07 cinematica punto
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-
Tema07.Cinem-cadelpuntomaterial.Movimientorela-vo.
Mecnica
CeciliaPardoSanjurjoDPTO.DEINGENIERAESTRUCTURALYMECNICA
EstetemasepublicabajoLicencia:Crea-veCommonsBYNCSA3.0
-
Cinemtica
Cinemtica del punto
Cinemtica del slido rgido
Parte de la Mecnica que estudia el movimiento de los cuerpos, independientemente de las causas que lo producen. Se le llama tambin geometra del movimiento.
Posiciones, velocidades y aceleraciones en el tiempo
-
Cinemtica del punto
OP
= r t( ) = x t( )i + y t( )
j + z t( )
k
Supongamos que un punto se mueve en el espacio, de forma que en un instante de tiempo t se encuentra en el punto P de coordenadas (x, y, z) en ese instante.
O
r
(x, y, z)
x
y
z
P
Trayectoria
Vector de posicin de P respecto al sistema de ejes con origen en O:
Se llama trayectoria a la curva descrita por el punto su movimiento a lo largo del tiempo.
Al cabo de un tiempo el punto habr avanzado a otra posicin, P :
t
r + r
= x + x, y + y, z + z( )
vm =
r
t=
x
t,y
t,z
t
Velocidad media:
Vector desplazamiento: r
= P P
La distancia recorrida a lo largo de la trayectoria entre dos posiciones no coincide con el mdulo del vector desplazamiento s r
r+!r
P
O
r
xy
z
!r P
!s
s
Po
!s=!r
-
La velocidad media tiene la direccin y sentido de r
Si vamos tomando cada vez ms pequeos, el se va haciendo ms prximo en orientacin al tramo de trayectoria. Cuando tiende a 0, el desplazamiento se hace tangente a la trayectoria. Adems, su mdulo coincide con el desplazamiento a lo largo de la trayectoria: ds=dr
t r
Velocidad de un punto es la variacin del vector desplazamiento por unidad de tiempo cuando el intervalo de tiempo tiende a cero
v = lim
t0
r
t= d
r
dt
v = vx
i + vy
j + vz
k = dx
dt
i + dy
dt
j + dz
dt
k
v = x
i + y
j + z
k
Es comn indicar derivada respecto al tiempo con un punto encima de la variable
Al mdulo de la velocidad se le llama celeridad:
La velocidad es tangente a la trayectoria en ese punto O
r
xy
z
!r
ds=dr
r+!r
v = drdt =dsdt
t
-
Aceleracin media: a
m=v
t
Aceleracin de un punto: a = lim
t0
v
t=
dv
dt
a =
dvxdt
i +
dvydt
j +
dvzdt
k = vx
i + vy
j + vz
k
a = x
i + y
j + z
k
Si se conocen las coordenadas en funcin del tiempo (llamadas ecuaciones horarias) se pueden calcular velocidades y aceleraciones derivando respecto al tiempo. Si se conoce la aceleracin en funcin del tiempo habr que integrar para hallar velocidad y posicin.
Velocidad: v = d
rdt
v = v et = s et
Siendo et el versor (vector unitario) tangente a la trayectoria en el punto
-
!A
B
C
4 m 3 m
"
xC
y
x = 0.9 t (t en s; en radianes)
xC = 4 cos 0.9t + 3 cos xC = 5 m
yB = 4sen = 3sen sen =43 sen0.9t = 36.87 = 53.13 ( t =
36.870.9180 = 0.715 s)
cosddt =43 0.9 cos0.9t
ddt = 1.2
cos0.9tcos
d2dt2
= 1.20.9sen0.9tcos + cos0.9tsenddt
cos2 d2dt2
= 2.3 rad/s2
ddt = 1.6 rad/s
vC =dxCdt = 40.9sen0.9t 3
ddt sen vC = 6 m/s
aC =dvCdt = 3.60.9 cos 0.9t 3
d2dt2
sen 3 ddt
2cos aC = 12.8 m / s2
Relacin geomtrica entre ngulos:
Ejemplo: Hallar velocidad y aceleracin de la deslizadera C en el instante en que las dos barras forman un ngulo recto, sabiendo que, en funcin del tiempo:
En la posicin pedida:
Movimiento del punto C:
vC = 6
i
aC = 12.8
i
-
Movimiento rectilneo
La trayectoria es una lnea recta: velocidades y aceleraciones son en esa misma direccin
Movimiento uniformemente acelerado
a = cte a = dvdt dv = a dt
dvvov = adtto
t v = vo + a t to( )
s so = vo t to( ) + 12 a t to( )2
to
so
t
s
vo
v
a
v = dsdt ds = v dt dssos = vdtto
t = vo + a t to( ) dttot
v2 vo2 = 2 a(s so )
Eliminando el tiempo (t-to) de estas dos ecuaciones:
-
Movimiento rectilneo uniforme o de velocidad constante:
to
so
t
s
s - so = v t - to( )
v = cte a =
0
Sustituyendo en las expresiones anteriores con a=0
En cualquier caso habr que integrar dos veces para obtener las caractersticas del movimiento a partir de la aceleracin.
-
Tres problemas de integracin segn:
1) La aceleracin es una funcin conocida de t a = f(t)
a = dvdt dv = a dt = f(t)dt se integra y se obtiene v(t)
v= dsdt ds = vdt se integra y se obtiene s(t)
2) La aceleracin es una funcin conocida de la posicin a = f(s)
a = dvdt =dvds
dsdt = v
dvds vdv = a ds = f(s)ds se integra y se obtiene v(s)
v= dsdt dsv = dt se integra y se obtiene s(t)
3) La aceleracin es una funcin conocida de la velocidad
a = dvdt = f(v)dv
f(v) = dt se integra y se obtiene t(v)
v= dsdt =dsdv f v( ) v
dvf v( ) = ds se integra y se obtiene s(v)
a = f(v)
-
Movimiento general en el plano
Una posibilidad es utilizar las coordenadas rectangulares respecto a unos ejes fijos OXY
XO
Y
P
x(t)
y(t) r
r = x
i + y
j
Y tratar el movimiento en cada eje separadamente. En los casos en que el movimiento en cada eje no depende del otro, es cmodo usar estas componentes rectangulares.
v = vx
i + vy
j con vx = x vy = y
a = ax
i + ay
j con ax = x ay = y
Un ejemplo es el movimiento de proyectiles o tiro parablico
-
Movimiento de proyectiles o tiro parablico
Movimiento horizontal con velocidad constante:
Movimiento vertical con aceleracin constante:
ay = g vy = voy gt y= voyt 12 gt
2
siendo voy = vosen
vx = vox ax = 0 x= vox t
siendo vox = vo cosy= voy
xvox
12 g
xvox
2
Trayectoria parablica:
!
"
vo
vx=vox
vy=voy#$gtvx=vox
v
vo
vx=voxvy=voy#$gt
ym x
d
-
Altura mxima:
ymx cuando vy = 0 t =voyg =
voseng ymx =
vo2sen22g
Alcance horizontal, d:
d = vo2sen 2
g
(El tiempo en que se alcanza es doble que el del ymx)
ngulo de alcance mximo para una vo fija:
dmx =vo2g que ocurre cuando =45 (sen2 =1)
i x=0 el punto de partida
i x = 2voxvoyg d alcance horizontal
Haciendo y=0 en la ec. de la trayectoria se obtienen dos soluciones:
-
Ejemplo:
Tramo de A a B: (sin rozamiento)vA = 0 ; s = 5m ; a = g sen30v2B = v2A + 2as = 2g sen305= 49 vB = 7 m / s
De B al suelo, tramo parablico:x = vB cos 30t y = 10 vBsen30t
12 gt
2
Cuando llega al suelo y=0, x= b: 10 = 3.5t + 4.9t2
4.9 t2 + 3.5t 10 = 0 t = 1.115 sb = 3.5 3t = 6.76 m
d = 0.5 + 6.76 = 7.26 m
A un albail se le escapa una teja, que resbala sin rozamiento por el tejado y cae al suelo. Hallar la distancia mnima, d, a la que ha de situarse la pandilla habitual para no correr peligro.
y
x
vBcos30
vBsen30
10
bdesde la pared
5 m
30
10 m
d
B
A
vB0.5m
-
Coordenadas intrnsecasOtra posibilidad es usar coordenadas intrnsecas: La situacin del punto se da respecto a un punto de la trayectoria Po mediante la longitud s(t) recorrida a lo largo de la misma.
v = v et =
dsdt
et
et = vector unitario tangente a la trayectoria en P
a= d
vdt
=dvdt
et + vdetdt
Po
P
sv(t) e
t
v(t+dt) et
La velocidad es tangente a la trayectoria en cada punto, siendo su mdulo la derivada respecto al tiempo de la distancia, s, recorrida a lo largo de la trayectoria:
Para hallar la aceleracin derivamos la velocidad respecto al tiempo:
-
detd
= en
detdt
=detd
ddt
=ven
et = 2sen2
Cuando 0 , et tiende a ser perpendicular a
et , es decir, en direccin en
detd
=0lim
et
=0lim
2sen 2
= 1
La variacin de su mdulo con el ngulo tiende a 1:
Por tanto
Y teniendo en cuenta que ds= d y que v= dsdt
:
et
!"
!et
1
1
et
et
en
et
C
!"#
!s
vector unitario normal en el punto de la trayectoria dirigido hacia su centro de curvatura
-
La aceleracin en coordenadas intrnsecas se escribe como:
a = dvdt
et +v2
en
aceleracin tangencial a t =dvdt
aceleracin normal an =v2
: radio de curvatura de la trayectoria en P
En una trayectoria rectilnea = y no hay an
La aceleracin normal siempre va dirigida hacia el centro de curvatura de la trayectoria en el punto. Los versores normal y tangente, as como el radio de curvatura dependen del punto de la trayectoria.
Po
s
C
at
an
an
at
a
v
a
C
-
Movimiento con trayectoria circular
P
Po
90
R
C
RC
v = dsdt
= R ddt
= R
= ddt
velocidad angular en el movimiento circular(rad/s)
Aceleracin:
tangencial: at =dvdt
= R ddt
= R normal: an =v2
= R2
= ddt
aceleracin angular en el movimiento circular( rad/s2 )
s= R
v = v et
Velocidad:
a = at
et + anen
Longitud de arco recorrida en funcin del ngulo en radianes:
-
Movimiento circular uniformemente acelerado =cte at = cte
= ddt
=o + t
= ddt = o +o t +
12t2
Multiplicando por R se encuentra la longitud recorrida y la velocidad del punto:
v=vo + at t s = so + vo t +12at t2
Movimiento circular uniforme: = 0 = o = cte v = R = cte
an = R2 cte
at = 0 an = R2 = cte
2 o2 = 2 o( )
v2 vo2 = 2at s so( )
-
50 m
AB
C
Ejemplo: El coche de la figura va a una velocidad constante de 126 km/h cuando llega a una curva circular de 50 m de radio. Empieza a decelerar en A, a un ritmo de 9 km/h cada segundo. Hallar velocidad y aceleracin en la mitad y al final de la curva.
1 km / h = 103m
3600 s =1
3.6 m / s
vA = 126 km / h = 35 m / s
at =dvdt = 9 km/hs= 2.5 m/s
2
vB2 = vA2 + 2at sB sA( ) vB2 = 352 22.5 504
vB =32.07 m/s vB = 32.07 cos 45
i sen45
j( )
vC2 = vA2 + 2at sC sA( ) vC2 = 352 22.5 502
vC =28.85 m/s
vC = 28.85j
Movimiento circular uniformemente decelerado:
!"#$%&
'
(
45
45
vB
vC
)
"*
x
y
O
O
&(+&'
-
Todas las aceleraciones tangenciales son iguales en mdulo:
aBt = aCt = 2.5 m/s2
aBt = 2.5 cos 45
i + sen45
j( ) aCt = 2.5
j
Las componentes normales:
aBn =
vB2
=32.072
50= 20.57 m/s2 aBn = 20.57 sen45
i cos 45
j( )
aCn =
vC2
=28.852
50= 16.65 m/s2 aCn = 16.65
i
B =vBR
= 0.64 rad/s C =vCR
= 0.577 rad/s horariasVelocidades y aceleraciones angulares en B y C:
B = C = =atR
= 0.05 rad / s2 antihoraria
!
"
45
45
#
$%
aA
= 0
aCn
aCt
=2.5 m/s2
aBn
aBt
=2.5 m/s2
O
aB = 2.5 cos 45
i + sen45
j( ) + 20.57 sen45i cos 45j( ) aC = 2.5
j 16.65
i
-
En ocasiones, es conveniente utilizar ms de un sistema de referencia para describir el movimiento de un punto, en particular algn sistema mvil.
Movimiento absoluto de los puntos H y C: visto desde un sistema fijo (ejes fijos en B)
A
B
!
!
X fijo. absoluto
Y fijo
x
sistema m vil
H
vH
aH
movi ndose
vC
aC
Ctrayectoria absoluta
vC=
dBC
dt
absol
aC=
dvC
dt
absol
vH=
dBH
dt
absol
aH=
dvH
dt
absol
-
El movimiento del coche (punto C) visto por un sistema de ejes que se est moviendo se llama movimiento relativo de C respecto a ese sistema que en este caso est en H.
Movimiento relativo de C visto por el sistema mvil en H:
A
B
!
!
x
y
H
HC
arC
vrC
trayectoria relativa
C
aceleracin relativa de C
dHC
dt
mvil
= vrC
dvrCdt
mvil
= arCvelocidad relativa de C
-
BC
= BH
+HC
A
B
!
!
X fijo. absoluto
Y fijo
x
y
sistema m vil
H
C
HC
BC
BH
Relacin entre ambos?
Vector de posicin relativo de C respecto a H
A partir de la relacin entre vectores de posicin:
-
i = cosz
I + senz J
Movimiento relativo. Expresiones de Coriolis
!z
Q
X
Yqy
qx
x
y
I
J
j i !z
Sea un sistema de ejes fijo o absoluto XYZ , con vectores unitarios I, J, K
Otro sistema con el mismo origen xyz est girando en torno al eje z (idntico al Z) de forma que los vectores unitarios i, j describen un movimiento circular o giro en torno al eje Z (Z=z) con
z =dzdt
El vector i en componentes respecto al sistema
Su variacin respecto al tiempo:
di
dt = z senz I +z cosz
J =zk
i
Si el giro es en torno a un eje cualquiera con velocidad angular :
di
dt =
i
-
Consideremos ahora un vector cualquiera Q expresado en el sistema mvil:
Q = qx
i + qy
j + qz
k (qx , qy , qz en general, variables en el tiempo)
La variacin de Q con el tiempo:
d Qdt
=dqxdt
i +dqydt
j + dqz
dtk
+ qx
didt
+ qydjdt
+ qzdkdt
El primer corchete sera la variacin de Q vista desde el sistema mvil, ya que para l los i,j,k estaran fijos: es la derivada relativa
El segundo trmino: qx
i + qy
j + qz
k = qx
i + qy
j + qz
k( ) = Q
d Qdt
abs
=d Qdt
rel
+
Q
-
OC
P
X
Y
Z
x
y
z
Vamos a ver como se relacionan las velocidades y aceleraciones de una masa puntual observadas respecto a un sistema fijo OXYZ y otro mvil Cxyz que gira con
OP
= OC
+ CP
vP =dOP
dt=
dOC
dt+
dCP
dt= vC +
dCP
dt
rel+
CP
=
= vrP +vC +
CP
( ) = vrP + vaP
aP =dvrPdt
rel+
vrP +
dvCdt
+d dt
CP
+
dCP
dt
rel+
CP
( ) =
= arP +aC +
CP
+
CP
( ) + 2 vrPEn donde se ha introducido la aceleracin angular del sistema mvil:
= d
dt
-
Resumiendo: las expresiones de Coriolis que relacionan velocidades y aceleraciones relativas y absolutas de un punto P son
vP =vrP +
vaP
vrP velocidad relativa de P, la vista por el sistema mvilvaP =
vC + CP
velocidad de arrastre
aP =arP +
aaP +acorP
arP relativa de P vista desde el sistema mvil aaP =
aC + CP
+
CP
( ) de arrastre acorP = 2
vrP de coriolis
Los trminos de arrastre dependen de las caractersticas del movimiento del sistema mvil vC ,
aC , , .
-
vP =vrP +
vaP
vrP velocidad relativa de P, la vista por el sistema mvilvaP =
vC + CP
velocidad de arrastre
aP =arP +
aaP +acorP
arP relativa de P vista desde el sistema mvil aaP =
aC + CP
2 CP
de arrastre
acorP = 2
vrP de coriolis
Los trminos de arrastre dependen de las caractersticas del movimiento del sistema mvil vC ,
aC , , .
En problemas planos =
k y =
k (y resto de vectores con componentes xy) :
CP
( ) = 2 CPNotar que:
-
xy
X
Y
C
O
P
vP =
vrP +vC
(Todos los puntos del sistema mvil se mueven igual)
aP =
arP +aC
Sistema de referencia en traslacin: Expresiones simples de Coriolis
=
0 = 0
Si la traslacin es rectilnea y uniforme: aC =
0
aP =
arP
Las leyes de Newton son las mismas en los sistemas absolutos o en los que se trasladan con movimiento rectilneo uniforme.
y
y
x
x
Los ejes no cambian de orientacin
Misma aceleracin vista por ambos sistemas
De las expresiones de Coriolis:
El observador mvil se mueve como los ejes rojos
-
Es adecuado considerar unos ejes que se trasladan cuando:
El observador en movimiento (ejes rojos) se est trasladando
Cuando el cambio de orientacin no interesa, el objeto se reduce a un punto representando su posicin. Se puede elegir un observador mvil ligado al punto del avin 2 con unos ejes en traslacin curvilnea.
avi n 1
avi n 2
avi n 1
avi n 2
avi n 1
avi n 2
vP =vrP +
v1aP =
arP +a1
v1 =vr1 +
v2a1 =
ar1 +a2
La velocidad y aceleracin de un punto, P, del avin 2:
P
-
avi n 1
avi n 2
y
y
En cambio, si se pregunta por el movimiento de un punto del avin 1 visto por el piloto del avin 2, hay que considerar un sistema mvil que cambia de orientacin (gira) porque esta describiendo una curva y hay que utilizar las expresiones completas de Coriolis con distintas de 0
x x
y
-
Ejemplo: El bloque A desciende con velocidad de 0.1 m/s, y aceleracin de 1 m/s2 en el mismo sentido.Calcular vB y aB absolutas, as como las que vera un observador situado en A
A
B
yA
yB
Y
yr
O bien se puede encontrar tambin derivando respecto al tiempo el vector de posicin relativo de B respecto a A (-yrj):
AB
= ctei yr
j yr = yA yB yr =vA vB =0.2 yr = aA aB = 2
vrB = yrj = 0.2
j arB = yr
j = 2
j
la longitud del hilo que cuelga es constante:yA + yB = L yB = L yA
Derivando : vB = vA aB = aASi vA = 0.1
j vB = 0.1
j aA =
j vB =
j
vB =vrB +
vA vrB =
vB vA = 0.2
j
aB =arB +
aA arB =
aB aA = 2
j
yr
Respecto a un sistema ligado a A (en traslacin):
Absolutas, ya que yA e yB son coordenadas absolutas
07Tema 7 Cinemtica punto
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