Universidad Andres BelloFacultad de Ciencias ExactasDepartamento de Matematicas

Algebra (FMM013)SOLEMNE 2

Octubre 19, 2012.Duracion: 90 minutos.

Importante: No se asignaran puntos por respuestas sin justificacion.

Problema 1 : (1,2 puntos) Utilice el principio de induccion para demostrar que

ni=1

i 2i = (n 1)2n+1 + 2 para todo n 1

Solucion:Base inductiva: Para n = 1 tenemos

1i=1

i 2i = 1 21

= 2

= (1 1)21+1 + 2

Hipotesis de induccion: Suponemos que para n = k se tieneki=1 i 2i = (k 1)2k+1 + 2

Tesis de induccion: La proposicion es cierta para n = k + 1. Es decir queremosprobar que

k+1i=1 i 2i = (k)2k+2 + 2

Demostracion:

k+1i=1

i 2i =ki=1

i 2i + (k + 1) 2k+1

= (k 1)2k+1 + 2 + (k + 1) 2k+1= (k 1 + k + 1)2k+1 + 2= 2k2k+1 + 2

= k 2k+2 + 2

De acuerdo al principio de induccion tenemos entonces que la proposicion es verdaderapara todo n 1.

Problema 2 : (1,2 puntos) Utilice binomio de Newton para calcular el coeficiente de xen el desarrollo de (

3x+

1x

)18

Solucion:

(3x+

1x

)18=

18k=0

(18

k

)xk3x

12(18k)

=18k=0

(18

k

)xk3 (18k)

2

El coeficiente de x corresponde al valor de k tal que

k

3 (18 k)

2= 1

Simplificando obtenemos k = 12.Por lo tanto el coeficiente de x en el desarrollo del binomio es(1812

)Problema 3 : Se tiene un tanque de con 102 litros de agua. En el primer minuto se extraen

5 litros, en el segundo minuto se extraen 5 14litros, en el tercer minuto se extraen

5 24litros, etc. Es decir en cada minuto siguiente se extraen 1/4 litro menos que en

el minuto anterior.

a) (0,3 puntos) Escriba un formula para la sucesion an de cantidad de agua quese extrae en el minuto n.

b) (1,2 puntos) Encuentre cuantos minutos se necesitan para extraer la mitad delagua del tanque.

Solucion:

a) Tenemosa1 = 5a2 = 5 14a3 = 5 214an = 5 (n 1)14

b) En el minuto n se han sacado a1+an2

n litros.Tenemos

102

2=

5 + 5 + (n 1)(1/4)2

n

Simplificando obtenemosn2 41n+ 408 = 0Resolviendo tenemos n = 17 o n = 24Como tenemos que sacar una cantidad positiva de agua, tenemos la restriccion0 an < 5. De aqui obtenemos 1 < n < 21.La unica solucion valida es n = 17 minutos.

Problema 4 : (1,2 puntos) Encuentre todas las races, reales y complejas, del polinomio

P (z) = z2 (1 + 3i)z (2 2i)

Solucion:Tenemos

z =1 + 3i+

(1 + 3i)2 4(2i 2)

2

=1 + 3i+

1 + 6i 9 8i+ 8)

2

=1 + 3i+

2i)2

Para encontrar2i buscamos

(a+ bi)2 = 2i(a2 b2) + i(ab) = 2iObtenemos el sistema{

a2 b2 = 0ab = 1 Resolviendo tenemos a = 1, b = 1 y a = 1, b = 1.

Por lo tanto las races cuadradas complejas de 2i son 1 i y 1 + i.Volviendo a z tenemos que las dos races del polinomio son

z1 =1 + 3i+ 1 i

2= 1 + i

z2 =1 + 3i 1 + i

2= 2i

Problema 5 : (1,2 puntos) En una oficina trabajan 12 personas. Para un proyecto sedecide formar un equipo de 5 personas. Lamentablemente, dos de las personas se niegana trabajar juntas. Cuantos equipos distintos se pueden formar?

Solucion 1:Llamemos A y B a las personas que no quieren trabajar juntas. TenemosTotal de equipos posibles sin restriccion:

(125

)Equipos con ambas, A y B, en ellos:

(103

)Equipos donde no estan simultanemaete A y B:

(125

) (103

)Solucion 2:Equipos donde no estan A ni B:

(105

)Equipos donde esta A pero no B:

(104

)Equipos donde esta B pero no A:

(104

)Equipos donde no estan simultanemaete A y B:

(105

)+(104

)+(104

)