Álgebra elemental - polinomios

ÁLGEBRAELEMENTAL

Término Algebraico, valor numérico, grados del polinomio, y polinomios especiales.

Prof. Florencio Llaique H.

Los polinomios son una parte importante del Álgebra. Están presentes en todos los contextos científicos y tecnológicos: desde los ordenadores y la informática hasta la carrera espacial.

Polinomios

Prof. Florencio Llaique H.

definición

Un polinomio es una expresión algebraica

Además, un polinomio es la suma o diferencia de monomios.

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P(x) = 3x4 +2x3 – x2 + 8x +10

Q(x ; y) = 5xy3 +10x

R(x ; y ; z) = 2y4z+ 2x3 – xy2 + 8xz + z

Suma o diferencia de monomios

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Casos de Polinomios

1) 2x + 3y4

2) -4a2b – b2c

3) 6x2 - 3x + 84) -x2yz + 3y - 5

BINOMIOSc

c TRINOMIOS

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Valor numérico

El valor numérico de un polinomio es el número que se obtiene al sustituir las variables por números.

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Valor numérico

Ejemplos:1. Valor numérico de: P(x)-2:P(-2)P(-2) 12+10+6=28

2. Sea M(x,y)= 2Calcular M(1;-3)M(1;-3)= 2M(1;-3)=-6+45+27=66

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Grados de un polinomio

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Grado relativo con respecto a una variable

84653 2081);;( yzxzyxzyxP

GR(x)=4 GR(y)=5 GR(z)=8

(mayor exponente de la variable)

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GA = 10 GA = 8 GA = 3

8x7y3 – 3x4y4 + 6xy2

GA = 10

Grado absoluto de un polinomio(mayor grado absoluto de los términos)

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Ejercicio 1214224 435);( yxyxyxyxQ mm

Si se sabe que el grado relativo a x es 5,calcula:

a)El valor de m

b)El grado absoluto del polinomio

Respuestas:a) m = 3b) GA = 9

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Ejercicio 2

2124324 435);( yxyxyxyxQ n

Si se sabe que el grado absoluto del polinomio es 9 halla: n2 + 1

Respuesta: 10

Ejercicio 3

25215 53);( aaaaa yxyxyxyxP

Si se sabe que el grado del polinomio es 31 halla: GR(x) + GR(y)

Respuesta: 41

Polinomios especiales

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Polinomios especiales

polinomio

ordenado

homogéneo

completo

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Un polinomio está ordenado cuando los exponentes de la variable “referida” están aumentando o disminuyendo.

83459 536);( yxyxyxyxP Ordenado en forma descendente respecto a “x”Ordenado en forma ascendente respecto a “y”

Ejemplo:

1.- Polinomio ordenado

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Ejemplo: Polinomio ordenado

x4y3 + 2x2y5 – 3xy8

Polinomio ordenado respecto a “x” en forma descendente

Polinomio ordenado respecto a “y” en forma ascendente

P(x;y)=x4y3 + 2x2y5 – 3x1y8

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2.- Polinomio completo

La variable “referida” presenta todos los exponentes consecutivos desde 1 hasta un mayor determinado e incluso el término independiente.Ejemplo:

252843 5479);( xyyxyxyxyxP

Completo respecto a “x” con T.I.(x)= -7y

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Ejemplo: Polinomio completo

x4y + 3x2y5 – 3x3 +xy4 – 5

Polinomio completo con respecto a “x”

P(x ; y)=x4y + 3x2y5 – 3x3 +xy4 – 5x0

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3.- Polinomio homogéneo

Es aquel polinomio en el que todos sus términos son del mismo grado absoluto.

Ejemplo:

71233422 537);;( yxzyxzyxzyxP Es un polinomio cuyo grado de homogeneidad es 8.

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Ejemplo: Polinomio homogéneo

P(x; y)=6x5y3 – 3x4y4 + 6x6y2

Polinomio homogéneo de grado 8

GA = 8 GA = 8 GA = 8

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Resumen

Fuente: texto escolar matemática 3-hipervinculos, (2013), Perú: Santillana

Propiedades

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1º- Siendo P(X) un polinomio completo se cumple:

324 4835)( xxxxxP

Se observa: - Número de términos = 5- Grado de P(x) = 4

de términos de P(x) = Grado de P(x) + 1

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2º- En todo polinomio completo y ordenado P(x) la diferencia de grados relativos de dos términos consecutivos vale 1.

124835)( 234 xxxxxP

GR =3 GR =2

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Ejercicios

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Ejercicio 1

caabb xxxxR 272 25)(

Si se sabe que el polinomio es completo y ordenado en forma creciente, calcula el valor de 2abc. Indica el grado del polinomio.

Respuestas:a) 2abc = 160b) GA = 2

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Ejercicio 2

ccbabacb xxxxxP 23)(

Si se sabe que el polinomio es completo y ordenado en forma decreciente, calcula el valor de a - b - c.

Respuesta: a-b-c= -1

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Si se sabe que el polinomio:

Ejercicio 3

xcbxaxxxxdxP 12392642)( 2323

Respuesta: 84

es idénticamente nulo, calcula el valor de

-7(a+b+c+d)

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Ejercicio 4

yxyxxyxR abb 22712 262);(

Si se sabe que el polinomio es homogéneo,

calcula el valor de a – b.

Respuesta: -1

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Ejercicio 5

1221 62);( abaaba yxyxyxP

Si se sabe que el polinomio es homogéneo de grado 7, calcula el valor de 2a – b.

Respuesta: 2a – b = 5