1. control predictivo basado en modelo 1 -...

Clase 15 MPC.DOC 1

1. Control Predictivo Basado en Modelo 1. Control Predictivo Basado en Modelo _______________________________1

1.1. Introducción_________________________________________________________________________________________________________ 2 1.2. Predicción __________________________________________________________________________________________________________ 4 1.3. Control Predictivo Generalizado ________________________________________________________________________________________ 6

1.3.1. Ejemplo de Control____________________________________________________________________________________________________________ 10 1.3.2. Caso Especial _______________________________________________________________________________________________________________ 21

1.4. Control Predictivo Multivariable _______________________________________________________________________________________ 25 1.4.1. Caso Ruido Blanco ___________________________________________________________________________________________________________ 27

1.5. Introducción de Restricciones_________________________________________________________________________________________ 38 1.6. Referencias ________________________________________________________________________________________________________ 42

Clase 15 MPC.DOC 2

1.1. Introducción Presentación del problema: la planta es

1

1 1

( )( )

dk k k

B qy q u nA q

−−

+ −

′= + (1.1)

perturbación 1

1

( )( )k kC qn eA q

−

−= (1.2)

Clase 15 MPC.DOC 3

- Modelo CARIMA Caso particular: perturbaciones constantes

( ) ( ) ( )1 1 11

dk k kA q y q B q u C q e b− − − −+ ′= + + (1.3)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 111 1 1d

k k kq A q y q q B q u q C q e− − − − − − −+ ′− = − + − (1.4)

modelo CARIMA o incremental

( ) ( ) ( )1 1 11

dk k kA q y q B q u C q e− − − −+′ ′ ′= ∆ + (1.5)

ahora la variable manipulada es ku∆ .

El controlador va a tener un término integral implícito.

Clase 15 MPC.DOC 4

1.2. Predicción Caso ruido blanco Sea la planta

( ) ( )1 11

dk k kA q y q B q u e− − −+′ ′= ∆ + (1.6)

Se desea predecir el valor futuro de la salida. Se verá que la predicción de la salida resulta:

( ) ( ) ( )1 1 11ˆk h h k h k h dy G q y F q B q u− − −

+ + − −′= + ∆ (1.7)

donde h se llama horizonte de predicción y los polinomios F y G cumplen

( ) ( ) ( )1 1 11 hh hF q A q q G q− − − −′= + (1.8)

los polinomios son de grado

( )( )

1h

h a

gr F h

gr G n

= −

= (1.9)

Clase 15 MPC.DOC 5

demostración

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 11

dh k h k h kF q A q y q F q B q u F q e− − − − − −

+′ ′= ∆ + (1.10)

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 111 h d

h k h k h kq G q y q F q B q u F q e− − − − − −+

′− = ∆ + (1.11)

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 11 1

h dk h k h k h ky q G q y q F q B q u F q e− − − − − −+ + ′= + ∆ + (1.12)

en h muestras más adelante será

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 11

h dk h h k h k h k hy G q y q F q B q u F q e− − − − − −+ + −′= + ∆ + (1.13)

las muestras del ruido son todas futuras por lo que la mejor predicción será

( ) ( ) ( )1 1 11ˆk h h k h k h dy G q y F q B q u− − −

+ + − −′= + ∆ (1.14)

Clase 15 MPC.DOC 6

1.3. Control Predictivo Generalizado minimizar

[ ]2

1

22/ 1

1

uNN

k h k h k k jh N j

J r y uλ+ + + −= =

= − + ∆ ∑ ∑ (1.15)

donde

uN es el horizonte de control

1N y 2N intervalo de cálculo del costo

hay que calcular la u desde k hasta uk N+

una simplificación que se hace es

1 0k j uu j N+ −∆ = ∀ > (1.16)

una condición extrema es hacer 1uN = (1.17)

porque de todos modos u se calcula nuevamente en cada paso Se debe calcular la predicción para 1 2h N N=

Clase 15 MPC.DOC 7

( ) ( ) ( )1 1 11ˆk h h k h k h dy G q y F q B q u− − −

+ − + −′= + ∆ (1.18)

todos los términos del ruido son futuros e impredecibles Se reescribe la predicción del siguiente modo:

11

ˆu

a

k

k Nk n

k h h hk

k

k m

y

uy

y FB Gu

u

u

+−

+−

−

∆ = + ∆ ∆ ∆

(1.19)

esto se repite para cada 1 2h N N=

Se pueden construir las siguientes matrices

Clase 15 MPC.DOC 8

2

1

ˆˆ

ˆ

k N

k N

yY

y

+

+

=

,

2

1

N

N

FBFB

FB

=

,

uk N

k

uU

u

+∆ ∆ = ∆

,

2

1

1

1

1

N

N

G

G FBG

=

,

1

a

k

k na

k

k m

y

yM

u

u

−

−

−

= ∆ ∆

(1.20)

definiendo las referencias futuras,

2

1

k N

k N

rR

r

+

+

=

(1.21)

se puede reescribir el funcional

ˆ ˆT TJ R Y R Y U Uλ = − − + ∆ ∆ (1.22)

[ ] [ ]1 1T T

a aJ R FB U G M R FB U G M U Uλ= − ⋅∆ − ⋅ − ⋅∆ − ⋅ + ∆ ∆ (1.23)

[ ]12 2 0Ta

J FB R FB U G M UU

λ∂= − − ⋅∆ − ⋅ + ∆ =

∂ (1.24)

Clase 15 MPC.DOC 9

[ ]1*1

T TaU FB FB I FB R G Mλ

− ∆ = + − ⋅ (1.25)

el regulador resulta

[ ]*r r aU R R S M∆ = − (1.26)

donde 1

1

T Tr

r

R FB FB I FB

S G

λ−

= + =

(1.27)

Clase 15 MPC.DOC 10

1.3.1. Ejemplo de Control sistema original

( ) ( )1 2 3 11 2 0 1 11 k ka q a q y q b b q u− − − −

−+ + = + (1.28)

4 1 3 2 2 0 1 1k k k k ky a y a y b u b u+ + + −= − − + + (1.29)

ó

( ) ( )4 1 3 1 2 2 2 1 0 1 11k k k k k ky a y a a y a y b u b u+ + + + −= − + − + + ∆ + ∆ (1.30)

1 23 4 10 2ud N N N= = = = (1.31)

La predicción del valor de la salida en k+4 es

( ) ( )4 1 3 1 2 2 2 1 0 1 1ˆ 1k k k k k ky a y a a y a y b u b u+ + + + −= − + − + + ∆ + ∆ (1.32)

se puede reemplazar las muestra anteriores de la salida

( ) ( )1 1 1 2 1 2 2 0 3 1 41k k k k k ky a y a a y a y b u b u+ − − − −= − + − + + ∆ + ∆ (1.33)

Clase 15 MPC.DOC 11

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )

( )( )( )

( )

2 1 1 1 2 2 1 0 2 1 3

1 1 1 2 1 2 2 0 3 1 4

1 2 2 1 0 2 1 3

21 1 2

1 1 2 2 1

1 2 2

0 2 1 0 1

1

1 1

1

1

1

1

k k k k k k

k k k k k

k k k k

k

k

k

k

y a y a a y a y b u b u

a a y a a y a y b u b u

a a y a y b u b u

a a a y

a a a a y

a a y

b u a b b

+ + − − −

− − − −

− − −

−

−

−

= − + − + + ∆ + ∆

= − − + − + + ∆ + ∆ + − + + ∆ + ∆

= − + − + + − − + + + − +

+ + ∆ + − + ∆ ( )3 1 1 41k ku a b u− −+ − ∆

(1.34)

Clase 15 MPC.DOC 12

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

3 1 2 1 2 1 2 0 1 1 2

21 1 2

1 1 2 2 11

1 2 2

0 2 1 0 1 3 1 1 4

1 2 1 1 2 1 2 2 0 3 1

1

1

111

1 1

1

k k k k k k

k

k

k

k k k

k k k k k

y a y a a y a y b u b u

a a a y

a a a a yaa a y

b u a b b u a b u

a a a y a a y a y b u b u

+ + + − −

−

−

− − −

− − −

= − + − + + ∆ + ∆

− + − + + − − + + = − + − + + + ∆ + − + ∆ + − ∆

+ − − + − + + ∆ + ∆ 4

2 0 1 1 2k k ka y b u b u−

− −

+ + ∆ + ∆

(1.35)

Clase 15 MPC.DOC 13

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )

23 1 1 1 2 1 2 1 2

1 1 1 2 2 1 2 1 2 1

1 1 2 1 2 2 2

0 1

1 0 1 2

1 1 0 1 1 2 0 3

1 1 1 1 2 1

1 1 1

1 1

1 1

1

1 1

1 1

k k

k

k

k

k

k

k

y a a a a a a a a y

a a a a a a a a a y

a a a a a a y

b u

a b b u

a a b b a a b u

a a b a a b u

+

−

−

−

−

−

= − − + − + − − + + + − − − + + − −

+ − − + − + + ∆

+ − + ∆ + − − + + − ∆

+ − − + − ∆ 4−

(1.36)

Clase 15 MPC.DOC 14

( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )

21 1 1 2 1 2 1 2

1 1 1 2 2 1 2 1 2 1

1 1 2 1 2 2 2

4 1 0 1

1 0 1 2

1 1 0 1 1 2 0 3

1 1 1 1 2 1

1 1 1

1 1

1 1

ˆ 1

1

1 1

1 1

k

k

k

k k

k

k

a a a a a a a a y

a a a a a a a a a y

a a a a a a y

y a b u

a b b u

a a b b a a b u

a a b a a b

−

−

+ −

−

−

− − + − + − − + + + − − − + + − −

+ − − + − + = − + ∆

+ − + ∆ + − − + + − ∆

+ − − + −

( )

( ) ( )

( )( )( )

( ) ( )( ) ( )

4

21 1 2

1 1 2 2 11 2

1 2 2

0 2 1 0 1 3 1 1 4

2 1 1 2 1 2 2 0 3 1 4

0

1

1

1

1 1

1

k

k

k

k

k k k

k k k k k

u

a a a y

a a a a ya aa a y

b u a b b u a b u

a a y a a y a y b u b u

b

−

−

−

− − −

− − − −

∆ − + − + + − − + + + − + − + + + ∆ + − + ∆ + − ∆

+ − + − + + ∆ + ∆ + 1 1k ku b u −∆ + ∆

(1.37)

Clase 15 MPC.DOC 15

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( )( )

4

4 21 1 1 2 1 2 1 2

31 2 1 1 2 2 1

3 21 1 2 1 2 1 2 1 2

121 1 2 1 2 2 2 1 2

1 1 1 2 1 2 222

1 2 1 2 2

ˆ

1 1 1

1 1

1 1

1

1 1 1

1

k

k

k

k

y

a a a a a a a ay

a a a a a a a

a a a a a a a a ay

a a a a a a a a a

a a a a a a ay

a a a a a

+

−

−

=

− + − − + − − + + = + + − + − − + − − − + − + − − + + + + − − + − + − − − − + − + + + + − − +

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( )( ) ( )( )( )

0

1 0 1 1

1 1 0 1 1 2 0 2

1 1 1 0 1 1 2 03

1 2 1 0 1 2 0

1 1 1 1 2 1

1 1 2 1 1 2 1 4

1

1 1

1 1 1

1

1 1

1 1

k

k

k

k

k

b u

a b b u

a a b b a a b u

a a a b b a a bu

a a a b b a b

a a b a a b

a a a a b a b u

−

−

−

−

+ ∆

+ − + ∆ + + − − + + − + ∆ − − − + + − + + ∆ + − − + + − − + − +

+ − + − − + ∆

(1.38)

Clase 15 MPC.DOC 16

simplificando la notación

4 4 4 1 4 2 40 1 2 0

4 1 4 2 4 3 4 41 2 3 4

ˆk k k k k

k k k k

y g y g y g y fb ufb u fb u fb u fb u

+ − −

− − − −

= + + + ∆ +

+ ∆ + ∆ + ∆ + ∆ (1.39)

queda expresada en función de muestras anteriores La predicción del valor de la salida en k+5 es

( ) ( )5 1 4 1 2 3 2 2 0 1 1ˆ 1k k k k k ky a y a a y a y b u b u+ + + + += − + − + + ∆ + ∆ (1.40)

5 5 5 1 5 2 5 1 50 1 2 0 1

5 1 5 2 5 3 5 42 3 4 5

ˆk k k k k k

k k k k

y g y g y g y fb u fb ufb u fb u fb u fb u

+ − − +

− − − −

= + + + ∆ + ∆ +

+ ∆ + ∆ + ∆ + ∆(1.41)

y así hasta 2 10N =

para simplificar se considera

2 0ku +∆ = (1.42)

finalmente

1ˆ

aY FB U G M= ⋅∆ + ⋅ (1.43)

Clase 15 MPC.DOC 17

donde

4

10

ˆˆ

ˆ

k

k

yY

y

+

+

=

1k

k

uU

u+∆

∆ = ∆

1

2

1

2

3

4

k

k

k

a k

k

k

k

yyy

M uuuu

−

−

−

−

−

−

= ∆ ∆ ∆ ∆

(1.44)

( )( ) ( ) ( ) ( )

0

0 0 1 1

1 0 1 1 0 1 1 1 2 0

1 10 2 10

01

1 1 1

bb b a ba b b a b a b a a bFB

fb fb− −

− +

− + − − + + − =

(1.45)

Clase 15 MPC.DOC 18

40 41 42 41 42 43 44

50 51 52 52 53 54 55

60 61 62 63 64 65 66

1 70 71 72 74 75 76 77

80 81 82 85 86 87 88

90 91 92 96 97 98 99

10 0 10 1 10 2 107 108 109 1010

g g g fb fb fb fbg g g fb fb fb fbg g g fb fb fb fb

G g g g fb fb fb fbg g g fb fb fb fbg g g fb fb fb fbg g g fb fb fb fb− − −

=

(1.46)

Clase 15 MPC.DOC 19

la referencia

4

10

k

k

rR

r

+

+

=

(1.47)

[ ] [ ]1 1

ˆ ˆT T

T Ta a

J R Y R Y U U

R FB U G M R FB U G M U U

λ

λ

= − − + ∆ ∆

= − ⋅∆ − ⋅ − ⋅∆ − ⋅ + ∆ ∆ (1.48)

[ ]12 2 0Ta

J FB R FB U G M UU

λ∂= − − ⋅∆ − ⋅ + ∆ =

∂ (1.49)

[ ]1*1

T TaU FB FB I FB R G Mλ

− ∆ = + − ⋅ (1.50)

el regulador resulta

[ ]*r r aU R R S M∆ = − (1.51)

donde

Clase 15 MPC.DOC 20

1

1

T Tr

r

R FB FB I FB

S G

λ−

= + =

(1.52)

Solo se necesita la última fila de *U∆

Clase 15 MPC.DOC 21

1.3.2. Caso Especial

1 2 21 2 ud N d N N N= = = = (1.53)

1ˆ

aY FB U G M= ⋅∆ + ⋅ (1.54)

donde

1

2

ˆˆˆk

k

yY

y+

+

=

1k

k

uU

u+∆

∆ = ∆ 1

2

1

k

ka

k

k

yy

Myu

−

−

−

= ∆

(1.55)

( )0

0 0 1 1

01b

FBb b a b

= − + (1.56)

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 1 2 2 1

1 21 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1

1

1 1 1 1

a a a a bG

a a a a a a a a a b a

− − =

− + − − − + − − (1.57)

se define la referencia

Clase 15 MPC.DOC 22

1

2

k

k

rR

r+

+

=

(1.58)

costo, 0λ =

[ ] [ ]2 2

1 11

ˆ ˆˆT T

k j k j a aj

J r y R Y R Y R FB U G M R FB U G M+ +=

= − = − − = − ⋅∆ − ⋅ − ⋅∆ − ⋅ ∑ (1.59)

[ ]12 0Ta

J FB R FB U G MU∂

= − − ⋅∆ − ⋅ =∂

(1.60)

como FB es cuadrada,

[ ]* 11 aU FB R G M−∆ = − ⋅ (1.61)

el regulador resulta

[ ]*r r aU R R S M∆ = − (1.62)

donde

Clase 15 MPC.DOC 23

0 0 1 120 01

0

1

1

1 0r

r

b b a bb b

R FB

bS G

−

− + − = =

=

(1.63)

solo se necesita conocer ku∆ ,

( ) ( )1 1 1 2 1 2 2 1 10

1 1k k k k k ku r a y a a y a y b ub + − − −∆ = − − + − + + ∆ (1.64)

o

1

1 1 2 2 11

0 0 0 0 02

1

1 1

k

k

k k

k

k

ry

a a a a bu yb b b b b

yu

+

−

−

−

− −

∆ = −

∆

(1.65)

este caso es fácil de adaptar ya que la planta se puede expresar de igual manera. Según (1.54),

Clase 15 MPC.DOC 24

1 1 11

2 2

1

k

k k k

k k k

k

yy u y

FB Gy u y

u

+ + −

+ −

−

∆ = ⋅ + ⋅ ∆ ∆

(1.66)

1 1 111

2 2

1

k

k k k

k k k

k

yu y y

FB Gu y y

u

+ + −−

+ −

−

∆ = − ⋅ ∆

∆

(1.67)

en particular, la segunda fila resulta muy parecida a (1.65),

1

1 1 2 2 11

0 0 0 0 02

1

1 1

k

k

k k

k

k

yy

a a a a bu yb b b b b

yu

+

−

−

−

− −

∆ = −

∆

(1.68)

los coeficiente coinciden con los del regulador y se pueden calcular por mínimos cuadrados.

Clase 15 MPC.DOC 25

1.4. Control Predictivo Multivariable La mayoría de los procesos industriales tienen interacciones entre las variables con-troladas y las variables manipuladas, por ende se presentan como procesos multiva-riables. Se considera el siguiente modelo multivariable:

( ) ( ) ( )11 1

1k k k k

C qA q y B q u e n

−− −

−= + +∆

(1.69)

con ky vector de salida de nx1 (n variables controladas)

ku vector de entrada de mx1 (m variables manipuladas)

ke vector de perturbación de nx1

Los polinomios son: 11 q−∆ = − (1.70)

( )1 11

a

a

nnxn nA q I A q A q nxn−− −= + + + (1.71)

( )1 10 1

b

b

nnB q B B q B q nxm−− −= + + + (1.72)

Clase 15 MPC.DOC 26

( )1 11

c

c

nnxn nC q I C q C q nxn−− −= + + + (1.73)

Función Objetivo

( ) [ ] [ ]2

1

1 2 / / 1 11

ˆ ˆ, ,uNN TT

u k h k h k k h k h k k j k jh N j

J N N N r y R r y u Q u+ + + + + − + −= =

= − − + ∆ ∆ ∑ ∑ (1.74)

Q y R definidas positivas

Clase 15 MPC.DOC 27

1.4.1. Caso Ruido Blanco

( )1nxnC q I− = (1.75)

ecuación diofantina

( ) ( ) ( )1 1 1hh hI F q A q q G q− − − −= ∆ + (1.76)

la predicción de la salida es

( ) ( ) ( )1 1 11ˆk h h k h k hy G q y F q B q u− − −

+ + −= + ∆ (1.77)

se define h

h h hpF B G q G−= + (1.78)

con ( )hgrado G h<

entonces

( ) ( )( )

11

11 1

ˆ hk h h k h hp k h

h k h k h hp k

y G q y G q G u

G q y G u G u

− −+ + −

−+ − −

= + + ∆

= + ∆ + ∆ (1.79)

Se define

Clase 15 MPC.DOC 28

1h hp k h kf G u G y−= ∆ + (1.80)

(parte conocida)

1ˆk h h k h hy G u f+ + −= ∆ + (1.81)

las predicciones sobre todo el horizonte serán:

( )1 1 1 0 1

2 2 1 2 1 1 0 2

ˆ

ˆ ,k k k

k k k k k

y G u f G u f

y G u u f G u G u f+

+ + +

= ∆ + = ∆ +

= ∆ + = ∆ + ∆ + (1.82)

o

1 0 1

2 1 0 1 2

1 2 0 1

ˆ 0 0ˆ 0

ˆ

k k

k k

k N N N k N N

y G u fy G G u f

y G G G u f

+

+ +

+ − − + −

∆ ∆ = + ∆

(1.83)

matricialmente y G u f= ∆ + (1.84)

y la función objetivo

Clase 15 MPC.DOC 29

T TJ G u f r R G u f r u Q u = ∆ + − ∆ + − + ∆ ∆ (1.85)

la acción de control óptima es

( )1T Tu G RG Q G R r f−

∆ = + − (1.86)

o más simplemente

( )u K r f∆ = − (1.87)

Clase 15 MPC.DOC 30

Ejemplo: Columna de Destilación

Clase 15 MPC.DOC 31

Clase 15 MPC.DOC 32

Variable manipuladas:

1u Tasa de tiro superior (top draw rate)

2u Tasa de tiro lateral (side draw rate)

3u Reflujo inferior (bottom reflux duty)

Variables controladas:

1y Composición producto superior (top product composition)

2y Composición de producto lateral (side product composition)

3y Temperatura inferior (Bottom temperature)

La dinámica de la planta está descrita por:

( )( )( )

27 28 27

1 118 14 15

2 2

20 223 3

4,05 1,77 5,881 50 1 60 1 50

5,39 5,72 6,91 50 1 60 1 40

4,38 4,42 7,21 33 1 44 1 19

s s s

s s s

s s

e e es s sy s u

e e ey s us s s

y s ue es s s

− − −

− − −

− −

+ + + = + + + + + +

(1.88)

Clase 15 MPC.DOC 33

los retardos van de cero a 28 minutos Se muestrea con 4minT =

( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 2 1 216 7 6

1 1 1

1 2 1 2 1 214 3 3

2 1 1 1

3 1

0,08 2,88 0,116 2,8830,1141 0,923 1 0,936 1 0,923

0,211 0,96 0,187 0,967 0,17 2,8541 0,923 1 0,936 1 0,905

0,51 0,886

k

k

k

q q q qqq q qq q q

yq q q q q q

y q q qq q q

yq

− − − −−− − −

− − −

− − − − − −− − −

− − −

−

+ +

− − − + + + = − − −

−

1

2

31 2 15 5

1 1 1

0,196 0,955 0,3671 0,913 1 0,81

k

k

k

uuu

q q qq qq q q

− − −− −

− − −

+ − −

(1.89)

11 1 11 12 13 1

22 2 21 22 23 2

33 3 31 32 33 3

k k

k k

k k

A y B B B uA y B B B uA y B B B u

=

(1.90)

donde

Clase 15 MPC.DOC 34

( )( )( )

1 211

1 2 322

1 2 333

1 2 611

1 712

1 2 613

1 221

1 1,859 0,8639

1 2,764 2,5463 0,7819

1 2,609 2,2661 0,6552

0,08 0,155 0,216

0,114 0,105

0,116 0,226 0,313

0,211 0,186 0,194

A q q

A q q q

A q q q

B q q q

B q q

B q q q

B q q

− −

− − −

− − −

− − −

− −

− − −

− −

= − +

= − + −

= − + −

= + −

= −

= + −

= − − +( )( )( )( )( )

3 4

1 2 3 322

1 2 3 323

1 2 531

1 2 3 532

1 233

0,172

0,187 0,161 0,174 0,151

0,17 0,169 0,755 0,419

0,5 0,8615 0,369

0,196 0,145 1,77 0,134

1,367 2,459 1,105

q q

B q q q q

B q q q q

B q q q

B q q q q

B q q

− −

− − − −

− − − −

− − −

− − − −

− −

= − − +

= + − +

= − +

= + − +

= − +

(1.91)

Los mínimos retardos para las variables de salida son: 27, 14 y 0 min.

Clase 15 MPC.DOC 35

en muestras: 6, 3 y 0. Se elige 30yN = y 5uN = para las tres variables y

1 0 00 1 00 0 1

Q =

2 0 00 2 00 0 2

R =

(1.92)

Referencias: 0,5 – 0,3 – 0,1 respectivamente

Clase 15 MPC.DOC 36

Prueba 1: cambio de composición superior de 0,5 a 0,4

Clase 15 MPC.DOC 37

Prueba 2: perturbación en el reflujo superior. Perturbación de 0,5. Referencias en 0.

Clase 15 MPC.DOC 38

1.5. Introducción de Restricciones El funcional cuadrático, resultaba

[ ] [ ]1 1T T

a aJ R FB U G M R FB U G M U Uλ= − ⋅∆ − ⋅ − ⋅∆ − ⋅ + ∆ ∆ (1.93)

se puede llevar a

012

T TJ U H U b U f= ∆ ∆ + ∆ + (1.94)

donde

( )( )

( ) ( )1

0 1 1

2

2

T

TTa

Ta a

H FB FB I

b R G M FB

f R G M R G M

λ= +

= − ⋅

= − ⋅ − ⋅

(1.95)

el mínimo lineal es 1U H b−∆ = − (1.96)

Clase 15 MPC.DOC 39

Puede haber restricciones en - la actuación - la velocidad de cambio de la actuación - la salida - etc. Se puede construir el siguiente conjunto de restricciones:

inf sup

inf 1 sup

inf sup

k

k k

U U UDU U U DUY Y Y

−

≤ ≤≤ − ≤≤ ≤

(1.97)

o

inf 1 sup

inf sup

inf sup

1 1 11 1

1 1

k k

k

U T U U UDU U DUY G U f Y

−≤ ∆ + ≤≤ ∆ ≤≤ ∆ + ≤

(1.98)

con

Clase 15 MPC.DOC 40

1 1 01

1 1 1T

=

(1.99)

o R U C∆ ≤ (1.100)

con

sup

inf

sup 1

inf 1

sup

inf

11

1 11 111

nxn

nxn

k

k

DUIDUI

U UTR C

U UTY fGY fG

−

−

−−

− = = − +−

− − +−

(1.101)

Clase 15 MPC.DOC 41

El problema es minimizar

012

T TJ U H U b U f= ∆ ∆ + ∆ + (1.102)

con la restricción R U C∆ ≤ (1.103)

en Matlab existe du=quadprog(H,b,R,C)

Clase 15 MPC.DOC 42

1.6. Referencias Camacho, E.F., Model Predictive Control in the Process Industry – Springer – 1995 Clarke, D.W., Generalised Predictive Control With Input Constrains – IEE Proceed-ings, vol 135, No 6 Nov 1988