3 - introducción a la geoestadística minera
Post on 23-Oct-2015
60 Views
Preview:
TRANSCRIPT
1
Ing. Roberto Bruno - rbruno@expo.intercade.org - Consultor Internacional Intercade
GEOESTADISTICA MINERAGEOESTADISTICA MINERAIng. ROBERTO BRUNO - rbruno@expo.intercade.org
Consultor INTERCADEJunio 2008
2
Ing. Roberto Bruno - rbruno@expo.intercade.org - Consultor Internacional Intercade
INTRODUCCION A LA GEOESTADISTICA MINERA
INTRODUCCION A LA GEOESTADISTICA MINERA
De la Variable Regionalizadaa la Función Aleatoria
• La variabilidad espacial.
Variable Aleatoria.• Funciones Aleatorias.
3
Ing. Roberto Bruno - rbruno@expo.intercade.org - Consultor Internacional Intercade
El enfoque probabilista
De cada punto x del yacimiento existe un tenor z(x), la función matemática que llamamos VR. Consideramos un punto x0; podemos definir en ese punto una Variable Aleatoria (VA) Z(x0).Una VA toma valores numéricos conforme a su leyde la densidad deprobabilidad f(Z).
INTRODUCCION A LA GEOESTADISTICA MINERA
De la VR a la FA: Variables Aleatorias
INTRODUCCION A LA GEOESTADISTICA MINERA
De la VR a la FA: Variables Aleatorias
4
Ing. Roberto Bruno - rbruno@expo.intercade.org - Consultor Internacional Intercade
La realización de una VA
El valor de la VR en el punto, z(x0), es uno de los posibles valores de la VA Z(x0).
• z(x0) es una realización de la VA Z(x0)
INTRODUCCION A LA GEOESTADOSTICA MINERA
De la VR a la FA: Variables Aleatorias
INTRODUCCION A LA GEOESTADOSTICA MINERA
De la VR a la FA: Variables Aleatorias
HISTOGRAM
0
1
2
3
4
5
6
7
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
SUM OF TWO DICE
FREQ
UENC
Y
Série1
Cada valor, por ej.4, es una realización.
La VA suma de dos dados
5
Ing. Roberto Bruno - rbruno@expo.intercade.org - Consultor Internacional Intercade
Una VA a 1D: la cotización 2008 del Au
Prever la cotización de oro en el 2008.
INTRODUCCION A LA GEOESTADISTICA MINERA
De la VR a la FA: Variables Aleatorias
INTRODUCCION A LA GEOESTADISTICA MINERA
De la VR a la FA: Variables Aleatorias
• La cotización puede asumir diversos valores con diferentes probabilidades.
• La cotización 2008 es por lo tanto una VA.
• El valor 2008 consuntivo será la realización de la VA.
Quotaçao Au
0
5,000,000
10,000,000
15,000,000
20,000,000
25,000,000
1960 1970 1980 1990 2000 2010
Ano
Au
($/t)
?
6
Ing. Roberto Bruno - rbruno@expo.intercade.org - Consultor Internacional Intercade
La VR realización de una FA
En cualquier otro punto x di S puede ser definida una VA Z(x).El conjunto de todas las VA definidas en S constituye una Función Aleatoria (FA). El conjunto de los valores de la VR z(x) son unos de los posibles valores de la FA Z(x)z(x) è una realización de la FA Z(x)
INTRODUCCION A LA GEOESTADISTICA MINERA
De la VR a la FA: Variables Aleatorias
INTRODUCCION A LA GEOESTADISTICA MINERA
De la VR a la FA: Variables Aleatorias
7
Ing. Roberto Bruno - rbruno@expo.intercade.org - Consultor Internacional Intercade
Quotaçao Au
0
5,000,000
10,000,000
15,000,000
20,000,000
25,000,000
1960 1970 1980 1990 2000 2010
Ano
Au
($/t)
Una FA la 1D: la serie temporal
• De cada año puede ser definida una VA cotización de oro: la serie temporal cotización es una FA.
• La serie histórica efectiva es una realización de la FA.
INTRODUCCION A LA GEOESTADISTICA MINERA
De la VR a la FA: Variables Aleatorias
INTRODUCCION A LA GEOESTADISTICA MINERA
De la VR a la FA: Variables Aleatorias
• Y la distribución de los tenores de oro en un pozo vertical?
Concentrao de Au num poço
50
60
70
80
90
100
110
120
0 2 4 6 8 10 12
Teor Au (g/T)
Prof
undi
dade
(m)
8
Ing. Roberto Bruno - rbruno@expo.intercade.org - Consultor Internacional Intercade
La ley de las probabilidades
Una VA Z es definida por medio de su ley F(z)= prob{Z≤z}
P{Z > z} = 1 – F(z)
INTRODUCCION A LA GEOESTADISTICA MINERA
De la VR a la FA: Variables Aleatorias
INTRODUCCION A LA GEOESTADISTICA MINERA
De la VR a la FA: Variables Aleatorias
Funçao de distribuiçao
z0=5
F(z0)=0.5
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
-10 -5 0 5 10 15 20
z
F(z)
Se llama función de distribución acumulada (fdc) o sencillamente distribución
1-F(z)
9
Ing. Roberto Bruno - rbruno@expo.intercade.org - Consultor Internacional Intercade
Las propiedades de la ley
INTRODUCCION A LA GEOESTADISTICA MINERA
De la VR a la FA: Variables Aleatorias
INTRODUCCION A LA GEOESTADISTICA MINERA
De la VR a la FA: Variables Aleatorias
F(-∞) = P {Z≤-∞} = 0
F(∞) = P {Z≤∞} = 1
La VA puede limitada, como por ej. el tenor: z=0.La P(Z) vale 0 o 1 conforme
Funçao de distribuiçao
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
-10 -5 0 5 10 15 20
z
F(z)
10
Ing. Roberto Bruno - rbruno@expo.intercade.org - Consultor Internacional Intercade
Las propiedades …
INTRODUCCION A LA GEOESTADISTICA MINERA
De la VR a la FA: Variables Aleatorias
INTRODUCCION A LA GEOESTADISTICA MINERA
De la VR a la FA: Variables Aleatorias
La distribución es monótona
z1 ≤ z2 F(z1) ≤ F(z2)
P(z1≤z≤z2) = F(z2)-F(z1)
Funçao de distribuiçao
z1
F(z1)
z2
F(z2)
0,00
0,25
0,50
0,75
1,00
-10 -5 0 5 10 15 20
z
F(z)
11
Ing. Roberto Bruno - rbruno@expo.intercade.org - Consultor Internacional Intercade
Ley continúa / discreta
• F(x) puede ser continúa, ej. tenor • o discreta,
- ej. dado - indicador presencia/ausencia
de una lente de arena en una formación arcillosa
INTRODUCCION A LA GEOESTADISTICA MINERA
De la VR a la FA: Variables Aleatorias
INTRODUCCION A LA GEOESTADISTICA MINERA
De la VR a la FA: Variables Aleatorias
x0I(x0)=1
x1I(x1)=0 0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 1
Istograma
Funçaodistribuiçao
Funçao de distribuiçao
0,00
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
-10 -5 0 5 10 15 20
z
F(z)
12
Ing. Roberto Bruno - rbruno@expo.intercade.org - Consultor Internacional Intercade
La función de densidad
• Si la F(x) fuere continúa y derivable, su derivada se llama función de densidad de probabilidad (fdp) de la VA o sencillamente densidad:
INTRODUCCION A LA GEOESTADISTICA MINERA
De la VR a la FA: Variables Aleatorias
INTRODUCCION A LA GEOESTADISTICA MINERA
De la VR a la FA: Variables Aleatorias
dxxdFxf )()( =
∫=− 2
1
)()()( 12
x
xdxxfxFxF∫ ∞−
=x
dxxfxF )()(
13
Ing. Roberto Bruno - rbruno@expo.intercade.org - Consultor Internacional Intercade
Los momentos
• Una VA es completamente especificada por la distribución F(x)
• Muchas veces es suficiente conocer pocos parámetros de la distribución, típicamente medía, varianza, covarianza .
INTRODUCCION A LA GEOESTADISTICA MINERA
De la VR a la FA: Variables Aleatorias
INTRODUCCION A LA GEOESTADISTICA MINERA
De la VR a la FA: Variables Aleatorias
14
Ing. Roberto Bruno - rbruno@expo.intercade.org - Consultor Internacional Intercade
La esperanza matemáticas
• X= VA; f(x)=fdp; g(X)= función de la VA
Esperanza matemáticas (o medía)
El momento de grado k, normal o centrado:
INTRODUCCION A LA GEOESTADISTICA MINERA
De la VR a la FA: Variables Aleatorias
INTRODUCCION A LA GEOESTADISTICA MINERA
De la VR a la FA: Variables Aleatorias
[ ] ∫∞
∞−
= dxxfxgXgE )()()(
[ ] [ ]( )[ ]kk
kk XEXEmXEm −==
15
Ing. Roberto Bruno - rbruno@expo.intercade.org - Consultor Internacional Intercade
La medía
• Medía, momento 1, valor esperado, …, de la VA X
• En el caso discreto
INTRODUCCION A LA GEOESTADISTICA MINERA
De la VR a la FA: Variables Aleatorias
INTRODUCCION A LA GEOESTADISTICA MINERA
De la VR a la FA: Variables Aleatorias
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0 2 4 6 8 10 12 14
X
f(X)
media
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0 2 4 6 8 10 12 14
X
f(X)
media
[ ] ∫∞
∞−
== dxxfxXEm )(1
∑∞=
=,1
1u
uu Pxm
16
Ing. Roberto Bruno - rbruno@expo.intercade.org - Consultor Internacional Intercade
Propiedades de la medíaa, b= constantes; X, Y = VA
• La medía de la combinación lineal es la combinación lineal de las medías:
X independiente de Y: • La medía del producto es el producto de las medías:
INTRODUCCION A LA GEOESTADISTICA MINERA
De la VR a la FA: Variables Aleatorias
INTRODUCCION A LA GEOESTADISTICA MINERA
De la VR a la FA: Variables Aleatorias
[ ] [ ] [ ]YbEXaEbYaXE +=+
[ ] [ ] [ ]YEXEYXE =
17
Ing. Roberto Bruno - rbruno@expo.intercade.org - Consultor Internacional Intercade
La varianza
• Momento 2 centrado de la VA X: var(X), s2x, s2, ..
• En el caso discreto
• La raíz cuadrada es el desvío patrón
INTRODUCCION A LA GEOESTADISTICA MINERA
De la VR a la FA: Variables Aleatorias
INTRODUCCION A LA GEOESTADISTICA MINERA
De la VR a la FA: Variables Aleatorias
( )[ ] [ ] 222)var( mXEmXEX −=−=
2
,1
22 mPxu
uu−= ∑
∞=
σ
2σσ =
18
Ing. Roberto Bruno - rbruno@expo.intercade.org - Consultor Internacional Intercade
Significado de la varianza
• Mide cuanto los datos son dispersos entorno de la medía:
Variaveis com mesma media (m=5) e variança diferente (σ= 2, 5)
0
0,1
0,2
0,3
-10,000 -5,000 0,000 5,000 10,000 15,000 20,000
X
f(X)
INTRODUCCION A LA GEOESTADISTICA MINERA
De la VR a la FA: Variables Aleatorias
INTRODUCCION A LA GEOESTADISTICA MINERA
De la VR a la FA: Variables Aleatorias
19
Ing. Roberto Bruno - rbruno@expo.intercade.org - Consultor Internacional Intercade
Propiedades de la varianza
a, b = constantes; X, Y = VA• Las constantes no multiplicativas son filtradas:
X independiente del Y: • La varianza de la suma es la suma de las varianzas:
INTRODUCCION A LA GEOESTADISTICA MINERA
De la VR a la FA: Variables Aleatorias
INTRODUCCION A LA GEOESTADISTICA MINERA
De la VR a la FA: Variables Aleatorias
)var()(var 2 XabaX =+
)var()var()(var YXYX +=±
20
Ing. Roberto Bruno - rbruno@expo.intercade.org - Consultor Internacional Intercade
Variable reducida
Muchas veces conviene trabajar con la variable reducida:
Variaveis original e reduzida
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
-10 -5 0 5 10 15 20
X
f(X)
X': VA reduzida X: VA original
INTRODUCCION A LA GEOESTADISTICA MINERA
De la VR a la FA: Variables Aleatorias
INTRODUCCION A LA GEOESTADISTICA MINERA
De la VR a la FA: Variables Aleatorias
( )[ ]
[ ] [ ] 1'0''
'
22'
2
22
====
−=
==
XEXEm
mXX
X-mEσE[X]m
Xσσ
21
Ing. Roberto Bruno - rbruno@expo.intercade.org - Consultor Internacional Intercade
Ejercicio
Dato un conjunto de datos: • Calcular las estadísticas experimentales. • Calcular histograma.• Calcular medía y varianza de una VA discreta con:
Xu = medía de las clases del histograma Pu = frecuencias de las clases del histograma
• Dato un segundo conjunto de datos independientes, verificar las propiedades de la medía y de la varianza
INTRODUCCION A LA GEOESTADISTICA MINERA
De la VR a la FA: Variables Aleatorias
INTRODUCCION A LA GEOESTADISTICA MINERA
De la VR a la FA: Variables Aleatorias
22
Ing. Roberto Bruno - rbruno@expo.intercade.org - Consultor Internacional Intercade
Ejercicio
• Calcular medía y varianza de una VA discreta Xu conociendo la distribución Pu
xu - Pu
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,1 0,5 0,9 1,3 1,7 2,1 2,5 2,9 3,3 3,7
Xu
Pu
xu Pu
0,1 0,005
0,3 0,052
0,5 0,124
0,7 0,160
0,9 0,156
1,1 0,131
1,3 0,102
1,5 0,076
1,7 0,055
1,9 0,040
2,1 0,028
2,3 0,020
2,5 0,014
2,7 0,010
2,9 0,007
3,1 0,005
3,3 0,004
3,5 0,003
3,7 0,002
INTRODUCCION A LA GEOESTADISTICA MINERA
De la VR a la FA: Variables Aleatorias
INTRODUCCION A LA GEOESTADISTICA MINERA
De la VR a la FA: Variables Aleatorias
23
Ing. Roberto Bruno - rbruno@expo.intercade.org - Consultor Internacional Intercade
xu Pu xu*Pu xu2*Pu
0,1 0,005 0,000 0,000
0,3 0,052 0,016 0,005
0,5 0,124 0,062 0,031
0,7 0,160 0,112 0,078
0,9 0,156 0,140 0,126
1,1 0,131 0,144 0,159
1,3 0,102 0,133 0,172
1,5 0,076 0,114 0,171
1,7 0,055 0,094 0,160
1,9 0,040 0,075 0,143
2,1 0,028 0,059 0,125
2,3 0,020 0,046 0,106
2,5 0,014 0,036 0,089
2,7 0,010 0,027 0,074
2,9 0,007 0,021 0,061
3,1 0,005 0,016 0,050
3,3 0,004 0,012 0,041
3,5 0,003 0,010 0,034
3,7 0,002 0,007 0,027
media 1,126 varianza 0,385
Ejercicio - solución
0,0000,0200,0400,0600,0800,1000,1200,1400,1600,1800,200
0,1 0,5 0,9 1,3 1,7 2,1 2,5 2,9 3,3 3,7
xu
P u media
INTRODUCCION A LA GEOESTADISTICA MINERA
De la VR a la FA: Variables Aleatorias
INTRODUCCION A LA GEOESTADISTICA MINERA
De la VR a la FA: Variables Aleatorias
24
Ing. Roberto Bruno - rbruno@expo.intercade.org - Consultor Internacional Intercade
La ley de las probabilidades de dos variables
En caso de dos variables aleatorias, X y Y, se definen la densidad y la distribución de dos variables.
Las leyes monovariablesson llamadas leyes marginales.
INTRODUCCION A LA GEOESTADISTICA MINERA
De la VR a la FA: Variables Aleatorias
INTRODUCCION A LA GEOESTADISTICA MINERA
De la VR a la FA: Variables Aleatorias
{ }
dxdyyxFyxf
yYxXobyxF),(),(
,Pr),(2∂
=
≤≤=
25
Ing. Roberto Bruno - rbruno@expo.intercade.org - Consultor Internacional Intercade
El momento según
• Es muy importante el (de) segundo (orden) de las dos variables: la covarianza.
INTRODUCCION A LA GEOESTADISTICA MINERA
De la VR a la FA: Variables Aleatorias
INTRODUCCION A LA GEOESTADISTICA MINERA
De la VR a la FA: Variables Aleatorias
( )( )[ ][ ] [ ] [ ]
[ ] yx
yxxy
yxxy
mmXYEmmYEmXEmXYE
mYmXE
−=
=+−−=
=−−=σ
26
Ing. Roberto Bruno - rbruno@expo.intercade.org - Consultor Internacional Intercade
Propiedades de la covarianza
• Si las dos VA fuere independientes:
• Desigualdad del Schwartz:
INTRODUCCION A LA GEOESTADISTICA MINERA
De la VR a la FA: Variables Aleatorias
INTRODUCCION A LA GEOESTADISTICA MINERA
De la VR a la FA: Variables Aleatorias
0),cov( == xyYX σ
yxxyyxxy oppure σσσσσσ ≤≤ 222
27
Ing. Roberto Bruno - rbruno@expo.intercade.org - Consultor Internacional Intercade
Coeficiente de correlación
Es la covariancia de las dos variables reducidas: X’=(X-mx)/σx Y’=(Y-my)/σy
Es el verdadero instrumento para verificar inmediatamente el nivel de correlación. Es adimensional, independiente de los orígenes y de las unidades de medida.
INTRODUCCION A LA GEOESTADISTICA MINERA
De la VR a la FA: Variables Aleatorias
INTRODUCCION A LA GEOESTADISTICA MINERA
De la VR a la FA: Variables Aleatorias
''
))((yx
yx
yxxy
mYmXE σ
σσρ =
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −−=
28
Ing. Roberto Bruno - rbruno@expo.intercade.org - Consultor Internacional Intercade
Propiedades del Coeficiente de Correlación
-1 ≤ ρxy ≤ 1
Si X y Y fuere independientes ⇒ ρxy = 0ρxy = ± 1, sólo en caso de correlación lineal:
Y = a X + bVariaveis independentes
ρ=0
0
5
10
15
0 0,25 0,5 0,75 1
X
Y
Variaveis independentesρ=0
0
5
10
15
0 0,25 0,5 0,75 1
X
Y
Variaveis parcialmente correladasρ=0,5
0
5
10
15
0 0,25 0,5 0,75 1
X
Y
Variaveis parcialmente correladasρ=0,5
0
5
10
15
0 0,25 0,5 0,75 1
X
Y
Variaveis parcialmente correladasρ=0,85
0
5
10
15
0 0,25 0,5 0,75 1
XY
Variaveis parcialmente correladasρ=0,85
0
5
10
15
0 0,25 0,5 0,75 1
XY
INTRODUCCION A LA GEOESTADISTICA MINERA
De la VR a la FA: Variables Aleatorias
INTRODUCCION A LA GEOESTADISTICA MINERA
De la VR a la FA: Variables Aleatorias
''
))((yx
yx
yxxy
mYmXE σ
σσρ =
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −−=
29
Ing. Roberto Bruno - rbruno@expo.intercade.org - Consultor Internacional Intercade
Regresión
Rigurosamente la regresión de una variable sobre una segunda
es la curva de las esperanzas condicionales.
INTRODUCCION A LA GEOESTADISTICA MINERA
De la VR a la FA: Variables Aleatorias
INTRODUCCION A LA GEOESTADISTICA MINERA
De la VR a la FA: Variables Aleatorias
[ ] ∫== dyxyfyXYExmY )/(|)(
30
Ing. Roberto Bruno - rbruno@expo.intercade.org - Consultor Internacional Intercade
Y
XmX
mY
mY(x)
y*
Regresion lineal
Es difícil conocer la ley de dos variables.
En practica se calcula la regresión lineal:
la recta de regresión
INTRODUCCION A LA GEOESTADISTICA MINERA
De la VR a la FA: Variables Aleatorias
INTRODUCCION A LA GEOESTADISTICA MINERA
De la VR a la FA: Variables Aleatorias
( )XX
XYY mxmy −+= 2*
σσ
31
Ing. Roberto Bruno - rbruno@expo.intercade.org - Consultor Internacional Intercade
Las Regresiones lineal!
La regresiones son diferentes conforme la variable:
Regressoes lineares
0
4
8
12
0 0,25 0,5 0,75 1
X
Y
Dadosexperimentais
Y*|x
X*|y
INTRODUCCION A LA GEOESTADISTICA MINERA
De la VR a la FA: Variables Aleatorias
INTRODUCCION A LA GEOESTADISTICA MINERA
De la VR a la FA: Variables Aleatorias
( )
( )YY
XYx
XX
XYY
mymx
mxmy
−+=
−+=
2
2
*
*
σσσσ
32
Ing. Roberto Bruno - rbruno@expo.intercade.org - Consultor Internacional Intercade
Ejercicio
Dados dos conjuntos de datos, Pb e Zn• Cálcular las estadisticas esperimentales.• Verificar las propiedades de la medía y de la varianza.
INTRODUCCION A LA GEOESTADISTICA MINERA
De la VR a la FA: Variables Aleatorias
INTRODUCCION A LA GEOESTADISTICA MINERA
De la VR a la FA: Variables Aleatorias
33
Ing. Roberto Bruno - rbruno@expo.intercade.org - Consultor Internacional Intercade
Alguna ley
• La distribución normal:
Densidade normal
0
0,1
0,2
0,3
-5,000 0,000 5,000 10,000 15,000
Xf(X
)
σ
m
INTRODUCCION A LA GEOESTADISTICA MINERA
De la VR a la FA: Variables Aleatorias
INTRODUCCION A LA GEOESTADISTICA MINERA
De la VR a la FA: Variables Aleatorias
( )2
2
2
21)( σ
πσ
mx
exf−
−=
34
Ing. Roberto Bruno - rbruno@expo.intercade.org - Consultor Internacional Intercade
Alguna ley …
• La distribución exponencial: Densidade exponencial
0
0,1
0,2
0,3
0 4 8 12
X
f(X)
σm
INTRODUCCION A LA GEOESTADISTICA MINERA
De la VR a la FA: Variables Aleatorias
INTRODUCCION A LA GEOESTADISTICA MINERA
De la VR a la FA: Variables Aleatorias
⎩⎨⎧
<=≥= −
00)(0)(
xperxfxperaexf ax
22 1)var(1][
aX
aXEm ==== σ
axexF −−=1)(
35
Ing. Roberto Bruno - rbruno@expo.intercade.org - Consultor Internacional Intercade
Alguna ley …•La distribución uniforme:
Densidade uniforme
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0 4 8 12 16 20 24
X
f(X)
σm
a=20
1/a
INTRODUCCION A LA GEOESTADISTICA MINERA
De la VR a la FA: Variables Aleatorias
INTRODUCCION A LA GEOESTADISTICA MINERA
De la VR a la FA: Variables Aleatorias
⎪⎩
⎪⎨⎧
=
<<=
altrovexf
axpera
xf
0)(
01)(
axperaxxF ≤≤= 0)(
22
121)var(
21][ aXaXEm ==== σ
36
Ing. Roberto Bruno - rbruno@expo.intercade.org - Consultor Internacional Intercade
Alguna ley …
• La distribución log-normal
Es importante en el ámbito de los georecursos porque describe bien las distribuciones de variables con baja concentración, ej. los yacimientos de U, Au, …
La VA X es log-normalSi ln(X) es normal 1/a
INTRODUCCION A LA GEOESTADISTICA MINERA
De la VR a la FA: Variables Aleatorias
INTRODUCCION A LA GEOESTADISTICA MINERA
De la VR a la FA: Variables Aleatorias
37
Ing. Roberto Bruno - rbruno@expo.intercade.org - Consultor Internacional Intercade
Alguna ley …
• Los parámetros de la distribución log-normal
Las relaciones entre los momentos de la VA normal ylog-normal
X = log-normal ln(X) = normal
E[X] = m E[ln(X)] = m
Var[X] = s2 Var[ln(X)] = S2
m = e(m+S2/2)
s2 = m2 (eS2-1)
1/a
INTRODUCCION A LA GEOESTADISTICA MINERA
De la VR a la FA: Variables Aleatorias
INTRODUCCION A LA GEOESTADISTICA MINERA
De la VR a la FA: Variables Aleatorias
38
Ing. Roberto Bruno - rbruno@expo.intercade.org - Consultor Internacional Intercade
INTRODUCCION A LA GEOESTADISTICA MINERA
De la VR a la FA: Variables Aleatorias
INTRODUCCION A LA GEOESTADISTICA MINERA
De la VR a la FA: Variables AleatoriasAlguna ley …
• La distribución normal en 2DX, Y : variables normáis (mx, my, σ2
x, σ2y)
ρ = σxy / (σx σy) : coeficiente de la correlación
),(21
),(yxQ
ekyxf−
=
( ) ( )( ) ( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −+
−−−
−−
=
−=
2
2
2
2
2
2
21
1),(
121
y
y
yx
yx
x
x
yx
mymymxmxyxQ
k
σσσρ
σρ
ρσπσ
39
Ing. Roberto Bruno - rbruno@expo.intercade.org - Consultor Internacional Intercade
INTRODUCCION A LA GEOESTADISTICA MINERA
De la VR a la FA: Variables Aleatorias
INTRODUCCION A LA GEOESTADISTICA MINERA
De la VR a la FA: Variables AleatoriasAlgunaAlguna leyley ……
•Las regresiones de una distribución binormal
Las regresiones son dos rectas idénticas las apróximaciones lineal
Las regresiones m(xly) y m(y/x)se encuentran en (mx,my)
m(x/y) = mx + ρ σx/σy (y - my) m(y/x) = my + ρ σy/σx (x - mx)
top related