143550692-geometria-descriptiva

ING. LUZ E. ALVAREZ ASTO.

2013

ING. LUZ E. ALVAREZ ASTO

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA DE INGENIERIA CIVIL 01/02/2013

GEOMETRIA DESCRIPTIVA -MODULO I


CONTENIDOS

Semana 1:

♣ Reseña histórica, definición del curso.

♣ Proyección de un punto en el espacio

♣ Planos auxiliares de proyección perpendicular a los planos en proyección

horizontal y frontal.

♣ Representación de los planos auxiliares en el depurado.

♣ Vistas auxiliares sucesivas. Proyección de sólidos.

Semana 2:

♣ Recta.

♣ Proyecciones y planos proyectantes.

♣ Posiciones particulares de las rectas que se cortan.

♣ Visibilidad.

♣ Verdadera magnitud mediante vista auxiliar

♣ Proyección de una recta como un punto.

♣ Orientación y pendiente.

♣ Rectas paralelas y perpendiculares.

♣ Plano determinación del plano.

♣ Rectas contenidas en un plano.

♣ Rectas notables en los planos horizontal, frontal y de perfil. Posiciones

particulares.

♣ Planos de canto en vistas auxiliares.

♣ Verdadera magnitud de un plano.

♣ Pendiente orientación de un plano.

♣ Recta máxima pendiente

♣ Paralelismo: condición de paralelismo entre rectas y planos.

♣ Por una recta trazar un plano paralelo a una recta dada. Por un punto

trazar un plano paralelo a dos rectas dadas

Semana 3:

♣ Perpendicularidad: condición de perpendicularidad entre rectas y planos

♣ por un punto trazar un plano perpendicular a una recta dada.

♣ Por un punto trazar una recta perpendicular a un plano.


OBJETIVOS

Objetivo General

Brindar al alumno métodos visuales prácticos para el desarrollo de

problemas tridimensionales que el sirvan para su futura vida

profesional

Específicos

Analizar por sí mismo problemas tridimensionales mediante

proyecciones

Ortogonales

Desarrollar vistas de un proyecto arquitectónico

Representar en el papel un objeto cualquiera dado

Desarrollar en forma practica un método de análisis visual para la

solución de problemas tridimensionales.


Es la ciencia que busca representar los objetos tridimensionales sobre una

superficie plana o sea en 2 dimensiones.

La Geometría descriptiva proporciona los fundamentos, principios, artificios

para resolver y comunicar gráficamente los diferentes elementos en el espacio

(puntos, rectas, superficies planas o curvas, sólidos o volúmenes), en doble

proyección ortogonal.


Teoría de la Proyección

¿Qué es una Proyección?

Es el método que se utiliza para representar un objeto en una superficie. Figura que

resulta de proyectar los puntos que se observan del objeto en la dirección del plano de

proyección.

Proyectar:

Objetivizar lo que captamos de las formas y dimensiones de los objetos en un plano

Plano de proyección:

Superficie sin espesor transparente, ilimitado y bidimensional, se proyecta la imagen

de un objeto

Principios de la proyección

Es la imagen obtenida en una superficie (Generalmente plana) llamado plano de

proyección. Esta imagen resulta de la intersección con el plano de proyección de las

visuales que van del ojo del observador a los diferentes puntos del objeto a

representar

En todo sistema de proyección intervienen cuatro elementos denominados

a) Objeto. Es el objeto que se desea representar. Puede ser un punto, recta, plano,

superficie, sólido, etc; en fin cualquier elemento geométrico ú objeto en sí.

b) Punto de observación. Punto desde el cual se observa el objeto que se quiere

representar. Es un punto cualquiera del espacio.

c) Superficie de proyección. Es la superficie sobre la cual se proyectará el objeto.

Generalmente es un plano; aunque también puede ser una superficie esférica,

cilíndrica, cónica, etc.

d) Proyectantes. Son rectas imaginarias que unen los puntos del objeto con el punto

de observación. La proyección (P') de cualquier punto (P) del objeto se obtiene

interceptando su proyectante con el plano de proyección.


Observador

Proyección

Plano de proyección

Objeto

Perspectiva Visual

Horizontal

Frontal

Perfil

Un sistema de proyección es un sistema por medio del cual puede ser definida

la proyección de un objeto sobre una superficie.

Ortogonal

Proyección cilíndrica

Oblicua

Proyección cónica


Sistemas de representación

Es el conjunto de principios que permite determinar la representación de un

objeto mediante de la selección de cualquier tipo de proyección

Tipos de sistemas de representación

Es el conjunto de principios que permite determinar la representación de un

objeto mediante de la selección de cualquier tipo de proyección

Es el elemento geométrico más simple en el espacio

Representación del Punto

Los puntos se representan con letras Mayúscula en el espacio, y en las proyecciones se

le agrega el superíndice para identificar la proyección vertical y la proyección

horizontal.


Determinación de un punto mediante coordenadas

P ( 95, 60, 40) P ( x, y, z )

La representación de un punto A se materializa en su proyección horizontal A

1

y su proyección vertical A2.

No se dibuja línea de tierra.

Su situación queda determinada en base a las proyecciones de otros puntos

(sistema de coordenadas relativas)

O= Origen de replanteo de todo punto X= Distancia del punto al plano lateral o de perfil Y= vuelo del punto (distancia del punto del plano frontal) Z= Cota del punto (distancia del punto al plano horizontal


La cota es la distancia del punto del espacio al plano horizontal, y se

representa en el sistema diédrico, como la distancia de la proyección vertical a

la línea de tierra. El alejamiento es la distancia al plano vertical y quedaría

representado por la distancia de la proyección vertical a la línea de tierra.

Si un punto del espacio se encuentra por encima del plano horizontal, su cota es

positiva y en el sistema diédrico su proyección vertical estará por encima de la

línea de tierra. El alejamiento de un punto es positivo si el punto en el espacio

se encuentra por delante del plano vertical. La proyección horizontal de un

punto con alejamiento positivo siempre estará por debajo de la línea de tierra.

Los planos de proyección dividen el espacio en cuatro cuadrantes. El primer

cuadrante es el espacio que se encuentra por encima del plano horizontal y por

delante del plano vertical, por lo que un punto del 1er cuadrante tiene cota y

alejamiento positivos y se representa con la proyección horizontal por debajo

de la línea de tierra y la proyección vertical por encima .

Si un punto del espacio se encuentra sobre uno de los planos de proyección, la

cota ó el alejamiento serán nulos y la proyección correspondiente se

encontrará sobre la línea de tierra.


Posición del punto con respecto a otro

Un punto con respecto a otro puede referenciarse de dos manera

a) Por medio de coordenadas cartesianas (distancias: más alto, más bajo).

b) Por coordenadas angulares (Orientación: norte, sur, este, oeste;

inclinación).

Plano adyacente:

Plano de proyección contiguo, separado por una línea de pliegue.

Plano anexo:

Plano que se halla separado de otro por un plano adyacente

PROYECCIONES RELATIVAS ENTRE PUNTOS:

Ejercicios

1. Dibujar las proyección horizontal, frontal y lateral de tres puntos A,B y

C cubicados en el primer diedro. El punto A tiene una cota de 4m un

alejamiento de 2m y un apartamiento de 3m. El punto B está ubicado 2m

al norte, 3m al este y 2m más abajo que A. El punto C está ubicado 1m al

sur, 1,5m al oeste y 1m mas abajo que A. Esc: 1:100.

2. Represente los siguientes puntos e indique em que diedro se encuentran:

A(25;50;-70), B(45;-40;-65.5) C(65;75;0) D(65;50;-25) E(110;-55;30).

LA ORIENTACIÓN SOLO SE

DEFINE EN EL PLANO H


En los Planos de Proyección, las Visibilidades serán las siguientes:

VISTA HORIZONTAL:

La visibilidad se ve en los Planos Laterales, los puntos que estén arriba son

Visible y lo que está abajo Invisible.

VISTA FRONTAL:

La visibilidad se ve en los Planos superior o inferior ,los puntos que estén

Adelante son Visible y lo que están detrás Invisible.

VISTA DE PERFIL:

La visibilidad se ve en el Plano Frontal, los puntos que estén a derecha son

Visibles y la Izquierda Invisibles.

Vista Auxiliar:

Es aquella que se toma en un plano diferente a los planos Principales.

Es práctica común enumerar todos los vértices de objeto para obtener una

mayor claridad en la obtención de las vistas. Pero hay que tener cuidado porque

en piezas complicadas puede confundir al dibujante

Clasificación de Vistas Auxiliares:

A) Vista Auxiliar Primaria

Si proviene de una vista principal

Clasificación

Vista Auxiliar Horizontal

Vista Auxiliar Frontal

Vista Auxiliar de perfil

B) Vista Auxiliar Secundaria

Si proviene de una primaria .


I.- Vista Auxiliar Horizontal

Cota: distancia de la proyección de un punto al Plano

Horizontal


Cuando se desea mostrar el verdadero tamaño y forma de una superficie,

inclinada la cual está inclinada con respecto a dos o más planos principales de

proyección, debe proyectarse una vista de la superficie sobre un plano paralelo

a la misma.

CONSTRUCCIÓN DE UNA VISTA AUXILIAR DE UNA SUPERFICIE

CONSTRUCCIÓN DE UNA VISTA AUXILIAR DE UNA SUPERFICIE

1. Se parte de dos vistas.

2. Se enumeran los puntos de interés

3. Se traza la línea de referencia H1 paralela a

la superficie plana

4. Se trazan las líneas de proyección a la nueva

vista

5. Se miden las distancias desde la línea de

referencia HF hasta los puntos 1F 2f 3F 4F

y se colocan a continuación de la línea de

referencia H1 y se forma la vista


PROYECCIONES DE UN SÓLIDO

Proyección (H, F y P) el sólido se proyecta ortogonalmente

1. Es visible el contorno en cualquier plano de proyección.

2. En el plano H: Son visibles los puntos que están arriba

Son invisibles los puntos que están abajo

3. En el plano F: Son visibles los puntos que están adelante

Son invisibles los puntos que están atrás.

4. En el plano P: Son visibles los puntos que están a la derecha

Son invisibles los puntos que están a la izquierda


VISTAS AUXILIARES

EJERCICIOS

Dadas las vistas superior y frontal Dibujar las vistas auxiliares parciales de

un prisma truncado de base hexagonal, de un cilindro truncado y de una

pirámide truncada de base hexagonal


La recta es el rastro que deja un punto sobre el

espacio cuando este se mueve en una dirección y

pendiente constante.

Una recta es una sucesión infinita de puntos,

situados en una misma dirección.

Una recta tiene una sola dimensión: la longitud.

Una recta queda definida por dos puntos.

Un punto pertenece a una recta si sus

proyecciones pertenecen a las de esa recta (A y

B pertenecen a la recta r)

Las proyecciones de los puntos determinan las proyecciones de la recta

En el espacio la línea recta está definida, bien sea por dos puntos o un punto y

una dirección.

Representación de una recta dada por dos puntos en el espacio (A y B)

Se acostumbra a denominar la recta con la letra minúscula.


Tipos de rectas

Según la posición de la recta con respectos a los planos de proyección

(horizontal, vertical o frontal y de perfil) está pueden recibir diferentes

denominaciones.


Posiciones Particulares De La Recta

Son las posiciones en las cuales la recta muestra su verdadera magnitud en

alguna de sus proyecciones.

También son útiles para determinar relaciones geométricas respecto a otros

elementos, como los ángulos respecto de los planos de proyección.

Recta horizontal: Paralela al PH.

Su proyección vertical h2 es perpendicular a las líneas de referencia.

En la planta se proyecta la VM y se mide el ángulo β que forma la recta con el

PV.


Recta frontal: Paralela al PV.

Su proyección horizontal f1 es perpendicular a las

líneas de referencia.

En el alzado se proyecta la VM y se mide el ángulo α

que forma la recta con el PH

Recta de perfil: Paralela al PP.

En el perfil se proyecta la VM y se mide el ángulo α que forma la recta con el

PH y el ángulo β que forma con el PV.

Recta perpendicular al PP: En la planta y el

alzado se proyecta la VM.

Las dos proyecciones principales son paralelas

entre sí y perpendiculares a las líneas de

referencia.

En el perfil la proyección es un punto.


Recta vertical: Perpendicular al PH y paralela a los otros dos

planos de proyección.

La dirección de la proyección vertical es la misma que la de las

líneas de referencia.

En el alzado y perfil se proyecta en VM. En la planta su

proyección es un punto.

Recta de punta: Perpendicular al PV y paralela a los

otros dos planos de proyección.

La dirección de la proyección horizontal es la misma

que la de las líneas de referencia.

En la planta y perfil se proyecta en VM. En el alzado su

proyección es un punto.

Trazas de la recta

La traza (o intersección) es el punto de

penetración de una recta en un plano de

proyección también se denomina puntos

trazas o puntos notables de la recta.

Para que un punto (como el punto traza)

pertenezca a la recta debe tener su

proyección sobre la proyección de la

recta


Ejemplo: Dibujamos la recta dada ( por dos puntos: A,B).

Traza Vertical

Se determina con la intersección de la proyección horizontal con la línea de

tierra encontrando el punto V (Vh=0) donde corta con la proyección vertical.

Traza Horizontal

Se determina con la intersección de la proyección vertical con la línea de tierra

encontrando el punto H (Hv=0) donde corta con la proyección horizontal.

Verdadera Magnitud de una Recta:


Método del plano paralelo:

Se ha visto que una recta

horizontal es paralelo al plano

H se proyecta en dicho plano

VM igual forma una recta

frontal y de perfil.

Para tener una recta en VM es

necesario que el plano de

proyección sea paralelo a la

recta caso contrario se

recurrirá a una vista auxiliar

paralelo a la recta y en la vista

auxiliar se mostrará en VM la

recta.

Método del triángulo de rebatimiento:

Consiste en dibujar el triángulo que se genera en el espacio, resultante de la

intersección de la recta en el espacio con su proyección. Este triángulo se

dibuja en cualquiera de las proyecciones que arroja la recta.


1. Se lleva sobre la proyección vertical de la recta AB una perpendicular

(BvBa´) la diferencia de vuelos entre los puntos de la recta, donde A

vBa´

es la verdadera magnitud. Con este procedimiento se encuentra β(beta)

que es el ángulo que forma la recta con el plano vertical.

2. Se lleva sobre la proyección horizontal de la recta AB una perpendicular

(BvBa) la diferencia de cotas entre los puntos de la recta, donde AvBa es

la verdadera magnitud. Con este procedimiento se encuentra α(alfa) que

es el ángulo que forma la recta con el plano vertical.

Medir distancias sobre una recta

Cuando una recta es al menos paralela a uno de los proyección, la distancia de

cualquier punto ubicada sobre esta, puede ser determinada en la proyección de

la recta del plano de proyección al que es paralela.

Cuando una recta es oblicua, fijamos un segmento conocido (como AB) y

determinamos su verdadera magnitud (AvBa´) sobre el verdadero tamaño

medimos la distancia que se desea conocer, esta distancia corresponderá

proporcio nalmente a la relación entre la proyección y verdadera magnitud

Ejemplo: medir sobre el segmento AB, desde A una distancia d(AC)


Proyecciones De La Recta

Las proyecciones de los puntos AB determinan las proyecciones de la recta en

los diferentes planos

Un punto contenido en una recta aparece en todas las proyecciones de la recta


Ejercicio

DIBUJAR EL POLIGONO ABIERTO ABCDE SABIENDO QUE:

Las coordenadas del punto A son: AF

(300, 500)

AH

(300, 2600)

B, está a 3 Km al norte y 500 metros arriba de A

C, está a 5 Km al este, 1 Km al sur y 100 metros debajo de B

D, está a 1 Km hacia adelante, 2 Km a la izquierda y 2 Km debajo de C

E, está a 2 Km al oeste, 2 Km al sur y 1500 metros debajo de D

Orientación Y Pendiente De La Recta

La pendiente es el ángulo de inclinación que hace la recta con el plano principal

o un plano paralelo a él.

Si AB es el segmento entonces la pendiente será positiva si B está por encima

de A y será negativa si B está debajo de A


Determinación De La Pendiente:

La pendiente se aprecia en su verdadera

medida cuando se toma la verdadera

magnitud de la recta a partir de la vista

horizontal.

La pendiente se puede denotar en ángulos o

en porcentaje. Para determinar la

pendiente en porcentaje desde un punto

extremo de la recta se mide 100 unidades

y lleva una perpendicular con respecto a

esta, el cateto opuesto al ángulo determina

el valor de la pendiente en base al 100%.

En ambos casos se debe tomar en cuenta lo

siguiente: si la recta asciende con respecto

a la línea de tierra a partir del punto

determinado para medir dicho ángulo. Es negativa (-), si desciende o se acerca

a la línea de tierra.


Es el ángulo que forma la proyección horizontal de una recta con

el eje coordenado Norte-Sur, Este ángulo siempre se mide en el

plano de proyección horizontal y será en un ángulo menor a 90º

Dado el Ejemplo:

punto A trazar una

recta AB desde el

punto A con una

orientación N 66º E.

Vista De Punto De Una Recta:

Para que una recta se proyecte de punta

en un plano de proyección es necesario

que una recta de VM sea perpendicular

al plano.

Para lo cual es necesario dos vistas

auxiliares:

1.- Para determinar la VM de la recta.

2.- Un plano perpendicular a VM de la

recta y se verá la recta de punta.


Rectas Perpendiculares

Cuando dos rectas se cortan o cruzan y forman un ángulo de 90º. serán

perpendiculares si una de ellas se proyecta en VM

Si una de ellas se proyecta en VM y la otra como punto, entonces estas serán

perpendiculares

En la siguiente figura se muestra el caso de dos rectas perpendiculares AB y

CD, en donde AB es una recta horizontal, luego AhBh y ChDh deberá medir

90º, no así el ángulo entre AfBf y CfDf ya que ninguno de ellos estará en

verdadera magnitud.

En la figura (b) se tiene un caso en que dos rectas MN y PQ determinan un

ángulo de 90º en la vista horizontal. Estas dos rectas no son perpendiculares

entre sí, ya que MhNh y PhQh no están en su verdadera magnitud.

Pertenencia de punto a recta

Dada una recta r y el punto M, para que el punto

pertenezca a la recta es necesario que las

proyecciones del punto se encuentren sobre las

proyecciones del mismo nombre en la recta

En el caso de la recta de perfil no es suficiente con


comprobar las proyecciones horizontal y vertical y en el caso

del punto C nos hemos de auxiliar de la proyección de perfil

para comprobar que no pertenece a la recta.

Rectas Paralelas:

Si dos rectas son paralelas en el espacio, sus proyecciones sobre cualquier

plano serán también paralelas entre sí:

Rectas Que Se Cortan

Se dice que dos rectas se cortan cuando poseen

un punto en común. Como el punto de intersección

pertenece a las rectas, será necesario que en

todas las proyecciones, las dos rectas se

encuentren en la proyección del punto en común.

Se encuentran en un mismo punto en un mismo

plano.


Cuando no se da esta circunstancia las dos rectas se cruzan

en el espacio.

Ejercicios Desarrollados

1- Dada la recta “m” por los puntos A(30;35;20), B(70;35;55) se pide

proyecciones de la recta “a” el tipo de recta, trazas y verdadera

magnitud del segmento AB.

Primero hallamos las proyecciones de los puntos A y B. (en la perspectiva se ve

claramente que es una recta frontal). La recta es paralela a PV.

La extensión de la proyección vertical hasta la línea de tierra ayuda a

determinar el punto de penetración (traza) de la recta AB al plano horizontal

que es el punto Qh, no existe traza vertical por que la recta es paralela al PV.

La verdadera magnitud de la recta se puede verificar directamente sobre la

proyección de la recta.


2. Dado el punto C( 30; 15; 40):

a) Dibujar las proyecciones de un segmento CD (De Perfil) que forma 60°

con el Plano Horizontal de proyección y mide 50 mm. Tomar la alternativa

de mayor vuelo y mayor cota para la representación del punto D.

b) Hallar las trazas.


Ejercicios Propuestos

2. Dada una mina de cobre:

a) Representar en doble proyección ortogonal la boca de un túnel de la mina

dada por la recta "r" [A (100;40;20) y B(70;28;8)].

b) Determine el punto "V" y "H" (trazas de la recta AB con los planos de

proyección) donde se encuentra las estaciones de trabajo del túnel AB.

c) Representar la proyección del túnel HC que desciende por el suelo

extensión de la recta "r" que mide 45 mt.

d) Determinar la ubicación de otra estación de trabajo que se encuentra en el

punto D emplazada en la mitad del tramo CH.

e) A partir de la estación ubicada en el punto D construir un segundo túnel

que va hasta el mineral que se encuentra en el punto E ubicado a 50 mt, este

túnel es una recta de punta y E tiene mayor vuelo que D

f) Determinar los ángulos y verdadera magnitud de los segmentos AH y

DE.

3. Se desea perforar un túnel en una montaña para llegar a una mina de

carbón partiendo del punto A (25;10;35) la boca del túnel, extendiéndose

hasta B (65; ? ; 10).

a) Determinar las proyecciones del segmento AB sabiendo que forma 30º con el

plano horizontal y que el punto "B" tiene mayor vuelo que el punto A.

b) Hallar el punto de penetración del túnel "H" (con el plano horizontal) (Punto

donde se encuentra el carbón).

c) sobre el tramo AB, Construir un segundo túnel a partir del punto "P" que se

encuentra a 25 mt del punto "A" denominado PQ para ventilar al primero

(AB), sabiendo que forma 90º con el plano horizontal y 0º con el plano vertical,

este túnel mide 30 mt. que es la distancia hasta Q, don se ventila en la

superficie.

d) Determinar el Angulo b de AH.

Problema: AB es una barra estructural, se le refuerza en X con una barra

perpendicular a AB que parte de C. Determinar la magnitud, orientación y

pendiente de CX (Esc: 1/100)

A (3,0 – 5,0 – 8,5)

B (5,0 – 2,0 – 12,5)

C (8,0 – 4,0 – 10,0)


HΩ

Ω

El plano es un lugar geométrico originado por una línea en movimiento y tiene

una extensión indefinida a menos que se indique otra cosa. El plano se

denomina con letras griegas (αβΩπΦ…).

a) Limitados (polígonos, círculos, otros).

b) Ilimitados (carece de contornos definidos y se extienden al infinito).

Representación De Un Plano

Un plano puede quedar definido si se conoce

cualquiera de sus elementos (puntos; rectas; o sus

trazas).

La forma más expresiva de representar un plano es

a través de sus trazas. Las trazas del plano son

rectas del plano (V y H) que se originan por la

intersección del plano en el espacio con los planos

de proyección; determinando la posición de este.

Traza vertical (V): recta del plano contenida en el

plano vertical. (recta frontal).

Traza horizontal (H): recta del plano, contenida en

el plano horizontal (recta horizontal)


Tipos de planos

Al igual que la recta, el plano recibe un nombre según la posición que tengan con

respecto a los planos de proyección, (por ejemplo Ω). Es conveniente conocer

sus trazas o rectas características que las estudiaremos más adelante.

a) Plano oblicuo

Tiene una posición accidental con respecto a los planos de proyección

b) Plano paralelo a la Línea de Tierra

Sus trazas son paralelas a la L. T

c) Plano horizontal

Es paralelo al PH (Plano de Proyección Horizontal)


d) Plano frontal

Es paralelo al PV (Plano de Proyección Vertical)

e) Plano de canto o Proyectante Vertical

Es Perpendicular al PV (Plano Vertical)

f) Plano Vertical o Proyectante Horizontal

Es Perpendicular al PH (Plano Horizontal)

g) Plano d perfil

Es paralelo al plano de perfil


r

A

r

Formas De Determinar Un Plano

Como se dijo anteriormente, un plano puede quedar definido si se conoce

cualquiera de sus elementos (puntos; rectas; o sus trazas), pero deben reunir

ciertas condiciones como son:

Planos determinados por dos rectas paralelas

Planos determinados por dos rectas que se cortan

Planos determinado por 3 puntos no alineados

Planos determinados por un punto y una recta


Plano determinado por sus trazas.

Por figuras geométricas

Rectas contenidas en un plano

Todo plano tienen infinitas rectas y puntos que lo conforman. Por ello es

importante saber cómo representar un punto o una recta cualquiera contenida

en sí.

Si una recta corta a dos rectas contenidas en un plano, esta recta también

está contenida en el plano


Una recta está contenida en un plano, si pasa por dos puntos que pertenecen a

este plano.

Una recta está contenida en un plano si pasa por un punto que pertenece a un

plano y es paralela a una recta que está contenida en dicho plano.


Rectas Notables De Un Plano

Recta Horizontal

Paralela al PH de referencia.

Recta Frontal

Paralela al PV de referencia

AX recta Horizontal

MN recta Frontal


Recta De Perfil

XY recta de Perfil

Puntos Pertenecientes A Un Plano

Si un punto pertenece a un plano, dicho punto pertenecerá también a cualquier

recta que esté contenida en el plano, siempre que la recta pase por dicho punto.


Posiciones Del Plano Particulares

Plano Horizontal

Plano paralelo al plano H

Se proyecta en verdadera magnitud en el plano H

Se proyecta de canto en el plano F

Plano Frontal

Plano paralelo al plano F

Se proyecta en verdadera magnitud en el plano F

Se proyecta de canto en el plano H

H

F

CH

BH

AH

AF BF CF

Verdadera Magnitud

H

F

CH

BHAH

AF

BF

CFVerdadera Magnitud


Plano De Perfil

Plano paralelo al plano P

Se proyecta en verdadera magnitud en el plano P

Se proyecta de canto en el plano F

Plano Vertical

Se muestra perpendicular al plano H, por lo que se proyectará de canto en H

AF

BF

CF

F P

BP

AP

CP

Verdadera

Magnitud

H

F

AH

BH

CH

AF

BF

CF


Plano Normal

Se muestra perpendicular al plano F, por lo que se proyectará de canto en F

Plano Perpendicular al Plano de Perfil U Ortogonal

Se muestra perpendicular al plano P, por lo que se proyectará de canto en P

H

F

AH

BH

CH

AF

BF

CF

F P

AF

BF

CF

AF

BF

CF


Plano De Canto

Para hallar la proyección de un plano de canto en una vista, es necesario y

suficiente hallar en dicha vista una recta del plano como punto

H

F

AH

BH

CH

AF

BF

CF

MF

NF

MF

NF

H

1

A1

B1

C1

M1

N1

1

2

A2

B2

C2

M2N2


Ejercicio

Encontrar la vista de canto del siguiente plano

Solución

1. Primero se toma la recta MN cualquiera que pertenece al plano

2. En la vista 1 se obtiene la verdadera magnitud de la recta MN

3. En la vista 2 se proyecta de punta como se observa en esta vista el plano

se mostrara de canto. Veamos el desarrollo


Método Directo (Recta Notable Horizontal)

Se toma una recta horizontal cualquiera y como esta

se proyecta en verdadera magnitud en la vista

horizontal se podrá proyectar de punta

directamente sobre la vista auxiliar primaria y así

obtener la vista de canto.


Método Directo (Recta Notable Frontal)

Se toma una recta frontal cualquiera y como esta se

proyecta en verdadera magnitud en la vista frontal se

podrá proyectar de punta directamente sobre la vista

auxiliar primaria y así obtener la vista de canto.


Verdadera Magnitud De Un Plano

Se proyecta en un plano paralelo al plano

Inicialmente hallas el plano de canto.

Luego se toma una vista auxiliar paralela a está vista de canto.

En dicha vista se obtendrá el plano en VM (por lo tanto todas las rectas del

plano están en VM).

H

F

AH

BH

CH

AF

BF

CF

MF

NF

MF

NF

H

1

A1

B1

C1

M1

N1

1

2

A2

B2

C2

M2N2

23

A3

B3

C3

VERDADERA MAGNITUD


Ejercicios

Encontrar la verdadera magnitud del siguiente plano

Solución


Ejercicios propuestos

Problema 1: Hallar la verdadera magnitud del plano ABC A (2,0 – 5,5 – 8,5)

B (4,5 – 3,0 – 10,0)

C (6,0 – 4,5 – 6,5)

Problema 2: ABC son los vértices de un plano ortoperfil. Determinar las coordenadas y

proyecciones principales del plano JKL que está determinado por los puntos

medios de AB, BC y AC A (2,5 – 7,0 – 8,0)

B (6,0 – 5,0 – ?)

C (4,0 – 4,0 – 11,5)

ORIENTACION DE UN PLANO


La orientación de un plano está determinada por la orientación de una recta

horizontal contenida por un plano

Se ve únicamente en el plano H

La nomenclatura es la misma que en el caso de la recta


Notación del plano ABC - Si se toma en sentido AX, su orientación será: S αo E

- Si se toma en sentido XA la orientación será: N αo O


Pendiente De Un Plano

Es la tangente del ángulo de inclinación que hace el plano respecto a un plano

horizontal

Se nombra en grados o en porcentaje de pendiente.

Proyectar el plano de canto en una vista de elevación (adyacente al plano H)


Recta de máxima pendiente de un plano es una recta (o cualquiera paralela a

ella) contenida en un plano oblicuo, perpendicular a todas las horizontales

contenidas en dicho plano.

Analíticamente la recta de máxima pendiente de un plano se determina

respecto a un plano horizontal cualquiera, y está dado por una recta contenida

en aquel plano , que hace con sus proyección ortogonal en el plano horizontal, un

ángulo cuya tangente es máxima.

- La dirección en que baja la recta de máxima pendiente es hacia el vértice más

bajo del plano o paralelo a ella.


- Por la razón anterior, la recta de máxima pendiente en la proyección

horizontal, se indica con una flechita que apunta en esa dirección

- Obviamente, ninguna recta contenida en el plano, tendrá mayor pendiente que

la recta de máxima pendiente; el plano tiene pendiente igual a la recta de

máxima pendiente; la recta de máxima pendiente es la pendiente del plano.

Orientación: N ß O

M. pendiente: ø NE


Nomenclatura De La Pendiente Y Recta De Máxima Pendiente De Un Plano

Se halla primero el ángulo que forma el plano respecto al plano horizontal (que

se lee en el plano auxiliar o por diferencia de cotas en la construcción auxiliar)

y luego la dirección en que baja la recta de máxima pendiente (que se lee en el

plano H). Así, la pendiente y la recta de máxima pendiente del plano ABC es de

θ0 SE

Ejercicios Resueltos

1.- Determinar la orientación, la pendiente y la recta de máxima pendiente del

plano ABC, cuyas propiedades se brindan en H y F.

2.- Completar la proyección horizontal y de perfil del triángulo isósceles ABC

recto en A. El triángulo ABC se ve equilátero en la proyección frontal (Tomar

B detrás de C).


Solución 1

Orientación del plano; está dada por la orientación de una recta horizontal tal

como BR, N β0 O KC es la dirección en que baja la recta de máxima

pendiente, perpendicular a RB que es la recta horizontal contenida en ABC.

La recta de máxima pendiente del plano ABC tiene posición θ0 NE


Solución 2


Ejercicios Propuestos

Problema 1: Si los segmentos AB y BC de la línea de tubería ABC tienen la

misma pendiente, encuentre la vista frontal de BC.

A (3,0 – 1,8 – 2,7)

B (2,0 – 1,2 – 3,7)

C (0,8 – ? – 3,4)

Problema 2: Sobre el punto P que pertenece al plano XYZ se encuentra una

esfera de acero, que al ser dejada en libertad se desplaza sobre el plano por

efecto de la gravedad, determinar la longitud verdadera y la pendiente de la

trayectoria, si tenemos:

X (1,0 - 1,0 - 8,0)

Y (4,0 - 4,0 - 10,0)

Z (5,0 - 2.0 - 10,0)

P (3,0 - ? - 9,0)

Problema 3: Completar las proyecciones H y F del plano KAB y además el

pliegue F-1


Paralelismo

Paralelismo entre rectas

Dos rectas paralelas tienen sus proyecciones paralelas.

Si demás de ser paralelas son paralelas a un plano de perfil, se necesita su

proyección de perfil para verificar el paralelismo

Paralelismo entre recta y plano

Una recta r es paralela a un plano, cuando lo es a una recta s que está

contenida en el plano


Casos de paralelismo entre recta y plano

Trazar por un punto P exterior a un plano α una recta paralela al plano.

(infinitas soluciones)

Trazar por un punto P un plano α paralelo a un recta r. (infinitas

soluciones)


Dadas dos rectas r y s no paralelas, trazar el plano α paralelo a s.

(solución única)

Paralelismo entre planos

Si dos planos α y β son paralelos también los son las rectas r y s resultantes de

la intersección de esos dos planos con un plano auxiliar δ.

Si dos rectas que se cortan definen un plano, en dos planos paralelos

hallaremos pares de rectas que se corten y que sean paralelas a otros pares de

rectas del otro plano.

Dos planos paralelos tendrán paralelas las rectas notables: las horizontales y

las frontales, las de máxima pendiente y las de máxima inclinación o los lados

del polígono que representa el plano.


Trazar por un punto P el plano β paralelo al plano α.


A) Por Una Recta Trazar Un Plano Paralelo A Una Recta Dada

1º Por un punto arbitrario (X) que pertenezca a la recta AC trazar una recta de

longitud arbitraria, paralela a MN

2º Proyectar X (sobre AC) y trazar una recta paralela a MN en el otro plano de

proyección.

B) Por un punto trazar un plano paralelo a dos rectas dadas

1º Por el punto (X) trazar una recta paralela a una de las rectas dadas (MN).

Ubicamos el punto Y (arbitrario).

2º Por un punto de esta nueva recta (Y) trazar una recta paralela a la otra

recta dada (AB). Ubicamos el punto Z (arbitrario).


C) Por un punto trazar un plano paralelo a otro plano dado

1º Por el punto (A) trazar una recta paralela a una recta del plano dado (YZ).

Ubicamos el punto M (arbitrario).

2º Por el punto (A) trazar una recta paralela a otra de las rectas del plano

dado (XY). Ubicamos el punto N (arbitrario).


Perpendicularidad

Según el teorema de las tres perpendicularidades, si dos rectas son

perpendiculares entre sí en el espacio (tanto si se cortan como si se cruzan) y

una de ellas es paralela a un plano, las proyecciones ortogonales de las dos

rectas sobre este plano son perpendiculares entre sí.

Condiciones entre rectas

Cuando determinan un ángulo recto, siempre que una de ellas de muestre en VM

Condiciones entre una recta y un plano:

La recta debe ser perpendicular a dos rectas que se cortan y que estén

contenidas en el plano.

Una recta será perpendicular a todas las rectas contenidas en el plano.

Condiciones entre planos:

Cuando un plano tiene una recta perpendicular al otro plano.

A) Por un punto trazar un plano perpendicular a una recta dada

Por el punto (A) trazar una recta horizontal y otra frontal, buscando que sus

verdaderas magnitudes sean perpendiculares a las respectivas proyecciones de

la recta (MN)


Problema 1: Hallar la longitud mínima que se apoya en AB y CD y sea paralela al

plano XYZ

A (4,0 – 3,3 – 4,8)

B (6,5 – 1,0 – 5,9)

C (1,2 – 2,2 – 5,1)

D (4,5 – 3,8 – 7,8)

X (3,8 - 2,5 - 6,1)

Y (3,3 - 0,7 - 5,1)

Z (5,8 - 3,7 - 4,6)

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