

Se dice que un proceso es capaz para producir un determinado artículo a un nivel de calidad si la probabilidad de que los productos que se elaboran correspondan con las especificaciones es al menos .

Está concepción está ligada a una función de utilizada 0-1.

El resultado de un estudio de capacidad suele presentarse en la forma de un histograma al cual se le añaden indicaciones sobre el valor objetivo de la característica de calidad y los límites de especificación de la misma. También pueden utilizarse los diagramas de control.

Además, suelen utilizarse algunos índices para facilitar el análisis.

Indices de capacidad

Si los procesos están centrados: Capacidad de máquinas

Capacidad de procesos

Los valores de 6 y 8 se han fijado de modo que la conformidad sea de al menos 99.865% y 99.997% si los datos provienen de una distribución normal.

LITLSTCm

LITLSTC p

Indices de capacidad (cont)

Ciertas industrias (aviación, automóviles) utilizan otros valores como 10 y 12.

Se desea que el índice de capacidad sea tan grande como sea posible: Si Cp < 1 se dice que el proceso no es capaz.

Si 1 < Cp < 1.33 el proceso es capaz, pero cualquier pequeño cambio en las condiciones puede hacer que pierda esta cualidad.

Si Cp > 1.33 el proceso es capaz y robusto.

Cuando el proceso no está centrado se hace necesario redefinir los índices. Para máquinas:

Para procesos:

minLITXXLST

Indices de capacidad (cont)Puede comprobarse fácilmente que

y que la igualdad se cumple si y solo si el proceso está centrado. Además, entre mayor es la diferencia, mayor es el descentramiento

Los índices Cmk y Cpk pueden interpretarse como la capacidad hasta la tolerancia más próxima.

ppkmmk CCCC y

De hecho, la misma idea sobre la que se basan estos índices puede utilizarse en el caso de especificaciones unilaterales. ¿Cómo podría hacerlo?

En algunos casos se estudia la evolución de la capacidad del proceso en el tiempo mediante gráficos de control.

Capacidad y falta de normalidad

Si la distribución de los datos no es normal, es posible que aparezcan más defectos de los que se esperan bajo un índice de normalidad.

Una forma de corregir el problema es hallar límites universales (desigualdad de Chebyshev), pero estos tenderán a ser demasiado amplios.

Otra forma es ajustar una distribución.

Ejemplos

Ejemplo 5: Se tienen datos sobre la resistencia a la presión interna de botellas para gaseosas en 20 muestras de 5 observaciones cada una. Los gráficos de control correspondientes pueden verse a continuación. Las especificaciones para el proceso establecen que la resistencia debe ser superior a 200, y no se establecen valores máximos.

Ejemplos (cont)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Ejemplos (cont)

De las gráficas es claro que el proceso está bajo control. Por tanto podemos estimar la variabilidad natural del proceso debida a causas comunes como:

y la localización del proceso como

23,33326,2

06,264 X

Ejemplos (cont)

Nótese que el límite de especificación es unilateral (botellas con mucha resistencia no son de ningún modo defectuosas). Así pues:

Lo cual es un valor muy bajo, especialmente si consideramos que se trata de un parámetro relacionado con la seguridad.

64,023,333

20006,264

LITC pkl

Ejemplos (cont)

160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360

Resistencia interna

La muestra presenta un 3% de observaciones fuera de especificación, en línea con el 2,6% que se espera de la aproximación normal. ¿Cómo se obtiene este último número?

Ejemplos (cont)

Este es un ejemplo de un proceso bajo control (estable) pero que funciona a un nivel de calidad inaceptable (capacidad insuficiente).

La producción de artículos defectuosos en este caso no puede ser controlada por el operario ya que solo están presentes causas comunes. Es necesaria la intervención de la gerencia.

Ejemplos (cont)

De hecho, es fácil calcular el nivel de variabilidad aceptable para el proceso. Si se desea un índice de capacidad de 1,33 entonces

es decir, se hace necesario cortar la dispersión a menos de la mitad.

055,1633,13

20006,264

Papel de la inspección en el sistema de calidad

Con el advenimiento del SPC el muestreo se concibe como un medio para determinar conformidad más que para mejorar calidad de los productos.

Aunque el objetivo filosófico de la calidad total es cero defectos, en la aplicación práctica se tolera un cierto nivel de disconformidades. Se trata de lograr un compromiso entre el SPC y la inspección

Acciones de inspección

Aceptación ciega (no inspección): para piezas no críticas o piezas baratas con defectos fácilmente descartables.

Inspección completa: se justifica cuando

Inspección por muestreo: cuando esto no se cumple, o cuando el volumen de piezas es alto o si los ensayos son destructivos.

id CpC

Ventajas y desventajas del muestreo

VentajasEs menos costoso.Hayun menor manejo

del producto.Puede aplicarse en

pruebas destructivas.A menudo reduce los

errores de inspección.Rechazar lotes enteros

impone presión.

DesventajasExiste el riesgo de

aceptar lotes “malos” y rechazar “buenos”.

Se obtiene menos información.

Se necesita planificación previa.

Tipos de planes de muestreo

En base al tipo de característica medida: Planes de muestreo por atributos. Planes de muestreo por variables.

En base al número de muestras tomadas: Planes de muestreo simple. Planes de muestreo múltiple. Planes de muestreo secuencial.

Condiciones para el uso de inspección por muestreo

Las condiciones de producción de las unidades que conforman los lotes deben ser homogéneas.

Las muestras que se tomen deben ser aleatorias y representativas de todos los artículos del lote.

Es preferible utilizar lotes grandes en lugar de lotes pequeños.

AleatorizaciónSi se utilizan métodos de juicio para

seleccionar la muestra se pierde la base estadística del procedimiento.

En el procedimiento de aleatorización se debe garantizar que todas las muestras tengan la misma probabilidad de ocurrencia.

Suponemos conocido N tamaño del lote) y n (tamaño de la muestra).

Aleatorización en línea o secuencial

Cuando los productos se reciben uno por uno, cada vez que se obtiene uno debe decidirse si entra en la muestra o no.

La probabilidad de cada artículo entre en la muestra va a depender del número de artículos que ya han entrado en ella k, así como de n y N. De hecho,

1)muestra laen entre ésimo(

Aleatorización en línea o secuencial (cont)

El algoritmo puede resumirse como

Inicializar k = 0.Para todo i desde 1 hasta N,

Generar UUni(0,1).Si U < (n - k)/(N - i + 1),

Escoger el i-esimo artículo para la muestraAsignar k = k + 1.

en caso contrarioDescartar el i-esimo artículo de la muestra

Aleatorización fuera de línea

Otro algoritmo de aleatorización que es bastante intuitivo cuando los productos se reciben en grupos corresponde a generar una variación al azar de los elementos del lote. Esto requiere tenerlos identificados (por serial, ubicación u otro código).

Este mismo algoritmo puede adaptarse para generar una permutación al azar.

Aleatorización fuera de línea (cont)

Si asumimos que los identificadores están contenidos en el vector e el algoritmo es

Para todo i desde 1 hasta n,Generar UUni(0,1).Asignar s = N - i + 1.Asignar k = sU + 1.Escoger e(k) como miembro de la muestra.Intercambiar los contenidos de e(k) y e(s).

Muestreo simple por atributos

Este tipo de planes son los difundidos en la práctica comercial ya que son a la vez versátiles y sencillos de aplicar.

Para definir un plan de muestreo simple por atributos es necesario fijar dos parámetros: el tamaño de la muestra n y el número de aceptación c. Cualquier lote que presente una muestra con más de c unidades disconformes es rechazado.

Modelos probabilísticos en el muestreo por atributosEl valor de la variable aleatoria C, número

de piezas defectuosas contenido en una muestra de una población viene dado por una distribución hipergeométrica

donde p es la proporción de disconformes en el lote (punto de vista del consumidor).

Modelos probabilísticos en el muestreo por atributos

Cuando el tamaño del lote N es grande respecto al tamaño de la muestra n, la distribución puede aproximarse por una binomial.

La misma distribución es exacta cuando consideramos el proceso desde el punto de vista del productor. ¿Por qué?

cnc ppc

Curvas características de operaciónLas curvas CO muestran la probabilidad

de aceptación del lote como función de la fracción defectuosa contenida en este.

A cada plan de muestreo (o sea, a cada par de valores n y c) le corresponde una curva CO distinta.

Usualmente, la elección de un plan se basa en su curva CO.

124Proporcion de defetos en el lote

0.0 0.02 0.04 0.06 0.08

Curvas características de operación (cont)

Por ejemplo, la curva CO para el plan con N = 1000, n = 89 y c = 2 es

Suele distinguirse entre curvas CO de tipo A o curvas CO del consumidor cuando las mismas se construyen a partir de la distribución hipergeométrica y curvas CO tipo B o curvas CO del productor cuando las mismas se construyen a partir de la distribución binomial.

126Proporcion de defetos en el lote

0.0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10

N=100N=Infinito

Curvas CO tipo A y B para n = 25 y c = 0.

Como la diferencia entre las curvas mostradas es pequeña, en la práctica los planes se diseñan basandose las curvas tipo B. Estos permite diseñar los planes independientemente del tamaño del lote.

Sin embargo debe recordarse que para el consumidor esto es una aproximación cuya validez debe verificarse en cada caso.

¿Cómo sería la curva CO ideal?

Curvas CO con relación n/N fija y c = 0.

Proporcion de defetos en el lote

0.0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10

N = 50,n = 5N = 100,n = 10N = 200,n = 20N = 1000,n = 100

Diseño de planes de muestreo

El diseño clásico de planes de muestreo se basa en la especificación de algunos puntos dentro de la curva CO. NCA: nivel de calidad aceptable, es el peor

nivel de calidad que el consumidor considera aceptable como media del proceso.

: riesgo del productor, es la probabilidad de que el plan rechace un lote con una proporción defectuosa igual al NCA. Se desea que sea bajo para proteger al productor.

Diseño de planes de muestreo (cont)

NCL: nivel de calidad limitativo, es el peor nivel de calidad que el consumidor considera aceptable en un lote individual.

: riesgo del consumidor, es la probabilidad de que el plan acepte un lote con una proporción defectuosa igual al NCL. Se desea que su valor sea pequeño ya que se trata del tope aceptable por el consumidor.

Una vez que se fijan estos cuatro valores la curva característica está determinada en forma única y por tanto el plan de muestreo también. Para obtener n y c hay que resolver las ecuaciones:

NCLNCLdnd

NCANCAdnd

)1()!(!

Si NCA < NCL y < 1 - , este par de ecuaciones siempre tienen solución (aunque no en forma explícita). Sin embargo, dependiendo de cómo se fijen los parámetros anteriores es posible que el plan sea irrealizable en la práctica.

En general mientras más cercanos sean el NCA y el NCL mayor será el tamaño de la muestra n y, por tanto, más complejo el plan.

Planes de muestreo dobles por atributos

En estos planes la decisión tras observar la primera muestra tomada del lote puede ser aceptarlo, rechazarlo o tomar una segunda muestra. Si esto último se decide entonces la aceptación o el rechazo se basan en la información proveniente de ambas muestras.

Planes de muestreo dobles por atributos (cont)

Así pues, para determinar un plan de muestreo doble es necesario fijar cuatro valores: el tamaño de la primera muestra (n1), el número de aceptación de la segunda muestra (c1), el tamaño de la segunda muestra (n2) y el número de aceptación para ambas muestras combinadas (c2).

Si llamamos di al número de defectos en la i-ésima muestra podemos resumir así:

¿ d1 c1? ¿ d1 > c2?

¿ d1 + d2 c2?

Tomar muestrade tamaño n1

Tomar muestrade tamaño n2

Aceptar lote Rechazar lote

Rechazar lote

Aceptar loteSI SI

Dos ventajas de estos planes son: Cuando se utiliza reducción en la segunda

muestra pueden haber ahorros importantes. Sicológicamente son más fáciles de aceptar

ya que estos planes le dan al lote una segunda oportunidad.

La principal desventaja de los planes dobles es que requieren mayor planificación previa.

Curvas CO para planes de muestreo dobles

El cálculo de las curvas CO es ahora más complejo. Llamando Xi al número de disconformes en la i-ésima muestra (i = 1,2) entonces Pa, la probabilidad de aceptación del lote, es:

21122121111

)()()(

)|()()(

sXPdXPdXP

dcXPdXPcXP

cXccXXPcXcPcXPP

Curvas CO para planes de muestreo dobles (cont)

Igualmente existen curvas tipo A (cuando se usa la distribución hipergeométrica para las Xi) o tipo B (cuando se usa la distribución binomial).

Muchas veces se incluye también una curva CO para la primera y para la segunda muestras por separado, las cuales se hayan de la misma forma que se hizo en los planes simples.

Por ejemplo, para el plan n1 = 50, c1 = 1, n2 = 100, c2 = 3 las curvas tipo B son:

Proporcion disconforme en el lote

0.0 0.05 0.10 0.15

Prob. acep. combinadaProb. acep. 1° muestraProb. rech. 1° muestra (derecha)

Es importante destacar que la probabilidad de aceptación y rechazo en la primera muestra no suman 1, ya que se le da oportunidad a tomar una segunda muestra.

El diseño en este caso también se hace especificando NCA, , NCL y . Sin embargo la solución de las ecuaciones es en este caso más complicado.

Curvas del número muestral medio

Es importante conocer cual es el número promedio de inspecciones que se van a realizar bajo el plan de muestreo doble, como función del verdadera proporción disconforme en lote. Si las dos muestras se toman completamente, el cálculo es muy sencillo a partir de las curvas CO:

)( 1121 cXPnnNMM

Curvas del número muestral medio (cont)

Sin embargo, cuando se utiliza reducción (es decir, si se interrumpe la toma de la segunda muestra cuando el total de disconformes supera a c2) el número muestral medio es menor y el cálculo es más engorroso.

Note que la reducción podría utilizarse también en planes de muestreo simple. ¿Por qué esto no se hace?

Norma MIL-STD-105D (ANSI/ASQC Z1.4)

Es una norma militar publicada en 1963.Presenta planes de muestreo simples,

dobles y múltiples.Está basado en el NAC.Se puede utilizar para controlar la

proporción de defectos o el número de defectos por unidad.

La norma equivalente venezolana es la COVENIN 3133-1:1997 (ISO 1859-1:1989)

Norma MIL-STD-105D (ANSI/ASQC Z1.4) (cont)

Determinar el nivel de inspección, el cual está relacionado con el tamaño muestral. Usualmente se utiliza el nivel II pero el nivel III se usa cuando el costo de inspección es bajo y el nivel I cuando el costo es alto. Los planes especiales se utilizan con ensayos son destructivos, en los cuales se desean tamaños mínimos.

Determinar el tamaño del lote.

Hallar la letra código del plan.

Elegir el número de muestras del plan de muestreo: simple, doble o múltiple.

Elegir el NAC (en porcentaje).Seleccionar el tipo de inspección

(normal, reducida o severa). El plan contiene reglas para saltar entre los distintos planes (ver siguiente lámina).

Usando el NAC y la letra código determinar el plan a partir de las tablas.

Reducida Normal Severa

Se aceptan 5lotes consecutivos

Se rechazan 2 de 5lotes consecutivos

Se aceptan 10lotes consecutivos

Se rechaza 1 lote ola producción es irregular

Inicio

10 lotesconsecutivos

bajoinspecdión

estrictaInterrupcción

Planes para muestreo simple con nivel de inspección normal.

Si en la posición correspondiente no se encuentra ningún plan, seguir la flecha hasta encontrar uno. Se debe tomar entonces el nuevo tamaño muestral y el nuevo número de aceptación.

Si tamaño muestral es mayor que el del lote, realice inspección al 100%.

Ejemplo 7: suponga que se espera recibir lotes de 2.000 de un proveedor nuevo, y que la gerencia ha decido soportar un NAC de 0.1%. Le piden que determine un plan de muestreo para investigar la calidad de los artículos del proveedor. Tome en cuenta que la inspección de este tipo de productos es muy fácil y barata.

Para obtener la letra código del plan necesitamos el tamaño del lote N (el cual conocemos) y el nivel de inspección. Como la inspección de estos artículos es sencilla y barato, podemos utilizar un nivel de inspección III, lo cual implica que el tamaño de nuestras muestras n va a ser un poco más grandes que con cualquier otra alternativa.

Una vez que obtenemos la letra código L, lo único que necesitamos es determinar el nivel de inspección. Como se trata de un nuevo proveedor, escogemos un nivel normal. Entrando en la tabla correspondiente, con un NAC de 0.1 y la la letra código L, el plan de muestreo simple correspondiente es n = 150 y c = 0 (como no hay plan, se sigue la flecha)

Inspección rectificadora

Cuando un lote es rechazado por el plan de muestreo lo más común es que este sea inspeccionado al 100% (bien sea por el productor o por el consumidor). En ese caso los artículos disconformes son eliminados o reemplazados, de modo que la proporción disconforme de estos lotes es cero.

Inspección rectificadora (cont)

El esquema de inspección en este caso se puede resumir en el siguiente gráfico

Lotesentrantes

Lotesaceptados

Lotesrechazados

Inspecciónal 100%

Lotessalientes

p = p0

p = p0 p < p0

Es importante conocer cual la calidad promedio de los lotes una vez que se ha realizado la depuración de los rechazados. Esto se conoce como la calidad media de salida (CMS) y se calcula como

donde p es la fracción defectuosa y Pa es la probabilidad de aceptar el lote.

nNpPCMS a

La curva CMS para un plan de muestreo simple con n = 89 y c = 2 es:

0.0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10

Otra característica importante de los planes de muestreo rectificativo es el número de artículos inspeccionados en el lote. A esto se le conoce como la inspección total media (ITM) y viene dado por:

))(1( nNPnITM a

La curva ITM para el mismo plan de muestreo simple con n = 89 y c = 2 es:

0.0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10

N=1000N=5000N=10000

calidad co

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