algebra_2011-2_solemne_1_pauta
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Universidad Andres BelloFacultad de IngenierıaDepartamento de Matematicas
Algebra (FMM013)SOLEMNE 1
Septiembre 23, 2011.Duracion: 90 minutos.
Importante: No se asignaran puntos por respuestas sin justificacion.
Problema 1 : (1,2 puntos) Encuentre todas las raıces, reales y complejas, del polinomio
P (z) = z4 − z3 + z − 1
Solucion:
z4 − z3 + z − 1 = z3(z − 1) + (z − 1)
= (z3 + 1)(z − 1)
= (z2 − z + 1)(z + 1)(z − 1)
Tenemos que z1 = −1 y z2 = 1 son raıces de P (z).Buscamos las raıces de (z2 − z + 1).
z =1±
√(−1)2 − 4(1)(1)
2(1)
z =1± i
√3
2
Entonces las otras dos raıces de P (z) son z3 =1 + i
√3
2y z4 =
1− i√
3
2.
Problema 2 : (1,2 puntos) Encuentre todos los x ∈ [0, 2π) tal que
2 cos x = cot x
Solucion:
2 cos x = cot x
2 cos x =cos x
sen x
2 cos x− cos x
sen x= 0
(cos x)
(2− 1
sen x
)= 0
Por lo tanto
cos x = 0 o 2− 1
sen x= 0
Para cos x = 0 con x ∈ [0, 2π) tenemos que x = π2
o x = 3π2
.
Para 2− 1
sen x= 0 con x ∈ [0, 2π) tenemos sen x = 1
2, y por lo tanto x = π
6o x = 5π
6
Las raıces buscadas son π2, 3π
2, π
6, 5π
6.
Problema 3 : (1,2 puntos) Factorize el polinomio
P (z) = z2 − (2 + 2i)z + (2i− 1)
Solucion:
z =2 + 2i±
√(2 + 2i)2 − 4(1)(2i− 1)
2(1)
z =2 + 2i±√4 + 8i− 4− 8i + 4
2
z =2 + 2i±√4
2
z =2 + 2i± 2
2
Entonces las raıces de P (z) son z1 = (2 + i) y z2 = i.La factorizacion es
P (z) = (z − 2− i)(z − i)
Problema 4 : (1,2 puntos) Descomponga en fracciones parciales
5x2 − 8x + 5
(x− 2)(x2 − x + 1)
Solucion:Tenemos que x2 − x + 1 no se factoriza en los reales, entonces la descomposicion enfracciones parciales tiene la forma:
5x2 − 8x + 5
(x− 2)(x2 − x + 1)=
A
x− 2+
Bx + C
x2 − x + 1
=Ax2 − Ax + A + Bx2 − 2Bx + Cx− 2C
(x− 2)(x2 − x + 1)
=(A + B)x2 + (−A− 2B + C)x + A− 2C
(x− 2)(x2 − x + 1)
Debemos resolver
A + B = 5−A− 2B + C = −8A− 2C = 5
Resolviendo obtenemos A = 3, B = 2, C = −1.La descomposicion buscada es
5x2 − 8x + 5
(x− 2)(x2 − x + 1)=
3
x− 2+
2x− 1
x2 − x + 1
Problema 5 : (1,2 puntos) Dos trenes parten simultaneamente de una estacion en di-reccion tal que forman un angulo de 30o. Uno va a 15 km/hr y el otro a 25 km/hr.Determina a que distancia se encuentran separados despues de dos horas de viaje.
Solucion:
El primer tren a recorrido A = 30km y el segundo a recorrido B = 50km.El angulo entre ellos es de 30o. Por lo tanto, aplicando el teorema del coseno, la distanciaC entre ellos es
C =√
302 + 502 − (30)(50) cos 30o
C =
√900 + 2500− 1500(
√3/2)
C =
√3400− 750
√3
C ∼= 45,8