algebra_2011-2_solemne_1_pauta

Universidad Andres BelloFacultad de IngenierıaDepartamento de Matematicas

Algebra (FMM013)SOLEMNE 1

Septiembre 23, 2011.Duracion: 90 minutos.

Importante: No se asignaran puntos por respuestas sin justificacion.

Problema 1 : (1,2 puntos) Encuentre todas las raıces, reales y complejas, del polinomio

P (z) = z4 − z3 + z − 1

Solucion:

z4 − z3 + z − 1 = z3(z − 1) + (z − 1)

= (z3 + 1)(z − 1)

= (z2 − z + 1)(z + 1)(z − 1)

Tenemos que z1 = −1 y z2 = 1 son raıces de P (z).Buscamos las raıces de (z2 − z + 1).

z =1±

√(−1)2 − 4(1)(1)

2(1)

z =1± i

√3

2

Entonces las otras dos raıces de P (z) son z3 =1 + i

√3

2y z4 =

1− i√

3

2.

Problema 2 : (1,2 puntos) Encuentre todos los x ∈ [0, 2π) tal que

2 cos x = cot x

Solucion:

2 cos x = cot x

2 cos x =cos x

sen x

2 cos x− cos x

sen x= 0

(cos x)

(2− 1

sen x

)= 0

Por lo tanto

cos x = 0 o 2− 1

sen x= 0

Para cos x = 0 con x ∈ [0, 2π) tenemos que x = π2

o x = 3π2

.

Para 2− 1

sen x= 0 con x ∈ [0, 2π) tenemos sen x = 1

2, y por lo tanto x = π

6o x = 5π

6

Las raıces buscadas son π2, 3π

2, π

6, 5π

6.

Problema 3 : (1,2 puntos) Factorize el polinomio

P (z) = z2 − (2 + 2i)z + (2i− 1)

Solucion:

z =2 + 2i±

√(2 + 2i)2 − 4(1)(2i− 1)

2(1)

z =2 + 2i±√4 + 8i− 4− 8i + 4

2

z =2 + 2i±√4

2

z =2 + 2i± 2

2

Entonces las raıces de P (z) son z1 = (2 + i) y z2 = i.La factorizacion es

P (z) = (z − 2− i)(z − i)

Problema 4 : (1,2 puntos) Descomponga en fracciones parciales

5x2 − 8x + 5

(x− 2)(x2 − x + 1)

Solucion:Tenemos que x2 − x + 1 no se factoriza en los reales, entonces la descomposicion enfracciones parciales tiene la forma:

5x2 − 8x + 5

(x− 2)(x2 − x + 1)=

A

x− 2+

Bx + C

x2 − x + 1

=Ax2 − Ax + A + Bx2 − 2Bx + Cx− 2C

(x− 2)(x2 − x + 1)

=(A + B)x2 + (−A− 2B + C)x + A− 2C

(x− 2)(x2 − x + 1)

Debemos resolver

A + B = 5−A− 2B + C = −8A− 2C = 5

Resolviendo obtenemos A = 3, B = 2, C = −1.La descomposicion buscada es

5x2 − 8x + 5

(x− 2)(x2 − x + 1)=

3

x− 2+

2x− 1

x2 − x + 1

Problema 5 : (1,2 puntos) Dos trenes parten simultaneamente de una estacion en di-reccion tal que forman un angulo de 30o. Uno va a 15 km/hr y el otro a 25 km/hr.Determina a que distancia se encuentran separados despues de dos horas de viaje.

Solucion:

El primer tren a recorrido A = 30km y el segundo a recorrido B = 50km.El angulo entre ellos es de 30o. Por lo tanto, aplicando el teorema del coseno, la distanciaC entre ellos es

C =√

302 + 502 − (30)(50) cos 30o

C =

√900 + 2500− 1500(

√3/2)

C =

√3400− 750

√3

C ∼= 45,8