alvarado douglas - manual analisis de pruebas de presion en pozos

Anlisis de Pruebas de PresinDictado por: PhD. Douglas Alvarado

Del 06 al 10 de Septiembre de 2004 Instalaciones del Hotel Maruma Maracaibo Venezuela.

ANLISIS MODERNO DE PRUEBA DE POZOS CONTENIDO

CAPTULO 1: Introduccin Resea Histrica. Mtodos Convencionales. Mtodo de Curva Tipo. Aplicacin del Mtodo de Curva Tipo. Anlisis de Pruebas de Buildup. Ecuacin de Flujo. Yacimientos Fracturados. Nuevos Avances. Anlisis Computarizado. Anlisis Actual. Conclusiones.

CAPTULO 2: Anlisis de Pruebas de Pozos. Objetivos. Aplicacin del Anlisis de Presiones. Bases Matemticas para el Anlisis de Pruebas de Presin. Solucin de la Lnea Fuente en su forma adimensional. Anlisis semilog de una prueba de flujo

(Drawdrown). Solucin a la ecuacin de flujo radial para fluidos de compresibilidad constante.

CAPTULO 3: Prueba de Interferencia. Curva tipo de la solucin de la Lnea Fuente. Bases tericas. Solucin grfica. Curva tipo doble presin y derivada. Mtodo de ElKhatib. Caso de prueba de interferencia cuando se cierra el pozo activo luego de haber producido a tasa de flujo constante. Tratamiento de Ramey.

CAPTULO 4: Bases tericas de las prueba de pozos. Principios de Superposicin en espacio. Problema transformado. Superposicin en Tiempo. Justificacin del

procedimiento empleado para aplicar el principio de superposicin en tiempo. Prueba de doble tasa. Caso especial de la prueba de doble tasa. Mtodo MDH. Mtodo de Horner. Efecto de Llene. Efecto de Dao. Modelos para interpretar el Skin. Prueba de flujo para un pozo localizado cerca de una falla. Caso de Restauracin de Presin de un pozo cerca de una falla. Aplicacin del Principio de Superposicin para modelar lmites de rea de drenaje cuadradas.

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CAPTULO 5: Anlisis de Drawdown en forma convencional. Prueba de restauracin de presin en su forma convencional. Derterminacin de presin promedio del yacimiento al momento del cierre, usando pruebas del Buildup en yacimientos volumtricos. Mtodo MBH. Mtodo de Dietz. Mtodo de Ramey y Cobb. Mtodo de Muskat. Mtodo de Arp y Smith.

CAPTULO 6: Generalizacin de Anlisis de Pruebas de Pozos. Ecuacin bsica de pruebas de restauracin de presin. Mtodo de Muskat extendido. Mtodo de MillerDyes-Hutchinson. Mtodo de Horner.

CAPTULO 7: Revisin crtica de pruebas de presin para pozo en yacimientos de gas. Principios fsicos. Prueba tipo convencional. Prueba isocronal. Pruebas transitorias.

CAPTULO 8: Mtodo de curva tipo. Aproximaciones de la solucin de Agarwal et al. Aplicacin prctica del mtodo del Curva Tipo. Curva tipo de Mc Kinley. Curva tipo de Earlougher y Kersch. Curva tipo de Gringarten et al. Tiempo de Agarwal. Mtodo de la curva tipo doble de presin y derivada: Mtodo de Bourdet et al. Procedimiento de aplicacin de la Curva Tipo por el mtodo de Gringarten y Bourdet.

CAPTULO 9: Anlisis de pruebas de pozos. Comportamiento de yacimientos fracturados hidrulicamente. Teria de flujo Transient. Curvas Tipo para fracturas sin efecto de dao y de llene. Mtodos convencionales. Comienzo y final de Flujo Bilineal. Perodo de flujo lineal. Mtodo modificado de Milheim-Cichowicz. Factor de dao y efecto de llene.

CAPTULO 10: Yacimiento naturalmente fracturados. Modelos convencionales. Modelo de Warren y Root. Mtodo de anlisis convencional para Buildup. Mtodo

de solucin usando Curvas Tipo. Modelo de flujo interporoso Transient. Procedimientos. Deduccin de la ecuacin de difusividad para yacimientos naturalmente fracturados.


Modelo de Bourdet y Gringarten. Modelo Transient . Tratamiento de la derivada. Derivada del modelo de Bourdet y Gringarten.

CAPTULO 11: Principio de Superposicin en tiempo. Tasa de Flujo medida en la superficie. Analisis de tasa mltiple. Deconvolucin. Mtodos aplicados. Teria de Convolucin. Antecedente a la Teora MLT. Caractersticas de la Prueba MLT. Pruebas de pozos para yacimientos multiestratos.

CAPTULO 12: Pozos horizontales. Modelos matemticos. Modelo de Clonts y Ramey. Definicin de variables adimensionales. Anlisis de Curva Tipo. Extensin para pozos con mltiples hoyos de drenaje. Uso de las funciones Fuente y de Green para resolver problemas de flujo no continuo en yacimiento. Funciones instantneas de Green y de Fuente. Mtodo de Neumann. Mtodo de Odeh y Babu. Modelo de Daviau, Mounronval, Bourdarot y Curutchet. Pozo horizontal en un yacimiento homogneo con lmites a presin constante. Modelo de Goode y Thambynayagam. Prueba de restauracin de presin en yacimiento infinitos. Efecto Skin. Prueba de restauracin en yacimientos finitos. Mtodo de Ozkan y Raghavan. Mtodo de Chow. Factor pseudo-skin. Teora de Kuchuk, Goode, Brice, Sherrard y Thambynayagam.

CAPTULO 13: Consideraciones tericas. Preparacin de la data. Anlisis de

las

pruebas. Metodologa de anlisis e interpretacin. Carga de datos. Grfico de diagnstico. Regresin Lineal. Anlisis de Curva Tipo. Regresin no- lineal. Validacin de la prueba. Modelo de produccin a tasa de flujo constante en

un yacimiento circular finito. Yacimiento multicapa. Commingled Nuevos Avances.


Programa de Adiestramiento 2004

CAPTULO 1 INTRODUCCIN Y RESEA HISTRICA

Los primeros elementos de medicin de presiones registraban un solo punto de presin. Los instrumentos de medicin continua de presin fueron introducidos en 1930. El mtodo de Recobro en Hidrologa (anlogo al mtodo de Horner) fue introducido por Theis3 en 1935. En 1937, Muskat4

present un mtodo para determinar presin esttica P del rea de

drenaje en pozos petroleros, es un mtodo semilog de ensayo y error. En 1949, Van Everdingen y Hurst5, presentaron un estudio clsico de anlisis de pruebas de pozos, y desarrollaron una solucin al problema pozo-yacimiento con efecto de llene, e introdujeron la primera Curva Tipo. Miller, Dyes y Hutchinson6, (MDH), presentaron en 1950, un mtodo basado en soluciones presentadas por Van Everdingen y Hurst5, donde establecen que (pws) deba ser una funcin lineal del tiempo de cierre, log t. Presentaron grficos para determinar presin esttica del yacimiento bajo condiciones de lmite exterior cerrado y a presin constante e investigaron y propusieron un mtodo para analizar presiones para flujo multifsico. Horner7 , en 1951 present un mtodo para analizar pruebas de restauracin de presin y determin que un grfico de la presin de fondo de cierre, pws,, deba ser una funcin lineal del log (t+t)/t. Horner7 identifica fallas geolgicas y presenta el primer mtodo para determinar presin esttica del yacimiento, usando informacin del transient. En 1953 Van Everdingen y Hurst8,9, introducen el efecto de dao (S). En 1955 Perrine10, present una revisin de los trabajos de Horner y MDH, y propuso un nuevo mtodo para anlisis de pruebas de presin para flujo multifsico. Ms tarde Martin11 estableci las bases tericas para este mtodo. Matthews, Brons y Hazebroek12 (MBH) presentaron en 1954 un estudio donde utilizaron el principio de superposicin en espacio, para determinar el

comportamiento de presin de pozos localizados dentro de reas de drenaje rectangular. Desarrollaron adems un mtodo para determinar presiones promedio de rea de drenaje

( p) el cual hace uso de informacin Transient de presin y dede Horner.

la presin extrapolada, (p*)

Este mtodo es uno de los ms utilizados actualmente para determinarPhD. Douglas Alvarado

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presin promedia del yacimiento. Al-Hussainy, Ramey y Crawford13 introdujeron en 1966 el concepto de la funcin pseudo presin, m(p), para gases la introduccin de esta funcin removi la suposicin de que los gradientes de presin tenan que ser pequeos para obtener una ecuacin de flujo de gas en yacimientos, defini condiciones de aplicabilidad de estudios presentados anteriormente y extendi la teora de anlisis de pruebas de presin de lquidos a gases utilizando la funcin m(p). En 1968, Earlongler, Ramey, Miller y Mueller, aplicaron el principio de Superposicin en espacio para obtener la solucin del problema de un pozo produciendo a tasa de flujo constante, localizado en diferentes posiciones dentro de un rea de drenaje rectangular. Mostraron como usar el problema de un pozo en el centro de un cuadrado para general soluciones para reas de drenaje rectangular. En 1970 Agarwal, Al-Hussainy y Ramey14 introdujeron el anlisis de los perodos iniciales de flujo o restauracin de presin mediante el Mtodo de la Curva Tipo, para un pozo localizado en un yacimiento infinito con efecto de llene y efecto de dao. En el mtodo de Curva Tipo, el problema pozo-yacimiento se formula matemticamente de acuerdo a las leyes fsicas del flujo de fluido en medios porosos y aplicando determinadas condiciones iniciales y de contorno. Las ecuaciones resultantes se resuelven mediante mtodos del anlisis clsico matemtico (transformacin de Laplace, funciones de Green, etc.) o mediante tcnicas del anlisis numrico (diferencias finitas, elementos finitos); luego, la solucin se dibuja en un papel (Curva Tipo) y se trata de ajustar los datos reales dibujados en un papel semi-transparente (Grfico de Campo) a la solucin terica. McKinley15 en 1971 y Earlougher y Kersch16 en 1974 tambin han presentado modelos de Curva Tipo para el problema del pozo con efecto de llene y de dao. El modelo de Mc Kinley15 fue desarrollado para pruebas de restauracin de presin y es un modelo que utiliza diferencias finitas. Fue desarrollado para un valor determinado de la constante de difusividad y para condiciones de contorno de presin constante en el lmite exterior. Tal como fue formulado originalmente, no permite un anlisis cuantitativo del efecto de dao. La idea de que todas las curvas convergen a tiempos muy pequeos a una sola curva va a usarse posteriormente en Curvas Tipos ms modernas (Gringarten, et al .17, Bourdet, et al .18). Una de las principales ventajas de la Curva Tipo de Earlougher y Kersch16 es haber reducido los parmetros de las curvas a uno solo: CDe2S, estePhD. Douglas AlvaradoESP Oil_Copyright_01-P35/The document is property of ESP Oil Consultants, any reproduction is strictly forbidden and will be prosecuted

tratamiento va a ser usado posteriormente en las Curvas Tipo ms modernas.

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En 1979 Gringarten et al.17 introducen una Curva Tipo para yacimientos homogneos con condicin de contorno interior en el pozo de efecto de llene y efecto de dao y para yacimientos de fractura inducida. Matemticamente Gringarten et al.17

modificaron la

solucin de Agarwal et al. en el campo de Laplace e invirtieron esta solucin usando el algoritmo de Sthefest. Tradicionalmente se utilizaban mtodos clsicos del anlisis matemtico para determinar la transformada inversa (formula de Mellin). La solucin de Gringarten et al.17

, es una solucin mas completa y elaborada.

Algunos puntos

resaltantes de esta solucin son los siguientes: La solucin, pwfD, es una funcin de

tD y del parmetro CDe2S. CD

1. En la Curva Tipo se indican lmites de duracin del efecto de llene para cada valor de CDe2S 2. Se determinan formas cualitativas y valores cuantitativos tpicos de las curvas de presin adimensional, pwfD, contra tiempo adimensional, tD/CD , y de acuerdo al valor del parmetro CDe2S fracturados. 3. Determina sobre la Curva Tipo, el lugar geomtrico del comienzo de la lnea recta semilog, e incluyen una escala para cerciorarse de que el tiempo de flujo (grfico log-log) para pozos daados, no daados, estimulados y

4. antes de una prueba de Buildup18

es correcto para analizar las presiones a

determinados tiempos de cierre, con la curva Tipo de flujo. Bourdet et al. en 1982, introducen el mtodo de la derivada para anlisis de presiones.18

El problema de las Curvas Tipo, anteriormente mencionadas, consista en respuesta no nica Bourdet et al. , aun cuando presentan una Curva Tipo de flujo, compuesta de dos familias de curvas de parmetros CDe25, esto es: la Curva Tipo log-log de Gringarten et al. y la derivada de la Curva de Tipo de Gringarten et al. multiplicada por (tD/CD), presentan tcnicas computacionales para tratar las pruebas de flujo y las pruebas de restauracin de presin en forma separada; de tal forma que la derivada en el drawdown y en pruebas de restauracin de presin representan derivadas con respecto al ln tD y al ln(tD+tD)/tpD, respectivamente. Este mtodo conjuntamente con la informacin geolgica, geofsica, de registros, etc., constituye la tcnica ms importante de diagnstico en el anlisis de interpretacin de pruebas de pozos. Se han presentado bibliotecas de respuestas tpicas basadas en presiones y fundamentalmente en la derivada de presin que permiten identificar el sistema pozo-yacimiento bajo anlisis y en base a ciertos comportamientosPhD. Douglas AlvaradoESP Oil_Copyright_01-P35/The document is property of ESP Oil Consultants, any reproduction is strictly forbidden and will be prosecuted

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tpicos registrados por la derivada de presin. Las tcnicas de medicin de presin se mejoraron notablemente con la introduccin del medidor electrnico de presin en 197019. El medidor electrnico es de mejor precisin y resolucin que los medidores mecnicos tipo Amerada que utilizan el tubo Bourdon; de tal forma, que las mediciones se pueden efectuar a intervalos de pocos segundos, permitiendo tomar hasta decenas de miles de puntos que van a contribuir a identificar el sistema pozo-yacimiento durante el proceso de anlisis e interpretacin de la prueba. Nuevas tcnicas del anlisis matemtico y nuevas aplicaciones numricas (funciones de Green, Algoritmos de Sthefest, diferencias finitas, elementos finitos) han permitido obtener soluciones particulares del problema general, con valor en el contorno del sistema pozoyacimiento, entre ellos citaremos: solucin al problema de fractura de conductividad infinita20, problema del pozo de conductividad finita21, modelo de pozo multiestrato22, solucin al problema de pozos horizontales23,24. Los avances en Hardware para instrumentos de medicin y registro de presiones in situ junto al pozo, la introduccin de las computadoras personales de gran capacidad de memoria y velocidad de procesamiento de datos y de clculos, hizo accesible al ingeniero programas y mtodos de anlisis reservados solamente para grandes computadoras y que podan aplicarse durante el desarrollo de las pruebas en sitio. A partir de inicios de la dcada pasada (1983)25,26 se comienza a efectuar mediciones simultneas de presin y tasa de flujo durante la etapa transient. Esto promete ser un campo de intensa investigacin tecnolgica en cuanto al desarrollo de instrumentos de medicin y tcnicas de anlisis, mediante el uso de Convolucin y Deconvolucin. De un anlisis independiente en los aos 50 cuando solo se aplicaban los mtodos convencionales de anlisis, se ha pasado progresivamente a un anlisis integrado sinrgico, en donde la informacin geolgica, geofsica, petrofsica, de registros de pozos, de datos de completacin, tipos de pozos, datos de PVT, etc. aportan su cuota de descripcin y de informacin para obtener el modelo final que caracteriza al sistema pozoyacimiento.

MTODOS CONVENCIONALES Los mtodos convencionales se refieren aquellos mtodos descritos en la literatura en los aos 50 esto es: Los mtodos de Horner7, MDH6, Muskat4 y MBH12. Estos mtodosPhD. Douglas AlvaradoESP Oil_Copyright_01-P35/The document is property of ESP Oil Consultants, any reproduction is strictly forbidden and will be prosecuted

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utilizan en general los tiempos de cierre transient (Horner, MDH, MBH) o los tiempos de cierre afectados por los lmites, como el mtodo de Muskat4 de ensayo y error, para determinar presin esttica del rea de drenaje, p . Los mtodos de Horner7 y MDH6, no toman en cuenta en el anlisis las primeras presiones recogidas en el pozo y solo son vlidos para analizar una prueba si se puede obtener la lnea recta semilog apropiada en un grfico de pws contra (t+t)/t. Muchas veces es difcil obtener la lnea recta correcta. Un grfico semilog puede mostrar varias lneas rectas, a diferentes tiempos de la prueba, y el problema seria determinar la recta semilog apropiada. Por ejemplo, un pozo daado con efecto de llene alto puede hacer desaparecer por largo tiempo de cierre la lnea recta semilog. As mismo, un pozo fracturado, se comporta en una forma14

caracterstica (pendiente en papel log-log) pero no sigue a cortos tiempos la lnea recta semilog. No fue sino hasta 1970 cuando se introdujo la Curva Tipo de Agarwal et al. ,

que tomaba en cuenta y utilizaba los primeros tiempos de flujo o de cierre, y de cuyo anlisis podra inferirse la naturaleza del sistema pozo-yacimiento y los valores numricos de las variables desconocidas o parmetros. Esto lo discutiremos en la prxima seccin.

MTODOS DE CURVA TIPO En general, una Curva Tipo es una solucin a un problema con valor en el contorno relacionando, generalmente variables en forma adimensional, graficadas en un papel de caractersticas determinadas, normalmente log-log. En 1970 Agarwal et al.14

introducen una Curva Tipo para el modelo de pozo produciendo

a tasa de flujo constante, con efecto de llene, CD, y efecto de dao, S. Casi al mismo tiempo se presentaron las Curvas Tipos de McKinley15 y de Earlougher y Kersch16. Durante la mayor parte de la dcada del 70 se usaron estas Curvas obtenindose normalmente respuestas diferentes para un determinado problema. Sin embargo, se

sugera el uso el mtodo semilogartmico para pruebas de flujo, y del mtodo de Horner para pruebas de restauracin de presin con el objeto de comparar y verificar respuestas numricas2. En esa dcada no se haba generalizado el uso de computadora para hacer el anlisis, no se haca un anlisis integrado con informacin proveniente de diversas fuentes de informacin y de ingeniera, y normalmente se utilizaba medidores de presin mecnicos. Las Curvas Tipo de Agarwal et al.14

, desarrolladas para pruebas de flujo, se

utilizaban tambin para analizar pruebas de restauracin de presin usando unaPhD. Douglas AlvaradoESP Oil_Copyright_01-P35/The document is property of ESP Oil Consultants, any reproduction is strictly forbidden and will be prosecuted

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justificacin dada por Agarwal et al.14. Sin embargo, no se verificaba durante la prueba la influencia del tiempo de produccin, especialmente cuando este es pequeo durante el anlisis de la prueba. La Curva tipo de Gringarten et al.17 introducida en 1979, representa un paso muy

importante dentro del anlisis de pruebas de pozos. Por primera vez se presentaba una Curva tipo con indicacin del final del efecto de llene, el comienzo de la lnea recta semilog y cualitativamente, y cuantitativamente se poda obtener indicacin sobre la condicin del pozo. El problema de unicidad en la solucin segua presente y los mismos autores recomendaban efectuar el anlisis conjuntamente con el mtodo semilog o el mtodo de Horner7. Una de las tcnicas ms importantes del anlisis de las pruebas de presiones fue introducida por Bourdet et al.18, el mtodo de la derivada, (1983). Este mtodo toma particularmente ventaja de la gran sensibilidad de la derivada para detectar caractersticas y comportamiento caracterstico del sistema pozo-yacimiento, la obtencin de la derivada con respecto al lntD o ln( tD + tD)/ tD representa la pendiente del mtodo semilog. La mayora de las tcnicas de diagnstico actuales estn basadas en el mtodo de la derivada. Esto permite hacer un ajuste de presin ms preciso y efectuar con ms

confiabilidad el anlisis y la interpretacin de la prueba de presin. Una de las debilidades del Mtodo de la Curva Tipo que incluyen al efecto de llene, es que consideran a este constante. Mediciones experimentales25,26 soportan la conclusin de que el coeficiente de efecto de llene no es constante en general. Sin embargo, no ha aparecido en la literatura una forma directa para reconocer cuando una prueba en un sistema pozo-yacimiento especfico produce a efecto de llene constante o no. Muchas soluciones para problemas con valor en el contorno (boundary value problem) diferentes al problema clsico de pozo con efecto de dao y llene han aparecido en la literatura. Durante la dcada pasada se desarrollaron los modelos de doble porosidad27,28, doble permeabilidad27,28, yacimiento de fractura de conductividad infinita20, fracturas de conductividad finita21, penetracin parcial27,28, pozos horizontales23,24. Adems, se

introdujeron las mediciones simultneas de tasa de flujo y presin que permiti el uso de los mtodos de Convolucin y de Deconvolucin. Este tratamiento permite hacer el

anlisis de pruebas de pozos afectados con efecto de llene, removiendo la suposicin de efecto de llene constante. En la actualidad el analista dispone de una biblioteca de

Curvas Tipos con caractersticas especficas para numerosos problemas con valor en el Contorno.PhD. Douglas AlvaradoESP Oil_Copyright_01-P35/The document is property of ESP Oil Consultants, any reproduction is strictly forbidden and will be prosecuted

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APLICACIN DEL MTODO DE CURVA TIPO. Ecuacin de Flujo

2 pD 1 pD pD = 2 t D rD rD rDCondiciones de Contorno InternasCD dp wfD pD rD dtD rD r =1

(1-1)

(1-2)

D =1

p 2 kh ( pi p wf ) = p D SrD r D q D

rD =1

(1-3)

Condicin de Contorno Exterior

p D ( rD , t D ) = 0 lim rD

(1-4)

Condicin Inicial

p (rD , tD ) = 0

para

tD = 0

(1-5)

Anlisis de pruebas de buildup con la Curva Tipo: Para Drawdown: t kh (pi pwf ) = pD CD 1412qB . D

(1-6) t)

graficamos :

(pi - pwf

vs

Para Buildup: tp t t kh (pi pws ) = pD CD + C D pD C D 1412qB . D D D

(1-7)

ecuacin para una prueba de restauracin (Buildup) en el momento de cerrar el pozo:

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kh ( pi pwf ) = pD tpD C 141.2qB D

(1-8)

restando miembro a miembro la ecuacin (1-8) menos la ecuacin (1-7), obtenemos:

kh ( pws pwf ) = pD tD + pD tpD pD tpD + tD C C C 141.2qB D D CD D que sucede si?

(1-9)

tp tpD tD pD D pD + 0 CD CD CD

(1-10)

Entonces la ecuacin (1-9). Puede escribirse en forma anloga a la ecuacin (1-6), es decir:pDBU = t kh p ws pwf = pD D 1412qB . CD

(

)

(1-11)

La prueba de Buildup podra analizarse con la curva tipo de Drawdown pero debe graficarse: pws - pwf vs . t

Cundo se cumple la ecuacin (1-10)? 1. Cuando tp >> t . 2. Para pozos daados. 3. Dado u tp , cuando t es relativamente pequea y hasta un t , tal que se cumpla la ecuacin (1-10). pwfD es funcin de tD/CD y el parmetro es CDe2S . Se indica en la curva tipo lmite de duracin del efecto de llene puro como funcin de Curva Tipo de Gringarten et al. del parmetro CDe2S, se establecen formas cualitativas y valores cuantitativos para pozos daados, no - daados, estimulados y fracturados del parmetro CDe2S, y se determina el lugar geomtrico del comienzo de la lnea recta semilog .PhD. Douglas AlvaradoESP Oil_Copyright_01-P35/The document is property of ESP Oil Consultants, any reproduction is strictly forbidden and will be prosecuted

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Se incluye una escala de determinacin de validez de tiempo de cierre, t , para usar la Curva de Tipo de (Drawdown), para analizar pruebas de restauracin de presin. El mtodo de la derivada de la Curva Tipo Bourdet et al18. (1983), reduce

considerablemente el problema de la unicidad de la solucin. Es una curva de doble cotejo del parmetro CDe2S. Para la familia de curvas de presin y derivadas, presenta tcnicas de computacin diferentes para las pruebas de restauracin de presin: Drawdown, derivada con respecto a ln t. Buildup, derivada con respecto a ln ( t + t) / t .

Este el mtodo Standard, base del anlisis actual de pruebas de presin.

SOLUCIN TRANSIENT. Kuchuk y Ayestaran26

(1983) y Meunier, Wittmann y Stewart

25

(1985), introdujeron el

anlisis y la tcnica de medicin simultnea de presin y tasa de flujo durante el perodo transient de una prueba de presin. Los datos de presin y de flujo se analizan usando Convolucin y Deconvolucin Esta tcnica promete ser un campo intenso de investigacin durante los prximos aos.

OTRAS SOLUCIONES: Muchas soluciones diferentes al problema clsico del pozo con efecto de llene y Skin han aparecido en la literatura; por ejemplo:

Para Yacimiento Naturalmente Fracturados. Warren y Root34 (1963). Mavor y Cinco42 (1979). Bourdet y Gringarten35 (1980) De Swaan33 (1976). Bourdet et al30. (Mayo 1983) Bourdet et al30. (Octubre 1983).

Para Yacimientos Hidrulicamente Fracturados.PhD. Douglas AlvaradoESP Oil_Copyright_01-P35/The document is property of ESP Oil Consultants, any reproduction is strictly forbidden and will be prosecuted

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Russell y Truit 43 (1964). Gringarten, Ramey y Raghavan20 (1975). Cinco, Samaniego y Dominguez32 (1978). Agarwal, Carter y Poolen 36 (1979). Cinco y Samaniego37 (1981).

Para Pozos Horizontales Clonts y Ramey 38 (1986). Ozkan, Raghavan y Joshi 39 (1989). Goode y Thambynayagam 40 (1987). Odeh y Babu 41 (1990).

NUEVOS AVANCES: Equipos y Herramientas de Medicin * Medidor electrnico de presin (1970). * Registro de presin en la superficie. * Medicin simultnea de presin y tasa de flujo (1983). * Mediciones de nivel de lquido mediante onda de sonido. Computadoras * Hardware. Computadoras personales PC Notebook, Handbook. * Software. Programas computacionales para anlisis e interpretacin de pruebas de pozo.

Matemticas y Anlisis Numrico Transformacin de Laplace. Funciones fuentes y funciones de Green (Gringarten48 , 1973). Series de Fourier. Diferencias finitas. Algoritmo de Sthefest 45 (1970). Azari - Wooden - Gaver (algoritmo AWG, Wooden, Azari y Soliman, OGJ 1992).

Programa de regresin no - lineal, mnimos cuadrados: Levenberg (1944), Marquard (1963). Rosa y Horner 44 (1983).PhD. Douglas AlvaradoESP Oil_Copyright_01-P35/The document is property of ESP Oil Consultants, any reproduction is strictly forbidden and will be prosecuted

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Vieira y Rosa

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(1993).

Inteligencia Artificial, Mcvay et al. 58 (1988). Aplicacin de Redes Neuronales , Al - Kaabi y Lee 49 (1990).

Anlisis Computarizado Un programa de anlisis e intepretacin de pruebas de pozo debe tener los siguientes modelos integrados: 1. Un acceso de lectura, anlisis, muestreo y ayuda visuales para representar los datos. 2. Un modelo de regresin lineal , para determinar k , m , , , C , p* , S de los mtodos semilog (pruebas de flujo y de restauracin de presin ) y del anlisis log - log , anlisis cartesiano , grfico de p ws vst , etc. (anlisis especializado).

3. Un modelo de solucin por Curva Tipo, debe disponer de una biblioteca o archivos de modelos. El modelo trabaja en la forma tradicional de ajuste por Curva Tipo, u basado en el modelo seleccionado para generar curvas de

opcionalmente,

respuestas de presin, usando las Curvas Tipo (solucin al problema) y tomando como valores de los parmetros incgnitas aquellos obtenidos de 2. Debe tener la opcin para modificar los valores de los parmetros comparacin con la prueba de campo. y de una representacin grfica de

4. Un modelo de regresin no - lineal que incluya un anlisis estadstico de la bondad de ajuste (intervalos de Confianza). 5. Un modelo de verificacin y simulacin de la prueba. 6. Un modelo de salida o reporte de resultados en forma grfica y tabulada.

Entre los percusores de estos nuevos avances, se mencionan: Pioneros: Jargon y van Poolen 52 (1965). Jahns 51 (1966). Coats et al.50 (1970). Earlougher y Kersch 46(1972).

Modernos : Padmanabhan 47 (1976).PhD. Douglas AlvaradoESP Oil_Copyright_01-P35/The document is property of ESP Oil Consultants, any reproduction is strictly forbidden and will be prosecuted

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Rosa y Horner 44 (1983). Horner, Perrine y Barua 53 (1986).

ANLISIS ACTUAL El mtodo de la Curva Tipo en forma manual ya casi no se usa, ante el advenimiento del computador, como instrumento de rutina en el anlisis de pruebas de pozos. Las

variedades limitantes del clculo manual, incluyen clculo lento y poco preciso durante el procesamiento de las varias etapas de anlisis, especialmente durante la verificacin y simulacin de la prueba, hacen que el mtodo manual tienda a desaparecer. Las mismas operaciones y clculos pueden ser efectuadas por el programa de anlisis, a mucha mejor precisin y en un tiempo relativo mnimo.

Mtodo anlisis actual incluye: 1. Uso de programa comercial de anlisis de presiones.

2. El uso de regresin lineal manual y la aplicacin del mtodo de Curva Tipo tradicional manual pueden introducir errores apreciables en el anlisis e interpretacin de pruebas de presin. 3. Desde el punto de vista matemtico el objetivo sigue siendo resolver un problema con valor frontera (Boundary Value Problem). Una vez obtenida la solucin, analizarla,

determinar perodos de flujo (anlisis especfico). Estudiarla (problema de unicidad de la solucin) y en la prctica resolver el problema inverso.

4. La aplicacin del clculo manual, esta en desuso. Clculo lento y poco preciso y la introduccin del computador, PC han hecho casi desaparecer el anlisis manual. En especial durante la simulacin y verificacin de la prueba. El mtodo manual consume mucho tiempo. 5. Sin embargo, debido a las limitaciones en cuanto a nmero de soluciones (modelos matemticos) de los programas comerciales, siempre es necesario una buena preparacin (background), para poder efectuar el anlisis e interpretacin de la pruebas de pozos. 6. Se debe utilizar toda la informacin del sistema pozo - yacimiento disponible : Historia de produccin y de pruebas. Datos de completacin del pozo.PhD. Douglas AlvaradoESP Oil_Copyright_01-P35/The document is property of ESP Oil Consultants, any reproduction is strictly forbidden and will be prosecuted

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Datos de PVT. Datos e informacin de geologa. Datos de geofsica. Informacin de registro de formacin. Datos petrofsicos. 7. Es recomendable el uso de Convolucin y Deconvolucin, cuando el efecto de llene no sea constante. Esta es la principal limitacin de las curvas tipos desarrolladas hasta ahora (CD =constante). 8. Muchas veces, aun con informacin del sistema conocido y la aplicacin de programas comerciales, se presentan resultados ambiguos en el anlisis e interpretacin de la prueba, y slo la aplicacin de un anlisis integrado, podra reducir o eliminar el problema de unicidad de la solucin e identificar aproximadamente el modelo pozo-yacimiento, conocida la solucin al problema, p = p (t) (problema inverso). 9. El uso de herramientas de cierre en el fondo del pozo ha permitido usar el modelo de Curva Tipo, de coeficiente de llene constante, en forma bastante aceptable. 10. Los sistemas expertos y las redes neurales, es unos de los campos de investigacin ms recientes en el anlisis e interpretacin de pruebas de pozos. Algunos mtodos: Mtodo estadstico de Watson et al.60 (1988) Mtodo basado en reglas de Allain y Horne 59 (1990) Redes neuronales de Al - Kaabi y Lee, 49 (1990) La primera aplicacin de estos mtodos es la identificacin del sistema pozo-yacimiento (solucin del problema inverso).

CONCLUSIONES

1. El uso de la computadora y de programas especializados es indispensable y necesario en el anlisis e interpretacin de pruebas de presin. 2. Es muy importante la preparacin tcnica y acadmica del usuario, durante la toma de decisiones en el anlisis e interpretacin de pruebas de presin. 3. Para la determinacin del modelo matemtico se hace necesario un anlisis integradoPhD. Douglas AlvaradoESP Oil_Copyright_01-P35/The document is property of ESP Oil Consultants, any reproduction is strictly forbidden and will be prosecuted

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de diversas reas de ingeniera: geologa, geofsica, registros de formacin, propiedades PVT, etc. 4. Anlisis log - log y anlisis de diagnstico, se puede determinar k , m , C , , etc., mediante anlisis especializado de regresin lineal, identificando condiciones de contorno , tanto en el pozo como en los lmites del yacimiento. consisten en: * Anlisis semi - log: Regresin lineal para determinar k, m, S, , del grfico de Horner7, grfico de la aproximacin logartmica de la Lnea Fuente, grfico de Warren y Root 34, etc. Anlisis de Curva Tipo Bourdet et al18. Anlisis de lmites Prueba lmite Regresin no - lineal Validacin, verificacin y comparacin del modelo identificado (modelo geolgico, petrofsico, etc.). 5. Nuevos avances en modelaje del sistema pozo - yacimiento, en tcnicas de anlisis y en desarrollo de instrumentos de mediciones de presiones y tasa de flujo, se esperan en un futuro cercano. con otros modelos Los mtodos de anlisis rutinarios

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20


CAPTULO 2 ANLISIS DE PRUEBAS DE PRESIN

OBJETIVOS 1. Proporcionar al Ingeniero las bases tericas que permitan el entendimiento de las relaciones matemticas a utilizar. Esto implica conocer las ecuaciones de flujo la formulacin del problema con valor de frontera. 2. Escribir las ecuaciones apropiadas para describir un sistema pozo yacimiento particular. 3. Anlisis, interpretacin y validacin de las pruebas de pozos usando las tcnicas ms modernas de anlisis. Esto incluye anlisis simplificado log log, anlisis semi log, mtodos de Curva Tipo, anlisis especficos, Mtodos de la Derivada, Convolucin, Deconvolucin. 4. Uso y aplicacin de programas comerciales de diseo, en anlisis e interpretacin de pruebas de pozos.

APLICACIN DEL ANLISIS DE PRESIONES Pueden ser usadas para obtener: 1. La presin promedio del yacimiento del rea de drenaje. 2. Permeabilidad de la formacin. 3. Determinar el grado de dao a la formacin durante la perforacin y completacin del pozo. 4. Cuan efectivo o eficiente ha sido una estimulacin o tratamiento del pozo. 5. El grado de conectividad entre pozos. 6. Estructura geolgicas. Los datos de presin, cuando se combinan con datos de produccin de petrleo y agua con datos de laboratorio, de propiedades de las rocas y de los fluidos, constituyen un medio para estimar el petrleo original in situ y el petrleo que puede ser esperado del yacimiento bajo diversas formas de produccin.PhD. Douglas Alvarado

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BASES MATEMTICAS PARA EL ANLISIS DE PRUEBAS DE PRESIONES Ecuaciones Bsicas o Leyes Fsicas: 1. Conservacin de la Masa 2. Conservacin de la Energa 3. Conservacin del Momento 4. Ecuaciones de Transporte. Ley de Darcy. 5. Condiciones de Equilibrio. 6. Ecuaciones de Estado y propiedades de los fluidos y de las rocas. Al aplicar un balance de masa sobre un elemento finito de geometra determinada se obtiene la ecuacin de continuidad:

1 ( ) (r r ) = r r tLa Ley de Darcy es:

(2-1)

Vr =

k p r

(2-2)

sustituyendo la ecuacin (2-2) en ecuacin (2-1):

1 k p ( ) r = r r r t Consideremos fluido de compresibilidad constante en la ecuacin de estado:

(2-3)

1 v 1 c= = p v T p T si c es una constante, entonces:c( p psc ) = ln

(2-4)

sc

(2-5)

Pongamos la ecuacin (2-3) en funcin de

.

Para esto, sustituimos

operando en el 2do miembro de la ecuacin (2-3) obtenemos: ( ) = ct t c + c 1 3 2r cD

p r

y

(2-6)PhD. Douglas Alvarado


23


y si k y son constantes:2 p 1 p p ct + + c = 2 r r r k t r2

(2-7)

Consideremos de nuevo la ecuacin (2-3), pero expresaremos en funcin de p. Mediante un procedimiento anlogo al utilizado para obtener la ecuacin (2-7) puede escribirse la ecuacin de flujo de la presin p.2 p 1 p p ct p + + c = 2 r r r k t r2

(2-8)

ecuacin en derivadas parciales de 2do orden no lineal. Si suponemos que los gradientes de presin son pequeos, es decir, si obtenemos:2 p2

p 0 r

1 p ct p + = r r k t r

(2-9)

que es la ecuacin de difusividad en trminos de presin. Consideremos ahora como fase fluyente de gas, la ecuacin de estado correspondiente es:

pv = nRTzSiendo, n = entonces:m M

(2-10) (2-11)

=

m Mp = v zRT

(2-12)

y por definicin:

PhD. Douglas AlvaradoESP Oil_Copyright_01-P35/The document is property of ESP Oil any reproduction is strictly forbidden and will be prosecuted

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cp =

1 p T

(2-13)

determinemos una expresin para cT: Mp 1 zRT ; donde T es una constante cg = Mp p zRT T

(2-14)

dz z zRT M dp cg = z2 Mp RT cg =1 1 dz p z dp

(2-15)

(2-16)

Si T. la temperatura es constante es constante para un gas ideal; z = 1 y adems = (T) = constante, entonces la ecuacin (2-16) se reduce a:cg =1 p

(2-17)

si consideramos la ecuacin de continuidad:1 (r r ) = ( ) r r t

(2-1)

sustituyendo vr dada por la Ley de Darcy, y dada por la ecuacin (2-12) obtenemos despus de derivar, simplificar y considerar como variable dependiente el factor p2. 2 p 2 1 p 2 d [ln (z )] p 2 ct p 2 = + r 2 r r dp 2 r k t

(2-18)

ecuacin en derivadas parciales de 2do orden, ecuacin no lineal. Si los gradientes son pequeos la ecuacin (2-18) puede escribirse:

2 p2 r 2

1 p 2 ct p 2 = + r r k t ESP Oil_Copyright_01-P35/The document is property of ESP Oil any reproduction is strictly forbidden and will be prosecuted


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ecuacin que aun es no lineal por que, ct = ct(p) En el caso del gas ideal: z = 1. = (T) y ambas propiedades son constantes. luego:d ln( z ) dp 2 =0

(2-4)

y la ecuacin (2-18) se reduce a la ecuacin (2-19) sin necesidad de hacer la suposicin de que los gradientes son pequeos. Sin embargo, an la ecuacin (2-19) es no lineal debido a que:ct cg 1 (funcin de p) p

Uso de la funcin m(p):m( p ) =

2p dp pb zp

(2-20)

Donde:m( p) m( p ) p p p p 2 1 = = = r p r z r r z m( p) m( p) p p p p 2 1 = = = t p t z t t z

(2-21) (2-22)

operando en la ecuacin (2-1), podemos obtener:1 r p 1 p p = p ct r r z r k z t m( p) 1 m( p) ct + = r 2 r r k m( p) t

(2-23) (2-24)

Esta es una ecuacin cuasi lineal y es la base para el anlisis de presiones para un pozo de gas. Los mtodos de anlisis desarrollados para lquidos, pueden ser extendidos para gases pero, usando la funcin de m(p). La ecuacin (2-24) es similar a la ecuacin (2-9). Pero tiene la particularidad, que en los trminos de segundo grado desaparecen.PhD. Douglas Alvarado


26


En resumen, un balance de materiales sobre un elemento diferencial de medio poroso conduce a la ecuacin de continuidad. La ecuacin de estado es sustituida, para producir una ecuacin diferencial en derivadas parciales para flujo isotrmico la cual especifica la relacin entre la densidad (o presin), espacio y tiempo. Excepto para lquidos de compresibilidad constante, es de uso prctico la ecuacin de difusividad en trminos de presin, bajo la suposicin de que los gradientes son pequeos en cualquier sistema de flujo. Esta suposicin es usualmente razonable para el flujo de lquidos. Es notable el hecho de que para gases ideales en trminos de p2, no se obtienen trminos de presin de segundo grado, mientras que en trminos de presin p, aparece de un trmino de segundo grado. Esto no fue demostrado anteriormente pero puede ser verificado fcilmente. Para flujo de gases reales un trmino de segundo grado aparece a menos que una sustitucin tal como la pseudo-presin para gases reales, m(p), sea usada.

ECUACIN DE DIFUSIVIDAD 2 p 1 p ct p + = r 2 r r k r

(2-9)

Caractersticas 1. La ecuacin (2-9) es lineal solo cuando esta expresada en funcin de la densidad, . 2. La ecuacin (2-9) es una simplificacin que se obtiene al suponer los gradientes de presin de pequeos. 3. Para formular el problema requerimos: Ecuacin de flujo Condicin inicial. Condicin de contorno. Condiciones de contorno en el pozo (en el lmite de contorno) Las suposiciones hechas en el desarrollo de la ecuacin son resumidas a continuacin:PhD. Douglas AlvaradoESP Oil_Copyright_01-P35/The document is property of ESP Oil any reproduction is strictly forbidden and will be prosecuted

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1. Flujo radial hacia el pozo abierto sobre el espesor total del yacimiento. 2. Medio poroso isotrpico y homogneo. 3. Yacimiento de espesor uniforme. 4. Porosidad y permeabilidad. 5. Fluido de compresibilidad pequea y constante. 6. Fluido de viscosidad constante. 7. Pequeos gradientes de presin. 8. Fuerzas de gravedad despreciables.

r

r + ( r )hr

r

Figura 2.1. Elemento de volumen sobre el cual se aplica el Balance de Masa.

FORMULACIN MATEMTICA DEL PROBLEMA DE FLUJO DE PETRLEO (UNA FASE) DE UN POZO PRODUCIENDO A TASA DE FLUJO CONSTANTE EN EL POZO, PARA VARIOS SISTEMAS POZO YACIMIENTO. (Ver figura 2.2). Premisas asumidas: 1. Consideramos skin y efecto de llene, igual a cero. 2. Formulemos ahora el problema de un pozo, produciendo a PhD. Douglas Alvarado tasa de flujoESP Oil_Copyright_01-P35/The document is property of ESP Oil any reproduction is strictly forbidden and will be prosecuted

28


constante en un yacimiento infinito. 3. El yacimiento se supone a una presin, pi, en un tiempo t = 0. 4. La solucin del problema se presenta en la Figura 2.1. Para Yacimiento infinito. Ecuacin de flujo: 2 p 1 p ct p + = r 2 r r k r

(2-9)

Condicin inicial: Para t = 0 p(r,t) = pi para cualquier r Condiciones de contorno: Condicin de contorno interna: q es constante. Aplicando la Ley de Darcy en el pozo:q = p A r rw k

(2-25)

Donde:A =2rw h

Entonces:

q=

k

(2rwh ) p

r rw

(2-26)

q p = r rw 2khrw q p = Constante r = 2kh r rwotra forma de condicin de contorno interior:

(2-27)

(2-28)

q p lim r = = Constante 2kh r rw rw 0Que se aplica al caso de que el pozo fuera una lnea fuente. Condicin de contorno externa:

(2-29)

lim( pr ,t ) = pi

PhD. Douglas Alvarado


29


r

La solucin de este problema se muestra en las Figuras 2.3 y 2.4.

CASO DE YACIMIENTO INFINITO p pi como r

p r

rw

q 1 = 2kh rw

CASO DE YACIMIENTO CIRCULAR LIMITADO

p =0 r re

CASO DE YACIMIENTO CON PRESIN CONSTANTE EN EL LMITE EXTERIOR p = pi en r = re

re rw h


30


Figura 2.2. Diagrama esquemtico de un pozo en un yacimiento radial mostrando los diferentes tipos de condiciones de contorno, para tasa de flujo constante. Adaptada de la referencia. SOLUCIN DE LA LNEA FUENTE (S.L.F): rd 2 1 pd = Et 4t 2 D

(2-30)

1. Propiedades de la solucin con CD = 0 y S = 0. 2. Para rD 25 use la Solucin de la Lnea Fuente para cualquier valor de rD (cualquier localizacin). 3. Empricamente se ha demostrado que en un pozo de radio finito, rD = 1, y para CD = 0 y S = 0 a tiempos de de flujo muy pequeos (a los pocos segundos) se alcanza la condicin de tD/rD = 25. 4. Para tD/rD > 25 la Solucin de la Lnea Fuente puede ser aproximada por:

PD =

1 tD ln + 0,81 2 rD 2

(2-31)

5. Como consecuencia de 3 y 4 un pozo de radio finito, rD = 1 produciendo a tasa de flujo constante con CD = 0 y S = 0, puede ser modelado para tiempos prcticos reales de flujo por la aprobacin logartmica de la Solucin de la Lnea Fuente.

1 (ln t D + 0,81) (2-31) 2 6. Un pozo con Cd = 0 y S 0 puede ser modelado con una modificacin de la PD =aproximacin logartmica.

PD =

1 (ln t D + 0,81 + 2S ) 2

(2-31)

7. Un pozo con Cd 0 y S 0, puede ser modelado con la ecuacin modificada, que incluye el efecto skin S, una vez que desaparezca el efecto de almacenamiento, CD. Aproximacin logartmica de la Solucin de la Lnea Fuente:

rD 2 1 PD = Ei 4t 2 D



31


Para:

x=

rD tenemos que: Ei ( x ) = 4t D

2

x

eu du u

(2-33)

cuando x 0.01 (ver Tabla 2.1) La integral exponencial puede ser sustituida por ln(x), esto es: para x 0.01 -Ei(-x) ln(x) donde = 1.781 por lo que exp( 0.5772) = 1.781 el valor 0.5772 es la constante de Euler luego tenemos:

1 1 2 pD = ln(x ) = ln D 2 2 4t D 1 r2 1 t 4 ln D + ln = + ln D + ln t r2 2 D 4 2 D Finalmente:

(2-34)

PD =

1 tD ln 2 + 0,8091 2 rD

(2-35)

Cuando se grfica en papel semilog PD Vs. de

tD , se obtiene una recta para valores 2 rD

tD 25 que corresponden a valores de x 0.01. (Ver Figura Nro. 2.3A) 2 rD t 1 (2.303) log Dr r 2 D 1 + (0,8091) 2

PD =

(2-36)

t PD = 11.5131log Dr r D

+ 0.4045 (2-37)PhD. Douglas Alvarado


32


Tabla 2.2. Valores de el exponente integral . Ei(-x). Fuente Pet. Eng.(1956). (Pg. 171-173)Ei (-X), 0.000 < 0.209, interval - 0.001X 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 0,11 0,12 0,13 0,14 0,15 0,16 0,17 0,18 0,19 0,20 0 4,038 3,355 2,959 2,681 2,468 2,295 2,151 2,027 1,919 1,823 1,737 1,66 1,589 1,524 1,464 1,409 1,358 1,31 1,265 1,223 1 6,332 3,944 3,307 2,927 2,658 2,449 2,279 2,138 2,015 1,909 1,814 1,729 1,652 1,582 1,518 1,459 1,404 1,353 1,305 1,261 1,219 2 5,639 3,858 3,261 2,897 2,634 2,431 2,264 2,125 2,004 1,899 1,805 1,721 1,645 1,576 1,512 1,453 1,399 1,348 1,301 1,256 1,215

Tabla 2.1. Ei(-x) como una funcin de x4 4,948 3,705 3,176 2,838 2,59 2,395 2,235 2,099 1,982 1,879 1,788 1,705 1,631 1,562 1,5 1,442 1,388 1,338 1,291 1,248 1,206 5 4,726 3,637 3,137 2,81 2,568 2,377 2,22 2,087 1,971 1,869 1,779 1,697 1,623 1,556 1,494 1,436 1,383 1,333 1,287 1,243 1,202 6 4,545 3,574 3,098 2,783 2,547 2,36 2,206 2,074 1,96 1,86 1,77 1,689 1,616 1,549 1,488 1,431 1,378 1,329 1,282 1,239 1,198

3 5,235 3,779 3,218 2,867 2,612 2,413 2,249 2,112 1,993 1,889 1,796 1,713 1,638 1,569 1,506 1,447 1,393 1,343 1,296 1,252 1,21

7 4,392 3,514 3,062 2,756 2,527 2,344 2,192 2,062 1,95 1,85 1,762 1,682 1,609 1,543 1,482 1,425 1,373 1,324 1,278 1,235 1,195

8 4,259 3,458 3,026 2,731 2,507 2,327 2,178 2,05 1,939 1,841 1,754 1,674 1,603 1,537 1,476 1,42 1,368 1,319 1,274 1,231 1,191

9 4,142 3,405 2,992 2,706 2,487 2,311 2,164 2,039 1,929 1,832 1,745 1,667 1,596 1,53 1,47 1,415 1,363 1,314 1,269 1,227 1,187

-Ei (-X), 0.00 < X > 2.09, interval = 0.010 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0

+1,823 1,223 0,906 0,702 0,560 0,454 0,374 0,311 0,260 0,219 0,186 0,158 0,135 0,116 0,1000 0,0863 0,0747 0,0647 0,0562 0,0489

4,038 1,737 1,183 0,882 0,686 0,548 0,445 0,367 0,305 0,256 0,216 0,183 0,156 0,133 0,114 0,0985 0,0851 0,0736 0,0638 0,0554 0,0482

3,335 1,660 1,145 0,858 0,67 0,536 0,437 0,360 0,300 0,251 0,212 0,180 0,153 0,131 0,113 0,0971 0,0838 0,0725 0,0629 0,0546 0,0476

2,959 1,589 1,110 0,836 0,655 0,525 0,428 0,353 0,295 0,247 0,209 0,177 0,151 0,129 0,111 0,0957 0,0826 0,0715 0,062 0,0539 0,0469

2,681 1,524 1,076 0,815 0,640 0,514 0,420 0,347 0,289 0,243 0,205 0,174 0,149 0,127 0,109 0,0943 0,0814 0,0705 0,0612 0,0531 0,0463

2,468 1,464 1,044 0,794 0,625 0,503 0,412 0,340 0,284 0,239 0,202 0,172 0,146 0,125 0,108 0,0929 0,0802 0,0695 0,0603 0,0524 0,0456

2,295 1,409 1,014 0,774 0,611 0,493 0,404 0,334 0,279 0,235 0,198 0,169 0,144 0,124 0,106 0,0915 0,0791 0,0685 0,0595 0,0517 0,045

2,151 1,358 0,985 0,755 0,298 0,483 0,396 0,328 0,274 0,231 0,195 0,166 0,142 0,122 0,105 0,0902 0,0708 0,0675 0,0586 0,051 0,0444

2,027 1,309 0,957 0,737 0,585 0,473 0,388 0,322 0,269 0,227 0,192 0,164 0,140 0,120 0,103 0,0889 0,0768 0,0666 0,0578 0,0503 0,0438

1,919 1,265 0,931 0,719 0,572 0,464 0,381 0,316 0,265 0,223 0,189 0,161 0,138 0,118 0,102 0,0876 0,0757 0,0656 0,057 0,0496 0,0432

2.0 < X < 10.9, interval = 0.1X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 4.89x 10-2 1.30x 10-2 3.78x 10-3 1.15x 10-3 3.60x 10-4 1.15x 10-4 3.77x 10-5 1.24x 10-5 4.15x 10-6 1 4.26x 10-2 1.15x 10-2 3.35x 10-3 1.02x 10-3 3.21x 10-4 1.03x 10-4 3.37x 10-5 1.11x 10-5 3.73x 10-6 2 3.72x 10-2 1.01x 10-2 2.97x 10-3 9.08x 10-4 2.86x 10-4 9.22x 10-5 3.02x 10-5 9.99x 10-6 3.34x 10-6 3 3.25x 10-2 8.94x 10-3 2.54x 10-3 8.09x 10-4 2.55x 10-4 8.24x 10-5 2.70x 10-5 8.95x 10-6 3.00x 10-6 4 284x 10-2 7.89x 10-3 2.34x 10-3 7.19x 10-4 2.28x 10-4 7.36x 10-5 2.42x 10-5 8.02x 10-6 2.68x 10-6 5 2.49x 10-2 6.87x 10-3 2.07x 10-3 6.41x 10-4 2.03x 10-4 6.58x 10-5 2.16x 10-5 7.18x 10-6 2.41x 10-6 6 2.19x 10-2 6.16x 10-3 1.84x 10-3 5.71x 10-4 1.82x 10-4 5.89x 10-5 1.94x 10-5 6.44x 10-6 2.16x 10-6 7 1.92x 10-2 5.45x 10-3 1.64x 10-3 5.09x 10-4 1.62x 10-4 5.26x 10-5 1.73x 10-5 5.77x 10-6 1.94x 10-6 8 1.69x 10-2 4.82x 10-3 1.45x 10-3 4.53x 10-4 1.45x 10-4 4.71x 10-5 1.55x 10-5 5.17x 10-6 1.74x 10-6 9 1.48x 10-2 4.27x 10-2 1.29x 10-3 4.04x 10-4 1.29x 10-4 4.21x 10-5 1.39x 10-5 4.64x 10-6 1.56x 10-6


33


SOLUCIN DE LA LNEA FUENTE EN SU FORMA DIMENSIONAL2 1 rD 1. PD = E i 2 4t D

(2-38)

2. Aproximacin logartmica de la Solucin de la Lnea Fuente: Trabajando con la ecuacin (2-9) y sustituyendo las variables adimensionales pD, tD, rD, obtenemos:

r2 2 rw 1 kh ( p i p r ,t ) = E i 141.2qB 2 4 0.000264kt c t rw 2 y

(2-39)

p r ,t

141.2qB = pi 2kh

1 c t r 2 E i 2 0.00105kt

(2-40)

La regla de Leibnitz para derivar una integral es:

d dt

c2 t

c1 t

f (t , x )dx =

c 2t

c1 t

dc dc f (t , x ) dx + f (t , c 2 ) 2 f (t , c1 ) 1 dt dt

(2-41)

VARIABLES ADIMENSIONALES EN UNIDADES DE CAMPO Siendo: Presin adimensional, pD:

pD =

kh ( p i p r ,t ) 141.2qB

(2-42)

Tiempo adimensional


34


tD =

0.000264kt 2 c t rw r rwDefinicin permeabilidad espesor del estrato presin tasa de flujo Factor volumtrico de la formacin viscosidad porosidad compresibilidad de la formacin radio del pozo distancia radial unidades consistentes o absolutas, las Unidad de campo md pies lbs/pulg2 BN/da BY/BN cp

(2-42)

Radio adimensional, rD

rD =

(2-43)

Trmino k h p q B ct rw r En

fraccin adimensional (lbs/pulg2)-1 pies pies definiciones de variables

adimensionales son las siguientes.

pD =

2kh ( p i p r ,t ) qB

(2-44)

tD =

kt 2 c t t wr rw

(2-45)

rD =

(2-46)

Las variables as definidas en unidades consistentes, pueden ser aplicables a cualquier sistema unidades de medidas, c.g.s, M.K.S, S.I., etc. En unidades de campo las ecuaciones vendrn afectadas por cierto valor de las PhD. Douglas Alvarado constantes deESP Oil_Copyright_01-P35/The document is property of ESP Oil any reproduction is strictly forbidden and will be prosecuted

35


proporcionalidad, por ejemplo: 141,2 en la definicin de pD (2-41) y 0.000264 en la definicin de tD (2-42), para ser usadas en la Figura 2.3.

Figura 2.3. Solucin de la Lnea Fuente en su forma adimensional. (En unidades de campo).


36


Figura 2.3A. Solucin de la Lnea Fuente expresada en unidades adimensionales. (Como funcin de tD/r2D) Grfico semilog.


37

PhD. Douglas Alvarado

PD PD


Presin adimensional

en funcin del

sistema radial sistema radialPrograma de Adiestramiento 2004

tD/rD2 tD/rD2

Figura 2.4. soluciones para un yacimiento infinito considerando radio 0 y flujo constante. del pozo finito y para rw

38


ANLISIS SEMILOG DE UNA PRUEBA DE FLUJO (DRAWDOWN), USANDO LA APROXIMACIN LOGARTMICA DE LA SOLUCIN DE LA LNEA

FUENTE (S.L.F.). Para

tD rD2

25 la solucin puede expresarse as:

pD =

1 (ln t D + 0.81 + 2S ) 2

(2-47)

Siendo

kh ( pi p wf ) = 1 ln 0.0002642kt + 0.81 + 2S 141.2qB 2 c t rw pwf pi =Donde

(2-48)

k 162.6qB 3.23 + 0.87 S log(t ) + log c r 2 kh t w

(2-49)

m=

162.6qB kh

(2-50) (2-51)

p pt , r k log S = 1.115 i c r 2 + 2.33 m t w

SOLUCIN DE LA LNEA FUENTE (S.L.F.)

p(r , t ) = pi

r 2 141.2qB 1 Ei kh 2 0.00105kt

(2-52)

usando las variables adimensionales:

pD (rD , t D ) =

kh( pi p ) 141.2qB

(2-53)

Donde:PhD. Douglas AlvaradoESP Oil_Copyright_01-P35/The document is property of ESP Oil any reproduction is strictly forbidden and will be prosecuted

39


tD =

0.000264kt crw 2

(2-42) (2-43)

rD =

r rw

Entonces:2 1 r pD (rD , t D ) = Ei D 2 4t D

(2-54)

r Si el argumento, D es menor que 0.01 4t D pD = 1 tD ln + 0.80907 2 rD 2 (2-55)

2

YACIMIENTO CERRADO (NO FLUJO), EN EL LMITE EXTERIOR Formulacin del problema (ver figura 2.5). 1. Ecuacin de difusividad.

2 p 1 p ct p + = r 2 r r k r 2. Condicin de contorno interior

(2-9)

q p = cos n tan te r = r rw 2kh3. Condicin de contorno exterior:

(2-56)

p = 0 para todo (t) r re4. Condicin inicial: p(r,t) = pi ; para t = 0. o tambin p(r,0) = pi o tambin, para todo rw r re. La solucin se muestra en la Figura 2.6. Caractersticas de la Solucin Figura 2.6: Comentarios 2.1.

(2-57)


40


Con referencia a la Figura 2.6 podemos anotar: Las curvas que estn en la parte superior corresponden a la solucin de un pozo produciendo a tasa de flujo constante localizado en un yacimiento circular cerrado. El parmetro es reD =

re rw

Perodos de flujo: tomemos una solucin para un valor determinado del parmetro, por ejemplo reD = 1000. Hasta un tiempo adimensional de 2 x 105 la solucin es una lnea recta en papel semilog y corresponde a la aproximacin logartmica de la solucin de la lnea fuente. Luego existe una transmisin de muy corta duracin en este caso y la cual depende de la posicin del pozo en el rea de drenaje (rea de yacimiento). Finalmente la solucin se vuelve una curva ascendente que corresponde a un flujo semicontinuo (la presin es una funcin lineal del tiempo). (Ecuacin (2-6)). (Sabet Pgina 404). Yacimiento cerrado. Solucin en el campo de Laplace.

p D (s ) =

k1 reD s I o red s + I1 reD s ko rD s s 3 / 2 k1 s I1 reD s k1 reD s I1 s

(

) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )](

(2-58)

rD 2 reD 2 ln (rD ) 3red 4 4reD 4 ln (reD ) 2reD 2 1 + tD pD = 2 2 2 4 reD 1 reD 1 4 reD 1 J 2 ( r ) J 2 ( )Y ( r ) Y ( )J ( r ) 2 + e n t D 1 n rD 1 2n o n D 2 1 n 0 n D n =1 n J1 ( N reD ) J1 ( n ) 2

[

(

[

]

) ]

)(2-59)

n son las races deJ1 ( n reD )Y1 ( n ) J1 ( n )Y1 ( n reD ) = 0Yo(x), Y1(x) races de Bessel de 2da clase de orden cero y uno. En el pozo: rD = 1 ln(rD) = 0 y si re >> rwPhD. Douglas AlvaradoESP Oil_Copyright_01-P35/The document is property of ESP Oil any reproduction is strictly forbidden and will be prosecuted

(2-60)

Jo(x), J1(x) races de Bessel de 1era clase de orden cero y uno respectivamente.

41


reD 1 reD2

2

y J1 ( n )Y0 ( n ) Y1 ( n )J 0 ( n ) =

2

n

(2-61)

J ( n reD ) 2t D 3 e ntD 2 2 luego pD = 2 + ln (reD ) + 2 J ( r ) J 2 ( ) 4 reD n 1 n 1 n eD n =1

[

]

(2-62)

para t grande

1 < 2 < 3 < ......2t D 3 + ln (reD ) 2 4 reD

y pD =

(2-63)

que puede ponerse en forma, considerando S 01 4A pD = 2t DA + ln +S 2 C A rw

(2-64)

Forma lmite de comportamiento infinito Hasta tDA = 0.1 Tabla de Dietz (Shape Factor) (2-65) A = re2

t DA = t D

rw A

2

si tDA = 0.1 y

0.1 = t D

rw re e 2 rw

2

reD =

re rw

Yacimiento a presin constante en lmite exterior a una tasa de produccin constante (q = constante). Solucin en el Campo de Laplace. (Ver Figura 2.8.)PhD. Douglas AlvaradoESP Oil_Copyright_01-P35/The document is property of ESP Oil any reproduction is strictly forbidden and will be prosecuted

42


p D (s ) =

I 0 reD s K 0 rD s K 0 rD s I o rD s 23 / 2 I1 s K 0 reD s + k s I 0 reD s

(

) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )]

(2-66)

Las condiciones de contorno interior e inicial son las mismas que para el caso de yacimiento infinito y yacimiento cerrado en el lmite exterior. La condicin de contorno exterior es p(re, t) = pi para cualquier tiempo t. En el pozo y para altos tiempos de flujo, la solucin es: pD = ln(reD )

p r

=rw

q 1 2kh rw

CASO DE YACIMIENTO CIRCULAR LIMITADO

p =0 r re

re rw h

Figura 2.5. Diagrama esquemtico de un pozo en un yacimiento radial Douglas Alvarado mostrando PhD.ESP Oil_Copyright_01-P35/The document is property of ESP Oil any reproduction is strictly forbidden and will be prosecuted

43


los diferentes tipos de condiciones de contorno, para tasa de flujo constante. Caso Yacimiento Circular Limitado.

Cambio de presin adimensional en el pozo

PD

Figura 2.6. Diagrama esquemtico del cambio de Presin adimensional en el pozo contra el sistema radial.


Tiempo adimensional en el pozo Tiempo adimensional en el pozo

1/t 1/tDPhD. Douglas Alvarado

44


Flujo Transiente

Perodo de Transicin

Flujo Semicontinuo Ec. 2.63

Pi

Ec. 2.53 Ec. 2.59

Pwf

Figura 2.7 Grfico esquemtico de la declinacin de presin de un pozo en un Yacimiento Circular Limitado, produciendo a tasa de flujo constante.


45


CASO DE YACIMIENTO CON PRESIN CONSTANTE EN EL LMITE EXTERIOR p = pi en r = re

p q 1 = r rw 2kh rw

re rw h

Figura 2.8. Diagrama esquemtico de un pozo en un Yacimiento Radial,PhD. Douglas AlvaradoESP Oil_Copyright_01-P35/The document is property of ESP Oil any reproduction is strictly forbidden and will be prosecuted

46


mostrando los diferentes tipos de Condiciones de Contorno para tasa de flujo constante. Caso de yacimiento con presin constante en el lmite exterior. FLUJO SEMICONTINUO PARA UN POZO EN EL CENTRO DE UN

YACIMIENTO CIRCULAR CILNDRICO. En unidades consistentes:

pwf = pi

r 3 q 2kt + ln e 2 r 4 2kh ct re w

(2-67)

Tratando de llevar esta ecuacin a la ecuacin general para todo tipo de rea de drenaje, y para unidades prcticas:

pwf = pi

(2.3)(141.2)qB (2)(2)( )(0.000264)kt (2.3) + 2 log re (2)(3) + S r (4 )(2.3) (2.3)ctre2 2kh w

(2-68)

pwf = pi

(162.6)qB (4 )(0.000264)kt + 2 log re (3) + S r (2 )(2.3) kh ctre2 w

(2-69)

pwf = pi

(162.6)qB log kh

(162.6)(4 ) 2.64 x10 4 qB t 4.489 2.3C1hA 2 rw (4 )(1.78) 1.78 4re2

(

)

(2-70)

pwf = pi

(162.6)qB log kh

4 A 0.2339qBt 2 C1hA 31.69rw



47


FLUJO SEMICONTINUO PARA UN POZO LOCALIZADO EN EL CENTRO DE UN REA DE DRENAJE CIRCULAR Ecuacin generalizada para cualquier sistema. (S = 0).

pwf = pi

4 A 0.2339qB 162.6qB log t 2 kh c1hA C A rw

(2-72)

o en unidades adimensionales:

pD =

2t D 3 1 4A + ln(reD ) = 2t DA + ln 2 2 4 reD 2 C A rw

(2-73)

Para un pozo localizado en el centro de un crculo, y para S = 0, si S 0 hay que incluirlo en la ecuacin explcitamente. CA es el factor de forma (ver Figura 2.9). SOLUCIN PARA UN POZO PRODUCIENDO A TASA DE FLUJO CONSTANTE PARA Cd = 0, S = 0. CASO YACIMIENTO INFINITO. Usando la transformada de Laplace6. Solucin de la Lnea Fuente: Formulacin del problema: Ecuacin de Difusividad

2 p 1 p ct p + = r 2 r r k r Condicin de Contorno: PD(rd,,0) = 0 PD(rD,tD) = 0

(2-9)

(2-a) (2-b)

pD rD r = 1 D

(2-c)PhD. Douglas Alvarado


48


Solucin en el Campo de Laplace6:

d 2 pD 1 d pD = s pD pD (rD ,0) + 2 rD 0 d rD drD rD limluego

(2-74)

d 2 pD 1 + 2 drD rD

d pD dr = s pD D

(2-75)

Solucin a la ecuacin diferencial (2-75)pD (s ) = AI 0 rD s + Bk0 rD s

(

)

(

)

(2-76)

Por la condicin de contorno (2-b), A debe ser cero, entonces:p D (s ) = BK 0 rD s

(

)

(2-77)

Usando la condicin de contorno (2-c); se obtiene:

d pD (s ) = B s k1 rD s drD

(

)

(2-78)

Entonces:

rD =

d p D (s ) = BrD s k1 rD s drD

(

)

(2-79)

Luego:lim (B )(rD ) s (k1 )(rD ) s =

rD 0

[

( )

( )]

1 s

(2-80)


49


rD 0

lim k1 rD s

(

)

1

rD s

(2-81)

Siendo: B =

1 s

(2-82)

1 pD (s ) = k0 rD s s

(

)

(2-83)

Luego:

1 pD (t D , rD ) = 2

La ecuacin (2-83) se invirti, usando los siguientes resultados de Churchill11: Si f (s ) = k0 k s

r2 D 4t D

e u 1 r2 du = Ei D u 2 4t D

(2-84)

( )

k2 1 entonces f (t ) = exp 4t 2t

(2-85)

1 f (s ) = Pero: s

t L f (t )dt 0

(2-86)

Demostracin: Sea, rD = kpD (t D , rD ) =tD r2

0

D 1 4t e dt 2t

t

x x

Si

r2 x= D ; 4tx

lmites

pD (rD , t D ) =

2 1 x rD dx e 2 4 x r2 2 D 4x


50


1 e x pD (rD , t D ) = dx 2 2x

x

Ei ( x ) =

x

ex dx x

Entonces:2 1 1 rD pD (rD , t D ) = Ei ( x) = Ei 2 2 4t D

(2-87)

con x =

rD 4t D

La funcin Ei ( x) =

x

ex dx se llama Solucin de Lnea Fuente x

(2-35)

FLUJO MULTIFSICO Tres fases fluyendo en el yacimiento petrleo, gas y agua Por definicin tenemos: Volmenes:

BO =

Volumen de petrleo y gas disuelto a C.Y. Volumen de petrleo a C.N. Volumen de gas a C.Y. Volumen de gas a C.N. Volumen de agua y gas disuelto a C.Y. Volumen de agua a C.Y. Volumen de gas de un volumen de petrleo medido a C.N. Volumen de petrleo a C.N.

Bg =

Bw =

Rs =

Permeabilidades RelativasK rw =K ro =

K w (S o S w ) k

(2-88)PhD. Douglas Alvaradoany reproduction is strictly forbidden and will be prosecuted

k o (S o S w ) k ESP Oil_Copyright_01-P35/The document is property of ESP Oil

51


(2-89)

K rq =

k g (S g S w ) k

(2-90) (2-91)

So + Sw + Sg = 1.0Considere un volumen unitario de yacimiento:

Masa de petrleo = Masa de Agua =

S oBo

os

(2-92) (2-93)

S wBw

ws

Donde os y ws son medidos y expresados a C.N. (condiciones normales).Masa de Gas de Libre =

S gBg

gs+

(2-94)

Masa de Gas de Disuelto =

Rs gs S 0Bo

Rsw gs S wBo

(2-95)

Masa de Gas por unidad de volumen de yacimiento =

S gBg

gs +

Rs gs S oBo

+

Rsw gs S wBw

(2-96)

Usando la Ley de Darcy, podemos expresar el flujo de masa radial de petrleo:

o ro =

k0 os 0 0 B0 r

(2-97)

Para agua:

w rw = Para gas:

kw ws w w Bw r kg g r Rs ko po R K p gs sw w w Bo o r Bw w r

(2-98)

g rg =

g Bg

gs

gs

(2-99)

Si despreciamos las presiones capilares y las fuerzas de gravedad, se puede escribir una ecuacin de continuidad para cada fase:PhD. Douglas AlvaradoESP Oil_Copyright_01-P35/The document is property of ESP Oil any reproduction is strictly forbidden and will be prosecuted

52


Para petrleo:1 ko p So r = r r o Bo r t Bo

(2-100)

Para Gas:kg 1 Rs ko Rsw k w + + r r r o Bo w Bw g Bg p Rs S o Rsw S w S g = + + r t B Bw Bg o

(2-101)

Para agua:1 k w p S w r = r r w Bw r t Bw

(2-102)

donde:So + Sw + Sg = 1.0

(2-91)

Un sistema de cuatro estaciones simultneas con cuatro incgnitas: So, Sg, Sw y . Solamente puede ser resuelto mediante mtodos numricos. Martn14, demostr que cuando los trminos de orden mayor pueden ser despreciados en la expansin de las cantidades en las ecuaciones (2-87) a (2-78), estas ecuaciones pueden ser combinadas para obtener:

ct p 1 p 2 p 1 p = r = 2 + r r r r r r k t tDonde ct es la compresibilidad total,ct = So Bo So Bg Rs S w Bw S w Bg Rsw S g Bg + + + cf Bo p Bo p Bw p Bw p Bg p

(2-103)

(2-104) (2-105)

k ko k g k w = + + t o g w

La ecuacin (2-90) muestra que, bajo ciertas condiciones supuestas, el flujo multifsico puede ser descrito por la ecuacin de difusividad, dependiente de la presin. Esto es base para la interpretacin de pruebas de presiones paraPhD. Douglas AlvaradoESP Oil_Copyright_01-P35/The document is property of ESP Oil any reproduction is strictly forbidden and will be prosecuted

53


sistemas multifsicos. Petrleo:1 ko p S o r = r r o Bo r t Bo

(2-106)

Gas:kg 1 Rs ko + r r r o Bo g Bg p Rs S o S g = + r t B Bg o

(2-107)

ySo + Sg = 1.0

(2-108)

Este conjunto de ecuaciones ha sido estudiado extensivamente por Perrine, Sller y West et al12, utilizando mtodos numricos.

SOLUCIN A LA ECUACIN DE FLUJO RADIAL, PARA FLUIDOS DE COMPRESIBILIDAD CONSTANTE Y PEQUEA. Formulacin del problema. Para tasa de produccin constante. Caso Yacimiento Infinito. Ecuacin de Difusividad. 2 p 1 p c p + = r 2 r r k t

(2-9)

Condiciones de contorno e iniciales: 1. p = pi para todo t = 0 para todo r. para t > 0

q p 2. r = r rw 2kh

3. p pi

cuando r para todo t.PhD. Douglas Alvarado


54


Solucin de Polubarinova Kochina15: La segunda condicin de contorno la reemplazamos por: p q , para todo t > 0 (aproximacin a la lnea fuente) lim r = r 0 r 2kh

Siendo:

y=

cr 24kt

(Transformacin de Boltzmann)

(2-109)

Sustituyendo (2-96) en la ecuacin diferencial (2-9) y en las condiciones de contorno e iniciales el problema se transforma en:p p dy = r y dr

(2-110)

Siendo:y 2cr y cr 2 ; = = r 4kt 2 Luego: 4kt t p p 2cr 1 y p 2c = ; = r y 4kt r r y 4kt

(2-111)

(2-112)

Entonces: 2 p p p y 2 p dy p 2 y = = = + r 2 r r r y r r dr y r 2 2

(2-113)

2 y 2c = r 2 4kt

(2-114)

Anlogamente:p p y p cr 2 = = t y t y 4kt 2 ESP Oil_Copyright_01-P35/The document is property of ESP Oil any reproduction is strictly forbidden and will be prosecuted


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y la ecuacin (2-113) se convierte en:

c p cr 2 2 p 2cr p 2c p 2 = + + k y 4kt 2 y 2 4kt y 4kt y 4kt 2

(2-116)

d 2 p 2cr dp cr cr 2 =0 1 + + 4kt dy 2 4kt dy kt 2

(2-117)

2 p 2cr p 4cr cr 2 =0 + + y 2 4kt y 4kt 4kh2

(2-118)

4

2 p cr 2 p 4 cr 2 4 =0 + + 4kt 4 y 2 4kt y r

(2-119)

2 p cr 2 p 1 cr 2 + + =0 y 2 4kt y r 4kt

(2-120)

Sustituyendo la ecuacin (2-109) en la ecuacin (2-120):y d 2 p dp + (1 + y ) = 0 dy 2 dy

(2-121)

Con condicin de contorno e iniciales

a) p p i cuando y dp q = para 0 y dy 2kh

b) lim 2yy 0

Solucin:p' = dp dy

y

dp' + (1 + y )p' = 0 dy

Luego:dp' (1 + y ) = dy p ' ESP Oil_Copyright_01-P35/The document is property of ESP Oil yPhD. Douglas Alvaradoany reproduction is strictly forbidden and will be prosecuted

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ln p' = ln y y + C1

Se obtiene:p' y = e y + C1 p' y = e y .eC1 p' = C1 y e y

de la condicin de contorno b), y sustituyendo:dp q = dy 2kh dp q = y lim 2C1e y = 2C1 = y 0 dy 2kh

lim 2y 0

lim 2yy 0

Donde:C1 = q 4kh

(2-122)

luego:dp q e y = dy 4kh y

(2-123)

y esta ecuacin puede ser integrada para obtener:q e y p= + C2 4kh y

y



57


el lmite inferior de integracin fue tomado arbitrariamente igual a q p= 4kh

y

e y + C2 y

(2-125)

Aplicando la condicin de contorno (a); obtenemos: C2 = pi y finalmente:q pi p(r , t ) = 4kh

y

e y dy y

(2-126)

Luego:pi p (r , t ) =2 q ( E ( y ) ) = q Ei cr 4kh 4kh 4kh

(2-127)

FLUJO LINEAL. TASA DE PRODUCCIN CONSTANTE, YACIMIENTOS INFINITOS. Formulacin del problema: La forma adimensional de la ecuacin de flujo es: 2 p D p D = 2 xD t D Condiciones de Contorno Interna: p`D = 1 (para x D = 0) xD X D =0

(2-128)

Condiciones de Contorno Externa:X D

lim p D = 0

Condicin Inicial:p D = 0 para t D = 0

Solucin general:PhD. Douglas AlvaradoESP Oil_Copyright_01-P35/The document is property of ESP Oil any reproduction is strictly forbidden and will be prosecuted

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t pD = 2 2D x xD D

1/ 2

x2 x2 exp D erf D 4t D 4D

1/ 2

(2-129)

En la localizacin del pozo, nuestro punto de inters, xD = 0; luego la ecuacin (2-129) se transforma en:pD = (t D )1/ 2

(2-130)

Cuando se utiliza unidades de campo, la cada de presin real viene dada por:p = 8.13 qB hx

t kc1 2

(2-131)

Un grfico log-log de pD vs tD producir una lnea recta de pendiente m = Para flujo lineal se cumple:xD = x xf

(2-132)

Donde: x es la posicin considerada y xf es la longitud del sistema considerado. Stanislov y Kabir10, definen las presiones y el tiempo adimensionales, en la forma siguiente: Presin adimensional: p pw pD = kh i qB

(2-133)

Para el caso de la tasa de produccin constantepD = pi p (r , t ) pi pwf

(2-134)

Tiempo adimensional:PhD. Douglas AlvaradoESP Oil_Copyright_01-P35/The document is property of ESP Oil any reproduction is strictly forbidden and will be prosecuted

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Para cualquier geometra del sistema:tD =

kt ct l 2

(2-135)

Donde: l, es la longitud caractersticas, depende de la geometra del sistema. As: l (longitud caractersticas) rw, radio del pozo Rs, radio esfrico Xf, mitad de longitud de factura Tipo de flujo Flujo radial Flujo esfrico Flujo lineal

Variables de espacio adimensionales, para distintos tipos de flujo: Flujo radial:r rw Flujo esfrico rD = r rs

(2-136)

rD =

(2-137)

Flujo Lineal:xD = x xf

(2-138)

Cuando la prueba de flujo se efecta a presin constante, es la tasa de produccin la que declina con el tiempo: La tasa de tiempo de adimensional se define as:qD = qB kh( pi pwf )

(2-139)

Para el radio esfrico (Spherical or pseudo wellbore radius) rs, se han propuestoPhD. Douglas AlvaradoESP Oil_Copyright_01-P35/The document is property of ESP Oil any reproduction is strictly forbidden and will be prosecuted

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varias frmulas basadas en una combinacin del radio de pozo y de las propiedades de la formacin. En la pgina 12 del libro de Stanislav y Kabir10 se presentan tres frmulas para rs basadas en: I. Aproximacin basada en la igualdad del rea esfrica y cilndrica abierta al flujo. II. Aproximacin basada en la igualdad de la distribucin de presiones debido a fuentes esfricas y cilndricas de igual fuerza o intensidad. La siguiente tabla define los valores numricos de y para los diferentes sistemas de unidades a ser usados: Unidades de Darcy 2 l Unidades de Campo 7.08 x 10-3

Unidades SI 5.356 x 10-4 3.557 x 10-6

2.637 x 10-4

Otra definicin del tiempo adimensional est basada en el rea de drenaje, A:En este caso l = A se define como : t DA =

kt A = tD 2 ct A rw

(2-140)

FLUJO ESFRICO. TASA DE FLUJO CONSTANTE. YACIMIENTO INFINITO. Formulacin del problema: La Ecuacin de Flujo es la siguiente: 2 pD 2 pD pD + = 2 rD rD rD t D

(2-141)

Las condiciones de contorno e iniciales de este problema son anlogas a los casos de flujo radial y flujo lineal. Condiciones de contorno: Interna:PhD. Douglas AlvaradoESP Oil_Copyright_01-P35/The document is property of ESP Oil any reproduction is strictly forbidden and will be prosecuted

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pD = 1 rD rD rD =1

Externa: Condicin inicial:rD

lim ( pD ) = 0

pb = 0 para t D = 0

Solucin: La solucin tiene la siguiente forma:pD = r 1 1 exp(t D + rD 1)erf t D 1 erfc D 2 t 2 t rd D D

(2-142)

Si rD = 1, la ecuacin (2-142) se reduce a:

pD = 1 exp(t D )erfc t D

(2-143)

La aproximacin para tiempos grandes (tD > 50) reduce la ecuacin (2-143) a:pD = 1 1 pt D

(2-144)

Supongamos ahora la condicin de contorno en el pozo (condicin de contorno interna), a presin constante. Se trata de describir la tasa de produccin instantnea como funcin del tiempo. Ecuacin de flujo:PhD. Douglas AlvaradoESP Oil_Copyright_01-P35/The document is property of ESP Oil any reproduction is strictly forbidden and will be prosecuted

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1 pD pD rD = rD rD rD t D

(2-145)

Condicin de contorno interna:p D = 1 para rD = 1

Condicin de contorno externa:

rD

lim p D = 0

Condicin inicial:p D = 0 para rD = 0 Solucin:

La solucin

alvarado douglas - manual analisis de pruebas de presion en pozos

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