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Error en régimen permanente
ITIS - SAC Tema2: Herramientas de análisis y simulación - Error R.P.
Introducción
• El análisis de los sistemas en régimen permanente se centra en el error o la precisión del mismo.
• El error en un concepto asociado a sistemas de control realimentados en los que se pretende que la salida siga lo más fielmente posible a una determinada señal de entrada.
u(t) y(t)e(t)G(s)
-)()()( tytute
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)()( telimtet
ss
• El error en régimen permanente viene dado por la expresión
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Función de transferencia del error
• En el caso más general, la realimentación no tiene porqué ser unitaria. Tenemos entonces
U(s) Y(s)E(s)G(s)
-
)()()()( sHsYsUsE H(s)
– La FdT del error (E(s)/U(s)) puede calcularse a partir de la expresión anterior con Y(s)=E(s)G(s)
)()(1
1
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sHsGsU
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00 sHsG
ssUlimssElimtelimtesst
ss
• El error en régimen permanente puede evaluarse ahora aplicando el teorema del valor final.
• Hay que tener en cuenta que cuando la realimentación no es unitaria, un error en régimen permanente cero no implica que la señal de entrada y la de salida coincidan.
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Coeficientes estáticos de error
• Dado que el error depende tanto del sistema como de la señal excitadora, se han definido una serie de coeficientes para caracterizar el error del sistema ante entradas normalizadas.
– Coeficiente de error de posición.• Kp (entrada en escalón).
– Coeficiente de error de velocidad.• Kv (entrada en rampa).
– Coeficiente de error de aceleración.• Ka (entrada en parábola).
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- Coeficiente de Posición (Kp).
El valor del error es
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slimes
ss
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Para una entrada en escalón de amplitud A, se tiene
Se define entonces el coeficiente de posición como)()(
0sHsGlimK
sp
– El error en posición queda: ess=A/(1+Kp).
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Ejemplo
- Sean las funciones de transferencia en bucle abierto
Calcular en cada caso el coeficiente Kp y el error de posición para un sistema con realimentación unitaria y una señal de entrada en escalón de amplitud 1.
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b)
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1
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- Coeficiente de Velocidad (Kv).
El valor del error es
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2
0 sHssGlim
A
sHsGsA
slime
ss
ss
2)(;)(
s
AsUAttu
Para una entrada en rampa de pendiente A, se tiene
Se define entonces el coeficiente de velocidad como)()(
0sHssGlimK
sv
– El error en velocidad queda: ess=A/Kv.
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- Coeficiente de Aceleración (Ka).
El valor del error es
)()()()(1 2
0
3
0 sHsGslim
A
sHsGsA
slime
ss
ss
32 )(;)(
s
AsUAttu
Para una entrada en parábola, se tiene
Se define entonces el coeficiente de aceleración como)()(2
0sHsGslimK
sa
– El error en aceleración queda: ess=A/Ka.
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• Una vez calculados los coeficientes de error, puede obtenerse el error del sistema ante entradas que son combinación lineal de señales normalizadas aplicando el principio de superposición.
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Ejemplo- Sea el sistema definido por las funciones de transferencia directa y en realimentación siguientes
a) Calcular los coeficientes de error de posición y velocidad, así como el error resultante en régimen permanente al aplicar una entrada u(t)=3+2t.
b) Calcular el coeficiente de aceleración y el error.
)4(5
20)(;
)6)(1)(5(
)2(3)(
s
sHssss
ssG
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a)
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p
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1
3
vpss KK
e
5
1
)4(5
20*
)6)(1)(5(
)2(30
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sv
El error resultante se obtiene aplicando el principio de superposición.
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b)
a
ss Ke
1
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20*
)6)(1)(5(
)2(32
0
sssss
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sa
El error ante parábola u(t)=t2 es
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Tipos de sistemas
• Los sistemas pueden clasificarse desde el punto de vista del error estacionario en– Sistema tipo 0: error finito ante escalón.
– Sistema tipo 1: error nulo ante escalón y finito ante rampa.
– Sistema tipo 2: error nulo ante escalón y rampa y error finito ante parábola.
– Sistema tipo 3 o superior: error nulo ante escalón, rampa y parábola.
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• El tipo del sistema coincide con el número de polos en el origen que posea su función de transferencia en bucle abierto.
• Existe siempre un conflicto entre estabilidad relativa y precisión en régimen permanente.
m
ji
q
n
ii
pss
zsKsHsG
1
1
)(
)()()(
– q define el tipo del sistema.
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Coeficientes dinámicos de error
• Cuando necesitamos conocer la evolución dinámica del error se emplean los coeficientes dinámicos de error o coeficientes generalizados.
• También se emplean para conocer el comportamiento del sistema ante entradas no normalizadas
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- Para obtenerlos se parte de la transformada del error.
)()()(1
1)()()( sU
sHsGsUsWsE
Aplicando el teorema de convolución
tt
dtuwdutwte00
)()()()()(
Suponiendo que u(t) es analítica, podemos desarrollar en serie en torno a t
)(!2
)()()(2
tutututu
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Sustituyendo
ttt
dwtudwtudwtute0
2
00)(
!2)()()()()()(
A continuación tomamos límites cuando t-> para obtener el error estacionario
0
2
00)(
!2)()()()()( dwtudwtudwtue sssss
Se definen entonces los coeficientes dinámicos de error como
00
22
0100
)()1()(
)()(
dwCdwC
dwCdwC
nnn
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- Pueden obtenerse expresiones alternativas si se tiene en cuenta la igualdad.
0)()( dewsW s
Tomando límite cuando s tiende a cero
0 00
)()( CdwsWlims
Derivando con respecto a s, se llega a las expresiones para los restantes índices
n
n
sn
ss ds
sWdlimC
ds
sWdlimC
ds
sdWlimC
)()()(02
2
02
01
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