analsis real 1 pmc

Universidad Catolica del Maule

Facultad de Ciencas Basicas

Departamento de Matematica

Pedagogıa en Matematica y Computacion Invierno, Agosto 2015

Asignatura: Analisis Real I

EXE1: Axioma del Supremo / Completitud

1. Demuestre que inf{ 1

3n+ 1

∣∣ n ∈ N}

= 0.

2. Demuestre que los numeros irracionales son densos en R, es decir entre dos numeros reales existe un numero

irracional.

3. Para cada uno de los siguientes subconjuntos de R determine si es acotado, si es acotado superiormente, si

es acotado inferiormente, existencia de ınfimo y supremo, existencia de mınimo y maximo.

a) {x ∈ R | [x+ 1] < 3} con [x] la parte entera de x.

b){x ∈ R

∣∣ x+4

x< 4}

c) {x ∈ Z | x2 < 11}

d) {x ∈ Q | x2 < 7}

e) {x ∈ R | |x2 − 3x| < 4}

f){

(−1)n +1

n+ 1

∣∣ n ∈ N}

4. Sean A y B dos subconjuntos no vacios de R que verifican las propiedades:

a) A ∪B = R

b) Todo elemento de A es menor que todo elemento de B

Demuestre que existe un unico numero real ε que es simultaneamente cota superior de A y cota inferior de

B.

5. Como ejemplo encuentre dos subconjuntos A y B que verifiquen las propiedades del problema anterior.

Para estos dos subconjuntos encuentre el numero real ε y verifique que cumple con las conclusiones que

indica el problema anterior.

6. Para cada n ∈ N se define sn =n+ 2

n+ 1. Para cada uno de los numeros reales ε que se indican mas adelante,

determine el menor numero natural N , si es que existe, de modo que se tenga |sn− 1| < ε para todo n > N

con:

i) ε =1

3; ii) ε = 0, 001; iii) ε = 0, 000001

7. Para cada n ∈ N se define sn = 1 +1

2+

1

4+ · · ·+ 1

2n. Para cada uno de los numeros reales ε que se indican

mas adelante, determine el menor numero natural N , si es que existe, de modo que se tenga |sn − 2| < ε

para todo n > N con:

i) ε =1

8; ii) ε = 0, 001

Jorge Gonzalez-Lorca.

LATEX2ε.

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