algunos ejemplos para prueba de hipótesis

Prueba de hipótesisProfesor: Jacinto Arroyo

Pruebas de Hipótesis

Prof. Jacinto Arroyo 2

• Una manera de hacer inferencia, es haciendo una afirmación acerca del valor que el parámetro de la población bajo estudio puede tomar.

• Esta afirmación, puede estar basada en alguna creencia o experiencia pasada, que será contrastada con la evidencia que nosotros obtengamos a través de la información contenida en la muestra. Esto es a lo que llamamos PRUEBA DE HIPÓTESIS.

Una hipótesis comprende cuatro componentes:

Hipótesis nula

Hipótesis alternativa

Estadística de prueba

Región de rechazo



• La Hipótesis Nula, denotada como Ho , siempre especifica un solo valor si la hipótesis es simple del parámetro de la población.

• O un conjunto de valores si es compuesta (es lo que se quiere desacreditar)

: : :

La hipótesis alternativa, denotada como H1, es la que responde nuestra pregunta, la que se establece en base a la evidencia que tenemos. Puede tener cuatro formas:

: : : : v v v v



• Como las conclusiones a las que lleguemos se basan en una muestra, hay posibilidad de que nos equivoquemos.

• Dos decisiones correctas son posibles: Rechazar Ho cuando es falsa No rechazar Ho cuando es verdadera

• Dos decisiones incorrectas son posibles:Rechazar Ho cuando es verdaderaNo rechazar Ho cuando es falsa

Tamaño de los errores al tomar una decisión incorrecta en una prueba de Hipótesis

Ho Verdadera Ho Falsa

Rechazamos Ho Error Típico IP(error Tipo I) = α

Decisión correcta

No rechazamos Ho Decisión correcta Error Típico IIP(error Tipo II) = β



• La probabilidad de cometer un error Tipo I se conoce como Nivel de Significancia, se denota como α y es el tamaño de la región de rechazo.

• El complemento de la región de rechazo es 1‐α y es conocido como el Coeficiente de Confianza.

• En una prueba de Hipótesis de dos colas la región de no rechazo corresponde a un intervalo de confianza para el parámetro en cuestión.

La región de rechazo es el conjunto de valores tales que si la prueba estadística cae dentro de este rango, decidimos rechazar la Hipótesis Nula

Su localización depende de la forma de la Hipótesis alternativa:

Si : entonces la región se encuentra en la cola derecha de la distribución de la estadística de prueba



Conclusiones de una Prueba de Hipótesis

Si rechazamos la Hipótesis Nula, concluimos que “Hay suficiente evidencia estadística para inferir que la hipótesis nula es falsa”

Si no rechazamos la Hipótesis Nula, concluimos que “no hay suficiente evidencia estadítica para inferir que la hipótesis nula es falsa”

Si : entonces la región se encuentra en la cola izquierda de la distribución de la estadística de prueba

Si : entonces la región se divide en dos partes, una parte estará en la cola derecha de la distribución de la estadística de prueba y la otra en la cola izquierda de la distribución de la estadítica de prueba.

ANALISIS DE LA VARIANZAANOVA


Ejemplos

Punto1 Punto2 Punto3 Punto 46 6 10 98 7 6 99 8 5 99 6

7

Se tiene resultados de observaciones de cuatro puntos (pueden ser también experimentos)

Ejemplo1

¿Estos datos nos permiten suponer que los puntos son iguales?


Se prueba la hipótesisHo: µA = µB = µC = µDEs decir que bajo Ho, se supone que el promedio de observaciones de puntos de las poblaciones formadas de los cuatro puntos es el mismo.

Fuente Suma de cuadrados

Grados de Libertad

Cuadrado medio f

FactorErrorTotal


900‐877.2877.2‐866.4


Fuente Suma de cuadrados

Grados de Libertad

Cuadrado medio f

Factor 10.8 3 3.60 1.74

Error 22.8 11 2.07

Total

Se busca el valor crítico en la tabla de distribución F


DECISIÓN: No se rechaza Ho, por lo tanto, el promedio de observaciones de los 4 puntos es el mismo.



ANOVA DE LA REGRESIÓN


X Y10.0 759.9 779.0 799.0 858.0 854.8 868.3 8611.5 6914.5 4716.6 4318.0 3618.3 3418.8 3220.4 3121.0 2920.9 2820.0 2916.2 4014.2 5014.0 5712.3 6511.9 7610.2 789.0 80

EJEMPLO

0

20

40

60

80

100

120

0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0

Y

Modelo estadísticoEcuaciónr2r


X Y X2 Y2 XY1 10.0 75 100.0 5625 7502 9.9 77 98.0 5929 762.33 9.0 79 81.0 6241 7114 9.0 85 81.0 7225 7655 8.0 85 64.0 7225 6806 4.8 86 23.0 7396 412.87 8.3 86 68.9 7396 713.88 11.5 69 132.3 4761 793.59 14.5 47 210.3 2209 681.5

10 16.6 43 275.6 1849 713.811 18.0 36 324.0 1296 64812 18.3 34 334.9 1156 622.213 18.8 32 353.4 1024 601.614 20.4 31 416.2 961 632.415 21.0 29 441.0 841 60916 20.9 28 436.8 784 585.217 20.0 29 400.0 841 58018 16.2 40 262.4 1600 64819 14.2 50 201.6 2500 71020 14.0 57 196.0 3249 79821 12.3 65 151.3 4225 799.522 11.9 76 141.6 5776 904.423 10.2 78 104.0 6084 795.624 9.0 80 81.0 6448 722.7

SUM 326.8 1397.3 4978.3 92641.1 16640.3PRO 58.2

24a + 326.8b = 1397.3326.8a + 4978.3b = 16640.3

a = 119.715

b = ‐4.5161

y = 119.71‐4.5161x

y = ‐4.5161x + 119.71R² = 0.9546

0

20

40

60

80

100

120

0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0

Y

Prof. Jacinto Arroyo16

Yest (Y‐Ypro)2 (Y‐Yest)

2 (Yest‐Yprom)2

75 282 0.20 266.675 353 4.00 281.679 432 0.00 434.579 717 35.22 434.584 717 2.01 643.198 772 144.79 1585.082 772 14.24 576.368 116 1.50 91.354 126 52.22 16.045 232 3.04 181.738 494 5.86 392.137 587 9.40 447.635 688 7.88 548.228 741 11.69 938.825 854 17.04 1112.225 913 7.16 1082.229 854 0.15 831.347 332 42.89 136.256 68 31.15 7.056 1 0.27 3.064 46 0.70 35.366 316 100.63 60.074 391 18.96 237.979 487 1.52 434.5

1397.2 11289.1 512.5 10776.7C B A

X Y1 10.0 75

2 9.9 77

3 9.0 79

4 9.0 85

5 8.0 85

6 4.8 86

7 8.3 86

8 11.5 69

9 14.5 47

10 16.6 43

11 18.0 36

12 18.3 34

13 18.8 32

14 20.4 31

15 21.0 29

16 20.9 28

17 20.0 29

18 16.2 40

19 14.2 50

20 14.0 57

21 12.3 65

22 11.9 76

23 10.2 78

24 9.0 80

SUM 326.8 1397.3PRO 58.2

Yest = ‐4.5161x + 119.71

(Y‐Ypro)2 = (Yi – Ypro)2 = (79‐58.2)2

(Y‐Yest)2=(Yi‐Yest)2=(75‐75)2

(Yest‐Ypro)2=(Yest‐i – Ypro)2=(47‐58.2)2

Fuente Suma de cuadrados Grados de libertad Cuadrado medio FRegresión A

Error BTotal C

r2 =

ANOVA


X Y X2 Y2 XY Yest (Y‐Ypro)2 (Y‐Yest)

2 (Yest‐Yprom)2

SUM 326.8 1397.3 4978.3 92641.1 16640.3 1397.2 11289.1 512.5 10776.7PRO 58.2

Fuente Suma de cuadrados Grados de libertad Cuadrado medio FRegresión 10776.7 1 10776.7 462.6

Error 512.5 22 23.3Total 11289.1 23

r2 = 0.9546 0.9546

ANOVA

Rechazamos la hipótesis nula de no linealidad del modelo



Error 512.5 22 23.3Total 11289.1 23

r2 = 0.9546 0.9546

ANOVA

462.6 > 4.3009



Error 512.5 22 23.3Total 11289.1 23

r2 = 0.9546 0.9546

ANOVA

rpearson =0.9770

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