Universidad Andres BelloFacultad de IngenierıaDepartamento de Matematicas

Algebra (FMM013)SOLEMNE 3

Diciembre 2, 2011.Duracion: 90 minutos.

Importante: No se asignaran puntos por respuestas sin justificacion.

Problema 1 : (1,2 puntos) Sean A, B y C conjuntos, tales que

C ⊆ (A ∪B) A ∩B ∩ C 6= ∅ C −B 6= ∅ C − A 6= ∅

Confeccione un posible diagrama de Venn-Euler para la situacion dada.

Problema 2 : (1,2 puntos) Sean A, B y C conjuntos cualquiera. Utilice propiedades deconjuntos para probar que

(Bc − Ac)c ∩ [(A−Bc) ∪ (B − A)] = B

Solucion:

(Bc − Ac)c ∩ [(A−Bc) ∪ (B − A)] = (Bc ∩ A)c ∩ [(A ∩B) ∪ (B ∩ Ac)]

= (B ∪ Ac) ∩ [B ∩ (A ∪ Ac)]

= (B ∪ Ac) ∩ [B ∩ U ]

= (B ∪ Ac) ∩B

= B

Problema 3 : (1,2 puntos) Demuestre que√

7 no es un numero racional.

Demostracion: Suponemos que√

7 es racional, es decir, suponemos que podemosescribir

√7 = a

b, con a y b numeros enteros sin factores comunes y b > 0. Tenemos:√

7 = ab⇒ 7b2 = a2 ⇒ 7|a2 ⇒ 7|a ⇒ a = 7n para algun n ∈ Z. Volviendo a 7b2 = a2

y sustituyendo la expresion para a, obtenemos: 7b2 = (7n)2 ⇒ b2 = 7n2 ⇒ 7|b2 ⇒ 7|b.Obtuvimos que 7 divide a a y a b, una contradiccion ya que supusimos que a y b notenıan factores comunes. Concluimos entonces que

√7 no puede expresarse como una

fraccion. ¤

Problema 4 : Sea S = R−{2} y considere ∗ una operacion definida en S por a∗b = a+b− ab2

a) (0,8 puntos) Demuestre que (S, ∗) es un grupo abeliano.

b) (0,4 puntos) Encuentre la solucion de la ecuacion x−1 = x, donde la inversaesta considerada con respecto a la operacion dada.

Solucion:

a)asociatividad:

(a ∗ b) ∗ c?= a ∗ (b ∗ c)

(a + b− ab

2) ∗ c

?= a ∗ (b + c− bc

2)

a + b− 2ab + c− (a + b− ab2)c

2?= a + b + c− bc

2− a(b + c− bc

2)

2

a + b + c− ab

2− ac

2− bc

2+

abc

4?= a + b + c− ab

2− ac

2− bc

2+

abc

4

La ultima igualdad es verdadera y por lo tanto la operacion es asociativa.

conmutatividad:a ∗ b = a + b− ab

2= b + a− ba

2= b ∗ a

existencia de neutro: (probamos neutro solo a la derecha ya que por ser laoperacion conmutativa, no es necesario repetir el argumento por la izquierda)Buscamos e ∈ S tal que a ∗ e = a para todo a ∈ S. Tenemosa ∗ e = a⇔ a + e− ae

2= a

⇔ e− ae2

= 0⇔ e(1− a

2) = 0, a 6= 2 ⇔ e = 0

Claramente para cuaqier a ∈ S tenemos a ∗ 0 = a y por lo tanto el nuetro de laoperacion es e = 0.

existencia de inversos: (como la operacion es conmutativa, alcanza con encon-trar los inversos de un solo lado)Dado a ∈ S buscamos x ∈ S tal que a ∗ x = e = 0Tenemosa ∗ x = 0⇔ a + x− ax

2= 0

⇔ x(1− a2) = −a

⇔ x =−a

1− a2

, (a 6= 2)

Por lo tanto a−1 =−a

1− a2

b) Tenemosx−1 = xx−1 ∗ x = x ∗ xe = x ∗ x0 = x + x− x2

2

0 = x(2− x2)

Por lo tanto x = 0 o x = 4.

Problema 5 : Sea (a, b) un par ordenado, fijo durante este ejercicio. En R2 se define larelacion R mediante:

(x, y)R(w, z) si ∃λ ∈ R tal que (x− w, y − z) = λ(a, b)

a) (0,6 puntos) Demuestre que R es una relacion de equivalencia.

b) (0,3 puntos) Encuentre la clase de equivalencia de (1, 1).

c) (0,3 puntos) Demuestre que la clase de equivalencia del par (1, 1) es igual a laclase del par (1− a, 1− b)

Solucion:

a)Propiedad refleja: Para cualquier (x, y) ∈ R2 se tiene que (x, y)R(x, y) ya quetomando λ = 0 tenemos (x− x, y − y) = (0)((a, b) = 0.Propiedad simetrica: Si (x, y)R(z, w), entonces existe λ ∈ R tal que (x−z, y−w)0λ(a, b), entonces, (z − x, w − y) = (−λ)(a, b), y por lo tanto (z, w)R(x, y).Propiedad transitiva: Supongamos que

(x, y)R(z, w)∧

(z, w)R(u, v),

entonces existen λ1 y λ2 numero reales tal que

(x− z, y − w) = λ1(a, b)∧

(z − u,w − v) = λ2(a, b)

Sumando ambas ecuaciones tenemos:

(x− u, y − v) = (λ1 + λ2)(a, b)

Esto es (x, y)R(u, v).

b) [(1, 1)] = {(x, y) ∈ R2 : (x, y)R(1, 1)}Pero (x, y)R(1, 1) si ∃λ ∈ R tal que (x− 1, y − 1) = λ(a, b).Es decir x = λa + 1 y = λb + 1Por lo tanto

[(1, 1)] = {(x, y) ∈ R2 : x = λa + 1, y = λb + 1, λ ∈ R}

Eliminando el parametro λ tenemos que la clase del (1, 1) es la recta de ecuacionbx− ay = b− a.

c) Tenemos que (1, 1)R(1−a, 1−b) pues (1−(1−a), 1−(1−b)) = (1)(a, b) (tomamosλ = 1). Como ademas R es una relacion de equivalencia, tenemos que las clasescoinciden.