Algebra lineal Unidad 2. Matrices Actividad 3. Método de Gauss

ProblemaInstrucciones: Lee el problema y al final, realiza lo que se te pide.Problema: Sustancias que funcionan como súper proteínas a través de matricesUn grupo de ingenieros en biotecnología realizaron una investigación para crear una sustancia que

funcionara como una super proteína en un tipo especial de microorganismos que habita cerca de

una zona petrolera. El objetivo era crear microorganismos más resistentes y en el caso de que

existiera algún derrame petrolero cerca de la zona, utilizarlos para la limpieza. Durante la

investigación se presentaron muchas dificultades, pues se tenían previstos tres proyectos

diferentes, mismos que resultaron un rotundo fracaso. En cada uno de éstos se desarrolló una

sustancia diferente y cuando se realizaron las pruebas con las sustancias, éstas no mejoraron a los

microorganismos como se esperaba, por esto los frascos que contenían las sustancias

respectivas de cada proyecto fueron vaciados a un mismo contenedor con capacidad de m litros,

el cual se encontraba completamente limpio. Los ingenieros tomaron una muestra de la sustancia

que resultó de la combinación de las tres que se vaciaron al contenedor y luego de ponerla en el

microscopio observaron los resultados. La muestra era producto de un accidente científico.

Después cada grupo hizo colocó una marca al recipiente que contenía su respectiva sustancia, esto

con el fin de tener en cuenta la medida que utilizaron y relacionarlo con el resultado que se obtuvo.

Así, volvieron a utilizar la misma medida que vaciaron al contenedor para formar una nueva

sustancia, la probaron y el resultado fue exactamente el mismo que el que se encontraba en el

contenedor.

Por consiguiente, se dieron cuenta que nadie sabía exactamente la cantidad que depositaron de la

sustancia, sin embargo tenían el recipiente en el que señalaron la medida. Para saber las

cantidades exactas, sugirieron formar un sistema de tres ecuaciones y así encontrarían los valores

exactos de los recipientes de cada uno de los grupos, entonces realizaron las siguientes pruebas:

1. Utilizaron 2 vasos de la primera sustancia, 2 vasos de la segunda y un vaso más de la tercera y

obtuvieron 4.5 litros de la sustancia final.

2. Utilizaron 4 vasos de la primera sustancia, 6 vasos de la segunda y 3 vasos más de la tercera, y

obtuvieron 12 litros.

Nota: Para encontrar lo que se te pide supón que en las primeras dos pruebas (la del accidente y la

repetición del mismo) se colocaron 6 vasos de la primer sustancia, 9 vasos de la segunda y 7 vasos

de la tercera.

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Algebra lineal Unidad 2. Matrices Actividad 3. Método de Gauss

Realiza lo siguiente:

1. Retoma los resultados de la Actividad 2: Representación matricial, mismos que publicaron en

la base de datos y resuelve el problema por el método de Gauss.

Sistema de Ecuaciones

2s1 + 2s2 + 1s3 = 4.5L

4s1 + 6s2 + 3s3 = 12L

6s1 + 9s2 + 7s3 = m

Representación Matricial (A|b)

2 2 1 s1 4.5

4 6 3 ∙ s2 = 12

6 9 7 s3 m

2 2 1 | 4.5

4 6 3 | 12

6 9 7 | m

Resolución por método de Gauss

2 2 1 4.5

4 6 3 12

6 9 7 m

Para resolver por el método de Gauss se deberá reducir la matriz mediante operaciones por renglón,

hasta obtener una matriz triangular superior.

Paso 1 Multiplicar el renglón uno por -2 y sumarlo al renglón dos y colocar el resultado en el renglón

dos.

2 2 1 4.5

0 2 1 3

6 9 7 m

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Algebra lineal Unidad 2. Matrices Actividad 3. Método de Gauss

Paso 2 Multiplicar el renglón 1 por ½ y colocar el resultado en el renglón 1.

1 1 1/2 2.25

0 2 1 3

6 9 7 m

Paso 3 Multiplicar por -6 el renglón 1 y sumarle el tercer renglón, colocar el resultado en el renglón 3.

1 1 1/2 2.25

0 2 1 3

0 3 4 m-13.5

Paso 4 Multiplicar el renglón dos por ½ y colocar el resultado en el renglón 2.

1 1 1/2 2.25

0 1 1/2 1.5

0 3 4 m-13.5

Paso 5 Multiplicar el renglón 2 por -3 y sumarle el tercer renglón, colocar el resultado en el renglón 3.

1 1 1/2 2.25

0 1 1/2 1.5

0 0 5/2 m-18

Paso 6 Para tener los tres unos en la diagonal principal es necesario multiplicar el renglón 3 por 2/5.

1 1 1/2 2.25

0 1 1/2 1.5

0 0 1 2/5 m-7.2

Ahora asociaremos filas y columnas.

X1+ X2 + ½ X3 = 2.25

X2 + ½ X3 = 1.5

X3 = 2/5 m – 7.2

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Despejando las ecuaciones para encontrar los valores de X1, X2 Y X3:

X3 = 2/5 m – 7.2

X2= 1.5 -1/2 (2/5 m – 7.2) = 1.5 – 2/10m + 3.6

X2= 5.1 -2/10 m

X1= 2.25 - 5.1 + 2/10 m - ½ (2/5 m – 7.2)

X1= -2.85 +2/10m -2/10m +3.6

X1= 0.75

Al sustituir los valores de X1, X2 Y X3 en las ecuaciones 1 y 2 (del sistema de ecuaciones original)

Sistema de Ecuaciones

2s1 + 2s2 + 1s3 = 4.5L

4s1 + 6s2 + 3s3 = 12L

6s1 + 9s2 + 7s3 = m

2(0.75) + 2X2 + x3= 4.5

1.5 + 2X2 + x3= 4.5

2X2 + x3= 4.5 -1.5

2X2 + x3= 3

4(0.75) + 6X2 + 3x3= 12

6X2 + 3x3= 12 -3

6X2 + 3x3= 9

Al observar los resultados de ambas ecuaciones por simple deducción podemos afirmar que X2=1=x3

2. Encuentra la cantidad en litros que se colocó en cada vaso de la primera, segunda y tercera

sustancia

Esta respuesta está dada por los valores de X1, X2 y X3.

X1= s1= 0.75L X2= s2= 1L X3= s3= 1L

Ahora que ya conocemos los valores de X1= 0.75; X2=1=x3, para conocer el valor de m,

sustituiremos estos valores en la ecuación 3.

6(0.75) + 9 (1) + 7 (1)= m

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Algebra lineal Unidad 2. Matrices Actividad 3. Método de Gauss

m= 4.5+9+7

m= 20.5L

Esto nos demuestra que en la prueba del accidente se obtuvieron 20.5 litros de la sustancia final.

3. Comprueba tus resultados por alguno de los métodos que se comentaron en la Actividad 1. Foro:

Planteamiento del problema.

Para comprobar que los resultados anteriores son correctos sustituiremos m en la ecuación X3, X2 y

X1.

X3 = 2/5 m – 7.2

X3 = 2/5 (20.5) – 7.2

X3 = 8.2 – 7.2

X3 = 1

X2= 5.1 -2/10 m

X2= 5.1 -2/10 (20.5)

X2= 5.1 – 4.1

X2= 1

X1= -2.85 +2/10(20.5) -

2/10(20.5) +3.6

X1= -2.85 +4.1 – 4.1+3.6

X1= 0.75

Ahora sustituiremos estos resultados en las ecuaciones de nuestro sistema de ecuaciones lineales.

2s1 + 2s2 + 1s3 = 4.5L

2(0.75) + 2(1) + (1)= 4.5

1.5 + 2 + 1= 4.5

4.5=4.5

4s1 + 6s2 + 3s3 = 12L

4(0.75) + 6(1)+ 3(1)= 12

3 + 6 + 3= 12

12= 12

6s1 + 9s2 + 7s3 = m

6(0.75) + 9(1) + 7(1) = 20.5

4.5 + 9 + 7= 20.5

20.5=20.5

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