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MANUAL

DE

DERIVADAS

LUIS LOPES

EDUARDO MORAIS


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MANUAL DE DERIVADAS


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MANUAL

DE

DERIVADAS

Lus Lopes

Eduardo Morais

QED TEXTE


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Copyright c2004, byLus Lopes e Eduardo Morais

Composicao com LATEX: Capa:Eduardo Morais e Lus Lopes Luiz Cavalheiros

CIP-BRASIL. CATALOGACAO-NA-FONTE

SINDICATO NACIONAL DOS EDITORES DE LIVRO, RJ.

L854m

Lopes, Lus, 1953-Manual de DerivadasLus Lopes, Eduardo Morais. - Rio de Janeiro : L. Lopes : E. Morais, 2004

80 p.

Inclui bibliografia.ISBN 85-901503-3-X

1. Analise matematica. 2. Funcoes (Matematica). 3. Calculo (Matematica)4. Analise matematica - Problemas, questoes, exerccios.5. Funcoes (Matematica) - Problemas, questoes, exerccios.6. Calculo (Matematica) - Problemas, questoes, exerccios.

I. Morais, Eduardo. II. Ttulo.

04-1177. CDD515CDU519

Nesta obra, o genero masculino e empregado a ttulo epiceno.

Todos os direitos reservados. E proibida a reproducao total ou parcial, por quaisquermeios, sem autorizacao por escrito dos autores.

Deposito legal na Biblioteca Nacional - segundo trimestre 2004

Impresso no Brasil Printed in Brazil

Lus LopesPraia de Botafogo, 440 Sala 2401Botafogo Rio de Janeiro, RJ22250040

Fax: (0XX21) 2536 6318

E-mail: qed [email protected]

Eduardo Morais341, Marcoux

Ile Bizard Montreal, QCH9C 2S3 Canada

Tel.: (514) 297 6225

E-mail: [email protected]


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adasAo Paulo (in memoriam), Fernando e Fabio

que sao tios e amigos. (Lus Lopes)

A Sonia cujo amor fez derivar este livro.

(Eduardo Morais)


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APRESENTACAO

Este livro foi escrito pensando tanto no leitor que estuda o assunto pela primeiravez quanto naquele que gostaria de encontrar em um so volume uma coletanea dedefinicoes e formulas que costumam ser obtidas somente apos consultas a diversas

obras.

O volume e dividido em duas partes distintas. Na primeira, expoe-se a teoriafrequentemente encontrada na literatura sobre o assunto e, na segunda, propoem-sesetenta e cinco exerccios, muitos dos quais subdivididos em outros tres, selecionadosde modo a que sejam resolvidos aplicando-se os conhecimentos adquiridos com aprimeira parte. Dessa forma, o leitor podera acompanhar seu proprio progresso eperceber suas duvidas e dificuldades. Ocasionalmente, alguns exerccios, como osvigesimos sexto e setimo, exigirao mais do leitor e servirao para o desenvolvimento ea introducao de novos resultados.

As solucoes detalhadas de todos os exerccios encontram-se no captulo que segueos enunciados dos mesmos. Assim, o estudante e o professor a procura de novos

exemplos e exerccios terao farto material a sua disposicao.

Por tratar de um assunto fundamental a formacao de qualquer profissional quelide com numeros, graficos, variacoes e modelos matematicos de modo geral, a obracertamente sera util aos estudantes de Engenharia, Matematica, Fsica, Informatica,Economia e outras disciplinas que se valem de um curso basico de Calculo.

Os autores


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PREFACIO

Este manual foi escrito com o objetivo de servir a todo tipo de leitor. O leitorque ja estudou os temas aqui tratados utilizara o manual quando precisar rever umadefinicao ou formula, consultando somente as partes teoricas do volume (captulos 1

a 3) ou os exerccios propostos. O leitor que estuda o assunto pela primeira vez develer este manual com o apoio de um livro-texto. Este manual foi escrito para suportare aprofundar os temas tratados previamente por um livro-texto.

A experiencia como estudante e professor nos ensinou que o melhor modo deassimilar um topico em Matematica e atraves da resolucao de exerccios e muitos!Constatamos, no entanto, que os livros-texto nao tem as solucoespara os exercciospropostos e, frequentemente, nem mesmo as respostas. Por nao estar certo do seuraciocnio, o estudante se ve frustrado em seus esforcos de compreensao ao pensarter resolvido um exerccio, ou entao, apos passar um certo tempo tentando resolve-lo,permanece sem conhecer a solucao do quebra-cabeca. Assim, nosso intuito foi o defornecer as solucoes (completas) a todos os exerccios propostos.

O manual apresenta, no incio, de um modo bem conciso, as nocoes e formulas

usuais na literatura do assunto, propondo em seguida uma serie de exerccios, muitosdos quais subdivididos em outros tres, para que o leitor possa aplicar os conceitosintroduzidos previamente. Os exerccios tentam seguir um certo grau de dificuldade,mas o objetivo foi o de agrupa-los por assunto, de maneira que um resultado obtidonum dado exerccio possa vir a ser aplicado, como resultado parcial, num exerccioposterior. As solucoes dos exerccios aparecem apos o enunciado global dos mesmos,antecedendo o apendice, o qual inclui uma breve introducao sobre limites de funcoese uma lista de formulas de integracao. A bibliografia e referencias encerram o volume.

Lus Lopes e Eduardo Morais

Rio de Janeiro, RJJunho, 2004.


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SUMARIO

APRESENTACAO vii

PREFACIO ix

1 DERIVADAS 11.1 Definicao de derivada num ponto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Significado geometrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Definicao de funcao derivavel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 FORMULAS DE DERIVACAO 42.1 Funcao constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Funcao identidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3 Produto de uma constante por uma funcao . . . . . . . . . . . . . . . 52.4 Funcao soma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.4.1 Funcao soma generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.5 Funcao produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.6 Funcao quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.7 Funcao potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.8 Funcao logaritmo natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.9 Funcao logaritmo de base constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.10 Funcao logaritmo de base variavel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.11 Funcao exponencial de base constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.12 Funcao exponencial de base variavel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.13 Funcao seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.14 Funcao co-seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.15 Funcao tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.16 Funcao secante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.17 Funcao co-secante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.18 Funcao co-tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.19 Funcao arco seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.20 Funcao arco co-seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.21 Funcao arco tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.22 Funcao arco co-tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.23 Funcao arco secante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.24 Funcao arco co-secante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.25 Funcao seno hiperbolico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14


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xii Lus Lopes & Eduardo Morais Copyright c 2004

2.26 Funcao co-seno hiperbolico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.27 Funcao tangente hiperbolica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.28 Funcao co-tangente hiperbolica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.29 Funcao secante hiperbolica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.30 Funcao co-secante hiperbolica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.31 Funcao arco seno hiperbolico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.32 Funcao arco co-seno hiperbolico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.33 Funcao arco tangente hiperbolica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.34 Funcao arco co-tangente hiperbolica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.35 Funcao arco secante hiperbolica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.36 Funcao arco co-secante hiperbolica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3 TOPICOS ESPECIAIS 173.1 Derivada logartmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2 Derivada da funcao composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.3 Derivada da funcao implcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.4 Derivada da funcao inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.5 Derivadas de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4 EXERCICIOS 25

5 SOLUCOES 31

A LIMITES DE FUNCOES 55A.1 Definicao de limite de uma funcao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55A.2 Teoremas sobre limites de funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

B FORMULAS DE INTEGRACAO 59B.1 Definicao de integral indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59B.2 Funcoes logaritmo e exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61B.3 Funcoes trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61B.4 Funcoes trigonometricas inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63B.5 Funcoes hiperbolicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64B.6 Funcoes hiperbolicas inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS 67

www.escolademestres.com/qedtexte


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Captulo1

DERIVADAS

1.1 Definicao de derivada num ponto

Seja fuma funcao real de variavel real x definida num certo intervaloI tal quey = f(x). Consideremos um ponto qualquerx0 I. Dizemos quef e derivavel emrelacao a variavel x no ponto x0 se existir o limite do quociente

y

x=

f(x0 + h) f(x0)h

=f(x) f(x0)

x x0

(1.1)

quando h 0 ou x x0 , onde h = x x0 = 0. No caso afirmativo, tal limitechama-se a derivada defno ponto x0 e e representado por f

(x0).A derivada, sendo definida como um limite, tem, portanto, um carater local, cujo

valor difere do quociente em (1.1) por um erro que depende de x, ou seja, quando

x e bem pequeno, yx = f

(x0) +(x), com limx0 (x) = 0. Assim, dado oacrescimo x, podemos escrever o acrescimo correspondente y da seguinte forma:

y= f(x0) x+(x) xCom isso, numa vizinhanca bem pequena de x0 , e possvel expressar fcomo um

polinomio (de grau 1) em x mais um resto, considerado desprezvel:f(x0+ x) = f(x0) +f

(x0) x+r(x) (1.2)

1.2 Significado geometrico

Sejam a curva Co grafico da funcao f e x0 um ponto qualquer do seu domnio.A interpretacao geometrica da derivada e dada a seguir:

a derivada def emx0 representa o coeficiente angular da reta tangente acurvaC no ponto

x0

, f(x0)

.

De acordo com a figura 1.2, a inclinacao da reta tangente pode ser consideradacomo o limite das inclinacoes das retas secantes que passam pelos pontos

x, f(x)

e

x0

, f(x0)

quandox x0 .


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Captulo2

FORMULAS DE

DERIVACAO

2.1 Funcao constante

Sejay = f(x) = k, k R.y

x=

f(x+ x) f(x)x

=k k

x =

0

x= 0

y = limx0

yx = limx0

0 = 0

dy

dx= 0 (2.1)

2.2 Funcao identidadeSejay = I(x) = x.

y

x=

I(x+ x) I(x)x

=x+ x x

x =

x

x= 1

y = limx0

yx = 1

dy

dx= 1 (2.2)

Comody = f(x) x= 1 x= x, pondodx = dy implica quedx = x. Estae a diferencial da variavel independente quando y = f(x). Reescrevendo (1.2) como

dy =f(x) dx, a equivalencia (1.2) e verificada pela igualdade: dydx =f(x) =dy/dx.

O 1o membro da 1a igualdade e uma notacao da funcao derivada, enquanto que o 2o

membro da 2a igualdade, um quociente de diferenciais, como pode ser visto com oauxlio das duas equacoes acima:

de (2.1), dy = 0 dx= 0 = dydx

= 0 = dy/dx;

de (2.2), dydx

= 1 = dx/dx= dy/dx.


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Captulo

3

TOPICOS ESPECIAIS

3.1 Derivada logartmica

A derivada logartmica da funcao u, expressa como u

u , e usada para facilitar o

calculo de u valendo-se das propriedades do logaritmo natural e sua derivada.

Exemplos:

1) Produto de funcoes

Sejay = f(x) = u1(x)u2(x) . . . un(x), ui= 0,i, i= 1, . . . , n.Aplicando-se o logaritmo natural, vem:

ln y = ln f(x) = ln(u1u2. . . un)

Usando a propriedade do logaritmo do produto, obtemos:

ln y= ln u1+ ln u2+ + ln un

Derivando ambos os membros e valendo-se das formulas (2.2) e (2.2) resulta:

y

y =

u1u1

+u2u2

+ + u

n

un

y =u1u2. . . unu1

u1+

u2u2

+ + u

n

un

y

=u

1u2. . . un+u1u

2. . . un+ +u1u2. . . u

n

d

dx(u1u2. . . un) = u

1u2. . . un+u1u

2. . . un+ +u1u2. . . un (3.1)


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Captulo

4

EXERCICIOS

Calcule as derivadas das funcoes dadas nos exerccios 1 a 25, simplificando as

respostas sempre que possvel. Para nao sobrecarregar o texto, e deixado a cargo doleitor determinar o domnio das funcoes. Exemplos, y =

x x 0, ln x x >0 e

1/x x = 0. Assuma tambem que m, n N.

Exerccio 1)

a) y = 2x3 3x2 + 6x 5b) y = ax2 +bx cc)y = (a3x

3 a2x2 a1x+a0)8

Exerccio 2)

a) y = (12x2 +x

7)3

b) y = 1 +xc)y =

3

ax2 +bx+c

Exerccio 3)

a) y = 4

3x3 +x2 + 1

b) y = (x2 + 1)(x 1)c)y = (a+x)m(b+x)n

Exerccio 4)

a) y = (x+a)

a xb) y = x2

2x

c)y = xm 4

(b+x)n

Exerccio 5)

a) y = 1/x

b) y = k/(1 x)3c)y = 1/xn

Exerccio 6)

a)y = x2

2 (x+ 1)

b)y = (x+ 1)/(x 1)c)y =

x21 +x

Exerccio 7)

a) y = ax2 +bx+c

Ax2 +Bx+C

b)y = 2x2 +x+ 3

3(x2 + 5x+ 1)

c)y = 2x/(x2 + 1)

Exerccio 8)

a) y = x

1 xm

b)y =

x+ 1

x 1

c)y =

x2 + 1

3x 1Exerccio 9)

a) y = ln x

b)y = ln(ln x)

c)y = ln(x2 +ex)


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30 Lus Lopes & Eduardo Morais Copyright c 2004

Exerccio 70)

a) Seja y = Arctanh x. Calcule y pelo metodo apresentado na secao 3.1;

b) Seja f(x) = tanh x= e2x1

e2x+1 . Mostre que g(x) = f1(x) = Arctanh x=

= 12 ln1+x1x

. Calcule g (x) e verifique o resultado do item a).

Exerccio 71)

a) Mostre que a funcao y = f(x) = 2 +

4 x2 possui uma funcao inversax= g(y) no intervalo 0< x


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Captulo

5

SOLUCOES

Exerccio 1)Formulas usadas: (2.1) (2.2) e (2.2).

a) y = 2x3 3x2 + 6x 5y= (2x3 3x2 + 6x 5)

= (2x3) (3x2)+ (6x) (5)

= 2(x3) 3(x2)+ 6x 0= 6x2x 6xx+ 6x

= 6 (x2 x+ 1)

b)y = ax2 +bx cy= (ax2 +bx

c)

= (ax2)+ (bx) (c)

=a(x2)+bx 0= 2axx+bx = 2ax+b

c) y = (a3x3 a2x2 a1x+a0)8

u= a3x3 a2x2 a1x+a0

u = 3a3x2 2a2x a1

y = u8 =y = 8 u7u

y = 8(3a3x2 2a2x a1)

(a3x3 a2x2 a1x+a0)7

Sey = f(x) e um polinomio de graun:

y = anxn +an1x

n1 + +a1x+a0entao sua derivada y e dada por:

y = n anxn1 + + a1 (5.1)

Exerccio 2)a) y = ( 1

2x2 +x 7)3

u= 12

x2 +x 7 (5.1)

=u= x+ 1

y= u3 (2.2)

=y = 3u2u

y= 3 (x+ 1) ( 12

x2 +x 7)2

b)y =

1 +x

u= 1 +x u= 1

y= u12 =y = 12u

12 u

= 1

2

u=

1

2

1 +x

Usando tambem a formula (2.2):

y= (

1 +x) =

1 +x

2 (1 +x)

c) y = 3

ax2 +bx+c

u= ax2 +bx+c u= 2ax+b

y= 3

u(2.2)

=y =3u3 u

u

y =(2ax+b) 3

ax2 +bx+c

3 (ax2 +bx+c)


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32 Lus Lopes & Eduardo Morais Copyright c 2004

Exerccio 3)

a) y = 43x3 +x2 + 1u= 3x3 +x2 + 1 u= 9x2 + 2x

y = 4

u = [(2.2)]

y = (9x2 + 2x) 4

3x3 +x2 + 1

4 (3x3 +x2 + 1)

b)y = (x2 + 1) (x 1)

u= x2 + 1 v= x 1u= 2x v = 1

y= u v(2.2)

=y = u v+u v

y

= (x

2

+ 1) + 2x (x 1)= 3x2 2x+ 1

c) y = (a+x)m (b+x)n

u= a+x v= b+x u = v = 1

y= umvn = [(2.2) e (2.2)]

y = um(nvn1v) + (mum1u) vn

=n(a+x)m(b+x)n1 +m(a+x)m1(b+x)n

= (a+x)m1(b+x)n1[n(a+x) +m(b+x)]

Exerccio 4)

a) y = (x+a) a xu= x +a v=

a x

u = 1 v=

a x2(a x)

y= u v y =(x+a)

a x2(a x) +

a x

b)y = x2

2x

u= x2 v=

2x

u = 2x v =

2x

2x

y = u v=y = uv+uv

y = x2

2x

2x + 2x

2x

=5x

2x

2

c) y = xm 4p(b+x)nu= xm v= 4

p(b+x)n

u = mxm1 v =n (b+x)n1 4

p(b+x)n

4 (b+x)n

y = u v=y = u v+u v

y=xmn(b+x)n14

p(b+x)n

4(b+x)n+mxm14

p(b+x)n

=xm1(b+x)n1 4

p(b+x)n [(4m+n)x+4mb]

4 (b+x)n

Exerccio 5)

a) y = 1

x

y= x1 (2.2)

=y =1(x)11

=x2 =1x2

Usando tambem a formula (2.2):u= 1 e v= x

y =0 1

x2 =1

x2.

b)y = k(1 x)3

u= k v= (1 x)3

u = 0 v= 3(1 x)2(1 x)

=3(1 x)2

y = u

v =y = vu

uvv2

y= 3k

(1 x)4

c) y = 1

xn

y= xn =y =nxn1(x)

=nx(n+1)

= nxn+1



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Exerccio 6)

a) y = x2/2 (x+ 1)

u= x2 v= 2 (x+ 1)

u = 2x v = 2

y= u

v =y = 2 (x+ 1) 2x x

2 24 (x+ 1)2

= x (x+ 2)

2 (x+ 1)2

b)y =x+ 1

x 1u= x + 1, v= x 1 u = v = 1

y=u

v =y = (x 1) 1 (x+ 1) 1

(x 1)2

= 2(x 1)2

c) y = x2/

1 +x

u= x2 v=

1 +x

u = 2x v =

1 +x

2 (1 +x)

y=2x

1 +x x2

1+x

2(1+x)

1 +x

= x1 +x (4 + 3x)

2 (1 +x)2

Exerccio 7)

a) y = ax2 +bx+c

Ax2 +Bx +C

u= ax2 +bx+c u= 2ax+b

v= Ax2 +Bx +C v= 2Ax+B

v u= (Ax2 +Bx +C) (2ax+b)

u v= (ax2 +bx+c) (2Ax+B)

y = (aBAb)x2+2(aCAc)x+(bCBc)

(Ax2 +Bx +C)2

=

a bA B

x2 + 2

a cA C

x+

b cB C

(Ax2 +Bx +C)2

b)y =

2x2 +x+ 3

3(x2 + 5x+ 1)=

1

3

2x2+x+3

x2+5x+1

y =1

3

2 11 5

x2 + 2

2 31 1

x+

1 35 1

(x2 + 5x+ 1)2

= 9x2 2x 143 (x2 + 5x+ 1)2

c) y = 2x

x2 + 1

=

0x2 + 2x+ 0

x2 + 0x+ 1

y=

0 21 0

x2 + 2

0 01 1

x+

2 00 1

(x2 + 1)2

=2x2 + 2(x2 + 1)2

=2(x2 1)(x2 + 1)2

Exerccio 8)

a) y = x

1 xm

u= x

1 x u =

1

(1 x)2

y= um =y = m xm1

(1 x)m+1

b)y =

rx+ 1

x

1

u= x+ 1

x 1Ex.6b

= u = 2(x 1)2

y =

qx+1x1

2 x+1x1

(2)(x1)2 = 1(x1)2

qx1x+1

c) y =

x2 + 1

3

x 1

u=p

x2 + 1 v= 3

x 1

u= x

x2 + 1

x2

+ 1

v=3

x 1

3(x 1)

y =

3

x 1 xx2+1

x2+1

x2 + 1 3x1

3 (x1)3p

(x 1)2

= (2x2 3x 1)x2 + 1 3

p(x 1)2

3 (x2 + 1)(x 1)2



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A

LIMITES DE FUNCOES

Sendo a derivada de uma funcao definida como um limite, pareceu-nos conveniente tratar

do assunto a fim de preencher esta lacuna, dando a esta obra um car ater mais completo, semquerer, no entanto, dissertar profundamente sobre o tema, o qual pode ser visto com maisdetalhes na literatura de Analise Matematica e/ou Calculo I.

Vamos nos restringir, portanto, a definicao de limite de uma funcao e aos resultados uteisa uma melhor compreensao do presente manual.

A.1 Definicao de limite de uma funcao

A nocao de limite surge quando estamos interessados em saber como se comporta umafuncao f:I R R proxima de um ponto a / I. Para isso, tomamos uma pequenavizinhancaV centrada em a e de raio ,V = (a, a+ ). Contudo, avaliar f(x) emV significa que devemos restringirV aos pontos x Dom(f), ou seja, devemos tomarV

=I V ={x I: 0


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B

FORMULAS DE

INTEGRACAO

B.1 Definicao de integral indefinida

A antiderivada de uma funcaof e tambem chamadaintegral indefinida. O objetivo desteapendice e o de exibir algumas integrais indefinidas com o auxlio dos resultados descritosnesta obra. A definicao ao final do captulo 1 e reescrita a seguir.

Seja fdefinida em um intervalo abertoI,I R.

Definicao: F(x)=R

f(x) dxe a integral indefinida def emI,seF(x)=f(x), x, x I.

Teorema: Sef(x) = 0, x, x I, entaof e constante emI.

Demonstracao:Supondo que f nao seja constante emI, existem x1 , x2 I com x1 < x2 tal que

f(x1)=f(x2). Por hipotese,f(x) = 0, x, x[x1 , x2 ]. Portanto,f e contnua em [x1 , x2 ]e, pelo Teorema do Valor Medio, c(x1 , x2) tal que

f(c) =f(x1) f(x2)

x1 x2= 0 =f(x1) = f(x2) (absurdo!)

Teorema: Sef(x)=g(x), x, x I,entao k, k R tal quef(x)=g(x)+ k, x, x I.

Demonstracao:Fazendoh(x) =f(x) g(x) tem-se, por hipotese, h(x) =f(x) g(x) = 0, x, x I.

Do teorema anterior, k, k R tal que h(x) =k, x, x I.

Este resultado implica o seguinte

Teorema: SeF(x)=R

f(x) dx entaoF(x) + C, C R, e a antiderivada mais geral def.

Demonstracao:SejaG(x)=F(x) outra antiderivada de f emI. Por definicao, F(x) = G(x) =f(x).

Portanto, do teorema anterior, C, C R tal que G(x) =F(x) +C, x, x I.


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Copyright c 2004 Lus Lopes & Eduardo Morais 61

B.2 Funcoes logaritmo e exponencial

1) y= ln|u| Ex.29

= y = u

uZ du

u = ln|u| +C

2) y= u ln uEx.10b

= y = (1 + ln u) uZ

ln u du= u ln u u+C

3) 1u2 a2 =

12a (u a)

12a (u+a)

Z du

u2 a2 = 1

2 a

Z du

u a 1

2 a

Z du

u+a

= 12 a

`ln|ua| ln|u+a|+C

= 12 a

lnuau+a

+C, u=a= 0

4)

Z du

a2 u2 = 12 a

lnuau+a

+C

= 12 a

lnu+aua

+C

5) y = au(2.2)

= y = au (ln a) uZ

au du= au

ln a+C

6) y = eu(2.2)

= y = eu uZ

eu du= eu +C

7) y = u eu = y = (1 +u) eu uZ

u eu du= eu (u 1) +C

B.3 Funcoes trigonometricas

Identidades trigonometricas:

a.1) (1 + tan2 u = sec2 u) (sin2 u + cos2 u = 1) (cot2 u + 1 = csc2 u)

a.2) cos2u= cos2 u sin2 u= 1 2 sin2 u= 2 cos2 u 1 = 2sec2 u

1 =1 tan2 u

1 + tan2 u

a.3) tan( ) = tan tan 1 + tan tan

[ tan 0 = 0tan() =tan ; tan 4

= 1]

8) y= cos u(2.2)

= y =sin u uZ

sin u du=cos u+C

9) y= sin u(2.2)

= y = cos u uZ

cos u du= sin u+C

10) v= cos u = dv=sin u duZ

tan u du=Z

sin ucos udu = ln|cos u| +C

= ln|sec u| +C

11) v= sin u = dv= cos u duZ cot u du=

Z cos u

sin udu= ln|sin u| +C



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REFERENCIAS

BIBLIOGRAFICAS

Avila, G. 1979. Calculo Diferencial e Integral III. LTC.

Leithold, L. 1994. O Calculo com Geometria Analtica. Vol. 1. HARBRA.

Lima, E. L. 1982. Curso de Analise. Vol. 1. Projeto Euclides.

Lopes, L. 1992. Manual de Trigonometria. EDC.

Lopes, L. 1999. Manual das Funcoes Exponenciais e Logartmicas. Interciencia.


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Suas observacoes e descobertas


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Aos nossos leitores

Os autores gostariam de conhecer sua opiniao sobre a apresentacao e o conteudodeste manual. Escreva para:

Lus LopesPraia de Botafogo, 440 Sala 2401Botafogo Rio de Janeiro, RJ22250040

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Os mesmos enderecos podem ser utilizados para a solicitacao de outros exemplarese ttulos.


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Outras obras ja publicadas por Lus Lopes:

Manual das Funcoes Exponenciais e Logartmicas

Manual de Inducao Matematica

Manual de Progressoes

Manual de Sequencias e Series

Manual de Trigonometria

Eainda:

E Divertido Resolver Problemas (com Josimar Silva)

Amostras do conteudo de todos os ttulos estao disponveis para download em:

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