01 integraciÓn numerica.docx
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SEPARATA III
INTEGRACIN NUMERICA
LA REGLA DE SIMPSON
La regla de Simpson se utiliza para la integracin de funciones, determinando el rea bajo la curva, asimismo se emplea para integrar valores de datos experimentales provenientes de laboratorio, gabinete o unidad de produccin.
y1
yo
y2
La ecuacin fundamental de Simpson
Para 5 puntos
Luego
Para 7 puntos
Para n puntos (ecuacin general)
CASO I. INTEGRACIN DE FUNCIONES, UTILIZANDO LA ECUACIN BASE DE SIMPSON
Integrar la siguiente funcin. Empleando la ecuacin base
Calculo del valor de incremento
Construccin de la tabla para la integracin
x
221,1
4,553,1
797,6
Aplicar la regla de Simpson
= 275,9166
Comprobando analticamente
=275,197
Utilizando mayores bandas o puntos se puede lograr una mejor aproximacin del valor de la integral
Por ejemplo integrar para 11 puntos la funcin del ejemplo anterior, 10 bandas.
Tabla de la funcin a integrar
x
221,1
2,526,5
332,4
3,538,8
445,7
4,553,1
561
5,569,4
678,3
6,587,7
797,6
Aplicando la ecuacin general se obtiene
= 275,197
CASO II. INTEGRACIN DE FUNCIONES ENTRE LIMITES DIFERENTES
Por ejemplo considerando la funcin anterior integrar entre los siguientes limites:
Para tal fin debe construirse la curva integral y determinar su ecuacin por anlisis de regresin, de la forma siguiente:
Usando para un
x
221,1
2,526,5
332,426,583333326,5833333
3,538,8
445,738,883333365,4666667
4,553,1
56153,1833333118,65
5,569,4
678,369,4833333188,133333
6,587,7
797,687,7833333275,916667
Organizar la tabla x , , de la forma siguiente:
x
326,5833333
465,4666667
5118,65
6188,133333
7275,916667
Grafica de la curva integral
CASO III. CUANDO NO EXISTE FUNCIN, TENIENDO SOLO DATOS EXPERIMENTALES
Una empresa de alimentos vierte al desague un caudal (Q) de efluente de acuerdo al siguiente registro se pide determinar el volumen vertido por da
Tiempo (t)hCaudal vertido(Q)m3/h
425
632
815
1029
1232
1414
1618
1816
2018
2226
2442
Aplicar la regla de Simpson
Tiempo (t)hCaudal vertido(Q)m3/h
425
632
815112112
1029
1232108,666667220,666667
1414
161870,6666667291,333333
1816
201866,6666667358
2226
2442109,333333467,333333
El volumen vertido de efluente al desague es V = 467,33 m3
La grfica de la curva integral
Tiempo (t)h
3112,0
5220,666667
7291,333333
9358,0
11467,333333
La concentracin del efluente expresado en mg/l se muestra en la siguiente tabla:
Tiempo (t)hCaudal vertido(Q)m3/hConcentracin ( C )mg/l
42512350
63215000
81514890
10299875
123210298
141414555
161812880
181613587
201815280
222616800
244212798
Determinar la masa que se envia al desague y la concentracin promedio ()
Solucin:t(h)Q m3/hQl/hCmg/lmkg/hAi
42525000123530,88
63232000150048,00
81515000148922,34163,473333163,473333
102929000987,528,64
1232320001029,832,95113,225733276,699067
1414140001455,520,38
161818000128823,1891,7637333368,4628
1816160001358,721,74
201818000152827,5091,7632460,226
222626000168043,68
2442420001279,853,75170,6504630,8764
La masa que se enva al desage es 630,87 kg
La concentracin promedio del efluente vertido :1,35 kg /m3
Problemas propuestos
1. Integrar y determinar la curva integral para 15 puntos2. Integrar y determinar la curva integral para 14 bandas3. Integrar y determinar la curva integral para 11 puntos4. Integrar y determinar la curva integral para 13 puntos5. Integrar y determinar la curva integral para 12 bandas6. Se tiene los siguientes valores que correlaciona el volumen (V) ft3/lb y la presin (p) psia de acuerdo a la siguiente expresin:
La Informacin se encuentra en la siguiente tabla:
Vp
268,7
431,3
619,7
814,3
1011,3
Encontrar el trabajo efectuado por el embolo.
7. La velocidad (v) de un movil es esta dado en km/h , se a determinado cada cierto periodo de tiempo (t), en minutos, determine el espacio recorrido y determine la curva integral la informacin tabulada es la siguiente
TiempoVelocidad
11,0064
31,00343
41,00435
61,00331
81,00233
101,00149
121,00078
8. El consumo de vapor (m, kg/h) por hora esta registrada en la siguiente tabla:
TiempoConsumo devapor
2325
4560
6450
8468
10275
12825
14320
16316
18345
Determinar la cantidad de vapor consumida, construya la curva integral y determine el consumo de vapor entre la 7 horas y 15 horas.
9. Cada cierto periodo de tiempo (t) un indicador de consumo de petrleo (M, gal/min), indica el flujo msico que se consume de petrleo. Estos valores han sido registrados en la siguiente tabla:
Tiempo (h)Flujo msico gal/h
145,3
222,2
355,1
435,4
540,2
662,3
755,4
849,1
947,2
1055,0
1145,9
Determine la cantidad de combustible consumido (galones), determine la curva integral y cual ser la cantidad de petrleo consumido entre las 6,5 horas y 9 horas.
CASO III: Cuando suceden reacciones qumicas
Entradatiempo (t)t+
Flujo msico (M/T)meme +
SalidaTiempo (t)t+
Flujo msico (M/T)msms+
Acumulacintiempo (t)t+
Masa (M)MM+
Entradas Salidas = Acumulacin
Ejemplo:
La planta de produccin de lcteos vierte sus efluentes a un bioreactor donde reduce su carga orgnica antes de ser vertido al desage de acuerdo a los siguientes reportes:
Tiempo (t) hEntradaconcentracin g/minSalidaconcentracing/min
135,219,13
242,508,25
333,127,12
431,316,97
541,128,45
630,138,93
733,456,41
845,126,21
940,137,13
1029,927,98
1138,546,45
Las muestras han sido tomadas directamente de un sensor
a. Determine la masa que ingrese al bioreactorb. Determine la masa que sale del bioreactorc. Determine la masa que ha sido reducidad. Determine el porcentaje de bioconversin
SalidaEntrada
Clculo de la masa que ingresa al bioreactorTiempo (t)horaEntradag/minEntradag/hAi
135,212112,6
242,52550
333,121987,24766,64766,6
431,311878,6
541,122467,23989,68756,2
630,131807,8
733,4520073901,812658
845,122707,2
940,132407,85081,217739,2
1029,921795,2
1138,542312,4396721706,2
Calculo de masa que sale del bioreactor
Tiempo(t)horaEntradag/minEntradag/hAi
19,13547,8
28,25495
37,12427,2985985
46,97418,2
58,455078691854
68,93535,8
76,41384,61011,62865,6
86,21372,6
97,13427,8767,63633,2
107,98478,8
116,453879104543,2
a. Masa al ingreso: 21 706,2 gb. Masa a la salida: 4 543,2 gc. Masa reducida: 21 706,2 4 543,2 = 17 163 gd. Bioconversin (%B)
% B = 79,06
Problemas propuestos
1. En una operacin de biodegradacin de un efluente orgnico se contabilizo el caudal (Q) litros /hora, saliendo del bioreactor, conociendo que la carga orgnica inicial fue de 6001 mg /l.Tiempo horaCaudal (Q)litro/hConcentracinmg/l
14500500
36500561
54350450
75321325
94698585
115331625
134610351
Determinar el volumen (V) en m3, vertido al desage, la masa y concentracin del agente orgnico que se vierte al desage y l % de bioconversin
2. Un efluente orgnico conteniendo residuales de azcar es tratado en un bioreactor, contabilizando los siguientes datos:Tiempo (h)Caudalm3/sConcentracinentradag/lConcentracinsalidag/l
10,210185
20,230153,5
30,240124,2
40,200152,1
50,198174,1
60,177196,2
70,236153,4
80,224328,1
90,180168,9
a. Determinar el volumen del efluente tratadob. Cantidad de azcar que ingresa y sale del bioreactorc. Material que s biodegradod. % de bioconversine. Concentracin promedio del efluente que se vierte al desagef. Determinar la cantidad de etanol formado en la bioconversin
3. Se tiene la siguiente informacin de salida de un efluente de una planta procesadora de alimentos, hacia un desage publico. La medida del caudal se efecta cada hora, determinando el contenido de slidos solubles orgnico mediante sensores.
TiempohoraCaudal (Q)m3/minConcentracinmg/l
10,04200
20,25220
30,36150
40,4175
50,31270
60,21221
70,3979
80,7585
90,310,31
100,320,32
110,250,25
Determine el volumen del efluente que vierte al desage, la carga orgnica, y la concentracin promedio del mismo.
4. En un bioreactor se trata un efluente determinndose el flujo msico del agente contaminante, obtenindose los siguientes resultados:
TiempohoraFlujo msicoentradakg/hFlujo msicosalidakg/h
145,618,3
232,510,9
355,312,3
453,88,25
545,99,13
662,48,53
744,87,23
846,810,90
949,611,3
Determinar la carga a la entrada y la salida del bioreactor, la carga orgnica se biodegrada
Determinar la cantidad de material de entrada y salidaLa cantidad de material biodegradado y su porcentaje de material biodegradado.
Mg Victor Terry Calderon Pgina 15
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