Download - 3 - Introducción a la Geoestadística Minera
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GEOESTADISTICA MINERAGEOESTADISTICA MINERAIng. ROBERTO BRUNO - [email protected]
Consultor INTERCADEJunio 2008
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INTRODUCCION A LA GEOESTADISTICA MINERA
INTRODUCCION A LA GEOESTADISTICA MINERA
De la Variable Regionalizadaa la Función Aleatoria
• La variabilidad espacial.
Variable Aleatoria.• Funciones Aleatorias.
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El enfoque probabilista
De cada punto x del yacimiento existe un tenor z(x), la función matemática que llamamos VR. Consideramos un punto x0; podemos definir en ese punto una Variable Aleatoria (VA) Z(x0).Una VA toma valores numéricos conforme a su leyde la densidad deprobabilidad f(Z).
INTRODUCCION A LA GEOESTADISTICA MINERA
De la VR a la FA: Variables Aleatorias
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De la VR a la FA: Variables Aleatorias
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La realización de una VA
El valor de la VR en el punto, z(x0), es uno de los posibles valores de la VA Z(x0).
• z(x0) es una realización de la VA Z(x0)
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De la VR a la FA: Variables Aleatorias
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De la VR a la FA: Variables Aleatorias
HISTOGRAM
0
1
2
3
4
5
6
7
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
SUM OF TWO DICE
FREQ
UENC
Y
Série1
Cada valor, por ej.4, es una realización.
La VA suma de dos dados
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Una VA a 1D: la cotización 2008 del Au
Prever la cotización de oro en el 2008.
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De la VR a la FA: Variables Aleatorias
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• La cotización puede asumir diversos valores con diferentes probabilidades.
• La cotización 2008 es por lo tanto una VA.
• El valor 2008 consuntivo será la realización de la VA.
Quotaçao Au
0
5,000,000
10,000,000
15,000,000
20,000,000
25,000,000
1960 1970 1980 1990 2000 2010
Ano
Au
($/t)
?
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La VR realización de una FA
En cualquier otro punto x di S puede ser definida una VA Z(x).El conjunto de todas las VA definidas en S constituye una Función Aleatoria (FA). El conjunto de los valores de la VR z(x) son unos de los posibles valores de la FA Z(x)z(x) è una realización de la FA Z(x)
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De la VR a la FA: Variables Aleatorias
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Quotaçao Au
0
5,000,000
10,000,000
15,000,000
20,000,000
25,000,000
1960 1970 1980 1990 2000 2010
Ano
Au
($/t)
Una FA la 1D: la serie temporal
• De cada año puede ser definida una VA cotización de oro: la serie temporal cotización es una FA.
• La serie histórica efectiva es una realización de la FA.
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• Y la distribución de los tenores de oro en un pozo vertical?
Concentrao de Au num poço
50
60
70
80
90
100
110
120
0 2 4 6 8 10 12
Teor Au (g/T)
Prof
undi
dade
(m)
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La ley de las probabilidades
Una VA Z es definida por medio de su ley F(z)= prob{Z≤z}
P{Z > z} = 1 – F(z)
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Funçao de distribuiçao
z0=5
F(z0)=0.5
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
-10 -5 0 5 10 15 20
z
F(z)
Se llama función de distribución acumulada (fdc) o sencillamente distribución
1-F(z)
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Las propiedades de la ley
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F(-∞) = P {Z≤-∞} = 0
F(∞) = P {Z≤∞} = 1
La VA puede limitada, como por ej. el tenor: z=0.La P(Z) vale 0 o 1 conforme
Funçao de distribuiçao
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
-10 -5 0 5 10 15 20
z
F(z)
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Las propiedades …
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La distribución es monótona
z1 ≤ z2 F(z1) ≤ F(z2)
P(z1≤z≤z2) = F(z2)-F(z1)
Funçao de distribuiçao
z1
F(z1)
z2
F(z2)
0,00
0,25
0,50
0,75
1,00
-10 -5 0 5 10 15 20
z
F(z)
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Ley continúa / discreta
• F(x) puede ser continúa, ej. tenor • o discreta,
- ej. dado - indicador presencia/ausencia
de una lente de arena en una formación arcillosa
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x0I(x0)=1
x1I(x1)=0 0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 1
Istograma
Funçaodistribuiçao
Funçao de distribuiçao
0,00
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
-10 -5 0 5 10 15 20
z
F(z)
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La función de densidad
• Si la F(x) fuere continúa y derivable, su derivada se llama función de densidad de probabilidad (fdp) de la VA o sencillamente densidad:
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dxxdFxf )()( =
∫=− 2
1
)()()( 12
x
xdxxfxFxF∫ ∞−
=x
dxxfxF )()(
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Los momentos
• Una VA es completamente especificada por la distribución F(x)
• Muchas veces es suficiente conocer pocos parámetros de la distribución, típicamente medía, varianza, covarianza .
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La esperanza matemáticas
• X= VA; f(x)=fdp; g(X)= función de la VA
Esperanza matemáticas (o medía)
El momento de grado k, normal o centrado:
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[ ] ∫∞
∞−
= dxxfxgXgE )()()(
[ ] [ ]( )[ ]kk
kk XEXEmXEm −==
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La medía
• Medía, momento 1, valor esperado, …, de la VA X
• En el caso discreto
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0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0 2 4 6 8 10 12 14
X
f(X)
media
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0 2 4 6 8 10 12 14
X
f(X)
media
[ ] ∫∞
∞−
== dxxfxXEm )(1
∑∞=
=,1
1u
uu Pxm
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Propiedades de la medíaa, b= constantes; X, Y = VA
• La medía de la combinación lineal es la combinación lineal de las medías:
X independiente de Y: • La medía del producto es el producto de las medías:
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[ ] [ ] [ ]YbEXaEbYaXE +=+
[ ] [ ] [ ]YEXEYXE =
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La varianza
• Momento 2 centrado de la VA X: var(X), s2x, s2, ..
• En el caso discreto
• La raíz cuadrada es el desvío patrón
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( )[ ] [ ] 222)var( mXEmXEX −=−=
2
,1
22 mPxu
uu−= ∑
∞=
σ
2σσ =
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Significado de la varianza
• Mide cuanto los datos son dispersos entorno de la medía:
Variaveis com mesma media (m=5) e variança diferente (σ= 2, 5)
0
0,1
0,2
0,3
-10,000 -5,000 0,000 5,000 10,000 15,000 20,000
X
f(X)
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Propiedades de la varianza
a, b = constantes; X, Y = VA• Las constantes no multiplicativas son filtradas:
X independiente del Y: • La varianza de la suma es la suma de las varianzas:
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)var()(var 2 XabaX =+
)var()var()(var YXYX +=±
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Variable reducida
Muchas veces conviene trabajar con la variable reducida:
Variaveis original e reduzida
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
-10 -5 0 5 10 15 20
X
f(X)
X': VA reduzida X: VA original
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( )[ ]
[ ] [ ] 1'0''
'
22'
2
22
====
−=
==
XEXEm
mXX
X-mEσE[X]m
Xσσ
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Ejercicio
Dato un conjunto de datos: • Calcular las estadísticas experimentales. • Calcular histograma.• Calcular medía y varianza de una VA discreta con:
Xu = medía de las clases del histograma Pu = frecuencias de las clases del histograma
• Dato un segundo conjunto de datos independientes, verificar las propiedades de la medía y de la varianza
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Ejercicio
• Calcular medía y varianza de una VA discreta Xu conociendo la distribución Pu
xu - Pu
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,1 0,5 0,9 1,3 1,7 2,1 2,5 2,9 3,3 3,7
Xu
Pu
xu Pu
0,1 0,005
0,3 0,052
0,5 0,124
0,7 0,160
0,9 0,156
1,1 0,131
1,3 0,102
1,5 0,076
1,7 0,055
1,9 0,040
2,1 0,028
2,3 0,020
2,5 0,014
2,7 0,010
2,9 0,007
3,1 0,005
3,3 0,004
3,5 0,003
3,7 0,002
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xu Pu xu*Pu xu2*Pu
0,1 0,005 0,000 0,000
0,3 0,052 0,016 0,005
0,5 0,124 0,062 0,031
0,7 0,160 0,112 0,078
0,9 0,156 0,140 0,126
1,1 0,131 0,144 0,159
1,3 0,102 0,133 0,172
1,5 0,076 0,114 0,171
1,7 0,055 0,094 0,160
1,9 0,040 0,075 0,143
2,1 0,028 0,059 0,125
2,3 0,020 0,046 0,106
2,5 0,014 0,036 0,089
2,7 0,010 0,027 0,074
2,9 0,007 0,021 0,061
3,1 0,005 0,016 0,050
3,3 0,004 0,012 0,041
3,5 0,003 0,010 0,034
3,7 0,002 0,007 0,027
media 1,126 varianza 0,385
Ejercicio - solución
0,0000,0200,0400,0600,0800,1000,1200,1400,1600,1800,200
0,1 0,5 0,9 1,3 1,7 2,1 2,5 2,9 3,3 3,7
xu
P u media
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La ley de las probabilidades de dos variables
En caso de dos variables aleatorias, X y Y, se definen la densidad y la distribución de dos variables.
Las leyes monovariablesson llamadas leyes marginales.
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{ }
dxdyyxFyxf
yYxXobyxF),(),(
,Pr),(2∂
=
≤≤=
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El momento según
• Es muy importante el (de) segundo (orden) de las dos variables: la covarianza.
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( )( )[ ][ ] [ ] [ ]
[ ] yx
yxxy
yxxy
mmXYEmmYEmXEmXYE
mYmXE
−=
=+−−=
=−−=σ
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Propiedades de la covarianza
• Si las dos VA fuere independientes:
• Desigualdad del Schwartz:
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0),cov( == xyYX σ
yxxyyxxy oppure σσσσσσ ≤≤ 222
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Coeficiente de correlación
Es la covariancia de las dos variables reducidas: X’=(X-mx)/σx Y’=(Y-my)/σy
Es el verdadero instrumento para verificar inmediatamente el nivel de correlación. Es adimensional, independiente de los orígenes y de las unidades de medida.
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''
))((yx
yx
yxxy
mYmXE σ
σσρ =
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −−=
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Propiedades del Coeficiente de Correlación
-1 ≤ ρxy ≤ 1
Si X y Y fuere independientes ⇒ ρxy = 0ρxy = ± 1, sólo en caso de correlación lineal:
Y = a X + bVariaveis independentes
ρ=0
0
5
10
15
0 0,25 0,5 0,75 1
X
Y
Variaveis independentesρ=0
0
5
10
15
0 0,25 0,5 0,75 1
X
Y
Variaveis parcialmente correladasρ=0,5
0
5
10
15
0 0,25 0,5 0,75 1
X
Y
Variaveis parcialmente correladasρ=0,5
0
5
10
15
0 0,25 0,5 0,75 1
X
Y
Variaveis parcialmente correladasρ=0,85
0
5
10
15
0 0,25 0,5 0,75 1
XY
Variaveis parcialmente correladasρ=0,85
0
5
10
15
0 0,25 0,5 0,75 1
XY
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''
))((yx
yx
yxxy
mYmXE σ
σσρ =
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −−=
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Regresión
Rigurosamente la regresión de una variable sobre una segunda
es la curva de las esperanzas condicionales.
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[ ] ∫== dyxyfyXYExmY )/(|)(
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Y
XmX
mY
mY(x)
y*
Regresion lineal
Es difícil conocer la ley de dos variables.
En practica se calcula la regresión lineal:
la recta de regresión
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( )XX
XYY mxmy −+= 2*
σσ
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Las Regresiones lineal!
La regresiones son diferentes conforme la variable:
Regressoes lineares
0
4
8
12
0 0,25 0,5 0,75 1
X
Y
Dadosexperimentais
Y*|x
X*|y
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( )
( )YY
XYx
XX
XYY
mymx
mxmy
−+=
−+=
2
2
*
*
σσσσ
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Ejercicio
Dados dos conjuntos de datos, Pb e Zn• Cálcular las estadisticas esperimentales.• Verificar las propiedades de la medía y de la varianza.
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Alguna ley
• La distribución normal:
Densidade normal
0
0,1
0,2
0,3
-5,000 0,000 5,000 10,000 15,000
Xf(X
)
σ
m
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( )2
2
2
21)( σ
πσ
mx
exf−
−=
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Alguna ley …
• La distribución exponencial: Densidade exponencial
0
0,1
0,2
0,3
0 4 8 12
X
f(X)
σm
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⎩⎨⎧
<=≥= −
00)(0)(
xperxfxperaexf ax
22 1)var(1][
aX
aXEm ==== σ
axexF −−=1)(
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Alguna ley …•La distribución uniforme:
Densidade uniforme
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0 4 8 12 16 20 24
X
f(X)
σm
a=20
1/a
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⎪⎩
⎪⎨⎧
=
<<=
altrovexf
axpera
xf
0)(
01)(
axperaxxF ≤≤= 0)(
22
121)var(
21][ aXaXEm ==== σ
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Alguna ley …
• La distribución log-normal
Es importante en el ámbito de los georecursos porque describe bien las distribuciones de variables con baja concentración, ej. los yacimientos de U, Au, …
La VA X es log-normalSi ln(X) es normal 1/a
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Alguna ley …
• Los parámetros de la distribución log-normal
Las relaciones entre los momentos de la VA normal ylog-normal
X = log-normal ln(X) = normal
E[X] = m E[ln(X)] = m
Var[X] = s2 Var[ln(X)] = S2
m = e(m+S2/2)
s2 = m2 (eS2-1)
1/a
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INTRODUCCION A LA GEOESTADISTICA MINERA
De la VR a la FA: Variables AleatoriasAlguna ley …
• La distribución normal en 2DX, Y : variables normáis (mx, my, σ2
x, σ2y)
ρ = σxy / (σx σy) : coeficiente de la correlación
),(21
),(yxQ
ekyxf−
=
( ) ( )( ) ( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −+
−−−
−−
=
−=
2
2
2
2
2
2
21
1),(
121
y
y
yx
yx
x
x
yx
mymymxmxyxQ
k
σσσρ
σρ
ρσπσ
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Ing. Roberto Bruno - [email protected] - Consultor Internacional Intercade
INTRODUCCION A LA GEOESTADISTICA MINERA
De la VR a la FA: Variables Aleatorias
INTRODUCCION A LA GEOESTADISTICA MINERA
De la VR a la FA: Variables AleatoriasAlgunaAlguna leyley ……
•Las regresiones de una distribución binormal
Las regresiones son dos rectas idénticas las apróximaciones lineal
Las regresiones m(xly) y m(y/x)se encuentran en (mx,my)
m(x/y) = mx + ρ σx/σy (y - my) m(y/x) = my + ρ σy/σx (x - mx)