3 - introducción a la geoestadística minera

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Ing. Roberto Bruno - [email protected] - Consultor Internacional Intercade

GEOESTADISTICA MINERAGEOESTADISTICA MINERAIng. ROBERTO BRUNO - [email protected]

Consultor INTERCADEJunio 2008

2


INTRODUCCION A LA GEOESTADISTICA MINERA


De la Variable Regionalizadaa la Función Aleatoria

• La variabilidad espacial.

Variable Aleatoria.• Funciones Aleatorias.

3


El enfoque probabilista

De cada punto x del yacimiento existe un tenor z(x), la función matemática que llamamos VR. Consideramos un punto x0; podemos definir en ese punto una Variable Aleatoria (VA) Z(x0).Una VA toma valores numéricos conforme a su leyde la densidad deprobabilidad f(Z).


De la VR a la FA: Variables Aleatorias



4


La realización de una VA

El valor de la VR en el punto, z(x0), es uno de los posibles valores de la VA Z(x0).

• z(x0) es una realización de la VA Z(x0)

INTRODUCCION A LA GEOESTADOSTICA MINERA


INTRODUCCION A LA GEOESTADOSTICA MINERA


HISTOGRAM

0

1

2

3

4

5

6

7

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

SUM OF TWO DICE

FREQ

UENC

Y

Série1

Cada valor, por ej.4, es una realización.

La VA suma de dos dados

5


Una VA a 1D: la cotización 2008 del Au

Prever la cotización de oro en el 2008.





• La cotización puede asumir diversos valores con diferentes probabilidades.

• La cotización 2008 es por lo tanto una VA.

• El valor 2008 consuntivo será la realización de la VA.

Quotaçao Au

0

5,000,000

10,000,000

15,000,000

20,000,000

25,000,000

1960 1970 1980 1990 2000 2010

Ano

Au

($/t)

?

6


La VR realización de una FA

En cualquier otro punto x di S puede ser definida una VA Z(x).El conjunto de todas las VA definidas en S constituye una Función Aleatoria (FA). El conjunto de los valores de la VR z(x) son unos de los posibles valores de la FA Z(x)z(x) è una realización de la FA Z(x)





7


Quotaçao Au

0

5,000,000

10,000,000

15,000,000

20,000,000

25,000,000

1960 1970 1980 1990 2000 2010

Ano

Au

($/t)

Una FA la 1D: la serie temporal

• De cada año puede ser definida una VA cotización de oro: la serie temporal cotización es una FA.

• La serie histórica efectiva es una realización de la FA.





• Y la distribución de los tenores de oro en un pozo vertical?

Concentrao de Au num poço

50

60

70

80

90

100

110

120

0 2 4 6 8 10 12

Teor Au (g/T)

Prof

undi

dade

(m)

8


La ley de las probabilidades

Una VA Z es definida por medio de su ley F(z)= prob{Z≤z}

P{Z > z} = 1 – F(z)





Funçao de distribuiçao

z0=5

F(z0)=0.5

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

-10 -5 0 5 10 15 20

z

F(z)

Se llama función de distribución acumulada (fdc) o sencillamente distribución

1-F(z)

9


Las propiedades de la ley





F(-∞) = P {Z≤-∞} = 0

F(∞) = P {Z≤∞} = 1

La VA puede limitada, como por ej. el tenor: z=0.La P(Z) vale 0 o 1 conforme


0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

-10 -5 0 5 10 15 20

z

F(z)

10


Las propiedades …





La distribución es monótona

z1 ≤ z2 F(z1) ≤ F(z2)

P(z1≤z≤z2) = F(z2)-F(z1)


z1

F(z1)

z2

F(z2)

0,00

0,25

0,50

0,75

1,00

-10 -5 0 5 10 15 20

z

F(z)

11


Ley continúa / discreta

• F(x) puede ser continúa, ej. tenor • o discreta,

- ej. dado - indicador presencia/ausencia

de una lente de arena en una formación arcillosa





x0I(x0)=1

x1I(x1)=0 0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 1

Istograma

Funçaodistribuiçao


0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

-10 -5 0 5 10 15 20

z

F(z)

12


La función de densidad

• Si la F(x) fuere continúa y derivable, su derivada se llama función de densidad de probabilidad (fdp) de la VA o sencillamente densidad:





dxxdFxf )()( =

∫=− 2

1

)()()( 12

x

xdxxfxFxF∫ ∞−

=x

dxxfxF )()(

13


Los momentos

• Una VA es completamente especificada por la distribución F(x)

• Muchas veces es suficiente conocer pocos parámetros de la distribución, típicamente medía, varianza, covarianza .





14


La esperanza matemáticas

• X= VA; f(x)=fdp; g(X)= función de la VA

Esperanza matemáticas (o medía)

El momento de grado k, normal o centrado:





[ ] ∫∞

∞−

= dxxfxgXgE )()()(

[ ] [ ]( )[ ]kk

kk XEXEmXEm −==

15


La medía

• Medía, momento 1, valor esperado, …, de la VA X

• En el caso discreto





0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0 2 4 6 8 10 12 14

X

f(X)

media

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0 2 4 6 8 10 12 14

X

f(X)

media

[ ] ∫∞

∞−

== dxxfxXEm )(1

∑∞=

=,1

1u

uu Pxm

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Propiedades de la medíaa, b= constantes; X, Y = VA

• La medía de la combinación lineal es la combinación lineal de las medías:

X independiente de Y: • La medía del producto es el producto de las medías:





[ ] [ ] [ ]YbEXaEbYaXE +=+

[ ] [ ] [ ]YEXEYXE =

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La varianza

• Momento 2 centrado de la VA X: var(X), s2x, s2, ..

• En el caso discreto

• La raíz cuadrada es el desvío patrón





( )[ ] [ ] 222)var( mXEmXEX −=−=

2

,1

22 mPxu

uu−= ∑

∞=

σ

2σσ =

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Significado de la varianza

• Mide cuanto los datos son dispersos entorno de la medía:

Variaveis com mesma media (m=5) e variança diferente (σ= 2, 5)

0

0,1

0,2

0,3

-10,000 -5,000 0,000 5,000 10,000 15,000 20,000

X

f(X)





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Propiedades de la varianza

a, b = constantes; X, Y = VA• Las constantes no multiplicativas son filtradas:

X independiente del Y: • La varianza de la suma es la suma de las varianzas:





)var()(var 2 XabaX =+

)var()var()(var YXYX +=±

20


Variable reducida

Muchas veces conviene trabajar con la variable reducida:

Variaveis original e reduzida

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

-10 -5 0 5 10 15 20

X

f(X)

X': VA reduzida X: VA original





( )[ ]

[ ] [ ] 1'0''

'

22'

2

22

====

−=

==

XEXEm

mXX

X-mEσE[X]m

Xσσ

21


Ejercicio

Dato un conjunto de datos: • Calcular las estadísticas experimentales. • Calcular histograma.• Calcular medía y varianza de una VA discreta con:

Xu = medía de las clases del histograma Pu = frecuencias de las clases del histograma

• Dato un segundo conjunto de datos independientes, verificar las propiedades de la medía y de la varianza





22


Ejercicio

• Calcular medía y varianza de una VA discreta Xu conociendo la distribución Pu

xu - Pu

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,1 0,5 0,9 1,3 1,7 2,1 2,5 2,9 3,3 3,7

Xu

Pu

xu Pu

0,1 0,005

0,3 0,052

0,5 0,124

0,7 0,160

0,9 0,156

1,1 0,131

1,3 0,102

1,5 0,076

1,7 0,055

1,9 0,040

2,1 0,028

2,3 0,020

2,5 0,014

2,7 0,010

2,9 0,007

3,1 0,005

3,3 0,004

3,5 0,003

3,7 0,002





23


xu Pu xu*Pu xu2*Pu

0,1 0,005 0,000 0,000

0,3 0,052 0,016 0,005

0,5 0,124 0,062 0,031

0,7 0,160 0,112 0,078

0,9 0,156 0,140 0,126

1,1 0,131 0,144 0,159

1,3 0,102 0,133 0,172

1,5 0,076 0,114 0,171

1,7 0,055 0,094 0,160

1,9 0,040 0,075 0,143

2,1 0,028 0,059 0,125

2,3 0,020 0,046 0,106

2,5 0,014 0,036 0,089

2,7 0,010 0,027 0,074

2,9 0,007 0,021 0,061

3,1 0,005 0,016 0,050

3,3 0,004 0,012 0,041

3,5 0,003 0,010 0,034

3,7 0,002 0,007 0,027

media 1,126 varianza 0,385

Ejercicio - solución

0,0000,0200,0400,0600,0800,1000,1200,1400,1600,1800,200

0,1 0,5 0,9 1,3 1,7 2,1 2,5 2,9 3,3 3,7

xu

P u media





24


La ley de las probabilidades de dos variables

En caso de dos variables aleatorias, X y Y, se definen la densidad y la distribución de dos variables.

Las leyes monovariablesson llamadas leyes marginales.





{ }

dxdyyxFyxf

yYxXobyxF),(),(

,Pr),(2∂

=

≤≤=

25


El momento según

• Es muy importante el (de) segundo (orden) de las dos variables: la covarianza.





( )( )[ ][ ] [ ] [ ]

[ ] yx

yxxy

yxxy

mmXYEmmYEmXEmXYE

mYmXE

−=

=+−−=

=−−=σ

26


Propiedades de la covarianza

• Si las dos VA fuere independientes:

• Desigualdad del Schwartz:





0),cov( == xyYX σ

yxxyyxxy oppure σσσσσσ ≤≤ 222

27


Coeficiente de correlación

Es la covariancia de las dos variables reducidas: X’=(X-mx)/σx Y’=(Y-my)/σy

Es el verdadero instrumento para verificar inmediatamente el nivel de correlación. Es adimensional, independiente de los orígenes y de las unidades de medida.





''

))((yx

yx

yxxy

mYmXE σ

σσρ =

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −−=

28


Propiedades del Coeficiente de Correlación

-1 ≤ ρxy ≤ 1

Si X y Y fuere independientes ⇒ ρxy = 0ρxy = ± 1, sólo en caso de correlación lineal:

Y = a X + bVariaveis independentes

ρ=0

0

5

10

15

0 0,25 0,5 0,75 1

X

Y

Variaveis independentesρ=0

0

5

10

15

0 0,25 0,5 0,75 1

X

Y

Variaveis parcialmente correladasρ=0,5

0

5

10

15

0 0,25 0,5 0,75 1

X

Y


0

5

10

15

0 0,25 0,5 0,75 1

X

Y


0

5

10

15

0 0,25 0,5 0,75 1

XY


0

5

10

15

0 0,25 0,5 0,75 1

XY





''

))((yx

yx

yxxy

mYmXE σ

σσρ =

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −−=

29


Regresión

Rigurosamente la regresión de una variable sobre una segunda

es la curva de las esperanzas condicionales.





[ ] ∫== dyxyfyXYExmY )/(|)(

30


Y

XmX

mY

mY(x)

y*

Regresion lineal

Es difícil conocer la ley de dos variables.

En practica se calcula la regresión lineal:

la recta de regresión





( )XX

XYY mxmy −+= 2*

σσ

31


Las Regresiones lineal!

La regresiones son diferentes conforme la variable:

Regressoes lineares

0

4

8

12

0 0,25 0,5 0,75 1

X

Y

Dadosexperimentais

Y*|x

X*|y





( )

( )YY

XYx

XX

XYY

mymx

mxmy

−+=

−+=

2

2

*

*

σσσσ

32


Ejercicio

Dados dos conjuntos de datos, Pb e Zn• Cálcular las estadisticas esperimentales.• Verificar las propiedades de la medía y de la varianza.





33


Alguna ley

• La distribución normal:

Densidade normal

0

0,1

0,2

0,3

-5,000 0,000 5,000 10,000 15,000

Xf(X

)

σ

m





( )2

2

2

21)( σ

πσ

mx

exf−

−=

34


Alguna ley …

• La distribución exponencial: Densidade exponencial

0

0,1

0,2

0,3

0 4 8 12

X

f(X)

σm





⎩⎨⎧

<=≥= −

00)(0)(

xperxfxperaexf ax

22 1)var(1][

aX

aXEm ==== σ

axexF −−=1)(

35


Alguna ley …•La distribución uniforme:

Densidade uniforme

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0 4 8 12 16 20 24

X

f(X)

σm

a=20

1/a





⎪⎩

⎪⎨⎧

=

<<=

altrovexf

axpera

xf

0)(

01)(

axperaxxF ≤≤= 0)(

22

121)var(

21][ aXaXEm ==== σ

36


Alguna ley …

• La distribución log-normal

Es importante en el ámbito de los georecursos porque describe bien las distribuciones de variables con baja concentración, ej. los yacimientos de U, Au, …

La VA X es log-normalSi ln(X) es normal 1/a





37


Alguna ley …

• Los parámetros de la distribución log-normal

Las relaciones entre los momentos de la VA normal ylog-normal

X = log-normal ln(X) = normal

E[X] = m E[ln(X)] = m

Var[X] = s2 Var[ln(X)] = S2

m = e(m+S2/2)

s2 = m2 (eS2-1)

1/a





38





De la VR a la FA: Variables AleatoriasAlguna ley …

• La distribución normal en 2DX, Y : variables normáis (mx, my, σ2

x, σ2y)

ρ = σxy / (σx σy) : coeficiente de la correlación

),(21

),(yxQ

ekyxf−

=

( ) ( )( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −+

−−−

−−

=

−=

2

2

2

2

2

2

21

1),(

121

y

y

yx

yx

x

x

yx

mymymxmxyxQ

k

σσσρ

σρ

ρσπσ

39





De la VR a la FA: Variables AleatoriasAlgunaAlguna leyley ……

•Las regresiones de una distribución binormal

Las regresiones son dos rectas idénticas las apróximaciones lineal

Las regresiones m(xly) y m(y/x)se encuentran en (mx,my)

m(x/y) = mx + ρ σx/σy (y - my) m(y/x) = my + ρ σy/σx (x - mx)

3 - introducción a la geoestadística minera

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