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Error en régimen permanente

ITIS - SAC Tema2: Herramientas de análisis y simulación - Error R.P.

Introducción

• El análisis de los sistemas en régimen permanente se centra en el error o la precisión del mismo.

• El error en un concepto asociado a sistemas de control realimentados en los que se pretende que la salida siga lo más fielmente posible a una determinada señal de entrada.

u(t) y(t)e(t)G(s)

-)()()( tytute


)()( telimtet

ss

• El error en régimen permanente viene dado por la expresión


Función de transferencia del error

• En el caso más general, la realimentación no tiene porqué ser unitaria. Tenemos entonces

U(s) Y(s)E(s)G(s)

-

)()()()( sHsYsUsE H(s)

– La FdT del error (E(s)/U(s)) puede calcularse a partir de la expresión anterior con Y(s)=E(s)G(s)

)()(1

1

)(

)()(

sHsGsU

sEsW


)()(1

)()()()(

00 sHsG

ssUlimssElimtelimtesst

ss

• El error en régimen permanente puede evaluarse ahora aplicando el teorema del valor final.

• Hay que tener en cuenta que cuando la realimentación no es unitaria, un error en régimen permanente cero no implica que la señal de entrada y la de salida coincidan.


Coeficientes estáticos de error

• Dado que el error depende tanto del sistema como de la señal excitadora, se han definido una serie de coeficientes para caracterizar el error del sistema ante entradas normalizadas.

– Coeficiente de error de posición.• Kp (entrada en escalón).

– Coeficiente de error de velocidad.• Kv (entrada en rampa).

– Coeficiente de error de aceleración.• Ka (entrada en parábola).


- Coeficiente de Posición (Kp).

El valor del error es

)()(10 sHsGsA

slimes

ss

s

AsUAtu )(;)(

Para una entrada en escalón de amplitud A, se tiene

Se define entonces el coeficiente de posición como)()(

0sHsGlimK

sp

– El error en posición queda: ess=A/(1+Kp).


Ejemplo

- Sean las funciones de transferencia en bucle abierto

Calcular en cada caso el coeficiente Kp y el error de posición para un sistema con realimentación unitaria y una señal de entrada en escalón de amplitud 1.

)1(

2)();

)3)(1(

10)()

sssGb

sssGa ba


a)

3

10

)3)(1(

100

sslimKs

p

13

3

1

1

pss K

e


b)

)1(

20 ss

limKs

p

01

1

pss K

e


- Coeficiente de Velocidad (Kv).


)()()()(10

2

0 sHssGlim

A

sHsGsA

slime

ss

ss

2)(;)(

s

AsUAttu

Para una entrada en rampa de pendiente A, se tiene

Se define entonces el coeficiente de velocidad como)()(

0sHssGlimK

sv

– El error en velocidad queda: ess=A/Kv.


- Coeficiente de Aceleración (Ka).


)()()()(1 2

0

3

0 sHsGslim

A

sHsGsA

slime

ss

ss

32 )(;)(

s

AsUAttu

Para una entrada en parábola, se tiene

Se define entonces el coeficiente de aceleración como)()(2

0sHsGslimK

sa

– El error en aceleración queda: ess=A/Ka.


• Una vez calculados los coeficientes de error, puede obtenerse el error del sistema ante entradas que son combinación lineal de señales normalizadas aplicando el principio de superposición.


Ejemplo- Sea el sistema definido por las funciones de transferencia directa y en realimentación siguientes

a) Calcular los coeficientes de error de posición y velocidad, así como el error resultante en régimen permanente al aplicar una entrada u(t)=3+2t.

b) Calcular el coeficiente de aceleración y el error.

)4(5

20)(;

)6)(1)(5(

)2(3)(

s

sHssss

ssG


a)

)4(5

20*

)6)(1)(5(

)2(30 sssss

slimKs

p

102

1

3

vpss KK

e

5

1

)4(5

20*

)6)(1)(5(

)2(30

sssss

sslimK

sv

El error resultante se obtiene aplicando el principio de superposición.


b)

a

ss Ke

1

0)4(5

20*

)6)(1)(5(

)2(32

0

sssss

sslimK

sa

El error ante parábola u(t)=t2 es


Tipos de sistemas

• Los sistemas pueden clasificarse desde el punto de vista del error estacionario en– Sistema tipo 0: error finito ante escalón.

– Sistema tipo 1: error nulo ante escalón y finito ante rampa.

– Sistema tipo 2: error nulo ante escalón y rampa y error finito ante parábola.

– Sistema tipo 3 o superior: error nulo ante escalón, rampa y parábola.


• El tipo del sistema coincide con el número de polos en el origen que posea su función de transferencia en bucle abierto.

• Existe siempre un conflicto entre estabilidad relativa y precisión en régimen permanente.

m

ji

q

n

ii

pss

zsKsHsG

1

1

)(

)()()(

– q define el tipo del sistema.


Coeficientes dinámicos de error

• Cuando necesitamos conocer la evolución dinámica del error se emplean los coeficientes dinámicos de error o coeficientes generalizados.

• También se emplean para conocer el comportamiento del sistema ante entradas no normalizadas


- Para obtenerlos se parte de la transformada del error.

)()()(1

1)()()( sU

sHsGsUsWsE

Aplicando el teorema de convolución

tt

dtuwdutwte00

)()()()()(

Suponiendo que u(t) es analítica, podemos desarrollar en serie en torno a t

)(!2

)()()(2

tutututu


Sustituyendo

ttt

dwtudwtudwtute0

2

00)(

!2)()()()()()(

A continuación tomamos límites cuando t-> para obtener el error estacionario

0

2

00)(

!2)()()()()( dwtudwtudwtue sssss

Se definen entonces los coeficientes dinámicos de error como

00

22

0100

)()1()(

)()(

dwCdwC

dwCdwC

nnn


- Pueden obtenerse expresiones alternativas si se tiene en cuenta la igualdad.

0)()( dewsW s

Tomando límite cuando s tiende a cero

0 00

)()( CdwsWlims

Derivando con respecto a s, se llega a las expresiones para los restantes índices

n

n

sn

ss ds

sWdlimC

ds

sWdlimC

ds

sdWlimC

)()()(02

2

02

01

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