Universidad Andres BelloFacultad de Ciencias ExactasDepartamento de Matematicas

Algebra (FMM013)SOLEMNE 2

Mayo 18, 2012.Duracion: 90 minutos.

Importante: No se asignaran puntos por respuestas sin justificacion.

Problema 1 : (1,2 puntos) Utilice el principio de induccion para demostrar que 23n 1es divisible por 7 para todo n N,Solucion:Base inductiva: para n = 1 tenemos 23(1) 1 = 8 1 = 7, obviamente multiplo de 7.Hipotesis de induccion: Suponemos que la proposicion es verdadera para n = k, esdecir suponemos

23k 1 = 7Apara algun A N.Tesis de induccion: La proposicion es verdadere para n = k + 1.Demostracion: Tenemos

23(k+1) 1 = 23k23 1= (7A+ 1)23 1 por hipotesis de induccion= (7A+ 1)(8) 1= 7(8A+ 1)

Es decir, probamos que 23(k+1) 1 es multiplo de 7.

Por el principio de induccion, tenemos entonces que la proposicion es verdadera paratodo n N.

Problema 2 : (1,2 puntos) Utilice binomio de Newton para calcular el coeficiente de x2

en el desarrollo de (x2 + 1

)18(1 x)9

Solucion:

(x2 + 1

)18(1 x)9 =

(18i=0

(18

i

)(x2)i(1)18i

)(9

j=0

(9

j

)(1)j (x)9j

)Al multiplicar se obtiene x2 cuando i = 0 y j = 7, y cuando i = 1 y j = 9.Respectivamente los coeficientes son:

(180

)(97

)(1)2 y (18

1

)(99

)(1)0.

Por lo tanto el coeficiente de x2 es(18

0

)(9

7

)(1)2 +

(18

1

)(9

9

)(1)0 = (1)(36)(1) + (18)(1)(1)

= 36 + 18

= 54

Problema 3 : Sea A = {1, 2, 3, 4}. Determine el valor de verdad de las siguientes proposi-ciones:

a) (0,6 puntos) (x A)(y A) ((x 1)(y + 1) < 6 (x 1)(y + 1) > 12)b) (0,6 puntos) (x A)(y A) (x2 + xy 5)

Solucion:

a) Verificamos la proposicion para todo x A. Tenemos:Para x = 1, existe y = 1 tal que (x 1)(y + 1) < 6Para x = 2, existe y = 1 tal que (x 1)(y + 1) < 6Para x = 3, existe y = 1 tal que (x 1)(y + 1) < 6Para x = 4, existe y = 4 tal que (x 1)(y + 1) > 12Por lo tanto la proposicion es verdadera.

b) Fijamos x = 1 y vemos que para todos los y A se tiene que x2 + xy 5:para y = 1, x2 + xy = 1 + 1 5, verifica.para y = 2, x2 + xy = 1 + 2 5, verifica.para y = 3, x2 + xy = 1 + 3 5, verifica.para y = 4, x2 + xy = 1 + 4 5, verifica.Por lo tanto la proposicion es verdadera.

Problema 4 : (1,2 puntos) Considere la sucesion aritmetica cuyos primeros terminos son

5, 7, 9, . . .

Determine cuantos terminos hay que sumar para que el resultado de la suma sea 572.

Solucion:Tenemos que el termino general de la sucesion es

an = 5 + 2(n 1)La suma indicada es

a1 + a2 + . . .+ ak = 572

(5 + 0) + (5 + 2) + (5 + 4) + . . .+ (5 + 2(k 1)) = 5725k + (0 + 2 + 4 + . . .+ 2(k 1)) = 5725k + 2(0 + 1 + 2 + . . .+ (k 1)) = 572

5k + 2(k 1)(k)

2= 572

5k + k(k 1) = 572k2 + 4k 572 = 0

(k 22)(k + 26) = 0

Por lo tanto k = 22 o k = 26. Esta ultima solucion no tiene sentido ya que k debeser un entero positivo.La unica solucion es k = 22.

Problema 5 : (1,2 puntos) Sean p, q y r proposiciones tales que p q r r es falsa.Determine el valor de verdad de

p (q r) q

Solucion:Para que (p q r r) F debemos tenerp q r Vr FSustituyendo el valor de r en p q r V obtenemosp q F Vsimplificandop q VAhora vamos a la proposicion en cuestion:

p (q r) q

p (q F ) qp F qp qp qV