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ING. LUZ E. ALVAREZ ASTO.
2013
ING. LUZ E. ALVAREZ ASTO
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA DE INGENIERIA CIVIL 01/02/2013
GEOMETRIA DESCRIPTIVA -MODULO I
ING. LUZ E. ALVAREZ ASTO.
CONTENIDOS
Semana 1:
♣ Reseña histórica, definición del curso.
♣ Proyección de un punto en el espacio
♣ Planos auxiliares de proyección perpendicular a los planos en proyección
horizontal y frontal.
♣ Representación de los planos auxiliares en el depurado.
♣ Vistas auxiliares sucesivas. Proyección de sólidos.
Semana 2:
♣ Recta.
♣ Proyecciones y planos proyectantes.
♣ Posiciones particulares de las rectas que se cortan.
♣ Visibilidad.
♣ Verdadera magnitud mediante vista auxiliar
♣ Proyección de una recta como un punto.
♣ Orientación y pendiente.
♣ Rectas paralelas y perpendiculares.
♣ Plano determinación del plano.
♣ Rectas contenidas en un plano.
♣ Rectas notables en los planos horizontal, frontal y de perfil. Posiciones
particulares.
♣ Planos de canto en vistas auxiliares.
♣ Verdadera magnitud de un plano.
♣ Pendiente orientación de un plano.
♣ Recta máxima pendiente
♣ Paralelismo: condición de paralelismo entre rectas y planos.
♣ Por una recta trazar un plano paralelo a una recta dada. Por un punto
trazar un plano paralelo a dos rectas dadas
Semana 3:
♣ Perpendicularidad: condición de perpendicularidad entre rectas y planos
♣ por un punto trazar un plano perpendicular a una recta dada.
♣ Por un punto trazar una recta perpendicular a un plano.
ING. LUZ E. ALVAREZ ASTO.
OBJETIVOS
Objetivo General
Brindar al alumno métodos visuales prácticos para el desarrollo de
problemas tridimensionales que el sirvan para su futura vida
profesional
Específicos
Analizar por sí mismo problemas tridimensionales mediante
proyecciones
Ortogonales
Desarrollar vistas de un proyecto arquitectónico
Representar en el papel un objeto cualquiera dado
Desarrollar en forma practica un método de análisis visual para la
solución de problemas tridimensionales.
ING. LUZ E. ALVAREZ ASTO.
Es la ciencia que busca representar los objetos tridimensionales sobre una
superficie plana o sea en 2 dimensiones.
La Geometría descriptiva proporciona los fundamentos, principios, artificios
para resolver y comunicar gráficamente los diferentes elementos en el espacio
(puntos, rectas, superficies planas o curvas, sólidos o volúmenes), en doble
proyección ortogonal.
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Teoría de la Proyección
¿Qué es una Proyección?
Es el método que se utiliza para representar un objeto en una superficie. Figura que
resulta de proyectar los puntos que se observan del objeto en la dirección del plano de
proyección.
Proyectar:
Objetivizar lo que captamos de las formas y dimensiones de los objetos en un plano
Plano de proyección:
Superficie sin espesor transparente, ilimitado y bidimensional, se proyecta la imagen
de un objeto
Principios de la proyección
Es la imagen obtenida en una superficie (Generalmente plana) llamado plano de
proyección. Esta imagen resulta de la intersección con el plano de proyección de las
visuales que van del ojo del observador a los diferentes puntos del objeto a
representar
En todo sistema de proyección intervienen cuatro elementos denominados
a) Objeto. Es el objeto que se desea representar. Puede ser un punto, recta, plano,
superficie, sólido, etc; en fin cualquier elemento geométrico ú objeto en sí.
b) Punto de observación. Punto desde el cual se observa el objeto que se quiere
representar. Es un punto cualquiera del espacio.
c) Superficie de proyección. Es la superficie sobre la cual se proyectará el objeto.
Generalmente es un plano; aunque también puede ser una superficie esférica,
cilíndrica, cónica, etc.
d) Proyectantes. Son rectas imaginarias que unen los puntos del objeto con el punto
de observación. La proyección (P') de cualquier punto (P) del objeto se obtiene
interceptando su proyectante con el plano de proyección.
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Observador
Proyección
Plano de proyección
Objeto
Perspectiva Visual
Horizontal
Frontal
Perfil
Un sistema de proyección es un sistema por medio del cual puede ser definida
la proyección de un objeto sobre una superficie.
Ortogonal
Proyección cilíndrica
Oblicua
Proyección cónica
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Sistemas de representación
Es el conjunto de principios que permite determinar la representación de un
objeto mediante de la selección de cualquier tipo de proyección
Tipos de sistemas de representación
Es el conjunto de principios que permite determinar la representación de un
objeto mediante de la selección de cualquier tipo de proyección
Es el elemento geométrico más simple en el espacio
Representación del Punto
Los puntos se representan con letras Mayúscula en el espacio, y en las proyecciones se
le agrega el superíndice para identificar la proyección vertical y la proyección
horizontal.
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Determinación de un punto mediante coordenadas
P ( 95, 60, 40) P ( x, y, z )
La representación de un punto A se materializa en su proyección horizontal A
1
y su proyección vertical A2.
No se dibuja línea de tierra.
Su situación queda determinada en base a las proyecciones de otros puntos
(sistema de coordenadas relativas)
O= Origen de replanteo de todo punto X= Distancia del punto al plano lateral o de perfil Y= vuelo del punto (distancia del punto del plano frontal) Z= Cota del punto (distancia del punto al plano horizontal
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La cota es la distancia del punto del espacio al plano horizontal, y se
representa en el sistema diédrico, como la distancia de la proyección vertical a
la línea de tierra. El alejamiento es la distancia al plano vertical y quedaría
representado por la distancia de la proyección vertical a la línea de tierra.
Si un punto del espacio se encuentra por encima del plano horizontal, su cota es
positiva y en el sistema diédrico su proyección vertical estará por encima de la
línea de tierra. El alejamiento de un punto es positivo si el punto en el espacio
se encuentra por delante del plano vertical. La proyección horizontal de un
punto con alejamiento positivo siempre estará por debajo de la línea de tierra.
Los planos de proyección dividen el espacio en cuatro cuadrantes. El primer
cuadrante es el espacio que se encuentra por encima del plano horizontal y por
delante del plano vertical, por lo que un punto del 1er cuadrante tiene cota y
alejamiento positivos y se representa con la proyección horizontal por debajo
de la línea de tierra y la proyección vertical por encima .
Si un punto del espacio se encuentra sobre uno de los planos de proyección, la
cota ó el alejamiento serán nulos y la proyección correspondiente se
encontrará sobre la línea de tierra.
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Posición del punto con respecto a otro
Un punto con respecto a otro puede referenciarse de dos manera
a) Por medio de coordenadas cartesianas (distancias: más alto, más bajo).
b) Por coordenadas angulares (Orientación: norte, sur, este, oeste;
inclinación).
Plano adyacente:
Plano de proyección contiguo, separado por una línea de pliegue.
Plano anexo:
Plano que se halla separado de otro por un plano adyacente
PROYECCIONES RELATIVAS ENTRE PUNTOS:
Ejercicios
1. Dibujar las proyección horizontal, frontal y lateral de tres puntos A,B y
C cubicados en el primer diedro. El punto A tiene una cota de 4m un
alejamiento de 2m y un apartamiento de 3m. El punto B está ubicado 2m
al norte, 3m al este y 2m más abajo que A. El punto C está ubicado 1m al
sur, 1,5m al oeste y 1m mas abajo que A. Esc: 1:100.
2. Represente los siguientes puntos e indique em que diedro se encuentran:
A(25;50;-70), B(45;-40;-65.5) C(65;75;0) D(65;50;-25) E(110;-55;30).
LA ORIENTACIÓN SOLO SE
DEFINE EN EL PLANO H
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En los Planos de Proyección, las Visibilidades serán las siguientes:
VISTA HORIZONTAL:
La visibilidad se ve en los Planos Laterales, los puntos que estén arriba son
Visible y lo que está abajo Invisible.
VISTA FRONTAL:
La visibilidad se ve en los Planos superior o inferior ,los puntos que estén
Adelante son Visible y lo que están detrás Invisible.
VISTA DE PERFIL:
La visibilidad se ve en el Plano Frontal, los puntos que estén a derecha son
Visibles y la Izquierda Invisibles.
Vista Auxiliar:
Es aquella que se toma en un plano diferente a los planos Principales.
Es práctica común enumerar todos los vértices de objeto para obtener una
mayor claridad en la obtención de las vistas. Pero hay que tener cuidado porque
en piezas complicadas puede confundir al dibujante
Clasificación de Vistas Auxiliares:
A) Vista Auxiliar Primaria
Si proviene de una vista principal
Clasificación
Vista Auxiliar Horizontal
Vista Auxiliar Frontal
Vista Auxiliar de perfil
B) Vista Auxiliar Secundaria
Si proviene de una primaria .
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I.- Vista Auxiliar Horizontal
Cota: distancia de la proyección de un punto al Plano
Horizontal
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Cuando se desea mostrar el verdadero tamaño y forma de una superficie,
inclinada la cual está inclinada con respecto a dos o más planos principales de
proyección, debe proyectarse una vista de la superficie sobre un plano paralelo
a la misma.
CONSTRUCCIÓN DE UNA VISTA AUXILIAR DE UNA SUPERFICIE
CONSTRUCCIÓN DE UNA VISTA AUXILIAR DE UNA SUPERFICIE
1. Se parte de dos vistas.
2. Se enumeran los puntos de interés
3. Se traza la línea de referencia H1 paralela a
la superficie plana
4. Se trazan las líneas de proyección a la nueva
vista
5. Se miden las distancias desde la línea de
referencia HF hasta los puntos 1F 2f 3F 4F
y se colocan a continuación de la línea de
referencia H1 y se forma la vista
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PROYECCIONES DE UN SÓLIDO
Proyección (H, F y P) el sólido se proyecta ortogonalmente
1. Es visible el contorno en cualquier plano de proyección.
2. En el plano H: Son visibles los puntos que están arriba
Son invisibles los puntos que están abajo
3. En el plano F: Son visibles los puntos que están adelante
Son invisibles los puntos que están atrás.
4. En el plano P: Son visibles los puntos que están a la derecha
Son invisibles los puntos que están a la izquierda
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VISTAS AUXILIARES
EJERCICIOS
Dadas las vistas superior y frontal Dibujar las vistas auxiliares parciales de
un prisma truncado de base hexagonal, de un cilindro truncado y de una
pirámide truncada de base hexagonal
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La recta es el rastro que deja un punto sobre el
espacio cuando este se mueve en una dirección y
pendiente constante.
Una recta es una sucesión infinita de puntos,
situados en una misma dirección.
Una recta tiene una sola dimensión: la longitud.
Una recta queda definida por dos puntos.
Un punto pertenece a una recta si sus
proyecciones pertenecen a las de esa recta (A y
B pertenecen a la recta r)
Las proyecciones de los puntos determinan las proyecciones de la recta
En el espacio la línea recta está definida, bien sea por dos puntos o un punto y
una dirección.
Representación de una recta dada por dos puntos en el espacio (A y B)
Se acostumbra a denominar la recta con la letra minúscula.
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Tipos de rectas
Según la posición de la recta con respectos a los planos de proyección
(horizontal, vertical o frontal y de perfil) está pueden recibir diferentes
denominaciones.
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Posiciones Particulares De La Recta
Son las posiciones en las cuales la recta muestra su verdadera magnitud en
alguna de sus proyecciones.
También son útiles para determinar relaciones geométricas respecto a otros
elementos, como los ángulos respecto de los planos de proyección.
Recta horizontal: Paralela al PH.
Su proyección vertical h2 es perpendicular a las líneas de referencia.
En la planta se proyecta la VM y se mide el ángulo β que forma la recta con el
PV.
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Recta frontal: Paralela al PV.
Su proyección horizontal f1 es perpendicular a las
líneas de referencia.
En el alzado se proyecta la VM y se mide el ángulo α
que forma la recta con el PH
Recta de perfil: Paralela al PP.
En el perfil se proyecta la VM y se mide el ángulo α que forma la recta con el
PH y el ángulo β que forma con el PV.
Recta perpendicular al PP: En la planta y el
alzado se proyecta la VM.
Las dos proyecciones principales son paralelas
entre sí y perpendiculares a las líneas de
referencia.
En el perfil la proyección es un punto.
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Recta vertical: Perpendicular al PH y paralela a los otros dos
planos de proyección.
La dirección de la proyección vertical es la misma que la de las
líneas de referencia.
En el alzado y perfil se proyecta en VM. En la planta su
proyección es un punto.
Recta de punta: Perpendicular al PV y paralela a los
otros dos planos de proyección.
La dirección de la proyección horizontal es la misma
que la de las líneas de referencia.
En la planta y perfil se proyecta en VM. En el alzado su
proyección es un punto.
Trazas de la recta
La traza (o intersección) es el punto de
penetración de una recta en un plano de
proyección también se denomina puntos
trazas o puntos notables de la recta.
Para que un punto (como el punto traza)
pertenezca a la recta debe tener su
proyección sobre la proyección de la
recta
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Ejemplo: Dibujamos la recta dada ( por dos puntos: A,B).
Traza Vertical
Se determina con la intersección de la proyección horizontal con la línea de
tierra encontrando el punto V (Vh=0) donde corta con la proyección vertical.
Traza Horizontal
Se determina con la intersección de la proyección vertical con la línea de tierra
encontrando el punto H (Hv=0) donde corta con la proyección horizontal.
Verdadera Magnitud de una Recta:
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Método del plano paralelo:
Se ha visto que una recta
horizontal es paralelo al plano
H se proyecta en dicho plano
VM igual forma una recta
frontal y de perfil.
Para tener una recta en VM es
necesario que el plano de
proyección sea paralelo a la
recta caso contrario se
recurrirá a una vista auxiliar
paralelo a la recta y en la vista
auxiliar se mostrará en VM la
recta.
Método del triángulo de rebatimiento:
Consiste en dibujar el triángulo que se genera en el espacio, resultante de la
intersección de la recta en el espacio con su proyección. Este triángulo se
dibuja en cualquiera de las proyecciones que arroja la recta.
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1. Se lleva sobre la proyección vertical de la recta AB una perpendicular
(BvBa´) la diferencia de vuelos entre los puntos de la recta, donde A
vBa´
es la verdadera magnitud. Con este procedimiento se encuentra β(beta)
que es el ángulo que forma la recta con el plano vertical.
2. Se lleva sobre la proyección horizontal de la recta AB una perpendicular
(BvBa) la diferencia de cotas entre los puntos de la recta, donde AvBa es
la verdadera magnitud. Con este procedimiento se encuentra α(alfa) que
es el ángulo que forma la recta con el plano vertical.
Medir distancias sobre una recta
Cuando una recta es al menos paralela a uno de los proyección, la distancia de
cualquier punto ubicada sobre esta, puede ser determinada en la proyección de
la recta del plano de proyección al que es paralela.
Cuando una recta es oblicua, fijamos un segmento conocido (como AB) y
determinamos su verdadera magnitud (AvBa´) sobre el verdadero tamaño
medimos la distancia que se desea conocer, esta distancia corresponderá
proporcio nalmente a la relación entre la proyección y verdadera magnitud
Ejemplo: medir sobre el segmento AB, desde A una distancia d(AC)
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Proyecciones De La Recta
Las proyecciones de los puntos AB determinan las proyecciones de la recta en
los diferentes planos
Un punto contenido en una recta aparece en todas las proyecciones de la recta
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Ejercicio
DIBUJAR EL POLIGONO ABIERTO ABCDE SABIENDO QUE:
Las coordenadas del punto A son: AF
(300, 500)
AH
(300, 2600)
B, está a 3 Km al norte y 500 metros arriba de A
C, está a 5 Km al este, 1 Km al sur y 100 metros debajo de B
D, está a 1 Km hacia adelante, 2 Km a la izquierda y 2 Km debajo de C
E, está a 2 Km al oeste, 2 Km al sur y 1500 metros debajo de D
Orientación Y Pendiente De La Recta
La pendiente es el ángulo de inclinación que hace la recta con el plano principal
o un plano paralelo a él.
Si AB es el segmento entonces la pendiente será positiva si B está por encima
de A y será negativa si B está debajo de A
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Determinación De La Pendiente:
La pendiente se aprecia en su verdadera
medida cuando se toma la verdadera
magnitud de la recta a partir de la vista
horizontal.
La pendiente se puede denotar en ángulos o
en porcentaje. Para determinar la
pendiente en porcentaje desde un punto
extremo de la recta se mide 100 unidades
y lleva una perpendicular con respecto a
esta, el cateto opuesto al ángulo determina
el valor de la pendiente en base al 100%.
En ambos casos se debe tomar en cuenta lo
siguiente: si la recta asciende con respecto
a la línea de tierra a partir del punto
determinado para medir dicho ángulo. Es negativa (-), si desciende o se acerca
a la línea de tierra.
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Es el ángulo que forma la proyección horizontal de una recta con
el eje coordenado Norte-Sur, Este ángulo siempre se mide en el
plano de proyección horizontal y será en un ángulo menor a 90º
Dado el Ejemplo:
punto A trazar una
recta AB desde el
punto A con una
orientación N 66º E.
Vista De Punto De Una Recta:
Para que una recta se proyecte de punta
en un plano de proyección es necesario
que una recta de VM sea perpendicular
al plano.
Para lo cual es necesario dos vistas
auxiliares:
1.- Para determinar la VM de la recta.
2.- Un plano perpendicular a VM de la
recta y se verá la recta de punta.
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Rectas Perpendiculares
Cuando dos rectas se cortan o cruzan y forman un ángulo de 90º. serán
perpendiculares si una de ellas se proyecta en VM
Si una de ellas se proyecta en VM y la otra como punto, entonces estas serán
perpendiculares
En la siguiente figura se muestra el caso de dos rectas perpendiculares AB y
CD, en donde AB es una recta horizontal, luego AhBh y ChDh deberá medir
90º, no así el ángulo entre AfBf y CfDf ya que ninguno de ellos estará en
verdadera magnitud.
En la figura (b) se tiene un caso en que dos rectas MN y PQ determinan un
ángulo de 90º en la vista horizontal. Estas dos rectas no son perpendiculares
entre sí, ya que MhNh y PhQh no están en su verdadera magnitud.
Pertenencia de punto a recta
Dada una recta r y el punto M, para que el punto
pertenezca a la recta es necesario que las
proyecciones del punto se encuentren sobre las
proyecciones del mismo nombre en la recta
En el caso de la recta de perfil no es suficiente con
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comprobar las proyecciones horizontal y vertical y en el caso
del punto C nos hemos de auxiliar de la proyección de perfil
para comprobar que no pertenece a la recta.
Rectas Paralelas:
Si dos rectas son paralelas en el espacio, sus proyecciones sobre cualquier
plano serán también paralelas entre sí:
Rectas Que Se Cortan
Se dice que dos rectas se cortan cuando poseen
un punto en común. Como el punto de intersección
pertenece a las rectas, será necesario que en
todas las proyecciones, las dos rectas se
encuentren en la proyección del punto en común.
Se encuentran en un mismo punto en un mismo
plano.
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Cuando no se da esta circunstancia las dos rectas se cruzan
en el espacio.
Ejercicios Desarrollados
1- Dada la recta “m” por los puntos A(30;35;20), B(70;35;55) se pide
proyecciones de la recta “a” el tipo de recta, trazas y verdadera
magnitud del segmento AB.
Primero hallamos las proyecciones de los puntos A y B. (en la perspectiva se ve
claramente que es una recta frontal). La recta es paralela a PV.
La extensión de la proyección vertical hasta la línea de tierra ayuda a
determinar el punto de penetración (traza) de la recta AB al plano horizontal
que es el punto Qh, no existe traza vertical por que la recta es paralela al PV.
La verdadera magnitud de la recta se puede verificar directamente sobre la
proyección de la recta.
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2. Dado el punto C( 30; 15; 40):
a) Dibujar las proyecciones de un segmento CD (De Perfil) que forma 60°
con el Plano Horizontal de proyección y mide 50 mm. Tomar la alternativa
de mayor vuelo y mayor cota para la representación del punto D.
b) Hallar las trazas.
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Ejercicios Propuestos
2. Dada una mina de cobre:
a) Representar en doble proyección ortogonal la boca de un túnel de la mina
dada por la recta "r" [A (100;40;20) y B(70;28;8)].
b) Determine el punto "V" y "H" (trazas de la recta AB con los planos de
proyección) donde se encuentra las estaciones de trabajo del túnel AB.
c) Representar la proyección del túnel HC que desciende por el suelo
extensión de la recta "r" que mide 45 mt.
d) Determinar la ubicación de otra estación de trabajo que se encuentra en el
punto D emplazada en la mitad del tramo CH.
e) A partir de la estación ubicada en el punto D construir un segundo túnel
que va hasta el mineral que se encuentra en el punto E ubicado a 50 mt, este
túnel es una recta de punta y E tiene mayor vuelo que D
f) Determinar los ángulos y verdadera magnitud de los segmentos AH y
DE.
3. Se desea perforar un túnel en una montaña para llegar a una mina de
carbón partiendo del punto A (25;10;35) la boca del túnel, extendiéndose
hasta B (65; ? ; 10).
a) Determinar las proyecciones del segmento AB sabiendo que forma 30º con el
plano horizontal y que el punto "B" tiene mayor vuelo que el punto A.
b) Hallar el punto de penetración del túnel "H" (con el plano horizontal) (Punto
donde se encuentra el carbón).
c) sobre el tramo AB, Construir un segundo túnel a partir del punto "P" que se
encuentra a 25 mt del punto "A" denominado PQ para ventilar al primero
(AB), sabiendo que forma 90º con el plano horizontal y 0º con el plano vertical,
este túnel mide 30 mt. que es la distancia hasta Q, don se ventila en la
superficie.
d) Determinar el Angulo b de AH.
Problema: AB es una barra estructural, se le refuerza en X con una barra
perpendicular a AB que parte de C. Determinar la magnitud, orientación y
pendiente de CX (Esc: 1/100)
A (3,0 – 5,0 – 8,5)
B (5,0 – 2,0 – 12,5)
C (8,0 – 4,0 – 10,0)
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HΩ
Ω
El plano es un lugar geométrico originado por una línea en movimiento y tiene
una extensión indefinida a menos que se indique otra cosa. El plano se
denomina con letras griegas (αβΩπΦ…).
a) Limitados (polígonos, círculos, otros).
b) Ilimitados (carece de contornos definidos y se extienden al infinito).
Representación De Un Plano
Un plano puede quedar definido si se conoce
cualquiera de sus elementos (puntos; rectas; o sus
trazas).
La forma más expresiva de representar un plano es
a través de sus trazas. Las trazas del plano son
rectas del plano (V y H) que se originan por la
intersección del plano en el espacio con los planos
de proyección; determinando la posición de este.
Traza vertical (V): recta del plano contenida en el
plano vertical. (recta frontal).
Traza horizontal (H): recta del plano, contenida en
el plano horizontal (recta horizontal)
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Tipos de planos
Al igual que la recta, el plano recibe un nombre según la posición que tengan con
respecto a los planos de proyección, (por ejemplo Ω). Es conveniente conocer
sus trazas o rectas características que las estudiaremos más adelante.
a) Plano oblicuo
Tiene una posición accidental con respecto a los planos de proyección
b) Plano paralelo a la Línea de Tierra
Sus trazas son paralelas a la L. T
c) Plano horizontal
Es paralelo al PH (Plano de Proyección Horizontal)
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d) Plano frontal
Es paralelo al PV (Plano de Proyección Vertical)
e) Plano de canto o Proyectante Vertical
Es Perpendicular al PV (Plano Vertical)
f) Plano Vertical o Proyectante Horizontal
Es Perpendicular al PH (Plano Horizontal)
g) Plano d perfil
Es paralelo al plano de perfil
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r
A
r
Formas De Determinar Un Plano
Como se dijo anteriormente, un plano puede quedar definido si se conoce
cualquiera de sus elementos (puntos; rectas; o sus trazas), pero deben reunir
ciertas condiciones como son:
Planos determinados por dos rectas paralelas
Planos determinados por dos rectas que se cortan
Planos determinado por 3 puntos no alineados
Planos determinados por un punto y una recta
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Plano determinado por sus trazas.
Por figuras geométricas
Rectas contenidas en un plano
Todo plano tienen infinitas rectas y puntos que lo conforman. Por ello es
importante saber cómo representar un punto o una recta cualquiera contenida
en sí.
Si una recta corta a dos rectas contenidas en un plano, esta recta también
está contenida en el plano
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Una recta está contenida en un plano, si pasa por dos puntos que pertenecen a
este plano.
Una recta está contenida en un plano si pasa por un punto que pertenece a un
plano y es paralela a una recta que está contenida en dicho plano.
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Rectas Notables De Un Plano
Recta Horizontal
Paralela al PH de referencia.
Recta Frontal
Paralela al PV de referencia
AX recta Horizontal
MN recta Frontal
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Recta De Perfil
XY recta de Perfil
Puntos Pertenecientes A Un Plano
Si un punto pertenece a un plano, dicho punto pertenecerá también a cualquier
recta que esté contenida en el plano, siempre que la recta pase por dicho punto.
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Posiciones Del Plano Particulares
Plano Horizontal
Plano paralelo al plano H
Se proyecta en verdadera magnitud en el plano H
Se proyecta de canto en el plano F
Plano Frontal
Plano paralelo al plano F
Se proyecta en verdadera magnitud en el plano F
Se proyecta de canto en el plano H
H
F
CH
BH
AH
AF BF CF
Verdadera Magnitud
H
F
CH
BHAH
AF
BF
CFVerdadera Magnitud
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Plano De Perfil
Plano paralelo al plano P
Se proyecta en verdadera magnitud en el plano P
Se proyecta de canto en el plano F
Plano Vertical
Se muestra perpendicular al plano H, por lo que se proyectará de canto en H
AF
BF
CF
F P
BP
AP
CP
Verdadera
Magnitud
H
F
AH
BH
CH
AF
BF
CF
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Plano Normal
Se muestra perpendicular al plano F, por lo que se proyectará de canto en F
Plano Perpendicular al Plano de Perfil U Ortogonal
Se muestra perpendicular al plano P, por lo que se proyectará de canto en P
H
F
AH
BH
CH
AF
BF
CF
F P
AF
BF
CF
AF
BF
CF
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Plano De Canto
Para hallar la proyección de un plano de canto en una vista, es necesario y
suficiente hallar en dicha vista una recta del plano como punto
H
F
AH
BH
CH
AF
BF
CF
MF
NF
MF
NF
H
1
A1
B1
C1
M1
N1
1
2
A2
B2
C2
M2N2
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Ejercicio
Encontrar la vista de canto del siguiente plano
Solución
1. Primero se toma la recta MN cualquiera que pertenece al plano
2. En la vista 1 se obtiene la verdadera magnitud de la recta MN
3. En la vista 2 se proyecta de punta como se observa en esta vista el plano
se mostrara de canto. Veamos el desarrollo
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Método Directo (Recta Notable Horizontal)
Se toma una recta horizontal cualquiera y como esta
se proyecta en verdadera magnitud en la vista
horizontal se podrá proyectar de punta
directamente sobre la vista auxiliar primaria y así
obtener la vista de canto.
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Método Directo (Recta Notable Frontal)
Se toma una recta frontal cualquiera y como esta se
proyecta en verdadera magnitud en la vista frontal se
podrá proyectar de punta directamente sobre la vista
auxiliar primaria y así obtener la vista de canto.
ING. LUZ E. ALVAREZ ASTO.
Verdadera Magnitud De Un Plano
Se proyecta en un plano paralelo al plano
Inicialmente hallas el plano de canto.
Luego se toma una vista auxiliar paralela a está vista de canto.
En dicha vista se obtendrá el plano en VM (por lo tanto todas las rectas del
plano están en VM).
H
F
AH
BH
CH
AF
BF
CF
MF
NF
MF
NF
H
1
A1
B1
C1
M1
N1
1
2
A2
B2
C2
M2N2
23
A3
B3
C3
VERDADERA MAGNITUD
ING. LUZ E. ALVAREZ ASTO.
Ejercicios propuestos
Problema 1: Hallar la verdadera magnitud del plano ABC A (2,0 – 5,5 – 8,5)
B (4,5 – 3,0 – 10,0)
C (6,0 – 4,5 – 6,5)
Problema 2: ABC son los vértices de un plano ortoperfil. Determinar las coordenadas y
proyecciones principales del plano JKL que está determinado por los puntos
medios de AB, BC y AC A (2,5 – 7,0 – 8,0)
B (6,0 – 5,0 – ?)
C (4,0 – 4,0 – 11,5)
ORIENTACION DE UN PLANO
ING. LUZ E. ALVAREZ ASTO.
La orientación de un plano está determinada por la orientación de una recta
horizontal contenida por un plano
Se ve únicamente en el plano H
La nomenclatura es la misma que en el caso de la recta
ING. LUZ E. ALVAREZ ASTO.
Notación del plano ABC - Si se toma en sentido AX, su orientación será: S αo E
- Si se toma en sentido XA la orientación será: N αo O
ING. LUZ E. ALVAREZ ASTO.
Pendiente De Un Plano
Es la tangente del ángulo de inclinación que hace el plano respecto a un plano
horizontal
Se nombra en grados o en porcentaje de pendiente.
Proyectar el plano de canto en una vista de elevación (adyacente al plano H)
ING. LUZ E. ALVAREZ ASTO.
Recta de máxima pendiente de un plano es una recta (o cualquiera paralela a
ella) contenida en un plano oblicuo, perpendicular a todas las horizontales
contenidas en dicho plano.
Analíticamente la recta de máxima pendiente de un plano se determina
respecto a un plano horizontal cualquiera, y está dado por una recta contenida
en aquel plano , que hace con sus proyección ortogonal en el plano horizontal, un
ángulo cuya tangente es máxima.
- La dirección en que baja la recta de máxima pendiente es hacia el vértice más
bajo del plano o paralelo a ella.
ING. LUZ E. ALVAREZ ASTO.
- Por la razón anterior, la recta de máxima pendiente en la proyección
horizontal, se indica con una flechita que apunta en esa dirección
- Obviamente, ninguna recta contenida en el plano, tendrá mayor pendiente que
la recta de máxima pendiente; el plano tiene pendiente igual a la recta de
máxima pendiente; la recta de máxima pendiente es la pendiente del plano.
Orientación: N ß O
M. pendiente: ø NE
ING. LUZ E. ALVAREZ ASTO.
Nomenclatura De La Pendiente Y Recta De Máxima Pendiente De Un Plano
Se halla primero el ángulo que forma el plano respecto al plano horizontal (que
se lee en el plano auxiliar o por diferencia de cotas en la construcción auxiliar)
y luego la dirección en que baja la recta de máxima pendiente (que se lee en el
plano H). Así, la pendiente y la recta de máxima pendiente del plano ABC es de
θ0 SE
Ejercicios Resueltos
1.- Determinar la orientación, la pendiente y la recta de máxima pendiente del
plano ABC, cuyas propiedades se brindan en H y F.
2.- Completar la proyección horizontal y de perfil del triángulo isósceles ABC
recto en A. El triángulo ABC se ve equilátero en la proyección frontal (Tomar
B detrás de C).
ING. LUZ E. ALVAREZ ASTO.
Solución 1
Orientación del plano; está dada por la orientación de una recta horizontal tal
como BR, N β0 O KC es la dirección en que baja la recta de máxima
pendiente, perpendicular a RB que es la recta horizontal contenida en ABC.
La recta de máxima pendiente del plano ABC tiene posición θ0 NE
ING. LUZ E. ALVAREZ ASTO.
Ejercicios Propuestos
Problema 1: Si los segmentos AB y BC de la línea de tubería ABC tienen la
misma pendiente, encuentre la vista frontal de BC.
A (3,0 – 1,8 – 2,7)
B (2,0 – 1,2 – 3,7)
C (0,8 – ? – 3,4)
Problema 2: Sobre el punto P que pertenece al plano XYZ se encuentra una
esfera de acero, que al ser dejada en libertad se desplaza sobre el plano por
efecto de la gravedad, determinar la longitud verdadera y la pendiente de la
trayectoria, si tenemos:
X (1,0 - 1,0 - 8,0)
Y (4,0 - 4,0 - 10,0)
Z (5,0 - 2.0 - 10,0)
P (3,0 - ? - 9,0)
Problema 3: Completar las proyecciones H y F del plano KAB y además el
pliegue F-1
ING. LUZ E. ALVAREZ ASTO.
Paralelismo
Paralelismo entre rectas
Dos rectas paralelas tienen sus proyecciones paralelas.
Si demás de ser paralelas son paralelas a un plano de perfil, se necesita su
proyección de perfil para verificar el paralelismo
Paralelismo entre recta y plano
Una recta r es paralela a un plano, cuando lo es a una recta s que está
contenida en el plano
ING. LUZ E. ALVAREZ ASTO.
Casos de paralelismo entre recta y plano
Trazar por un punto P exterior a un plano α una recta paralela al plano.
(infinitas soluciones)
Trazar por un punto P un plano α paralelo a un recta r. (infinitas
soluciones)
ING. LUZ E. ALVAREZ ASTO.
Dadas dos rectas r y s no paralelas, trazar el plano α paralelo a s.
(solución única)
Paralelismo entre planos
Si dos planos α y β son paralelos también los son las rectas r y s resultantes de
la intersección de esos dos planos con un plano auxiliar δ.
Si dos rectas que se cortan definen un plano, en dos planos paralelos
hallaremos pares de rectas que se corten y que sean paralelas a otros pares de
rectas del otro plano.
Dos planos paralelos tendrán paralelas las rectas notables: las horizontales y
las frontales, las de máxima pendiente y las de máxima inclinación o los lados
del polígono que representa el plano.
ING. LUZ E. ALVAREZ ASTO.
A) Por Una Recta Trazar Un Plano Paralelo A Una Recta Dada
1º Por un punto arbitrario (X) que pertenezca a la recta AC trazar una recta de
longitud arbitraria, paralela a MN
2º Proyectar X (sobre AC) y trazar una recta paralela a MN en el otro plano de
proyección.
B) Por un punto trazar un plano paralelo a dos rectas dadas
1º Por el punto (X) trazar una recta paralela a una de las rectas dadas (MN).
Ubicamos el punto Y (arbitrario).
2º Por un punto de esta nueva recta (Y) trazar una recta paralela a la otra
recta dada (AB). Ubicamos el punto Z (arbitrario).
ING. LUZ E. ALVAREZ ASTO.
C) Por un punto trazar un plano paralelo a otro plano dado
1º Por el punto (A) trazar una recta paralela a una recta del plano dado (YZ).
Ubicamos el punto M (arbitrario).
2º Por el punto (A) trazar una recta paralela a otra de las rectas del plano
dado (XY). Ubicamos el punto N (arbitrario).
ING. LUZ E. ALVAREZ ASTO.
Perpendicularidad
Según el teorema de las tres perpendicularidades, si dos rectas son
perpendiculares entre sí en el espacio (tanto si se cortan como si se cruzan) y
una de ellas es paralela a un plano, las proyecciones ortogonales de las dos
rectas sobre este plano son perpendiculares entre sí.
Condiciones entre rectas
Cuando determinan un ángulo recto, siempre que una de ellas de muestre en VM
Condiciones entre una recta y un plano:
La recta debe ser perpendicular a dos rectas que se cortan y que estén
contenidas en el plano.
Una recta será perpendicular a todas las rectas contenidas en el plano.
Condiciones entre planos:
Cuando un plano tiene una recta perpendicular al otro plano.
A) Por un punto trazar un plano perpendicular a una recta dada
Por el punto (A) trazar una recta horizontal y otra frontal, buscando que sus
verdaderas magnitudes sean perpendiculares a las respectivas proyecciones de
la recta (MN)
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