algebra_2011-1_solemne_1_pauta
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Universidad Andres BelloFacultad de IngenieraDepartamento de Matematicas
Algebra (FMM013)SOLEMNE 1
Abril 15, 2011.Duracion: 90 minutos.
Importante: No se asignaran puntos por respuestas sin justificacion.
Problema 1 : (1,2 puntos) Considere el polinomio
p(x) = ax4 + bx3 + 6x2 12x+ 4
Determine a y b de modo que el resto de la division de p(x) por x2 1 sea 2x+ 1Solucion:Tenemos
ax4 + bx3 + 6x2 12x+ 4 = q(x)(x2 1) + (2x+ 1)Evaluando en x = 1 tenemosa+ b+ 6 12 + 4 = 2(1) + 1a+ b = 5Evaluando en x = 1a b+ 6 + 12 + 4 = 2(1) + 1a b = 23
Resolviendo el sistema
{a+ b = 5a b = 23
obtenemos a = 9, b = 14.Problema 2 : (1,2 puntos) Encuentre todos los x [0, 2pi) tal que
sen(pi x) = cos(3pi
2 x)+ cos pi
Solucion:Notamos primero quesen(pi x) = sen xcos(3pi2 x) = senx
cos pi = 1luego la ecuacion queda
senx = senx 1senx = 1
2
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En el intervalo [0, 2pi) las soluciones son
x =7pi
6
x =11pi
6
Problema 3 : (1,2 puntos) Encuentre todos los x R tal que
cos4 x+ 4 sen2 x 1 = 0
Solucion:Tenemos
cos4 x+ 4 sen2 x 1 = 0cos4 x+ 4(1 cos2 x) 1 = 0
cos4 x 4 cos2 x+ 3 = 0(cos2 x 3)(cos2 x 1) = 0
Entonces cos2 x = 3 o cos2 x = 1.La primera opcion es imposible pues 1 cosx 1.De cos2 x = 1 obtenemoscosx = 1 o cos x = 1Entonces x = kpi, k Z son todas las soluciones de la ecuacion en R.
Problema 4 : (1,2 puntos) Descomponga en fracciones parciales
x2 + 10x 36x(x 3)2
Solucion:
x2 + 10x 36x(x 3)2 =
A
x+
B
x 3 +C
(x 3)2Entonces
x2 + 10x 36 = A(x 3)2 +Bx(x 3) + CxEvaluando en x = 0 obtenemos36 = A(9) entonces A = 4Evaluando en x = 3 obtenemos9 + 30 36 = 3C entonces C = 1Con los valores encontrados de A y C evaluamos en otro x, por ejemplo en x = 1,tenemos1 10 36 = (4)(16) +B(1)(4) + (1)(1)20 = 4B entonces B = 5La descomposicion buscada es
x2 + 10x 36x(x 3)2 =
4x
+5
x 3 +1
(x 3)2
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Problema 5 : (1,2 puntos) Desde un punto P situado a nivel del suelo, el angulo deelevacion de la parte mas alta de una torre es de . Desde un punto Q que esta a25 metros mas cercano a la torre y el la misma linea que P y la base de la torre, elangulo de elevacion de la parte mas alta de la torre es . De una expresion que permitacalcular la altura de la torre.
Solcion:Sea h la altura de la torre, y sea d la distancia del punto Q a la base de la torre.Tenemos
tan =h
dy
tan =h
25 + d
De la primera ecuacion d =h
tan Sustituyendo en la segunda obtenemos
tan =h
25 + hd
Despejando h se obtiene
h =25 tan tan
tan tan