algebralineal 19agosto clase

lgebra Lineal Espacios Vectoriales

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Espacio Vectorial

Objetivo: El alumno identificar un espacio vectorial (EV) y analizar sus caractersticasfundamentales.

Introduccin

EV o tambin llamados espacios lineales, en donde los objetos, los cuales son elementos de un EVse les llaman VECTORES (vector del latn vectur llevar o transportar); recordemos que el concepto devector lo asociamos con cantidad, con magnitud, direccin y sentido; bajo el contextos de otras disciplinas.Pero en el caso de lgebra Lineal (AL) son objetos de un conjunto llamado V (no vaco) que es la notacinpara EV y dichos objeto o bien elementos se llaman vectores (ternas ordenadas, polinomios, matrices,funciones, etc).

Figura 1. Representacin de un vector en

Ejemplo

Sea el EV de ternas ordenadas

Si los vectores y pertenecen con

Obtener la adicin usual entre vectores y el producto por un escalar

Resolucin


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PROPIEDADES De la suma vectorial en un espacio de

i) es nico Propiedad de cerradura

ii) Propiedad asociativa

iii) , donde es el vector nulo o bien el idntico aditivo

iv) , donde es el vector inverso aditivo

v) Propiedad conmutativa

PROPIEDADES De la multiplicacin escalar por un vectorial en un espacio de

vi) es nico Propiedad de cerradura

vii) Primera propiedad distributiva

viii) Segunda propiedad distributiva

ix) Propiedad asociativa

x) Idntico multiplicativo para los

NOTA

Es el vector nulo tambin llamado cero

Los vectores tambin se representan con letras minsculas negritas; es decir, a

Ejemplo

El vector es una Combinacin Lineal (CL) de los vectores y

Resolucin


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Para ello de la definicin usual por un escalar se tiene

Es decir

Resolviendo el Sistema de Ecuaciones Lineales (SEL), se tiene:

El sistema no tiene solucin; es decir,

No existen valores de para los cuales el SEL tenga solucin finita.

Ejemplo

El vector es una CL de los vectores y

Resolucin

Para ello de la definicin usual por un escalar se tiene

Es decir

Resolviendo el Sistema de Ecuaciones Lineales (SEL), se tiene:


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El sistema si tiene solucin; es decir,

Para y

Comprobando la solucin de los escalares en la CL, se tiene

Definicin de EV

Sea un conjunto no vaco y sea un campo. Se dice que es un EV o tambin llamadosespacio lineal sobre si estn definidas dos leyes de composicin, llamadas adicin y multiplicacin porun escalar, tales que:

i) La adicin asigna a cada pareja ordenada de elementos de un nicoelemento

ii) Para entonces

iii) Existe el vector nulo tal que

iv) Existe el vector tal que

v) Para tal que

vi) La multiplicacin por un escalar asigna a cada pareja ordenada de elementos y un nico elemento , llamado el producto de por

vii) Para ; tal que

viii) Para y tal que


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ix) Para y tal que

x) Si es el idntico de , entonces , para

A los elementos de Se les llaman vectores y a los de escalares.

Nota:

Las primeras cinco propiedades de la definicin de EV, son las propiedades para teneruna estructura de tipo Grupo Abeliano.

Ejemplo

Determinar si el conjunto es un espacio vectorial sobre el campo

de los con las operaciones de adicin y multiplicacin por un escalar definida por:

En caso afirmativo obtener el idntico de . En caso negativo, indicar todos los axiomas que no sesatisfacen.

Resolucin

No es un espacio vectorial sobre , pues no se cumplen los axiomas vi y viii.

vi) Axioma ; es decir

viii) Para y tal que


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Definicin de EV en

Sean los vectores y sea y escalares.

Propiedades de la suma vectorial

i) Cerradura para la adicin

ii) Asociatividad

iii) Existencia de elemento idntico

iv) Existencia de elemento inverso

v) Conmutatividad

Propiedades de la multiplicacin escalar en el espacio - dimensiones (conjunto de todas las -adas ordenadas de nmeros reales.

vi) Cerradura para el producto por un escalar

vii) Distributividad

viii) Distributividad

ix) Asociatividad

x) Idntico multiplicativo

Ejercicio

Sea V del conjunto de las matrices de orden m x n con elementos en los complejos, k es el campode nmeros complejos, y la adicin y multiplicacin por un escalar son las usuales. Determinar siV es un EV.

Propiedades de un EV

Si V es un EV sobre k, entonces:


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i) Propiedad de cancelacin, para

ii) El vector nulo es nico y es tal que

iii) El vector es nico y es tal que

iv) La ecuacin

Tiene solucin nica en V

v)

vi)

Definicin de EV Real

Un EV real V es un conjunto de objetos, llamados vectores, junto con dos operaciones llamadassuma y multiplicacin por un escalar que satisfacen los diez axiomas enumerados en la definicin de EVen

Existen espacios vectoriales triviales ; as tambin un conjunto que no es EV es cuando.

Ejercicio

Sea V el conjunto definido por

Considere adems la operacin de adicin usual entre elementos de V, esto es


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y la operacin usual de la multiplicacin por un escalar del campo de los nmeros Q (racionales) yun elemento de V; es decir

donde

Determinar si V es un EV

Resolucin: V, S es un espacio vectorial

Definicin de Subespacio Vectorial (SEV)

Sea H un subconjunto de V donde H es NO VACO y suponga que H es en s un EV bajo lasoperaciones de suma y multiplicacin por un escalar definido en V. Entonces se dice que H es un subespaciode V.

Nota: H hereda las operaciones de V (padre).

Teorema

Un subconjunto NO VACO H de un EV V es un subconjunto de V, si se cumplen las dos reglas decerradura:

i) Si y entonces

ii) Si entonces para todo escalar .

Nota: El subespacio trivial donde ( V espacio trivial ).

Un EV es un subespacio en s mismo para cada EV V, V es un subespacio de si mismo.

Subespacio Propio

Todo EV V contiene dos subespacios y

Ejemplo

Considere el conjunto

Determinar si el conjunto E es un SEV de las matrices cuadradas de orden dos sobre el campo delos nmeros reales.


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Resolucin: No es un subespacio de M, ya que no cumple cerradura para la adicin.

De donde

Para el caso de la cerradura del producto por el escalar si se cumple.

Ejemplo

Sea P el espacio vectorial real de polinomios de grado menor o igual a dos con coeficientes realesy un subconjunto de P. Determinar:

a) Si S es un subespacio de P, y

b) Si, en caso afirmativo, obtener una base del espacio asociado de S.

Resolucin

a) Propiedad de cerradura para la adicin

No cumple con la propiedad de cerradura para la adicin. S no es un subespacio de P.

ESPACIOS VECTORIALES IMPORTANTES

Conjunto de todos los nmeros reales.

Conjunto de todos los pares ordenados.

Conjunto de todas las tercias ordenadas.


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Conjunto de todas las n-adas ordenadas.

Conjunto de todas las funciones continuas definidas sobre la recta numrica real.

Conjunto de todas las funciones continuas definidas sobre un intervalo cerrado.

Conjunto de todo los polinomios.

Conjunto de todo los polinomios de grado .

Conjunto de todas las matrices de orden .

Conjunto de todas las matrices cuadradas de orden .

Teorema

Sea cualquier elemento de (EV) y sea cualquier escalar. Entonces son ciertas las siguientespropiedades:

i)ii) Si entonces iii)iv)

Ejemplo

El conjunto de los nmeros enteros con la operacin usual de adicin, Constituye un espaciovectorial? No es cerrado para el producto por un escalar; es decir, .

Ejemplo

Sea el conjunto de matrices singulares de orden 2. Demuestre que no es un subespacio de con la adicin usual entre matrices.

Sea

y


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y

Son matrices singulares

Entonces

y

no es un sbespacio de ; no cumple con la propiedad de cerradura para la adicin.

Ejemplo

y

y

Son matrices singulares

Entonces

y

no es un subespacio de

Ejemplo

Demuestre que es un subespacio vectorial. un conjunto No vaco


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y cerrado bajo la adicin.

Figura 2. Representacin del SEV W en

y en donde la adicin se define como

Pero

Si y

SUBESPACIOS DE FUNCIONES (CLCULO)


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Figura 3. Representacin del SEV W en funciones

La interseccin de dos subespacios es un subespacio. Si y son subespacios de ( EV),entonces la interseccin de y Tambin es un subespacio de .

Figura 4. Representacin del SEV

Ejercicio


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Cul de estos subconjuntos es un subespacio de ?

a) El conjunto de puntos de la recta dada por

b) El conjunto de puntos de la recta dada por

Resolucin

Si se grafican ambas rectas tenemos

Figura 5. Representacin de la recta que contiene

Comprobamos cerradura para la adicin

Sean los elementos del conjunto de puntos que generan a la recta; es decir,

Al verificar la cerradura para la adicin, tenemos:

Para el producto por un escalar, se tiene:

Ahora bien para la recta que esta igualada con 1, se observa que no contiene y su grfica sera.


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Figura 6. Representacin de la recta que no contiene

De manera anloga, realizaremos la comprobacin de las propiedades de cerradura para la adiciny el producto por un escalar. Como en el caso anterior.

Cerradura para la adicin, se tiene:

Dado que no cumple con la cerradura para la adicin se concluye que la recta no es unsubespacio de .

De las dos rectas en , slo la que pasa por el origen es un subespacio de ; es decir, si es unsubconjunto de , entonces es subespacio si y slo si, se cumple una de las siguientes proposiciones:

i) consta slo del punto ii) consta de los puntos sobre una recta que pasa por el origen.iii) consta de

Figura 7. Representacin de las propiedades en

La circunferencia unitaria es un subespacio vectoria? No, dado que no contiene al origen.


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Conjunto Generador e Independencia Lineal

Para ello recordaremos la definicin que se manejo en la introduccin del captulo de EV, la cualfue CL. Un vector en un EV se denomina combinacin lineal de los vectores en

si se puede expresar en la forma.

donde son escalares.

Ejemplo

Sea es CL de y

Resolucin

Al resolver el SEL se tiene que es compatible determinado con y

Ejemplo

Sea es CL de , y

Resolucin

Usando el concepto de CL se tiene


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Resolviendo el SEL tenemos:

se tiene que es compatible determinado con , y

DEFINICIN DE DEPENDENCIA LINEAL

Sea un conjunto de vectores:

i) es linealmente dependiente si existen escalares NO todos iguales a cero, tal que

Esta expresin es tambin llamada ecuacin de dependencia lineal.

ii) es linealmente independiente si existen escalares TODOS iguales a cero, tal que

Esta expresin slo acepta la solucin trivial; es decir,

Teorema

Todo conjunto que contiene al vector nulo o bien el vector cero es linealmente independiente.

Teorema

Si es un conjunto linealmente independiente entonces cualquier subconjunto de eslinealmente independiente.

CONJUNTO GENERADOR (SON CONJUNTOS FINITOS)

Sea un EV sobre (campo) y sea un conjunto de vectores de . Se dice

que es generador de , si para todo vector , existen escalares tal que

Es decir, (Combinacin lineal de los vectores de , Variedad Lineal).


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o bien, est formado por vectores , debido a que es un subespacio de (se cumple cerradura parala adicin y la multiplicacin por un escalar). Toda CL de vectores de es un elemento de ; es decir,

, por lo tanto .

NotaEl conjunto de con coeficientes NO puede ser generado por un conjunto finito.

El conjunto de las funciones reales de variable real , es un EV de dimensin infinita.

DEFINICIN DE BASE

Se llama base de un EV a un conjunto generado de que es linealmente independiente.

DIMENSIN ( SLO PARA ESPACIOS FINITOS)

La dimensin de un espacio finito sera el nmero de elementos de cualquiera de sus Bases. La Basees el mnimo de vectores que pueden generar un EV.

Ejemplo

Sea P el EV real de polinomios de grado menor o igual a dos con coeficientes reales y

Un subconjunto de P. Determinar si T es un subespacio de P. En caso afirmativo, obtener una basey la dimensin de T. En caso negativo, explicar por qu T no es un subespacio de P.

Resolucin

Sean ,

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