Universidad Andres BelloFacultad de Ciencias ExactasDepartamento de Matematicas

Algebra (FMM013)SOLEMNE 3

Junio 22, 2012.Duracion: 90 minutos.

Importante: No se asignaran puntos por respuestas sin justificacion.

Problema 1 : (1,5 puntos) Sean A, B y C conjuntos. Simplifique la siguiente expresion.

[Cc (A B)] [Bc (Ac Cc)]

Solucion:[Cc (A B)] [Bc (Ac Cc)]

(Cc A) (Cc B) (Bc Ac) (Bc Cc)(Cc A) (Bc Ac) [(Bc Cc) (Cc B)]

(Cc A) (Bc Ac) [Cc (B Bc)](Cc A) (Bc Ac) [Cc ](Cc A) (Bc Ac) Cc[Cc (Cc A)] (Bc Ac)

Cc (Bc Ac)Problema 2 : En R {1} definimos la operacion

a b = a+ b ab

a) (0,3 puntos) Demuestre que + esta bien definida, es decir, demuestre que si ay b pertenecen a R {1} entonces a b tambien pertenece a R {1}.

b) (1,2 puntos) Demuestre que (R {1}, ) es un grupo abeliano.Solucion:

a) Debemos probar que si a 6= 1 y b 6= 1 entonces a b = a+ b ab 6= 1Tenemos:a+ b ab = 1a+ b ab 1 = 0(a 1)(1 b) = 0a = 1 b = 1Por lo tanto si a 6= 1 y b 6= 1 entonces a b 6= 1

b)

Conmutatividad: a b = a+ b ab = b+ a ba = b a

Asociatividad:(a b) c = a (b c)(a+ b ab) c = a (b+ c bc)(a+ b ab) + c (a+ b ab)c = a+ (b+ c bc) a(b+ c bc)a+ b ab+ c ac bc+ abc = a+ b+ c bc ab ac+ abclo cual es cierto.

Existencia de neutro: Debemos probar que e R{1} tal que a R{1} se tiene ea = ae = a.Como ya probamos que la operacion es conmutativa, alcanza con probar ae =a.Tenemosa e = aa+ e ae = ae ae = 0e(1 a) = 0e = 0 (pues a 6= 1)

Existencia de inversos: Debemos probar que a R {1}, b R {1} tal que a b = b a = e =0. Como ya probamos que la operacion es conmutativa, alcanza con probara b = 0.Tenemos:a b = 0a+ b ab = 0b =

a

a 1 (pues a 6= 1)Ademas el b encontrado es 6= 1, en efecto a

a 1 = 1 a = a 1 0 = 1,contradiccion.

Problema 3 : Se realiza una encuesta a un grupo de 48 personas sobre el uso de pulsera,aro y collar. Se obtiene:12 personas usan pulsera16 personas usan aro16 personas usan collar.36 personas no usan pulsera32 personas no usan aro32 personas no usan collar27 personas no usan pulsera ni aro24 personas no usan aros ni collar26 personas no usan pulsera ni collar11 personas usan por lo menos dos accesorios

a) (0,8 puntos) Cuantas personas no usan pulsera ni aros ni collar?

b) (0,7 puntos) Cuantas personas usan simultanemente pulsera, aro y collar?

Solucion:

De acuerdo a los datos tenemos las siguientes ecuaciones:a+ b+ c+ d+ f + g + h = 48a+ d+ e+ g = 12c+ e+ f + g = 16b+ d+ f + g = 16b+ c+ f + h = 36a+ d+ b+ h = 32a+ e+ c+ h = 32

b+ h = 27 b=27-ha+ h = 24 a=24-hc+ h = 26 c=26-hd+ e+ f + g = 11

De b+ c+ f + h = 36 obtenemos (27 h) + (26 h) + f + h = 36 f=h-17

De a+ d+ b+ h = 32 obtenemos (24 h) + d+ (27 h) + h = 32 d=h-19

De a+ e+ c+ h = 32 obtenemos (24 h) + e+ (26 h) + h = 32 e=h-18

De b+ d+ f + g = 16 obtenemos (27 h) + (h 19) + (h 17) + g = 16 g=25-hDe d+e+f+g = 11 obtenemos (h19)+(h18)+(h17)+(25h) = 11 2h = 40h=20

Podemos ahora responder las preguntas:

a) 20 personas no usan ni pulsera, ni aro, ni collar.

b) g = 25 h = 25 20 = 5. Por lo tanto 5 personas usan simultaneamente pulsera,aro y collar.

Problema 4 : SeaR = {(x, y) RR : x y Z}

(Es decir xRy si x y es un entero)a) (0,6 puntos) Demuestre que R es una relacion de equivalencia en R.b) (0,4 puntos) Describa [0]R y [12 ]R las clase de equivalencia del 0 y del

12respec-

tivamente.

c) (0,5 puntos) Determine el cardinal que tiene el conjunto de clases de equivalenciade esta relacion. Justifique.

Solucion:

a)Propiedad refleja: Para cualquier x R se tiene que xRx ya que tenemosx x = 0 Z.Propiedad simetrica: Si xRy, entonces, x y Z y x Z yRx.Propiedad transitiva: Supongamos que

xRy

yRz,entonces

x y = n Z

y z = m ZSumando ambas ecuaciones tenemos

x z = n+m Z

y por lo tanto xRz.b)

[0]R = {x R : xR0}= {x R : x 0 Z}= {x R : x Z}= Z

[1/2]R = {x R : xR1/2}= {x R : x 1/2 = n Z}= {1/2 + n : n Z}= 1/2 + Z

c) Dado x R siempre existe n entero tal que x [n, n + 1), entonces x n [0, 1). Ademas se tiene xR(x n). Es decir, x siempre esta relacionado con algunelemento en el intervalo [0, 1).Por otro lado, si 0 x < y < 1 entonces 0 < y x < 1 y por lo tanto x noesta relacionado con y. En otras palabras, [x]R 6= [y]R.Sea C el conjunto de clases de equivalencia de R. Definimos una funcion:

: [0, 1) C

como (x) = [x]R.Por los argumentos dados mas arriba, es una biyeccion.Por lo tanto

card C = card[0, 1) = cardR