algebra_2011-1_solemne_1_pauta

Universidad Andres BelloFacultad de IngenieraDepartamento de Matematicas

Algebra (FMM013)SOLEMNE 1

Abril 15, 2011.Duracion: 90 minutos.

Importante: No se asignaran puntos por respuestas sin justificacion.

Problema 1 : (1,2 puntos) Considere el polinomio

p(x) = ax4 + bx3 + 6x2 12x+ 4

Determine a y b de modo que el resto de la division de p(x) por x2 1 sea 2x+ 1Solucion:Tenemos

ax4 + bx3 + 6x2 12x+ 4 = q(x)(x2 1) + (2x+ 1)Evaluando en x = 1 tenemosa+ b+ 6 12 + 4 = 2(1) + 1a+ b = 5Evaluando en x = 1a b+ 6 + 12 + 4 = 2(1) + 1a b = 23

Resolviendo el sistema

{a+ b = 5a b = 23

obtenemos a = 9, b = 14.Problema 2 : (1,2 puntos) Encuentre todos los x [0, 2pi) tal que

sen(pi x) = cos(3pi

2 x)+ cos pi

Solucion:Notamos primero quesen(pi x) = sen xcos(3pi2 x) = senx

cos pi = 1luego la ecuacion queda

senx = senx 1senx = 1

2

En el intervalo [0, 2pi) las soluciones son

x =7pi

6

x =11pi

6

Problema 3 : (1,2 puntos) Encuentre todos los x R tal que

cos4 x+ 4 sen2 x 1 = 0

Solucion:Tenemos

cos4 x+ 4 sen2 x 1 = 0cos4 x+ 4(1 cos2 x) 1 = 0

cos4 x 4 cos2 x+ 3 = 0(cos2 x 3)(cos2 x 1) = 0

Entonces cos2 x = 3 o cos2 x = 1.La primera opcion es imposible pues 1 cosx 1.De cos2 x = 1 obtenemoscosx = 1 o cos x = 1Entonces x = kpi, k Z son todas las soluciones de la ecuacion en R.

Problema 4 : (1,2 puntos) Descomponga en fracciones parciales

x2 + 10x 36x(x 3)2

Solucion:

x2 + 10x 36x(x 3)2 =

A

x+

B

x 3 +C

(x 3)2Entonces

x2 + 10x 36 = A(x 3)2 +Bx(x 3) + CxEvaluando en x = 0 obtenemos36 = A(9) entonces A = 4Evaluando en x = 3 obtenemos9 + 30 36 = 3C entonces C = 1Con los valores encontrados de A y C evaluamos en otro x, por ejemplo en x = 1,tenemos1 10 36 = (4)(16) +B(1)(4) + (1)(1)20 = 4B entonces B = 5La descomposicion buscada es

x2 + 10x 36x(x 3)2 =

4x

+5

x 3 +1

(x 3)2

Problema 5 : (1,2 puntos) Desde un punto P situado a nivel del suelo, el angulo deelevacion de la parte mas alta de una torre es de . Desde un punto Q que esta a25 metros mas cercano a la torre y el la misma linea que P y la base de la torre, elangulo de elevacion de la parte mas alta de la torre es . De una expresion que permitacalcular la altura de la torre.

Solcion:Sea h la altura de la torre, y sea d la distancia del punto Q a la base de la torre.Tenemos

tan =h

dy

tan =h

25 + d

De la primera ecuacion d =h

tan Sustituyendo en la segunda obtenemos

tan =h

25 + hd

Despejando h se obtiene

h =25 tan tan

tan tan