1 tema 4 la transformada discreta de fourier. 2 esquema general

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TEMA 4

LA TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER

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ESQUEMA GENERAL

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ESQUEMA GENERAL

Veamos de una forma gráfica y cualitativa la génesis de la DFT:

Sea la señal x(t), cuya Transformada de Fourier es X(f).Veamos un procedimiento numérico de evaluación de esta X(f), que será discreto, y nos dará una estimación del espectro en puntos discretos y además con un cierto error.

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ESQUEMA GENERAL

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ESQUEMA GENERAL

La primera fuente de error es el error de solapamiento (aliasing) que se produce al muestrear la señal en el tiempo.

La segunda fuente de error es la que se produce al truncar la señal en el tiempo (leakage), que da lugar a cierto rizado en la característica espectral.

De lo anterior se desprende la conveniencia de estudiar la DFT en elcontexto de las señales periódicas.

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REPRESENTACIÓN DE SECUENCIAS PERIÓDICAS : LAS SERIES DE FOURIER DISCRETAS

La señal  , al ser periódica, admite serdesarrollada en SERIES DE FOURIER

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REPRESENTACIÓN DE SECUENCIAS PERIÓDICAS : LAS SERIES DE FOURIER DISCRETAS

PARALELISMO CONTÍNUO-DISCRETO DEL DESARROLLO EN SERIES

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REPRESENTACIÓN DE SECUENCIAS PERIÓDICAS : LAS SERIES DE FOURIER DISCRETAS

REPRESENTACIÓN EN DFS DE UNA SECUENCIA PERIÓDICA

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PROPIEDADES DE LA DFS

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PROPIEDADES DE LA DFS

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PROPIEDADES DE LA DFS

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PROPIEDADES DE LA DFS

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CONVOLUCIÓN PERIÓDICA

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CONVOLUCIÓN PERIÓDICA

EJEMPLO DE CONVOLUCIÓN PERIÓDICA

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CONVOLUCIÓN PERIÓDICA

EJEMPLO DE CONVOLUCIÓN PERIÓDICA

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MUESTREO EN LA TRANSFORMADA Z

Hemos visto que los valores de X(k) en la representación del DSF de una secuencia periódica son idénticos a las muestras de la Transformada Z de un único periodo de x(n) en N puntos equiespaciados sobre el círculo unitario

Consideremos ahora, de una forma mas general, la relación existente entre una secuencia aperiódica con Transformada Z  X(z) y la secuencia periódica para la cual sus coeficientes del DSF corresponden a muestras de X(z) equiespaciadas en ángulo alrededor del círculo unitario.

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MUESTREO EN LA TRANSFORMADA Z

Sea X(z) la Transformada Z de x(n), si evaluamos su transformada z en N puntos equiespaciados en ángulo, obtenemos la secuencia periódica:

donde

a la cual le corresponde la secuencia periódicadada por:

sustituyendo los valores de   , obtenemos:

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MUESTREO EN LA TRANSFORMADA Z

intercambiando el orden del sumatorio:

pero:

por lo que:

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MUESTREO EN LA TRANSFORMADA Z

Si longitud [x(n)]<N entonces x(n) puede recuperarse extrayendo un periodo de 

Una secuencia finita de duración menor o igual que

N puede representarse exactamente por N muestras de su transformada Z sobre el círculo unidad.Por lo anterior, X(z) también podrá sintetizarse a partir de estas N muestras.

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Relación entre la duración M de una secuencia y el número de muestras N en el espectro.

cuando N<M ocurre el efecto de aliasing.

El subrayado indica una secuencia producida por DFT inversa:

MUESTREO EN LA TRANSFORMADA Z

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REPRESENTACIÓN DE SECUENCIAS DE

DURACIÓN FINITA: LA DFT

Los resultados anteriores sugieren dos puntos de vista orientados a la representación de Fourier de secuencias de duración finita:

1. Representar una secuencia de duración finita N por una secuencia periódica de periodo N y considerar su representación como un periodo del DSF de la secuencia periódica.

2. Representar una secuencia de duración finita N

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DFT:

IDFT:

TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER

REPRESENTACIÓN DE SECUENCIAS DE

DURACIÓN FINITA: LA DFT

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PROPIEDADES DE LA DFT

1) Linealidad

           x3(n)=ax1(n)+bx2(n) , X3(k)= aX1(k)+bX2(k)

Si long[x1(n)]=N1 y long[x2(n)]=N2 entonces

long[x3(n)]=max{N1,N2}

2) Periodicidad

       x(n) y X(k) son periódicas con período N.

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PROPIEDADES DE LA DFT

3) Simetría

      Si x(n) <--->X(k) entonces x*(n) <--->X*(-k)=

X*(N-k)

  Para señales REALES:

        x(n)=x*(n) y X(k)=X*(N-k)         Re[X(k)] es una función par         Im[X(k)] es una función impar         |X(k)| es una función par        Fase[X(k)] es una función impar

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PROPIEDADES DE LA DFT

4) Desplazamiento Circular de una secuencia

Sea x(n) <---> X(k), ¿ Cuál será el x1(n) <--->

X(k)e-j2pkm/N ?

Interpretación de la DFT como un período de la DSF.

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PROPIEDADES DE LA DFT

5) Convolución Circular

Sean dos secuencias de longitud N x1(n) y x2(n) con

DFTs X1(k) y X2(k).

¿Cuál será la x3(n) cuya DFT es X3(k)=X1(k)X2(k)?

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PROPIEDADES DE LA DFT

5) Convolución Circular

Es decir, x3(n) será un periodo de la convolución

de las secuencias periódicas  , correspondientes a x1(n) y x2(n) respectivamente.

x3(n)=x1(n)(~)x2(n) <---> X3(k)=X1(k)X2(k)

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CONVOLUCION LINEAL USANDO LA DFT

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Convolución de dos secuencias finitas de igualnúmero de puntos

CONVOLUCION LINEAL USANDO LA DFT

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CONVOLUCION LINEAL USANDO LA DFT

Convolución de dos secuencias finitas de distintonúmero de puntos

En general si :

DFT’S sobre la base de puntos

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Convolución de una secuencia finita con otra

de un número indefinido de puntos

CONVOLUCION LINEAL USANDO LA DFT

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Convolución de una secuencia finita con otra

de un número indefinido de puntos

CONVOLUCION LINEAL USANDO LA DFT

Solución : Método Solapa y Suma

Convolución Lineal

Long Cada Término de la

sumatoria debe calcularse utilizando DFT de L + M – 1

puntos

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Convolución de una secuencia finita con otra

de un número indefinido de puntos

CONVOLUCION LINEAL USANDO LA DFT

Solución : Método Solapa y Guarda

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COMPUTACIÓN DE LA DFT

DFT:

IDFT:

Caso general, x(n) COMPLEJO:

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COMPUTACIÓN DE LA DFT

TOTAL DE OPERACIONES

Para cada X(k) Todos los X(k)

  Productos Sumas Productos Sumas

Operaciones complejas

N N-1 N2 N(N-1)

Operaciones reales

4N 4N-2 4N2 N(4N-2)

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COMPUTACIÓN DE LA DFT

Comparación del número de multiplicaciones requeridas por cálculo directo de DFT y por cálculo mediante el algoritmo FFT:

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COMPUTACIÓN DE LA DFT

PROPIEDAD DE SIMETRIA DE LOS : 

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COMPUTACIÓN DE LA DFT

Secuencias reales:

Explicación intuitiva

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COMPUTACIÓN DE LA DFT

Para N=8, Términos k Términos k+N/2

Explicación intuitiva

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COMPUTACIÓN DE LA DFT

Explicación intuitiva

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COMPUTACIÓN DE LA DFT

Explicación intuitiva

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Descomponen x(n) en subsecuencias sucesivamente más pequeñas

Aprovechan la simetria y periodicidad de los

Caso general, N=2v y v entero.

ALGORITMOS FFT DE DECIMANCIÓN EN EL TIEMPO

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Separando en n pares e impares:

LLamando H(k) al primer sumatorio y G(k) al segundo obtenemos:

X(k) = G(k) +  H(k)

ALGORITMOS FFT DE DECIMANCIÓN EN EL TIEMPO

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Realizando un proceso análogo de partición con G(k)

y H(k) obtenemos:

y así sucesivamente …

En el caso general de N=2v se precisa de p=log2N

etepas de computación como las comentadas.

ALGORITMOS FFT DE DECIMANCIÓN EN EL TIEMPO