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Álgebra Lineal
Bazán Florencia, Impa Judith, Luchetti Carmen, Stachoni Yanina
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Factorización LU
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Factorización LU
● Factorización de números naturales:
24= 2.3.4
● Factorización de matrices:
3 -1
9 -5
1 0
3 1
3 -1
0 -2
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Definición:Sea A una matriz cuadrada. Una factorización de A,
podemos escribirla como A= LU, donde L es triangular
inferior unitaria y U es triangular superior. A esto lo
llamamos factorización LU de A.
Observación:
● Si hubo necesidad de intercambiar renglones para escalonar, A no admite una factorización LU.
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¿Cómo obtenemos las matrices L y U?
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Paso por paso
La factorización LU (Lower-Upper) requiere hacer una serie de operaciones elementales, similar a Gauss, para obtener las matrices triangulares ● Hay que mantener guardado los pasos seguidos.
Veamos con un ejemplo:
A= 1 4 -23 -2 52 3 1
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Obtenemos U
1 4 -23 -2 52 3 1
A= F2=F2-3F1F3=F3-2F1
1 4 -20 -14 110 -5 5
F3=F3-5/14 F2 1 4 -20 -14 110 0 15/14
=U
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Obtenemos L
De la matriz anterior, nos quedan las siguientes matrices elementales:
E1= 1 0 0-3 1 0 0 0 1
E2= 1 0 1 0 1 0-2 0 1
E3=1 0 00 1 00 -5/14 1
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Por lo tanto...
E1.E2.E3.A = USi despejamos A, nos queda:
A = E1-1.E2
-1.E3-1.U
=L
L= =1 0 03 1 00 0 1
1 0 00 1 02 0 1
1 0 00 1 00 5/14 1
1 0 03 1 02 5/14 1
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Teorema 1Si A es una matriz cuadrada que puede reducirse a forma escalonada, sin usar intercambios de renglón, entonces A tiene una factorización LU.
Teorema 2Si A es una matriz invertible que tiene factorización LU, entonces L y U son únicas.
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Una aplicación útil de este tipo de factorización
Podemos usarla para despejar x, del sistema Ax=b.
Para ver mejor este tipo de aplicación, lo vemos con
un ejemplo.
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Paso por paso
Usamos una factorización LU de:
A= 2 1 3 4 -1 3-2 5 5
A= 1 0 0 2 1 0-1 -2 1
2 1 30 -3 -30 0 2
=LU
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Queremos resolver Ax=b, donde b es:
b= 1-4 9
Entonces para resolver Ax=b, hacemos:
L(Ux)=b y llamamos y=Ux
Primero resolvemos Ly=b para y:
y=
y1 y2 y3
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Obtenemos el siguiente sistema lineal:
y1
=1
2y1
+y2
=-4
-y1
-2y2
+y3
=9
De este sistema obtenemos los valores de “y”,
quedándonos de la siguiente manera:
y= 1-6-2
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Y ahora se resuelve Ux=y para x:
x=x1x2x3
Este sistema lineal, nos queda de la siguiente manera:
2x1
+x2
+3x3
=1-3x
2-3x
3=-6
2x3
=-2
Por lo tanto la solución al sistema Ax=b es:
½ 3-1
x=
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Factorización PA=LU
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Factorización PA=LUCuando no se pueden escalonar las matrices solamente con operaciones de eliminación, es necesario permutar las filas.
En este caso, tenemos que utilizar el método PA=LU, donde P es la matriz de permutación.
Matriz de Permutación
Se obtiene de cambiar de lugar los renglones de la matriz identidad.
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Teorema:
Si P es una matriz de permutación, entonces P-1=PT.
Definición:
Sea A una matriz cuadrada. Una factorización de A, como A=PTLU, donde P es una matriz de permutación, L es triangular inferior y U es triangular superior, se llama factorización PTLU de A.
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¿Como factorizamos A=PTLU?
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Obtenemos P
0 0 61 2 32 1 4
A=Primero reducimos A de forma escalonada por renglones. Claramente vemos que es necesario hacer al menos, un intercambio de renglón.
0 0 61 2 32 1 4
R2 R11 2 30 0 62 1 4
R3- 2R1 1 2 30 0 60 -3 -2
1 2 30 -3 -2 0 0 6
R2 R3Se usaron dos intercambios de renglón.
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La matriz de permutación requerida es:
P=P1P2=1 0 00 0 10 1 0
0 1 01 0 00 0 1
=0 1 0 0 0 11 0 0
y teniendo P podemos seguir calculando PA=LU
Teorema:Toda matriz cuadrada tiene una factorización PTLU.
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Factorización QR
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Factorización QR de una MatrizDada una matriz A (no necesariamente cuadrada), con columnas linealmente independientes, encontraremos matrices Q, R tales que:
● A = QR.● Las columnas de Q son un conjunto ortonormal. ● Q es del mismo tamaño que A. ● R es triangular superior invertible.
La forma de hacerlo es aplicando el proceso de Gram-Schmidt a las columnas de A.
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Proceso de Gram-Schmidt A partir de los vectores linealmente independientes v1, . . . , vn se construyen
u1=v1
uk = vk −∑ uj j=1,2,3..〈vk,uj〉
||uj||2
Los vectores u1, … , un son ortogonales.|
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Veamos con un ejemplo cómo sacar las matrices Q y R mediante el método G-S
A=
1 1 10 1 00 0 10 1 1
Las columnas son
v1 = (1,0,0,0)
v2 = (1,1,0,1)
v3 = (1,0,1,1)
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Apliquemos el proceso de Gram-Shmidt en A
● u1 = v1 = (1, 0, 0, 0)t .
● u2 = v2- u1 = v2 - u1 = (1,0,1,0)t〈v2,u1〉
||u1||2
● u3 = v3- u1 + u2 = v3 - u1 - u2 = (0,-½ ,1,½)t〈v3,u1〉
||u1||2 ||u2||
2
〈v3,u2〉
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Ahora se tiene:A= (v
1,v
2,v
3)
= (u1
| u1+u2 | u1 + ½u2 + u3)
= (u1 | u2 | u3)
=
1 1 10 1 ½0 0 1
u1
||u1||u2
||u2|| ||u3||
u3 0 00 00 0
||u1||||u2||
||u3||
1 1 10 1 ½0 0 1
=Q =R
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Iteración QR para hallar autovalores aproximados de una matriz
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Procedimiento
● A= A1 ● Para k=1, 2, ...
Ak = Qk Rk
● Se construye
Ak+1 = Rk Qk
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● Cada Ak, con k=1, 2, … es semejante a A.
● Se llega a una matriz triangular superior o triangular superior por bloques, cuyos autovalores son de fácil cálculo
Observaciones
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Ejemplo
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Comprobemos:
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Factorización QR ModificadaCuando una matriz no tiene columnas linealmente independientes, no funciona el proceso de Gram-Schmidt. Entonces necesitamos una factorización QR generalizada de la matriz A.
Teorema Sea Q una matriz de nxn. Los enunciados siguientes son equivalentes:a) Q es ortogonal.b) ||Qx|| = ||x|| para todo x en Rn
c) Qx.Qy = x.y para todo x e y en Rn
(Demostración)
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El “análogo ortogonal” de una matriz elemental Necesidad de que ||x|| = ||Qx||=||y||
Podemos reflejar x en una línea perpendicular a x-y.
ReflexiónFl : la transformación que refleja un vector en l que pasa por el origen de R2
Si
es el vector unitario en la dirección x-y, entonces es ortogonal a u.u⊥= -d2
d1
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Podemos encontrar la matriz estándar Q de la reflexión en la recta que pasa a través del origen en la dirección de u⊥ . Pl: R
2 →R2: transformación lineal que proyecta un vector(o un punto) sobre la recta l P es una transformación matricial con matriz estándar.
En el plano xy, la forma general de la ecuación de una línea recta es ax + by =c.
Si b es distinto de cero, entonces la ecuación puede reexpresarse como
y = -(a/b) x + c/b
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● El vector n es perpendicular a la recta, es decir, es ortogonal a cualquier vector que sea paralelo a la recta.Es el vector normal a la línea recta.
¿Cuál es el significado del vector d?
Es un particular vector paralelo a l (vector de dirección) para la recta. Sea la recta l que tiene un vector con dirección d y v un vector arbitrario. Entonces, Pl está dado por proyd (v) (la proyección de v sobre d)
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Matriz de Householder
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Definición de Q (por generalización)Si u es cualquier vector unitario en Rn definimos una matriz Q de nxn como
Q = I - 2 uu⊥ Una matriz de este tipo se denomina Matriz de Householder (o reflector elemental)
Matriz de HouseholderHace que a cada vector x de un espacio vectorial lo refleje con respecto a un hiperplano (que llamo S, ya que es un subespacio) que tiene como normal a un w.
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● Su propiedad es ser un proceso que conduce a una “triangularización de la matriz dada mediante transformaciones ortogonales” (caso real) “o unitarias” (caso complejo).
● Este método es el resultado de aplicar un teorema general del Álgebra que establece que “toda transformación ortogonal (o unitaria) es un producto de simetrías (reflexiones)”.
● Tratamos de realizar sobre la matriz A una serie de transformaciones unitarias (u ortogonales, en el caso real) Q1, Q2, ... ,Qn tales que Qn...Q1 A =R sea una matriz triangular superior.
Observaciones
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Esta factorización completa se produce cuando cada Qi es unitaria(ortogonal en el caso real) y de tamaño m x m y, R es de tamaño m x n. Este método propuesto por Alston Householder en el año 1958, es una forma ingeniosa de diseñar matrices unitarias Qk donde las operaciones son:
x→ elemento de la matriz, no necesariamente cero. *→ elemento que se ha modificado recientemente. En general, opera sobre las filas k, … ,m.
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Propiedades de las Matrices de Householder
Toda Matriz de Householder Q satisface las siguientes propiedades:
● Q es simétrica● Q es ortogonal● Q es unipotente
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Rotaciones de Givens
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Es otra manera de calcular la factorización QR.
Son matrices cuadradas cuyo efecto aplicado a un vector es rotar un ángulo .
Ejemplo:
Además introducen ceros en vectores o matrices. Gracias a esto, se pueden aplicar varias matrices de Givens para triangularizar una matriz A. Por esta propiedad para llegar a una matriz triangular superior R. Luego Q será el producto de las matrices transpuestas de Givens que se necesitaron para obtener R a partir de A.
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¡Felices Fiestas!