Álgebra y trigonometría - 7ma edición - sullivan

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SULLIVAN

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denritsTexto tecleadou-libros.com

PractiqueResuelva el/los problema(s)

Caracterstica Descripcin Recompensa Pgina

Evale su comprensin contiene una variedad de problemas al final de cada seccin.

Problemas stos determinan su retencin del material Siempre recuerda lo que aprendi? Resolver 423Est previo que usted necesitar. Las respuestas estos problemas es la mejor forma depreparado? se encuentran al final de los ejercicios para descubrirlo. Si resuelve mal alguno de ellos,

la seccin. Esta propiedad se relaciona sabr exactamente lo que necesita repasarcon la caracterstica Preparacin para esta y dnde encontrarlo.seccin.

Conceptos Estos problemas de respuesta corta; es Aprender matemticas es ms que slo 423y vocabulario decir, reactivos de completar la frase y de memorizar; se trata de descubrir conexiones.

cierto o falso, evalan su comprensin Estos problemas le ayudan a captar las ideasde las definiciones y los conceptos clave de importantes antes de empezar a construirla seccin en curso. habilidades matemticas.

Desarrollo de Estos problemas, correlacionados con los Es importante profundizar y desarrollar sus 423-5habilidades ejemplos de la seccin, le brindan una capacidades para resolver problemas. Estos

prctica directa y organizada por nivel problemas le dan la prctica necesaria parade dificultad. lograrlo.

Grficos Estos problemas utilizan las grficas Aumentar su capacidad analtica con 424de muchas formas. la comprensin grfica.

Ahora Muchos ejemplos lo remiten a un problema Si se atora al resolverlos, busque el problema 425resuelva relacionado como tarea. Estos problemas Ahora resuelva... ms cercano y consulte problemas estn marcados con la imagen de un lpiz el ejemplo relacionado, para ver si le resulta

y con nmeros de ayuda.

Aplicaciones Los problemas de aplicacin (problemas Las matemticas estn en todas partes, y estos 425-8expresados con palabras) se encuentran problemas lo demuestran. Usted aprender adespus de los problemas de desarrollo abordar problemas reales, y cmo dividirlos en de habilidades bsicas. partes ms manejables. Esto puede resultar

desafiante, pero vale la pena el esfuerzo.

Calculadora Estos problemas opcionales requieren del Por lo general, el profesor le dar 426grfica uso de una utilidad de graficacin, y estn instrucciones sobre si resolver o no estos

marcados con un icono especial y nmeros problemas. De hacerlo, le ayudarn aresaltados. verificar y visualizar sus resultados

analticos.

DEI Los problemas Discusin, escritura e in- Verbalizar una idea, o describirla con 428 vestigacin estn marcados con un icono claridad por escrito, muestra una (#99)especial y nmeros resaltados. Son para comprensin verdadera. Estos problemasrespaldar el anlisis en clase, la verbaliza- consolidan dicha comprensin.cin de ideas matemticas, y los escritos Son desafiantes, pero usted obtendry proyectos de investigacin. a lo que ponga en ellos.

NUE

VONUE

VO

RepasoEstudio para exmenes

Temas para Es una lista detallada de los teoremas, frmu- Repselos y sabr cul es el material ms 482-3recordar las, identidades, definiciones y funciones im- importante del captulo.

portantes que se encuentran en el captulo.

Usted deber Contiene una lista completa de los objeti- Resuelva los ejercicios recomendados y 483-4ser capaz de... vos por seccin, con sus ejercicios de dominar el material ms importante.

prctica correspondientes. Si obtiene alguna respuesta equivocada, repase los nmeros de pgina sugeridose intntelo de nuevo.

Ejercicios stos le brindan un repaso y prctica La prctica hace al maestro. Estos 484-8de repaso minuciosos de las habilidades fundamen- problemas combinan ejercicios de todas

tales, relacionados con los objetivos de las secciones, brindndole un repaso aprendizaje de cada seccin. exhaustivo en un solo lugar

Prueba Los ejercicios de repaso contienen Preprese. Resuelva la prueba de prctica. 484-8de prctica problemas numerados en color azul. sta le mostrar si est listo para

En conjunto, estos problemas constituyen su examen real.una prueba de prctica del captulo.

Proyectos El Proyecto del captulo exige la aplicacin El proyecto le brinda la oportunidad de 488-9del captulo del aprendido en ese captulo. En un sitio aplicar lo aprendido en el captulo para

Web se encuentran disponibles resolver un problema relacionado con elproyectos adicionales. artculo de apertura. Si su profesor lo avala,

constituye una magnfica oportunidad paratrabajar en equipo, que con frecuencia es lamejor forma de aprender matemticas.

Repaso Estos conjuntos de problemas aparecen Son verdaderamente importantes. Sirven 489-490acumulativo al final de los captulos 2 al 13. Combinan para asegurarse de que no se olvida nada

los problemas de los captulos anteriores, a medida de que avanza. Son bastante ofreciendo un repaso acumulativo tiles para mantenerlo preparado de continuo. manera constante para pruebas y exmenes.

Caracterstica Descripcin Recompensa Pgina

El Repaso del captulo se encuentra al final de cada captulo y contiene

NUE

VONUE

VONUE

VO

PARA EL ESTUDIANTE

Cuando comience, quiz sienta algo de ansiedad debido al nmero de teoremas, definiciones, pro-cedimientos y ecuaciones. Es probable que se pregunte si puede aprenderlo todo a tiempo. No sepreocupe, a veces la ansiedad es normal. El texto se escribi tomndolo a usted en cuenta. Si asiste aclases, trabaja con empeo, y lee y estudia este libro, edificar los conocimientos y las habilidades nece-sarias para tener xito. A continuacin se describe cmo utilizar el libro en su provecho.

Lea con cuidadoCuando se est muy ocupado, es muy fcil omitir la lectura y pasar directamente a los problemas. No lohaga..., este libro tiene gran cantidad de ejemplos y explicaciones claras que le ayudarn a dividir lasmatemticas en pasos fciles de entender. La lectura le proporcionar una comprensin ms clara, msall de la simple memorizacin. Lea antes de la clases (no despus), de manera que pueda formularpreguntas relacionadas con lo que no entienda. Si lo hace, quedar sorprendido por lo mucho que ob-tiene de sus clases.

Utilice las caractersticasPara comunicarme, yo utilizo diversos mtodos. Al incorporar tales mtodos a este libro, los denomi-n caractersticas, las cuales responden a varios propsitos, desde ofrecer un repaso oportuno del ma-terial estudiado (slo cuando usted lo necesite), hasta brindarle sesiones de repaso organizadas paraayudarlo a preparar sus exmenes. Aproveche estas caractersticas y dominar el material.

Para hacerlo ms sencillo, inclu una breve gua para lograr el mximo provecho de ste libro (slo re-vise las pginas anteriores). Dedique quince minutos al repaso de esta gua y familiarcese con las car-actersticas revisando las pginas cuyos nmeros se indican. Luego utilcelas conforme lea. Es la mejorforma de aprovechar al mximo su libro de texto.

No dude en ponerse en contacto conmigo, a travs de Pearson Educacin, para informarme de cua-lesquiera dudas, sugerencias o comentarios que pudiesen mejorar este texto. Espero saber de ustedms adelante, y le deseo la mejor de las suertes con sus estudios.

Con mis mejores deseos,Michael Sullivan

Recursos para ayudarle con sus estudios

Paquete de apoyo para el alumno

Es un sencillo paquete fcil usar, disponible para su adquisicin con su libro o por separado.Este invaluable paquete de estudios contiene lo siguiente:

Manual de soluciones para el estudianteEs un manual impreso que contiene las soluciones completas de todos los ejercicios impares del libro.

Centro tutorial de PearsonLos tutores proporcionan supervisin para cualquier problema con la respuesta en la parte poste-rior del libro. Puede contactar al Centro Tutorial mediante una lnea telefnica gratuita, fax ocorreo electrnico.

Serie de exposiciones en CD-ROMEs un completo sistema de CD-ROM especficos para el libro, que contiene pequeos video-clipsdonde se explican los objetivos del captulo y se resuelven problemas fundamentales. Estos videosofrecen un excelente respaldo para quienes necesitan ayuda extra, o para quines estn tomandoun curso a distancia y/o materias en sistema abierto.

Repaso del lgebraSon cuatro captulos con un repaso del lgebra intermedia, escritos con el mismo estilo que sulibro.

Opciones de tutorial y tarea

MathXL

MathXL es un sistema de tareas, supervisin y evaluacin on line que acompaa a su libro de tex-to. Los profesores pueden crear y asignar tareas y exmenes on line, utilizando ejercicios genera-dos de manera algortmica correlacionados con el libro. Se da seguimiento a su trabajo en una listade evaluaciones on line. Usted podra responder exmenes del captulo y recibir planes de estudiopersonalizados con base en los resultados. El plan de estudios determina sus debilidades y lo enla-za con los ejercicios tutoriales que necesita estudiar. Tambin pueden tener acceso a video-clipsde los ejercicios seleccionados. Para mayor informacin, visite www.mathxl.com. (El profesor puede activar y configurar a MathXL)

MyMathLab (Internet)

MyMathLab es un curso completo on line que le ayudar a tener xito en su aprendizaje. Contieneuna versin on line de su libro de texto, con vnculos a recursos multimedia, como video-clips yejercicios de prctica, relacionados con los ejemplos y ejercicios del texto. MyMathLab le sugierentarea y exmenes on line, y genera un plan de estudio personalizado con base en sus resultados.Este plan lo enlaza con un gran nmero de ejercicios tutoriales para que los estudie, de maneraque practique hasta dominar las disciplinas. La libreta de calificaciones de MyMathLab lleva unseguimiento de todo el trabajo de tarea, exmenes y tutoriales que usted realice. (El profesor puede activar y configurar a MyMathLab)

SPTIMA EDICIN

LGEBRA YTRIGONOMETRA

Michael SullivanChicago State University

TRADUCCINMarcia Gonzlez OsunaSergio Durn ReyesTraductores profesionales

REVISIN TCNICACarlos Hernndez GarciadiegoInstituto de MatemticasUniversidad Nacional Autnoma de Mxico

Authorized translation from the English language edition, entitled Algebra and trigonometry by Michael Sullivan published by PearsonEducation, Inc., publishing as PRENTICE HALL, INC., Copyright 2005. All rights reserved.ISBN 0-13-143073-4

Traduccin autorizada de la edicin en idioma ingls, Algebra and trigonometry por Michael Sullivan publicada por Pearson Education,Inc., publicada como PRENTICE-HALL INC., Copyright 2005. Todos los derechos reservados.

Esta edicin en espaol es la nica autorizada.

Edicin en espaolEditor: Enrique Quintanar Duarte

e-mail: [email protected] de desarrollo: Felipe Hernndez CarrascoSupervisor de produccin: Jos D. Hernndez Garduo

Edicin en inglsEditor-in-Chief: Sally Yagan Creative Director: Carole AnsonSenior Acquisitions Editor: Eric Frank Art Editor: Thomas BenfattiProject Manager/Print Supplements Editor: Dawn Murrin Director of Creative Services: Paul BelfantiVice President/Director of Production and Manufacturing: Director, Image Resource Center: Melinda Reo

David W. Riccardi Manager, Rights and Permissions: Zina ArabiaExecutive Managing Editor: Kathleen Schiaparelli Interior Image Specialist: Beth BrenzelSenior Managing Editor: Linda Mihatov Behrens Cover Image Specialist: Karen SanatarProduction Editor: Bob Walters, Prepress Management, Inc. Image Permission Coordinator: Cynthia VincentiAssistant Manufacturing Manager/Buyer: Michael Bell Art Studio: Artworks:Manufacturing Manager: Trudy Pisciotti Manager Editor, Audio/Video Assets: Patricia BurnsMarketing Manager: Halee Dinsey Production Manager: Ronda WhitsonMarketing Assistant: Rachel Beckman Manager, Production Technologies: Matt HaasAssistant Managing Editor, Math Media Production: John Matthews Illustrators: Stacy Smith,Audrey Simonetti, Mark Landis,Editorial Assistant: Tina Magrabi Nathan Storck,Art Director: Jon Boylan Ryan Currier, Scott Wieber, Royce Copenheaver,Interior Designers: Judy Matz-Coniglio, Jonathan Boylan Dan KnopsnyderCover Designer: Geoffrey Cassar Art Quality Assurance:Timothy Nguyen, Stacy Smith, Pamela Taylor

SPTIMA EDICIN 2006

D.R. 2006 por Pearson Educacin de Mxico, S.A. de C.V.Atlacomulco 500, 5 pisoCol. Industrial Atoto53519 Naucalpan de Jurez, Edo. de MxicoE-mail: [email protected]

Cmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Nm. 1031

Prentice Hall es una marca registrada de Pearson Educacin de Mxico, S.A. de C.V.

Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicacin pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema derecuperacin de informacin, en ninguna forma ni por ningn medio, sea electrnico, mecnico, fotoqumico, magntico o electroptico, porfotocopia, grabacin o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor.

El prstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesin de uso de este ejemplar requerir tambin la autorizacin del editor o de sus repre-sentantes.

ISBN 970-26-0736-1

Impreso en Mxico. Printed in Mexico.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 09 08 07 06

Datos de catalogacin bibliogrfica

SULLIVAN, MICHAEL

lgebra y trigonometra Sptima edicin

PEARSON EDUCACIN, Mxico, 2006 ISBN: 970-26-0736-1 rea: BachilleratoFormato: 20 25.5 cm Pginas: 1192

Para la familia

Katy (Murphy) y Pat Shannon, Patrick, RyanMike y Yola Michael, Kevin, MarissaDan y Sheila MaeveColleen (OHara) y Bill Kaleigh, Billy

Prlogo para el maestro xivLista de aplicaciones xixCrditos de fotografas e ilustraciones xxiii

CAPTULO R Repaso 1R.1 Nmeros reales 2

R.2 Repaso de lgebra 17

R.3 Repaso de geometra 29

R.4 Polinomios 35

R.5 Factorizacin de polinomios 43

R.6 Divisin de polinomios; divisin sinttica 52

R.7 Expresiones racionales 58

R.8 Races n-simas; exponentes racionales 70

Repaso del captulo 77

CAPTULO 1 Ecuaciones y desigualdades 831.1 Ecuaciones lineales 84

1.2 Ecuaciones cuadrticas 96

1.3 Ecuaciones cuadrticas en el sistema de nmeros complejos 109

1.4 Ecuaciones radicales; ecuaciones de forma cuadrtica; ecuacionesque se factorizan 118

1.5 Solucin de desigualdades 125

1.6 Ecuaciones y desigualdades que incluyen valor absoluto 136

1.7 Aplicaciones: inters, mezcla, movimiento uniforme, tareas de tasaconstante 141


Proyectos del captulo 155

CAPTULO 2 Grficas 1572.1 Coordenadas rectangulares 158

2.2 Grficas de ecuaciones 165

2.3 Crculos 175

2.4 Rectas 181

2.5 Rectas paralelas y perpendiculares 194

Contenido

ix

x CONTENIDO

2.6 Diagramas de dispersin; ajuste lineal de curvas 199

2.7 Variacin 206



Repaso acumulativo 216

CAPTULO 3 Funciones y sus grficas 2173.1 Funciones 218

3.2 Grfica de una funcin 231

3.3 Propiedades de las funciones 240

3.4 Biblioteca de las funciones; funciones definidas por partes 251

3.5 Tcnicas para graficar: transformaciones 262

3.6 Modelos matemticos: construccin de funciones 275




CAPTULO 4 Polinomios y funciones racionales 2914.1 Funciones y modelos cuadrticos 292

4.2 Funciones polinomiales 312

4.3 Funciones racionales I 330

4.4 Funciones racionales II: anlisis de grficas 341

4.5 Desigualdades de polinomios y racionales 356

4.6 Ceros reales de una funcin polinomial 362

4.7 Ceros complejos; teorema fundamental del lgebra 377




CAPTULO 5 Funciones exponenciales logartmicas 3915.1 Funciones compuestas 392

5.2 Funciones inversas 399

5.3 Funciones exponenciales 412

5.4 Funciones logartmicas 428

5.5 Propiedades de los logaritmos 441

5.6 Ecuaciones logartmicas y exponenciales 450

5.7 Inters compuesto 455

5.8 Crecimiento y decaimiento exponencial; ley de Newton;modelos logsticos 465

CONTENIDO xi

5.9 Ajuste de datos a funciones exponencial, logartmica y logstica 474




CAPTULO 6 Funciones trigonomtricas 4916.1 ngulos y su medida 492

6.2 Trigonometra del tringulo rectngulo 506

6.3 Clculo de valores de funciones trigonomtricasde ngulos agudos 518

6.4 Funciones trigonomtricas de ngulos generales 526

6.5 Enfoque de crculo unitario; propiedades de las funcionestrigonomtricas 536

6.6 Grficas de las funciones seno y coseno 547

6.7 Grficas de las funciones tangente, cotangente, cosecantey secante 564

6.8 Corrimiento de fase; ajuste con curvas senoidales 571




CAPTULO 7 Trigonometra analtica 5917.1 Funciones inversas de seno, coseno y tangente 592

7.2 Funciones trigonomtricas inversas [continuacin] 603

7.3 Identidades trigonomtricas 608

7.4 Frmulas de suma y resta 615

7.5 Frmulas para ngulo doble y medio ngulo 626

7.6 Frmulas de producto a suma y de suma a producto 635

7.7 Ecuaciones trigonomtricas I 639

7.8 Ecuaciones trigonomtricas II 645




CAPTULO 8 Aplicaciones de las funciones trigonomtricas 6598.1 Aplicaciones que involucran tringulos rectngulos 660

8.2 Ley de los senos 669

8.3 Ley de los cosenos 681

8.4 rea de un tringulo 687

8.5 Movimiento armnico simple; movimiento amortiguado;combinacin de ondas 693

xii CONTENIDO




CAPTULO 9 Coordenadas polares y vectores 7099.1 Coordenadas polares 710

9.2 Ecuaciones polares y grficas 719

9.3 El plano complejo; teorema de De Moivre 736

9.4 Vectores 744

9.5 Producto punto 756




CAPTULO 10 Geometra analtica 76910.1 Cnicas 770

10.2 Parbola 771

10.3 Elipse 781

10.4 La hiprbola 791

10.5 Rotacin de ejes, forma general de una cnica 805

10.6 Ecuaciones polares de cnicas 814

10.7 Curvas planas y ecuaciones paramtricas 820




CAPTULO 11 Sistemas de ecuaciones y desigualdades 83911.1 Sistemas de ecuaciones lineales: Sustitucin y eliminacin 840

11.2 Sistemas de ecuaciones lineales: Matrices 856

11.3 Sistemas de ecuaciones lineales: Determinantes 872

11.4 lgebra matricial 882

11.5 Descomposicin en fracciones parciales 899

11.6 Sistemas de ecuaciones no lineales 907

11.7 Sistemas de desigualdades 916

11.8 Programacin lineal 925




CONTENIDO xiii

CAPTULO 12 Secuencias; induccin; teoremadel binomio 93912.1 Sucesiones 940

12.2 Sucesiones aritmticas 949

12.3 Sucesiones geomtricas; series geomtricas 955

12.4 Induccin matemtica 967

12.5 Teorema del binomio 971




CAPTULO 13 Conteos y probabilidad 98313.1 Conjuntos y conteos 984

13.2 Permutaciones y combinaciones 990

13.3 Probabilidad 1001




Apndice Calculadoras grficas 10171 El rectngulo de visualizacin 1017

2 Uso de una calculadora grfica para representar ecuaciones 1019

3 Uso de una calculadora grfica para localizar interseccionesy verificar la simetra 1023

4 Uso de una calculadora grfica para resolver ecuaciones 1025

5 Pantallas cuadradas 1027

6 Uso de una calculadora grfica para representar desigualdades 1028

7 Uso de una calculadora grfica para resolver sistemasde ecuaciones lineales 1030

8 Uso de una calculadora grfica para representar una ecuacinpolar 1031

9 Uso de una calculadora grfica para graficar ecuacionesparamtricas 1032

Respuestas R1

ndice I1

Como profesor de matemticas en una universidadpblica urbana durante 35 aos, entiendo las diversasnecesidades de los estudiantes de lgebra y trigono-metra. Los estudiantes varan desde los de escasa pre-paracin, con poco respaldo matemtico y miedo a lasmatemticas, hasta los que cuentan con una estupendapreparacin y motivacin. Para algunos, es su ltimocurso de matemticas. Para otros, es de preparacinpara futuros cursos de matemticas. Escrib este textocon ambos grupos en mente.

Una gran ventaja de haber escrito una serie muyutilizada radica en la amplia base de retroalimentacinque recibo de maestros y estudiantes que utilizaron lasediciones anteriores. Les estoy sinceramente agradeci-do por su apoyo. Casi todos los cambios de esta edicinson resultado de sus minuciosos comentarios y sugeren-cias. Espero haber sido capaz de captar sus ideas y, cons-truyendo sobre los cimientos de la exitosa sexta edicin,hacer de esta serie una herramienta de enseanza yaprendizaje aun mejor para estudiantes y maestros.

Nuevas caractersticasde la sptima edicinEn lugar de colocar aqu una lista con las nuevas carac-tersticas, esta informacin se encuentra en las pgi-nas: segunda de forros, I, II, III y IV. Las nuevascaractersticas son fciles de localizar, gracias a la palabraNuevo que se encuentra en la columna izquierda.

Esta edicin coloca las nuevas caractersticas ensu propio contexto, como los ladrillos de un sistemageneral de aprendizaje que se ha pulido cuidadosamen-te con los aos, a fin de ayudar a que los estudiantesobtengan ms del tiempo que dedican a estudiar. Porfavor, tmese su tiempo para revisar esto, y analcelocon sus estudiantes al principio del curso. Mi experienciamuestra que cuando los estudiantes utilizan dichas ca-ractersticas, tienen ms xito en el curso.

Cambios de la organizacinen la sptima edicin

La divisin sinttica se pas del anterior captu-lo 5: Ceros de una funcin de polinomios al ca-

xiv

ptulo R, y se combin con la divisin de polino-mios en una sola seccin.

Exponentes enteros y races cuadradas ahoraaparece en la seccin R.2 del captulo R; Radica-les ahora se combina con Expresiones racionalesen el captulo R.

Preparacin de ecuaciones: Aplicaciones (antesen la seccin 1.2) ahora aparece como seccin 1.7,al final del captulo 1. Algunas de sus aplicacionesms sencillas estn ahora en la seccin 1.1.

Ecuaciones cuadrticas en el sistema de nmeroscomplejos se movi del antiguo captulo 5:Cerosde una funcin polinomial a la seccin 1.3 del ca-ptulo 1. Esta seccin contina siendo opcional, loque permite el estudio anticipado o posterior de losnmeros complejos y las ecuaciones cuadrticascon discriminante negativa.

Crculos aparece ahora como seccin individualen el captulo 2.

Funciones compuestasantes en el captulo 3:Fun-ciones y su grfica ahora aparece en la seccin 5.1del captulo 5:Funciones exponenciales y logart-micas

Los anteriores captulo 4:Funciones polinomialesirracionales, y captulo 5: Ceros de una funcinpolinomial se combinaron en un solo captulo, ca-ptulo 4: Polinomios y funciones racionales

Sistemas de ecuaciones lineales: Dos ecuacionescon dos variables y Sistemas de ecuaciones linea-les: Tres ecuaciones con tres variables se combi-naron en una sola seccin llamada Sistemas deecuaciones lineales: Sustitucin y eliminacin.

Uso eficaz de la sptima edicinen su programa de estudiosCon el fin de satisfacer las diversas necesidades queexisten en los variados programas de estudios, este li-bro comprende ms contenido del que es probableabarcar en un curso de lgebra y trigonometra. Comose ilustra en el diagrama, este libro se organiz toman-do en cuenta la flexibilidad. Dentro de cada captulo,

Prlogopara el maestro

PRLOGO xv

algunas secciones son opcionales (vea los detalles enel siguiente diagrama de flujo) y se pueden omitir sinperder la continuidad.

Captulo R RepasoEste captulo se compone de material de repaso. Sepuede utilizar como primera parte del curso o paradespus, como un repaso de momento cuando sea ne-cesario utilizarlo. A lo largo del libro se hacen referen-cias concretas a este captulo, con el fin de apoyar elproceso de repaso.

Captulo 1 Ecuaciones y desigualdadesEs principalmente un repaso de los temas de lgebraintermedia; este material es un prerrequisito para te-mas posteriores. El estudio de nmeros complejos yecuaciones cuadrticas con discriminante negativa esopcional, aunque puede posponerse u omitirse porcompleto sin perder la continuidad.

Captulo 2 GrficasEste captulo incluye los fundamentos de la funciones.Las secciones 2.6 y 2.7 son opcionales.

Captulo 3 Funciones y sus grficasEs quiz el captulo ms importante. La seccin 3.6 esopcional.

Captulo 4 Polinomios y funciones racionalesLa seccin de temas depende de su programa de estudios.

Captulo 5 Funciones exponenciales logartmicasLas secciones 5.1 a 5.6 son secuenciales. Las secciones5.7 y 5.9 son opcionales.

Captulo 6 Funciones trigonomtricasLa seccin 6.8 es opcional.

Captulo 7 Trigonometra analticaEn un curso abreviado, se pueden omitir las secciones7.2, 7.6, y 7.8.

Captulo 8 Aplicaciones de las funcionestrigonomtricas

En un curso abreviado, se pueden omitir las secciones8.4 y 8.5.

2

3

5

10.1 10.4 1211 13

1

4 6

R

7 10.5 10.7

9.4 9.5

8 9.1 9.3

Captulo 9 Coordenadas polares y vectoresLas secciones 9.1 a 9.3 y las secciones 9.4 y 9.5, son in-dependientes y se pueden abordar por separado.

Captulo 10 Geometra analticaLas secciones 10.1 a 10.4 son secuenciales. Las seccio-nes 10.5, 10.6 y 10.7 son independientes entre s, perotodas necesitan de las secciones 10.1 a 10.4.

Captulo 11 Sistemas de ecuaciones y desigualdadesLas secciones 11.2 a 11.7 se pueden abordar en cual-quier orden, pero todas necesitan de la seccin 11.1.La seccin 11.8 necesita de la seccin 11.7.

Captulo 12 Secuencias; induccin; teoremadel binomio

Existen tres partes independientes: las secciones 12.1 a12.3; la seccin 12.4; y la seccin 12.5.

Captulo 13 Conteos y probabilidadLas secciones son secuenciales.

AgradecimientosSon los autores quienes escriben los libros, pero stosevolucionan desde una idea hasta su forma final gra-cias a los esfuerzos de muchas personas. Fue Don De-llen quien primero me sugiri este libro y la serie. ADon se le recuerda por sus grandes contribucioneseditoriales y respecto a las matemticas.

Tambin quisiera extender mi gratitud por su im-portante apoyo y estmulo en la preparacin de estaedicin a las siguientes personas: De Prentice Hall:Halee Dinsey por sus novedosas habilidades de mer-cadotecnia; Eric Frank por sus sustanciales contribu-ciones, ideas y entusiasmo; Patrice Jones, que continasiendo un gran admirador y respaldo; Dawn Murrinpor su talento y capacidad para eliminar a lo superfluo;Bob Walters, que me sigue sorprendiendo con su capa-cidad de organizacin y como editor de produccin;Sally Yagan por su apoyo continuo y sincero inters; yal equipo de ventas de Prentice Hall por su continuoapoyo y confianza en mis libros.Tambin quiero agrade-cer a Tracey Hoy y Anna Maria Mendiola por su minu-ciosa revisin de todo el manuscrito;Teri Lovelace, KurtNorlin, dems personas de Laurel Technical Services,por su dedicacin al revisar la exactitud del manuscri-to y las respuestas. Un agradecimiento muy especial aJill McGowan, Kathleen Miranda, Karla Neal, PhilipPina y Phoebe Rouse, por sus muy detalladas y tilesrevisiones en la preparacin de esta edicin.

Por ltimo, ofrezco mi ms profundo agradeci-miento a los dedicados usuarios y revisores de mis li-bros, cuyas indicaciones colectivas conforman el puntomedular de cada revisin del libro de texto. Una dis-culpa por cualquier omisin:

xvi PRLOGO

James Africh, College of DuPageSteve Agronsky, Cal Poly State UniversityGrant Alexander, Joliet Junior CollegeDave Anderson, South Suburban College Joby Milo Anthony, University of Central

FloridaJames E.Arnold, University of Wisconsin-

MilwaukeeCarolyn Autray, University of West GeorgiaAgnes Azzolino, Middlesex County CollegeWilson P Banks, Illinois State UniversitySudeshna Basu, Howard UniversityDale R. Bedgood, East Texas State

UniversityBeth Beno, South Suburban CollegeCarolyn Bernath, Tallahassee Community

CollegeWilliam H. Beyer, University of AkronAnnette Blackwelder, Florida State

UniversityRichelle Blair, Lakeland Community

CollegeTrudy Bratten, Grossmont CollegeTim Bremer, Broome Community CollegeJoanne Brunner, Joliet Junior CollegeWarren Burch, Brevard Community CollegeMary Butler, Lincoln Public SchoolsJim Butterbach, Joliet Junior CollegeWilliam J. Cable, University of Wisconsin-

Stevens PointLois Calamia, Brookdale Community

CollegeJim Campbell, Lincoln Public SchoolsRoger Carlsen, Moraine Valley Community

CollegeElena Catoiu, Joliet Junior CollegeMathews Chakkanakuzhi, Palomar CollegeJohn Collado, South Suburban CollegeNelson Collins, Joliet Junior CollegeJim Cooper, Joliet Junior CollegeDenise Corbett, East Carolina UniversityTheodore C. Coskey, South Seattle

Community CollegePaul Crittenden, University of Nebraska

at LincolnJohn Davenport, East Texas State UniversityFaye Dang, Joliet Junior CollegeAntonio David, Del Mar CollegeDuane E. Deal, Ball State UniversityTimothy Deis, University of Wisconsin-

PlattevilleVivian Dennis, Eastfield CollegeGuesna Dohrman, Tallahassee Community

CollegeKaren R. Dougan, University of FloridaLouise Dyson, Clark CollegePaul D. East, Lexington Community CollegeDon Edmondson, University of Texas-AustinErica Egizio, Joliet Junior CollegeChristopher Ennis, University of MinnesotaRalph Esparza, Jr., Richland CollegeGarret J. Etgen, University of HoustonPete Falzone, Pensacola Junior CollegeW.A. Ferguson, University of Illinois-

Urbana/ChampaignIris B. Fetta, Clemson UniversityMason Flake, student at Edison Community

CollegeTimothy W. Flood, Pittsburg State UniversityMerle Friel, Humboldt State University

Richard A. Fritz, Moraine ValleyCommunity College

Carolyn Funk, South Suburban CollegeDewey Furness, Ricke CollegeTina Garn, University of ArizonaDawit Getachew, Chicago State UniversityWayne Gibson, Rancho Santiago CollegeRobert Gill, University of Minnesota DuluthSudhir Kumar Goel, Valdosta State

UniversityJoan Goliday, Sante Fe Community CollegeFrederic Gooding, Goucher CollegeSue Graupner, Lincoln Public SchoolsJennifer L. Grimsley, University of

CharlestonKen Gurganus, University of North CarolinaJames E. Hall, University of Wisconsin-

MadisonJudy Hall, West Virginia UniversityEdward R. Hancock, DeVry Institute

of TechnologyJulia Hassett, DeVry Institute-DupageChristopher Hay-Jahans, University of South

DakotaMichah Heibel, Lincoln Public SchoolsLaRae Helliwell, San Jose City CollegeBrother Herron, Brother Rice High SchoolRobert Hoburg, Western Connecticut State

UniversityLynda Hollingsworth, Northwest Missouri

State UniversityLee Hruby, Naperville North High SchoolKim Hughes, California State College-

San BernardinoRon Jamison, Brigham Young UniversityRichard A. Jensen, Manatee Community

CollegeSandra G. Johnson, St. Cloud State

UniversityTuesday Johnson, New Mexico State

UniversityMoana H. Karsteter, Tallahassee

Community CollegeDonna Katula, Joliet Junior CollegeArthur Kaufman, College of Staten IslandThomas Kearns, North Kentucky UniversityShelia Kellenbarger, Lincoln Public SchoolsLynne Kowski, Raritan Valley Community

CollegeKeith Kuchar, Manatee Community

CollegeTor Kwembe, Chicago State UniversityLinda J. Kyle, Tarrant Country Jr. CollegeH.E. Lacey, Texas A & M UniversityHarriet Lamm, Coastal Bend CollegeJames Lapp, Fort Lewis CollegeMatt Larson, Lincoln Public SchoolsChristopher Lattin, Oakton Community

CollegeAdele LeGere, Oakton Community CollegeKevin Leith, University of HoustonJoAnn Lewin, Edison CollegeJeff Lewis, Johnson County Community

CollegeStanley Lukawecki, Clemson UniversityJanice C. Lyon, Tallahassee Community

CollegeVirginia McCarthy, Iowa State UniversityJean McArthur, Joliet Junior CollegeKarla McCavit, Albion College

Tom McCollow, DeVry Institute ofTechnology

Will McGowant, Howard UniversityLaurence Maher, North Texas State

UniversityJay A. Malmstrom, Oklahoma City

Community CollegeSherry Martina, Naperville North High

SchoolAlec Matheson, Lamar UniversityNancy Matthews, University of OklahomaJames Maxwell, Oklahoma State University-

StillwaterMarsha May, Midwestern State UniversityJudy Meckley, Joliet Junior CollegeDavid Meel, Bowling Green State UniversityCarolyn Meitler, Concordia UniversitySamia Metwali, Erie Community CollegeRich Meyers, Joliet Junior CollegeEldon Miller, University of MississippiJames Miller, West Virginia UniversityMichael Miller, Iowa State UniversityKathleen Miranda, SUNY at Old WestburyThomas Monaghan, Naperville North High

SchoolCraig Morse, Naperville North High SchoolSamad Mortabit, Metropolitan State

UniversityPat Mower, Washburn UniversityA. Muhundan, Manatee Community CollegeJane Murphy, Middlesex Community CollegeRichard Nadel, Florida International

UniversityGabriel Nagy, Kansas State UniversityBill Naegele, South Suburban CollegeLawrence E. Newman, Holyoke Community

CollegeJames Nymann, University of Texas-El PasoSharon ODonnell, Chicago State UniversitySeth F. Oppenheimer, Mississippi State

UniversityLinda Padilla, Joliet Junior CollegeE. James Peake, Iowa State UniversityKelly Pearson, Murray State UniversityPhilip Pina, Florida Atlantic UniversityMichael Prophet, University of Northern

IowaNeal C. Raber, University of AkronThomas Radin, San Joaquin Delta CollegeKen A. Rager, Metropolitan State CollegeKenneth D. Reeves, San Antonio CollegeElsi Reinhardt, Truckee Meadows

Community CollegeJane Ringwald, Iowa State UniversityStephen Rodi, Austin Community CollegeWilliam Rogge, Lincoln Northeast High

SchoolHoward L. Rolf, Baylor UniversityPhoebe Rouse, Lousiana State UniversityEdward Rozema, University of Tennessee

at ChattanoogaDennis C. Runde, Manatee Community

CollegeAlan Saleski, Loyola University of ChicagoJohn Sanders, Chicago State UniversitySusan Sandmeyer, Jamestown Community

CollegeLinda Schmidt, Greenville Technical CollegeA.K. Shamma, University of West FloridaMartin Sherry, Lower Columbia College

PRLOGO xvii

Tatrana Shubin, San Jose State UniversityAnita Sikes, Delgado Community CollegeTimothy Sipka, Alma CollegeLori Smellegar, Manatee Community

CollegeJohn Spellman, Southwest Texas State

UniversityRajalakshmi Sriram, Okaloosa-Walton

Community CollegeBecky Stamper, Western Kentucky UniversityJudy Staver, Florida Community College-

SouthNeil Stephens, Hinsdale South High School

Patrick Stevens, Joliet Junior CollegeChristopher Terry, Augusta State UniversityDiane Tesar, South Suburban CollegeTommy Thompson, Brookhaven CollegeRichard J. Tondra, Iowa State UniversityMarvel Townsend, University of FloridaJim Trudnowski, Carroll CollegeRobert Tuskey, Joliet Junior CollegeRichard G. Vinson, University of South

AlabamaMary Voxman, University of IdahoJennifer Walsh, Daytona Beach Community

College

Donna Wandke, Naperville North HighSchool

Darlene Whitkenack, Northern IllinoisUniversity

Christine Wilson, West Virginia UniversityBrad Wind, Florida International UniversityMary Wolyniak, Broome Community CollegeCanton Woods, Auburn UniversityTamara S. Worner, Wayne State CollegeTerri Wright, New Hampshire CommunityTechnical College, ManchesterGeorge Zazi, Chicago State University

Michael Sullivan

xviii

RECURSOS PARA EL MAESTRO

Distribucin de los recursos para el maestroTodos los recursos para el maestro se pueden descargar desdeun solo sitio web (puede obtener la direccin y contrasea consu representante de PE), o solicitarlos de manera individual:

TestGenEs para elaborar exmenes con facilidad, a partir de losobjetivos de la seccin. Las preguntas se generan de ma-nera algortmica, lo que permite versiones sin lmite. Edi-te los problemas o construya los suyos.

Archivo de reactivos de pruebaEs un banco de pruebas impreso, derivado de TestGen.

Lminas de PowerPoint para exposicin en claseLminas que se pueden editar que siguen el contenidodel libro. Presntelas en clase o colquelas en un sitioweb para un curso en lnea.

Manual de soluciones para el maestroSoluciones minuciosamente desarrolladas de todos losejercicios.

Edicin para los maestrosContiene al final del libro las respuestas a todos los ejerciciosdel texto

RECURSOS PARA EL ESTUDIANTE

Paquete de estudios para el estudianteTodo lo necesario para que un estudiante tenga xito, en unsolo bloque. Incluido gratuitamente con el libro, o disponiblepara su venta por separado. El Paquete de estudios para el es-tudiante contiene:

Manual de soluciones para el estudianteSoluciones minuciosamente desarrolladas de todos losejercicios impares.

Centro tutor de PearsonLos tutores proporcionan supervisin para cualquier pro-blema con la respuesta en la parte final del libro. Los es-tudiantes tienen acceso al Centro tutor mediante unalnea telefnica gratuita, fax o correo electrnico.

Serie de exposiciones en CDUn completo juego de CD-Roms, relacionados con el tex-to, que contienen breves videos de un instructor expo-niendo ejemplos clave del libro.

Repaso del lgebraCuatro captulos de repaso del lgebra intermedia. Idea-les para un curso moderado o repaso individual.

MathXL

MathXL es un poderoso sistema de tareas, supervisin y evaluacin en lnea que acompaa a su libro de texto. Los instructorespueden crear, editar y designar tarea y exmenes en lnea, utilizando ejercicios generados de manera algortmica y correlacionadoscon el nivel del objetivo del libro. Se da seguimiento al trabajo de los estudiantes en una lista de calificaciones en lnea. Los estu-diantes pueden hacer exmenes del captulo y, con base en los resultados, recibir planes de estudio personalizados. El plan de estudiosespecifica sus debilidades y los enlaza con los ejercicios de tutora correspondientes a los objetivos que necesitan estudiar. Tam-bin pueden tener acceso a videos de los ejercicios seleccionados. MathXL est a disposicin de los maestros que adopten el libro.Para mayor informacin visite nuestro sitio www.mathxl.com, o pngase en contacto con su representante de ventas de PrenticeHall para recibir una demostracin.

MyMathLab

MyMathLab es un texto especfico, un curso en lnea que se puede hacer personal para sus libros de texto. MyMathLab es accio-nado por CourseCom-pass el entorno de enseanza y aprendizaje en lnea de Pearson Education y por MathXL nues-tro sistema de tareas, tutorial y evaluacin. MyMathLab le brinda las herramientas necesarias para impartir todo o una parte de sucurso en lnea, ya sea que sus estudiantes se encuentren en las instalaciones de laboratorio de cmputo escolar o trabajando des-de casa.

MyMathLab le proporciona un amplio y flexible conjunto de materiales para el curso, ofrece ejercicios generados de maneraalgortmica para practicar sin lmite. Para mejorar su desempeo, los estudiantes pueden emplear herramientas en lnea como ex-posiciones en video y un libro multimedia. Los maestros pueden usar los administradores de tareas y exmenes de MyMathLabsy asignar ejercicios en lnea relacionados con el libro, e importar pruebas de TesGen para mayor flexibilidad. La lista de califica-ciones en lnea diseada en especial para matemticas lleva un seguimiento automtico de los resultados obtenidos por los es-tudiantes en tareas y exmenes, permitiendo que el maestro controle la manera de calcular las calificaciones finales. MyMathLabest a disposicin de los maestros que adopten el libro. Para mayor informacin visite nuestro sitio www.mymathlab.com, o pn-gase en contacto con su representante de ventas de Prentice Hall para recibir una demostracin.

WebCT o BlackBoard PremiumUna coleccin de recursos especficos para el texto, disponibles para su uso en los sistemas WebCT o BlackBoard. Entre dichos re-cursos se encuentran un libro multimedia, videos por seccin, manual de respuestas para el estudiante y el maestro, tareas de prc-tica con retroalimentacin inmediata, bancos de preguntas para elaboracin de tareas, cuestionarios o exmenes, manuales decalculadoras grficas en lnea, lminas de PowerPoint para exposicin de clase y ms.

Lista de aplicaciones

Acsticaamplificacin del sonido, 486intensidad del sonido, 440

Aeronuticaantena satelital, 777-78, 779satlites de vigilancia, 668superficie y volumen de un globo, 398

Agriculturaadministracin de una granja, 931rea de pastoreo para una vaca, 692cercado de una granja, 915demanda de maz, 411regado de un campo, 108ubicacin de cultivos, 936

Alimentos. Vea tambin Nutricinhumedad relativa, 427rayo y trueno, 153satlites, 181sensacin trmica, 261

Combinatoriacandados de combinacin, 1000cdigos aeroportuarios, 992combinacin

de blusas y faldas, 999de camisas y corbatas, 999

comits del senado, 1000estibado de cajas, 999formacin

de cdigo, 992, 993, 999de nmero, 999de personas, 993-94, 999de un comit, 997, 999, 1000, 1014de una palabra, 997-98, 1000, 1014

nmeros telefnicos, 1014opciones para el hogar, 1014orden

de banderas, 998, 1014de libros, 999, 1014

permutaciones de la fecha de nacimiento, 995,1000, 1007-8, 1012, 1015

posibilidades de nmero de matrcula, 1000, 1014respuestas posibles en un examen de cierto o fal-

so, 999seleccin de objetos, 1000

Computadoraspenetracin de mercado del coprocesador Intel,473

Comunicacionescarta de primera clase, 259-60 esparcimiento de rumores, 426, 440 telfono de tonos, 638, 702telfonos mviles, 156, 217, 259, 289

Construccinrea del canal, 82

carpintera, 194costo del material de una tienda de campaa, 691 de cajas, 105-6, 108, 914

cerradas, 289incrementar el volumen al mximo, 250reducir al mnimo el material necesario para,

250de canales para lluvia, 309, 522, 652de cenefa

alrededor de un jardn, 108alrededor de una piscina, 108

de lata, 150, 387de recintos

para jardn, 149para un estanque, 149para un campo rectangular, 280, 302, 309

de un estadio, 310, 955de un fanal, 779de un mosaico, 955de un parque, 278-79de un tubo cilndrico, 914de una antena parablica, 779de una carretera, 668, 679, 705de una cerca

para maximizar el rea, 280, 302, 309, 386de una escalera de ladrillos, 955, 980de una linterna, 779de una piscina, 34-35, 82de una rampa de carga, 680de una rampa para sillas de ruedas, 668dimensiones de un patio, 108diseo de piso, 953-54, 980grado del camino, 194inclinacin del techo, 667instalacin de televisin por cable, 282material necesario para hacer un tambor, 288-89,

355minimizar el rea, 355pintura de una casa, 855resistencia de una viga, 288seccin transversal de una viga, 231

Delitoshombres vctimas de asesinato, 310robo de automviles, 329total cometidos al ao, 231violentos, 387

Demografa. Vea tambin Poblacinestado civil de hombres y mujeres, 990expectativas de vida de la poblacin, 134-35poblacin estadounidense, 81

Deportesbsquetbol, 667-68, 1000-1001bisbol, 164, 1000, 1014

ligas menores, 164-65, 686campos de bisbol, 685, 686

Wrigley Field, 686

carreras, 149, 155, 914larga distancia, 911-12la liebre y la tortuga, 914

caza, 310ftbol americano, 149, 1000golf, movimiento de una pelota en el, 238hroes olmpicos, 150

Derechofuncionarios encargados de hacer cumplir la ley,

988

Direccinde la aguja de una brjula, 763de un nadador, 767de una aeronave, 758-59, 763, 767de una embarcacin de motor, 763, 767para cruzar un ro, 763

Distancia. Vea tambin Fsicaa travs de un estanque, 666a una meseta, 666alcance de un aeroplano, 150alcance de una escalerilla, 666alto/altura/altitud

de la cara de Lincoln en el monte Rushmore,667de la pirmide de Keops, 679de la torre Eiffel, 666de un rbol, 680de un edificio, 666, 704de un helicptero, 680de un puente, 678de una aeronave, 486, 678, 679de una estatua sobre un edificio, 663de una montaa, 29, 486, 674, 678de una nube, 662-63de una pelota, 250de una torre, 667del monumento a Washington, 667

anchurade un can, 666de un ro, 661, 704

clculo de, 679de un barco que va a la estatua de la libertad, 666de un globo aerosttico, 165de una isla a la ciudad, 282-83de una tormenta, 153del apuntalamiento, 666, 704del sonido a medir, 124en el mar, 679, 705entre dos objetos, 666entre la Tierra y Mercurio, 680entre la Tierra y Venus, 680entre las ciudades, 499-500, 504-5entre vehculos en movimiento, 165, 282longitud

de la elevacin del ski, 677de un lago, 704del cable del sujeto, 667, 686del camino a la montaa, 667

xix

xx LISTA DE APLICACIONES

millas nutica, 506patrn de participacin de un aeroplano, 644rescate en el mar, 674-75, 677separacin de casas, 685, 705visual, 34

desde el faro, 35viga del faro de la colina de Gibb, 664, 668

Economademanda de la PC de IBM, 480-81ecuaciones de demanda, 275-76, 280, 308, 390nivel de estudios e ingresos, 839tasa de participacin, 231

Editorialcomposicin de pginas, 288

Educacincurva de aprendizaje, 426-27, 440financiamiento de educacin universitaria, 487ingresos y, 839nivel de estudios, 95, 135niveles de estudio avanzados, 310respuestas posibles en un examen

de cierto o falso, 999de opcin mltiple, 999

Electricidadcarga de un condensador, 701circuitos, 69corriente

alterna, 563, 581, 588en un circuito _RL_ 427, 440

costo de, 257-58ndices para, 135, 192reglas de Kirchhoff, 854-55, 871-72resistencia

causada por un conductor, 215del cable, 211

voltajealterno, 588de un conductor, 473domstica, 140en Estados Unidos, 29externo, 29

Encuestasdatos de, 987, 989televisores en casa, 1012

Energacalor solar, 780suministro de energa para un satlite, 425-26

Entomologaaumento en la poblacin de insectos, 471-72

Entretenimientopropiedad de un DVD, 473tiempo en fila para la montaa rusa Demon, 426

Epidemiologacasos de sida en Estados Unidos, 387

Estadsticaen telecomunicaciones a telfono celular, 217

Evaluacin psicolgicapruebas de coeficiente intelectual (IQ), 135

Farmacologarecetas, 854, 872

de medicamentos, 426, 440

Finanzas. Vea tambin Bancosbalance en chequera, 28-29clculo del reembolso, 854comisin, 135costo(s)

de comida rpida, 853, 854de la electricidad, 257-58de la entrega del peridico a domicilio en do-

mingo, 192de un viaje trasatlntico, 231de la tierra, 706de lata, 352-53, 355de operacin de un automvil, 190de un automvil nuevo, 95de un terreno triangular, 691de una pizza, compartiendo, 95del gas natural, 260promedio, 354-55

cuentas del agua, 135depreciacin, 426, 441divisin de dinero entre las partes, 95financiamiento de educacin universitaria, 487fractales, 709hipotecas, 155-56

calificacin para, 205intereses sobre, 83pago de, 207, 210, 214

impuesto sobre la renta, 231, 260ingreso de consumo y disponible, 204ingresos, hiptesis del ciclo de vida, 310-11intereses

sobre hipoteca, 83sobre una cuenta bancaria, 463, 464sobre una cuenta corriente, 463sobre un prstamo, 142-43

inversin, 91-92, 143, 148, 153, 855, 871, 925-26401(k), 966, 981acciones, 463, 999, 1000anlisis accionario, 216bonos cero, 461, 464comparacin, 458-59duplicado de tiempo para, 461-62, 463, 464en CD, 95, 463-64, 853fideicomisos, 464financiamiento de plan de retiro, 487fondo de amortizacin, 966inters compuesto sobre, 463plan de retiro, 966, 981precio de acciones, 967rendimiento del, 480, 931-32tiempo para lograr la meta de inversin, 464ttulos de rendimiento fijo, 932triplicado del tiempo para, 462, 464ubicacin de activos, 871, 872, 921-22, 924,

925-26bonos, 853

valor del plan de retiro, 460-61moneda extranjera, 399precios de comida rpida, 855prstamos

para automvil, 948para casa, 464, 966

promesa del millonario, 966retencin de impuestos, 135revaluacin de un anillo de diamantes, 463tarjetas de crdito, 948

pago de intereses por, 261pagos mnimos por, 261

utilidades, 887-88

Fsicaalargamiento de un resorte, 210ngulo de refraccin, 644botando pelotas, 966, 980-81caballos de potencia, 211cada libre, 210carga de frenado, 763cuerda en vibracin, 210dimetro atmico, 29distancia del sonido a medir, 124efectos de la gravedad, 341

en la Tierra, 230en Jpiter, 230-31

elevacin y peso, 238energa cintica, 148, 211equilibrio esttico, 752-53, 755, 767fuerza, 148

del viento sobre una ventana, 209, 211resultante, 755

ndice de refraccin, 644intensidad de la luz, 153lanzamiento de un objeto, 154, 361ley de Newton, 210

del enfriamiento, 469-70, 473del calor, 473

leyes del movimiento planetario de Kepler,211, 214

longitud de onda de la luz visible, 29movimiento de una pelota de golf, 238movimiento pendular, 210, 504, 961, 965

periodo del, 77, 274, 411movimiento uniforme, 145-46, 148, 154objeto impulsado directamente hacia arriba, 108prdida de calor a travs de un muro, 208-9peso de un cuerpo, 211, 214peso de una pelota, 250, 311poleas, 505, 506presin, 148

atmosfrica, 425, 440tensin de materiales, 211tiro parablico, 302-3, 309, 388, 524, 536, 629, 635,

644, 652, 653, 824-26, 831-32, 833, 837trabajo, 148, 763-64, 767transferencia de calor, 652velocidad al bajar por planos inclinados, 77

Geografaencuestas, 677

Geologaterremotos, 441

Geometrangulo entre dos retas, 625rea superficial

de un cubo, 28de una esfera, 28

readel crculo, 148, 226comprendida por un cable, 281de un segmento, 691, 706de un cuadrado, 148

cilindroinscrito en un cono, 282inscrito en una esfera, 282volumen de, 211, 280, 282, 399

crculorea de, 148, 226rea de un sector, 500, 504cuerda, 686

LISTA DE APLICACIoNES xxi

circunferencia del, 28, 148inscrito, 692-93

conodentro de una esfera, 525volumen de, 211, 280, 282, 399

hipotenusa de un tringulo recto, 154permetro

de un tringulo equiltero, 28de un rectngulo, 28, 95, 210, 281de un cuadrado, 148

polgono, 108punto medio, 164rectngulo

rea del, 28, 230, 275, 278, 634, 668, 691dimensiones de, 108, 154permetro de, 28, 95, 210, 281

tringulorea del, 28, 34, 230, 281, 634, 668, 688-89, 690,

691circunscrito, 680issceles, 634, 668, 691permetro de, 28

volumende un globo, 398-99de un cono, 280, 282, 399de un cubo, 28de un cilindro, 280, 282, 399de un cono circular recto, 211de un cilindro circular recto, 211de una esfera, 28, 288

ndice/Tasa. Vea tambin Velocidad agua vertida en un cono circular recto, 283de vaciado

buque tanques petroleros, 150charca, 150cubeta, 150tanque, 154

llenado de un tanque, 154millas por galn, 311-12velocidad

en funcin del tiempo, 288promedio, 150

Ingenieraarco semielptico, 790barras y pistones, 686caballos de potencia, 211carga segura de una viga, 211diseo de un rociador de agua, 504galeras de susurros, 790inclinacin de la torre de Pisa, 678longitud de la correa de una polea, 706motor ms chico, 29peso mximo soportado por madera, 208puentes

arco parablico, 780, 836arco semielptico. 790, 836Puente Golden Gate, 304suspensin, 304, 309, 780

rodamiento de precisin, 29tensin de materiales, 211

Jardinera ornamentalaltura de un rbol, 680canal de riego, 504cercado de un estanque rectangular, 386

Juegosgranos de trigo en el tablero de ajedrez, 966lotera, 1012

Lenguajeformacin de una palabra, 997-98, 1000, 1014

MatemticasRegla de Simpson, 312

Mecnicacicloide invertida, 830

Medicinacasos de sida en Estados Unidos, 387curacin de heridas, 426, 440propagacin de una enfermedad, 488receta de medicamentos, 426, 440tipos de sangre, 989

Medio ambientecontrol ambiental, 948fuga de petrleo de un buque tanque, 399

Mercadotecnia Vea tambin Negociosdemanda de la PC de IBM, 480-81

Meteorologafactor de sensacin trmica, 488presin atmosfrica, 425, 440, 486

Mezclasde cidos, 154de agua y anticongelante, 149de caf, 144, 148, 154, 924, 936de cemento, 150de dulces, 148de semillas, 148, 853, 924, 937de t, 148

Movimientoamortiguado, 696-98armnico simple, 693-96, 702circular, 501, 504

balanceado de llantas, 505del minutero, 504poleas y, 505, 506rotacin de llantas, 644rueda de automvil, 504rueda de bicicleta, 504ruedas de la fortuna, 505, 643-44

de un objeto, 696ondas, 657pndulo, 504, 702simulacin, 826-27uniforme, 832, 837

Navegacinaeroplano, 678, 685, 704

revisin del plan de vuelo, 685distancia visual del piloto, 82distancias en el mar, 679error

corregir el, 683, 704-5prdida de tiempo causada por un, 678

evitando una tormenta tropical, 685LORAN, 801-2, 804, 837rumbo, 664

de una aeronave, 65, 667de un barco, 667, 706

Negociosadministracin

mercado de carne, 931restaurante, 854

asistencia al teatro, 95comisin de venta, 135copiadoras, 155costo(s)

de impresin, 329-30de manufactura, 28, 81, 148, 235-36, 329de produccin, 399, 898-99, 937de renta de automvil, 260de transportacin de bienes, 260de un charter, 154-55de una lata, 352-53, 355de una mercanca, 399marginal, 387minimizacin, 932, 937promedio mnimo, 250

demanda de maz, 411depsito de caf caliente, 488-89depreciacin, 965desempleo, 1015diseo de producto, 932ecuaciones de demanda, 280, 308, 390fabricacin de camiones, 924filas en las cajas, 1012gastos, 149ingreso(s)

maximizacin, 929-30, 931, 932, 937compaa de cigarros, 274-75computacin, 899

ingresos corporativos, 81marcacin de precios

en libros, 95en un automvil nuevo, 135

mezcla de caf, 148, 154mezcla de dulces, 148mezcla de semillas, 148pedidos de galletas, 936-37penetracin de mercado del coprocesador Intel,

473precio de descuento, 95

sobre pedidos grandes, 150precio de venta, 150produccin automotriz, 399, 871produccin de jugo, 871productividad contra ingresos, 290programa de produccin, 931promedio de servicio en el auto de McDonalds,

426,promocin de producto, 192reduccin del tamao de una barra de dulce, 108renta de camiones, 192salario, 955, 966

aumentos, 965, 966, 981sueldo

por hora, 92-93, 95por vendedor, 192

tarifas elctricas, 135tasa

de flujo del cliente Jiffy Lube, 426, 440de rendimiento sobre la venta de, 463

transporte de bienes, 924utilidades, 148, 214

computacin, 887-88lnea area, 932mensuales, 361minimizacin, 301, 308teatro, 855

valor de salvamento, 487venta

de automviles, 330de boletos para el cine, 840, 846, 846, 853

xxii LISTA DE APLICACIONES

Nutricin. Vea tambin Alimentosanimal, 932necesidades dietticas, 931plan de alimentacin de un paciente, 855, 867-68,

871

Oceanografamareas, 491, 582, 589-90tsunamis, 591

pticangulo de refraccin, 644ndice de refraccin, 644lmite de la magnitud de un telescopio, 486luz a travs de cristales, 425telescopio de reflexin, 780

PediatraPeso contra circunferencia de la cabeza, 411

Poblacin. Vea tambin Demografabacterial, 428, 474crecimiento

de la poblacin de conejos, 949de la poblacin de mosquitos, 472de una ciudad surea, 472

de especies en peligro, 474de Estados Unidos, 481, 981de Illinois, 481-82de insectos, 341de Pennsylvania, 482de truchas, 948decadencia en la ciudad de Midwestern, 472diversidad de, 439insecto, 471-72mundial, 481, 487, 939

Qumicaconcentracin de medicamentos, 354decadencia radiactiva, 468, 472, 473, 479-80, 487desintegracin de la sal en agua, 473leyes de los gases, 211mezcla de cidos, 154pH, 439pureza del oro, 149radiactividad de Chernobyl, 473reacciones, 312soluciones salinas, 149, 154volumen de los gases, 135

Saludgastos en cuidado de la salud, 231, 310propagacin de una enfermedad, 488tasas de mortalidad, 1015

Secuencias. Vea tambin Combinatoriadiseo de piso, 980estadio de ftbol, 955Teatro Drury Lane, 955

Sismologacalibracin de instrumentos, 804-05

Temperaturaconversin, 288

de Celsius a Fahrenheit, 90de Fahrenheit a Celsius, 90

corporal, 29, 140factor de sensacin trmica, 488habitacin, 205-06ley

del calentamiento de Newton, 473del enfriamiento de Newton, 469-70, 473

medicin, 192, 274mensual, 576-78, 581-82, 588-89

Termodinmicatransferencia de calor, 652

Tiempo/Hora/Duracinde un viaje variando la velocidad, 516, 524-25del amanecer, 505extravo por error de navegacin, 678horas de luz diurna, 579-80, 582-83, 589, 602para que un bloque se deslice por un plano incli-

nado, 524primero en ver la salida del Sol, 602

Topografarea de un lago, 691, 705longitud de un lago, 704

Trabajo, 148desempleo, 1015haciendo juntos un trabajo, 149, 154labores con razn constante, 146-47, 937

Variosngulo de elevacin

del Sol, 667, 679de un rayo lser, 667

ngulo de depresin de una cmara de seguri-dad, 667

cantidad de gasolina en un tanque, 77capacidad de bsqueda y rescate, 153curva dentada, 635, 701dimetro de un cable de cobre, 29dimensiones del piso, 853diseo de un toldo, 679

doblado de cable, 915escalerilla a la vuelta de la esquina,516-17,571,652espejos, 836flujo de una corriente, 854grado (inclinacin) del camino a la montaa, 662,

704llenado de una piscina, 277reflector, 780rescate en el mar, 153

Vehculos de motoralcohol y manejo, 435-36, 441balanceo de llantas, 505, 588carga de frenado, 763cigeales, 678-79compra de un automvil usado, 463con sistema de posicionamiento global (GPS), 487depreciacin, 441

de un Honda Civic DX, 426fabricacin de camiones, 924marcacin de un automvil nuevo, 135motores de pistones, 524porcentaje de conductores detenidos por la po-

lica, conforme a la edad, 490produccin automotriz, 399, 871rotacin de llantas, 644velocidad angular de un automvil de carreras,

588

Velocidadangular, 501

de un automvil de carreras, 588como funcin del tiempo, 288de la corriente de un ro, 505de la corriente del ro Aguarico, 937,de la luna, 505de la Tierra, 505de los carruseles, 588de los fanales de un faro, 588de telefricos, 505de un camin, 667de un nadador, 767de un planeador, 704de una aeronave, 758-59, 763, 767de una embarcacin de motor, 763, 767del plano, 150del viento para un avin, 937del viento, 854lineal, 501-2

en la tierra, 505para alcanzar el autobs, 831para alcanzar el tren, 831para levantarse al salir el Sol, 505promedio, 150

Captulo R Pgina 1, Gary Conner/PhotoEdit; Pgina 82, Charles ORear/CORBISBETTMANN

Captulo 1 Pginas 83 y155, Steve Cole/Masterfile Corporation; Pgina 95, BillAron/PhotoEdit; Pgina 108, David Young-Wolff/PhotoEdit; Pgina 140,Getty Images; Page 153, Kent Wood/Photo Researchers, Inc.

Captulo 2 Pginas 157 y 216, Najlah Feanny/Stock Boston; Pgina 192, KathyMcLaughlin/The Image Works; Pgina 194, Tony Freeman/PhotoEdit.

Captulo 3 Pginas 217 y 289, Doug Menuez/Getty Images; Pgina 231, NASA/JetPropulsion Laboratory; Pgina 238, Jamie Squire/Getty Images; Pgina274, Tony Freeman/PhotoEdit.

Captulo 4 Pginas 291 y 388, John Whalen/Northrop Grumman Newport News;Pgina 310, Erin Garvey/Index Stock Imagery, Inc.; Pgina 355, OliverDrum Band/Getty Images/Stone Allstock.

Captulo 5 Pginas 391 y 488, Amy C. Etra/PhotoEdit; Pgina 448, The GrangerCollection; Pgina 460, Jim Pickerell/The Image Works; Pgina 474,Theo Allofs/CORBIS BETTMANN.

Captulo 6 Pginas 491 y 589, Ned Haines/Photo Researchers, Inc.; Pgina 504,Doug Pensinger/Getty Images; Pgina 563, P. Berndt/Custom MedicalStock Photo, Inc.

Captulo 7 Pginas 591 y 657, Steve Starr/Stock Boston.

Captulo 8 Pginas 659 y 706, Fred Maroon/Photo Researchers, Inc.

Captulo 9 Pginas 709 y 767, Art Matrix/Visuals Unlimited; Pginas 733 y 742,CORBIS BETTMANN; Pgina 753, Library of Congress.

Captulo 10 Pginas 769 y 837, CORBIS BETTMANN.

Captulo 11 Pginas 839 y 937, Elena Rooraid/PhotoEdit; Pgina 897, CORBISBETTMAN.

Captulo 12 Pginas 939 y 981, NASA/GFSC/Tom Stack & Associates, Inc.; Pgina964, The Granger Collection.

Captulo 13 Pginas 983 y 1015, Myrleen Ferguson/PhotoEdit; Pgina 1009, TheGranger Collection.

xxiii

Crditos defotografas eilustraciones

Repaso

C O N T E N I D O

R.1 Nmeros reales

R.2 Repaso de lgebra

R.3 Repaso de geometra

R.4 Polinomios

R.5 Factorizacin de polinomios

R.6 Divisin de polinomios;divisin sinttica

R.7 Expresiones racionales

R.8 Races n-simas; exponentesracionales

Repaso del captulo

1

R

2 CAPTULO R Repaso

R.1 Nmeros realesPREPARACIN PARA ESTE LIBRO Antes de comenzar, lea para el estudiante al inicio de este libro.

OBJETIVOS 1 Clasificar los nmeros2 Evaluar expresiones numricas3 Trabajar con las propiedades de los nmeros reales

ConjuntosCuando se quiere manejar una coleccin de objetos similares pero diferen-tes como un todo, se usa la idea de conjunto. Por ejemplo, el conjunto de d-gitos consiste en la coleccin de nmeros 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Si se usa elsmbolo D para denotar el conjunto de dgitos, entonces se escribe

En esta notacin, los corchetes se usan para encerrar los objetos, o ele-mentos, en el conjunto. Este mtodo para denotar un conjunto se llama m-todo de enumeracin. Otra manera de denotar un conjunto es usar lanotacin de construccin del conjunto, donde el conjunto D de dgitos seescribe como

Uso de la notacin de construccin del conjuntoy el mtodo de enumeracin

a)

b)

Al enumerar los elementos de un conjunto, no se lista un elemento msde una vez porque los elementos de un conjunto son diferentes. Adems, elorden en que se enumeran no es relevante. Por ejemplo, 52, 36 y 53, 26 re-presentan el mismo conjunto.

Si todo elemento de un conjunto A tambin es un elemento de un con-junto B, entonces se dice que A es subconjunto de B. Si dos conjuntos A y Btienen los mismos elementos, entonces se dice que A es igual a B. Por ejem-plo, 51, 2, 36 es subconjunto de 51, 2, 3, 4, 56 y 51, 2, 36 es igual a 52, 3, 16.

Por ltimo, si un conjunto no tiene elementos, se conoce como conjun-to vaco, o conjunto nulo, y se denota por el smbolo .

Clasificacin de nmeros

1 Es til clasificar los diferentes tipos de nmeros que manejamos como con-juntos. Los nmeros para contar, o nmeros naturales, son los nmeros enel conjunto 51, 2, 3, 4,...6. (Los tres puntos, llamados elipsis, indican que elpatrn contina indefinidamente). Como su nombre lo indica, estos nmeroscon frecuencia se usan para contar cosas. Por ejemplo, hay 27 letras en el al-fabeto; hay 100 centavos en un dlar. Los nmeros enteros no negativos sonlos nmeros en el conjunto 50, 1, 2, 3,...6, es decir, los nmeros naturalesjunto con el 0.

O = 5x x es un dgito impar6 = 51, 3, 5, 7, 96E = 5x x es un dgito par6 = 50, 2, 4, 6, 86

EJEMPLO 1

D { x x es un dgito}

Se lee D es el conjunto de todas las x tales que x es un dgito.

5 6D = 50, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 96

SECCIN R.1 Nmeros reales 3

Los enteros son el conjunto de nmeros

Estos nmeros son tiles en muchas situaciones. Por ejemplo, si tiene $10 ensu cuenta de cheques y hace un cheque por $15, se representa el saldo ac-tual como

Observe que el conjunto de nmeros naturales es un subconjunto delconjunto nmeros enteros no negativos. Cada vez que se expande un siste-ma de nmeros, como de los nmeros enteros no negativos a los enteros, sehace con el fin de poder manejar problemas nuevos y, en general, ms com-plicados. Los enteros nos permiten resolver problemas que requieren n-meros naturales positivos y negativos, como en ganancia/prdida, altitudarriba/abajo del nivel del mar, temperatura arriba/abajo de 0F, etctera.

Pero los enteros no son suficientes para todos los problemas. Por ejem-plo, no contestan la pregunta qu parte de un dlar son 38 centavos? Pararesponder esta pregunta debemos extender el sistema de nmeros para incluir

a los nmeros racionales. Por ejemplo, , contesta la pregunta anterior.

Un nmero racional es un nmero que se podra expresar como un

cociente de dos enteros. El entero a se llama numerador, y el entero

b, que no puede ser 0, se llama denominador. Los nmeros racionales

son los nmeros en el conjunto donde a, b son enteros y

Ejemplos de nmeros racionales son y Como

para cualquier entero a, resulta que el conjunto de enteros es un subconjun-to de los nmeros racionales.

En ocasiones los nmeros racionales se representan como decimales.

Por ejemplo, los nmeros racionales y se pueden representar

como decimales simplemente realizando la divisin que se indica:

Observe que la representacin decimal de y termina o tiene fin. La re-

presentacin decimal de y no termina, pero se ve un patrn de repe-

ticin. Para el 6 se repite indefinidamente, como lo indica la barra

sobre el 6; para el bloque 06 se repite en forma indefinida, como lo indica

la barra sobre 06. Es posible demostrar que cada nmero racional se puederepresentar por un decimal que termina o que no termina y tiene un bloquede dgitos que se repiten, y viceversa.

Por otro lado, algunos decimales no entran en una de estas dos catego-ras. Estos decimales representan a los nmeros irracionales. Todo nmeroirracional se puede representar por un decimal que no se repite y no termi-na. En otras palabras, los nmeros irracionales no se pueden escribir en laforma donde a, b son enteros y b Z 0.

a

b,

766

,

- 23

,

766

- 34

,

52

34

34

= 0.75 52

= 2.5 - 23

= -0.666 = -0.6 766

= 0.1060606 = 0.106

766

- 23

,34

, 52

,

a

1= a

1003

.04

, - 23

,34

, 52

,

b Z 0.6.5x x = a

b,

a

b

38100

-$5.

5 , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 6.

Cd

Figura 2

p =Cd

12

1

Figura 1

4 CAPTULO R Repaso

*El conjunto de nmeros reales es un subconjunto del conjunto de nmeros complejos. Se es-tudian los nmeros complejos en la seccin 1.3.

Clasificacin de los nmeros en un conjunto

Liste los nmeros en el conjunto

que son:

a) nmeros naturales b) enteros c) nmeros racionales

d) nmeros irracionales e) nmeros reales

Solucin a) 10 es slo un nmero natural.b) y 10 son enteros.

c) y 10 son nmeros racionales.

d) y son nmeros irracionales.

e) Todos los nmeros de la lista son nmeros reales.

T R A B A J E A H O R A E N E L P R O B L E M A 1 1 .

p12-3, 43

, 0.12, 2.151515 ,

-3

5-3, 43

, 0.12, 22, p, 2.151515 1donde el bloque 15 se repite2, 106EJEMPLO 2

Enteros

Nmeros enteros no negativos

Nmeros naturales o para contar

Nmeros reales

Nmeros racionales

Nmeros irracionalesFigura 3

Los nmeros irracionales ocurren de manera natural. Por ejemplo, con-sidere el tringulo rectngulo issceles cuyos catetos tienen longitud 1. Veala figura 1. La longitud de la hipotenusa es un nmero irracional.

Adems, el nmero que es igual a la razn de la circunferencia C al di-metro d de cualquier crculo, denotado por p (la letra griega pi), es un n-mero irracional. Vea la figura 2.

Juntos, los nmeros racionales y los nmeros irracionales forman elconjunto de nmeros reales.

La figura 3 muestra la relacin de varios tipos de nmeros.*

12,


AproximacionesTodo decimal se puede representar por un nmero real (ya sea racional oirracional), y todo nmero real se puede representar por un decimal.

En la prctica, la representacin decimal de un nmero irracional estdada como aproximacin. Por ejemplo, si se usa el smbolo (ledo apro-ximadamente igual a), se escribe

Al aproximar decimales, se redondea o se trunca a un nmero especificadode lugares decimales.* El nmero de lugares establece la localizacin deldgito final en la aproximacin decimal.

Truncado: elimine todos los dgitos que siguen al dgito final en losdecimales.Redondeo: identifique el dgito final en el decimal. Si el siguiente d-gito es 5 o ms, sume 1 al dgito final; si el siguiente dgito es 4 o me-nos, deje el dgito final como est. Despus trunque lo que sigue aldgito final.

Aproximacin de un decimal a dos lugares

Aproxime 20.98752 a dos lugares decimales

a) Truncando b) Redondeando

Solucin Para 20.98752, el dgito final es 8, ya que est a dos lugares del punto decimal.

a) Para truncar, se eliminan todos los dgitos que siguen al dgito final 8. Eltruncado de 20.98752 a dos lugares decimales es 20.98.

b) El dgito que sigue al dgito final 8 es el dgito 7. Como 7 es mayor oigual que 5, se suma 1 al dgito final 8 y se trunca. La forma redondeadade 20.98752 a dos lugares decimales es 20.99.

Aproximacin de un decimal a dos y cuatro lugares

Redondeo Redondeo Truncado Truncadoa dos a cuatro a dos a cuatrolugares lugares lugares lugares

Nmero decimales decimales decimales decimales

a) 3.14159 3.14 3.1416 3.14 3.1415

b) 0.056128 0.06 0.0561 0.05 0.0561

c) 893.46125 893.46 893.4613 893.46 893.4612


CalculadorasLas calculadoras son mquinas finitas. En consecuencia, son incapaces dedesplegar decimales que contienen un nmero grande de dgitos. Por ejem-

EJEMPLO 4

EJEMPLO 3

22 L 1.4142 p L 3.1416L

*En ocasiones se dice correcto a un nmero dado de lugares decimales en lugar de truncado.

plo, algunas calculadoras despliegan slo ocho dgitos. Cuando un nmerorequiere ms de ocho dgitos, la calculadora trunca o redondea. Para ver lamanera en que su calculadora maneja los decimales, divida 2 entre 3.Cuntos dgitos ve? El ltimo dgito es 6 o 7? Si es un 6, su calculadoratrunca; si es 7, redondea.

Existen diferentes tipos de calculadoras. Una calculadora aritmticaslo puede sumar, restar, multiplicar y dividir nmeros; por lo tanto, este tipono es adecuado para este curso. Las calculadoras cientficas tienen todas lascapacidades de las calculadoras aritmticas y contienen teclas de funcionescon etiquetas ln, log, sin (sen), cos, tan, xy, inv, etctera. Conforme avance eneste libro descubrir cmo usar muchas de las teclas de funciones. Lascalculadoras graficas tienen todas las capacidades de las calculadoras cien-tficas y tienen una pantalla donde despliegan grficas.

Para quienes tienen acceso a una calculadora grfica, se han incluidocomentarios, ejemplos y ejercicios marcados con , para indicar que se re-quiere una calculadora grfica. Tambin se incluy un apndice que explicaalgunas caractersticas de una calculadora grfica. Los comentarios, ejem-plos y ejercicios con se podran omitir sin prdida de continuidad, si as lodesea.

OperacionesEn lgebra, se usan letras como x, y, a, b y c para representar nmeros. Lossmbolos usados en lgebra para las operaciones de suma, resta, multiplica-cin y divisin son y Las palabras usadas para describir los resulta-dos de estas operaciones son suma, diferencia, producto y cociente. La tabla 1resume estas ideas.

>.+ , - , #

6 CAPTULO R Repaso

Operacin Smbolo Palabras

Suma Suma: a ms b

Resta Diferencia: a menos b

Multiplicacin Producto: a por b

Divisin Cociente: a entre ba>b o ab

ab, (a)b, a(b), (a)(b)

a # b, (a) # b, a # (b), (a) # (b),a - b

a + b

Tabla 1

En lgebra, casi siempre se evita usar el signo de multiplicacin y elsigno tan familiares en aritmtica. Observe que cuando dos expresionesse colocan una al lado de la otra sin smbolo de operacin, como en ab, oentre parntesis, como en (a)(b), se entiende que las expresiones, llamadasfactores, se multiplican.

Tambin es preferible no usar nmeros mixtos en lgebra. Cuando se usan

nmeros mixtos, una suma est implcita; por ejemplo, significa

En lgebra, el uso de nmeros mixtos puede ser confuso porque la ausenciade un smbolo de operacin entre dos trminos en general se toma como

multiplicacin. Entonces, la expresin ms bien se escribe como 2.75 o

como

El smbolo , llamado signo igual y ledo igual a o es se usa paraexpresar la idea de que el nmero o expresin a la izquierda del signo iguales equivalente al nmero o expresin a la derecha.

114

.

2 34

2 +34

.2 34

En palabrasPrimero se multiplica, luego se suma.


b)

multiplicar primero q

8 # 2 + 1 = 16 + 1 = 17

c)


Para poder primero sumar 3 y 4 y luego multiplicar por 5, se usan parn-tesis y se escribe La aparicin de parntesis en una expresin,siempre significa realice primero las operaciones dentro del parntesis!.

Valor de una expresin

a)

b)

Cuando se dividen dos expresiones, como en

2 + 34 + 8

14 + 52 # 18 - 22 = 9 # 6 = 5415 + 32 # 4 = 8 # 4 = 32

EJEMPLO 7

13 + 42 # 5.

2 + 2 # 2 = 2 + 4 = 6

Escritura de proposiciones usando smbolos

a) La suma de 2 y 7 es igual a 9. En smbolos esta proposicin se escribecomo 2 7 9.

b) El producto de 3 y 5 es 15. En smbolos esta proposicin se escribe co-mo


Orden de operaciones

2 Considere la expresin 2 3 # 6. No est claro si debemos sumar 2 y 3 paraobtener 5 y luego multiplicar por 6 para obtener 30, o primero multiplicar 3y 6 para obtener 18 y luego sumar 2 para obtener 20. A fin de evitar estaambigedad, se tiene el siguiente acuerdo.

Siempre que dos operaciones de suma y multiplicacin separen tresnmeros la operacin de multiplicacin se realiza primero, seguida dela operacin de suma.

Para se tiene


Evale cada expresin.

a) b) c)

Solucin a)

multiplicar primero q

3 + 4 # 5 = 3 + 20 = 232 + 2 # 28 # 2 + 13 + 4 # 5

EJEMPLO 6

2 + 3 # 6 = 2 + 18 = 202 + 3 # 6,

3 # 5 = 15.

EJEMPLO 5

Figura 4

8 CAPTULO R Repaso

*Observe que se convirti el decimal en su forma fraccionaria. Consulte el manual de su calcu-ladora para hacer esto.

se entiende que la barra de divisin acta como parntesis; es decir,

La siguiente lista da las reglas para el orden de las operaciones.

Reglas para el orden de las operaciones

1. Comience con el parntesis que est ms adentro y trabaje haciaafuera. Recuerde que al dividir dos expresiones el numerador y eldenominador se manejan como si estuvieran entre parntesis.

2. Realice las multiplicaciones y divisiones, trabajando de derecha aizquierda.

3. Realice las sumas y restas, trabajando de izquierda a derecha.


Evale cada expresin

a) b)

c) d)

Solucin a)

multiplicar primero

b)

primero parntesis multiplicar antes de sumar

c)

d)

Tenga cuidado si usa una calculadora. Para el ejemplo 8 c), necesitausar parntesis.Vea la figura 4.* Si no lo hace, la calculadora realizar la ex-presin

y dar una respuesta incorrecta.

T R A B A J E A H O R A E N L O S P R O B L E M A S 4 5 Y 5 3 .

Propiedades de los nmeros reales

3 Se us el signo igual para indicar que una expresin es equivalente a otra.Ahora se enumeran cuatro propiedades importantes de la igualdad. En lalista a, b y c representan nmeros reales.

2 +52

+ 4 # 7 = 2 + 2.5 + 28 = 32.5

= 2 + 34 + 324 = 2 + 3364 = 38 2 + 34 + 2# 110 + 624 = 2 + 34 + 2 # 11624

2 + 52 + 4 # 7 =

2 + 52 + 28

=7

30

q q 5 # 13 + 42 + 2 = 5 # 7 + 2 = 35 + 2 = 37

q 8 # 2 + 3 = 16 + 3 = 19

2 + 34 + 2 # 110 + 6242 + 52 + 4 # 7

5 # 13 + 42 + 28 # 2 + 3

EJEMPLO 8

2 + 34 + 8

=12 + 3214 + 82


1. La propiedad reflexiva establece que el nmero siempre es igual as mismo; esto es, a a.

2. La propiedad simtrica establece que si a b, entonces b a.

3. La propiedad transitiva establece que si a b y b c, entonces a c.

4. El principio de sustitucin establece que si a b, entonces se pue-de sustituir b por a en cualquier expresin que contenga a a.

Ahora se consideran algunas propiedades de los nmeros reales. Co-menzamos por un ejemplo.

Propiedades conmutativas

a)

3 + 5 = 5 + 3 5 + 3 = 8 3 + 5 = 8

EJEMPLO 9

b)

2 # 3 = 3 # 2 3 # 2 = 6 2 # 3 = 6

Este ejemplo ilustra la propiedad conmutativa de los nmeros reales,que establece que el orden en que se realiza la suma o la multiplicacin noafecta el resultado final.

Propiedades conmutativas

(1a)

(1b)

Aqu, y en las propiedades que siguen y en las pginas 10 a 13, a, b y crepresentan nmeros.

Propiedades asociativas

(a)

2 + 13 + 42 = 12 + 32 + 4 12 + 32 + 4 = 5 + 4 = 9 2 + 13 + 42 = 2 + 7 = 9

EJEMPLO 10

a # b = b # a a + b = b + a

b)

2 # 13 # 42 = 12 # 32 # 4 12 # 32 # 4 = 6 # 4 = 24 2 # 13 # 42 = 2 # 12 = 24

La manera en que se suman o multiplican tres nmeros reales no afec-tar el resultado final. Las expresiones como 2 3 4 y no presen-tan ambigedad, aun cuando la suma y la multiplicacin se realizan en unpar de nmeros a la vez. Esta propiedad se llama propiedad asociativa.

Propiedades asociativas

(2a)

(2b)

La siguiente propiedad es quiz la ms importante.

a # 1b # c2 = 1a # b2 # c = a # b # c a + 1b + c2 = 1a + b2 + c = a + b + c

3 # 4 # 5

10 CAPTULO R Repaso

Propiedad distributiva

(3a)

(3b)

La propiedad distributiva se utiliza de dos maneras diferentes.

Propiedad distributiva

a) Se usa para eliminar parntesis.

b) Se usa para combinar dos expresiones.

c)


Los nmeros reales 0 y 1 tienen propiedades nicas.

Propiedades de identidad

a) b)

Las propiedades de 0 y 1 ilustradas en el ejemplo 12 se llaman propie-dades de identidad.

Propiedades de identidad

(4a)

(4b)

El 0 recibe el nombre de identidad aditiva o neutro aditivo y el 1, identidadmultiplicativa o neutro multiplicativo.

Para cada nmero real a, existe un nmero real a, llamado inversoaditivo de a, que tiene la siguiente propiedad:

Propiedad del inverso aditivo

(5a)

Para encontrar el inverso aditivo

a) El inverso aditivo de 6 es 6, porque

b) El inverso aditivo de 8 es (8) 8, porque 8 8 0.

El inverso aditivo de a, es decir, a, con frecuencia se llama el negativode a o el opuesto de a. Quiz el uso de estos trminos resulte peligroso, por-que sugieren que el inverso aditivo es un nmero negativo, lo cual no siem-

6 + 1-62 = 0.EJEMPLO 13

a + 1-a2 = -a + a = 0

a # 1 = 1 # a = a 0 + a = a + 0 = a

3 # 1 = 1 # 3 = 34 + 0 = 0 + 4 = 4EJEMPLO 12

= x2 + 13x + 2x2 + 6 = x2 + 5x + 6 1x + 221x + 32 = x1x + 32 + 21x + 32 = 1x2 + 3x2 + 12x + 623x + 5x = 13 + 52x = 8x2 # 1x + 32 = 2 # x + 2 # 3 = 2x + 6

EJEMPLO 11

1a + b2 # c = a # c + b # c a # 1b + c2 = a # b + a # c


pre es cierto. Por ejemplo, el inverso aditivo de 3, o (3), es igual a 3, unnmero positivo.

Para cada nmero real a diferente de cero, existe un nmero real lla-mado inverso multiplicativo de a, que tiene la siguiente propiedad.

Propiedad del inverso multiplicativo

(5b)

El inverso multiplicativo de un nmero real diferente de cero tambin se

conoce como el recproco de a.

Para encontrar el recproco

a) El recproco de 6 es porque

b) El recproco de es porque

c) El recproco de es porque

Con estas propiedades para sumar y multiplicar nmeros reales, ahorase definen las operaciones de resta y divisin como sigue:

La diferencia a b tambin se lee a menos b y se define como

(6)

Para restar b de a, se suma el opuesto de b a a.

Si b es un nmero real diferente de cero, el cociente se lee a entreb o la razn de a a b y se define como

(7)

Trabajo con diferencias y cocientes

a) b) c)

58

= 5 # 18

4 - 9 = 4 + 1-92 = -58 - 5 = 8 + 1-52 = 3EJEMPLO 15

a

b= a # 1

b si b Z 0

a

b,

a - b = a + 1-b2

23# 32

= 1.32

,23

-3 # 1-3

= 1.1-3

,-3

6 # 16

= 1.16

,

EJEMPLO 14

1a

a # 1a

=1a# a = 1 si a Z 0

1a

,

En palabrasEl resultado de multiplicar porcero es cero

12 CAPTULO R Repaso

Para cualquier nmero a, el producto de a veces 0 es siempre 0; es decir,

Multiplicacin por cero

(8)

Para un nmero diferente de cero a,

Propiedades de la divisin

(9)

NOTA: La divisin entre 0 no est definida. Una razn es evitar la siguiente difi-

cultad: significa encontrar x tal que Pero es 0 para toda x, de

manera que no existe un nmero nico x tal que

Reglas de signos

(10)

Aplicacin de las reglas de signos

a) b)

c) d) e)

Si c es un nmero diferente de cero, entonces

Propiedades de cancelacin

(11)

Uso de las propiedades de cancelacin

a) Si entonces

Factorizar 6.

Cancelar los nmeros 2. x = 3 2x = 2 # 3 2x = 6

2x = 6,

EJEMPLO 17

ac

bc=

a

b si b Z 0, c Z 0

ac = bc implica a = b si c Z 0

x

-2=

1-2

# x = - 12

x-4-9

=49

3-2

=-32

= - 32

1-321-52 = 3 # 5 = 1521-32 = -12 # 32 = -6EJEMPLO 16

-a-b

=a

b

a

-b=

-ab

= - a

b-1-a2 = a

1-a21-b2 = ab1-a2b = -1ab2a1-b2 = -1ab2

20

= x.

0 # x0 # x = 2.20

= x

0a

= 0 aa

= 1 si a Z 0

a # 0 = 0


b)

Cancelar los nmeros 6.

NOTA: Se sigue la prctica comn de usar las diagonales cruzadas para indicar lascancelaciones.

Propiedad del producto cero

(12)

Uso de la propiedad del producto cero

Si 2x 0, entonces 2 0 o x 0. Como 2 Z 0, se sigue que x 0.

Aritmtica del cociente

(13)

(14)

(15)

Suma, resta, multiplicacin y divisin de cocientes

a)

Por la ecuacin (13)

b)

Por la ecuacin (6) Por la ecuacin (10)

Por la ecuacin (13)

c)

Por la ecuacin (14) Por la ecuacin (11)

NOTA: Inclinar las marcas de cancelacin en diferentes direcciones para diferen-tes factores, como se muestra, es una buena prctica, ya que ayudar a verificar sihay errores.

q q 83# 15

4=

8 # 153 # 4 =

2 # 4 # 3 # 5 3 # 4 # 1 =

2 # 51

= 10

q =

3 # 3 + 5 # 1-225 # 3 =

9 + 1-10215

=-115

= - 1

15

q q 35

-23

= 35

+ a - 23b = 3

5+

-23

q 23

+52

=2 # 23 # 2 +

3 # 53 # 2 =

2 # 2 + 3 # 53 # 2 =

4 + 156

=196

EJEMPLO 19

a

bc

d

=a

b# d

c=

ad

bc si b Z 0, c Z 0, d Z 0

a

b# cd

=ac

bd si b Z 0, d Z 0

a

b+

c

d=

ad

bd+

bc

bd=

ad + bcbd si b Z 0, d Z 0

EJEMPLO 18

Si ab = 0, entonces a = 0, o b = 0, o ambos.

q 1812

=3 # 6 2 # 6 =

32

14 CAPTULO R Repaso

d)

Por la ecuacin (15)

NOTA: Al escribir los cocientes, debe seguirse la convencin y escribirlos en lostrminos ms pequeos; es decir, se escriben de forma que se hayan eliminado losfactores comunes del numerador y denominador usando la ecuacin (11) de las pro-piedades de cancelacin. Como ejemplo,

T R A B A J E A H O R A E N L O S P R O B L E M A S 5 5 , 5 9 Y 6 9 .

Algunas veces es ms sencillo sumar dos fracciones usando el mnimocomn mltiplo (MCM). El MCM de dos nmeros es el nmero ms pe-queo que es mltiplo de ambos.

Mnimo comn mltiplo de dos nmeros

Encuentre el mnimo comn mltiplo de 15 y 12

Solucin Para encontrar el MCM de 15 y 12, se observan los mltiplos de 15 y 12.

Los mltiplos comunes estn en tipo color azul. El mnimo comn mltiploes 60.

Uso del mnimo comn mltiplo para sumar dos fracciones

Encuentre

Solucin Se usa el MCM de los denominadores de las fracciones y se reescribe cadauna usando el MCM como denominador. El MCM de los denominadores(12 y 15) es 60. Se reescribe cada fraccin usando 60 como denominador.


815

+5

12=

815# 44

+5

12# 55

=3260

+2560

=32 + 25

60=

5760

815

+5

12

EJEMPLO 21

12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120,

15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120,

EJEMPLO 20

24x2

18x=

4 # 6 # x # x 3 # 6 # x =

4x3 x Z 0

9024

=15 # 64 # 6 =

154

qPor la ecuacin (14)

3579

= 35# 97

=3 # 95 # 7 =

2735


El sistema de nmeros reales tiene una historia que se remon-ta al menos a la antigua Babilonia (1800 a.C.). Es asombrosocuntas de las actitudes de la antigua Babilonia se parecen a lasnuestras. Como se estableci la dificultad fundamental con losnmeros irracionales es que no se pueden escribir como co-cientes o enteros, o de manera equivalente, como decimalesque se repiten o terminan. En Babilonia escriban los nmerosen un sistema basado en 60, de la misma manera que escribi-mos los nuestros basados en 10. Escribiran tantos lugares de-cimales para como lo demandara la exactitud del problema,igual que ahora se usa

dependiendo de cunta exactitud se necesite.Las cosas eran muy distintas para los griegos, cuyo siste-

ma numrico permita slo nmeros racionales. Cuando sedescubri que no era un nmero racional, esto se vio co-mo una falla fundamental en el concepto de nmero. El asuntoera tan serio que se dice que la Hermandad Pitagrica (una so-ciedad matemtica de la poca) ahog a uno de sus miembrospor revelar tan terrible secreto. Los matemticos griegos des-

12o p L 3.14159265358979

p L 3 17 o p L 3.1416 o p L 3.14159

p

ASPECTO HISTRICO

pus se alejaron del concepto de nmero expresando hechosacerca de los nmeros enteros en trminos de segmentos.

Sin embargo, en astronoma, los mtodos de Babilonia, in-cluyendo su sistema numrico, continuaron utilizndose. Si-mon Stevin (1548-1620), tal vez usando el sistema de Babiloniacomo modelo invent el sistema decimal, en 1585, completocon reglas de clculo. [Otros, como al-Kashi de Samarkanda(1429) haban hecho algunos avances en la misma direccin]. Elsistema decimal oculta de manera tan efectiva las dificultades,que la necesidad de mayor precisin lgica comenz a sentirsehasta principios de 1800. Alrededor de 1880, Georg Cantor(1845-1918) y Richard Dedekind (1831-1916) proporcionarondefiniciones precisas de los nmeros reales. La definicin deCantor, aunque ms abstracta y precisa, tiene sus races en elsistema numrico decimal (y por ende en el de Babilonia).

Los conjuntos y la teora de conjuntos fueron el beneficioindirecto de la investigacin que lleg a aclarar los fundamen-tos de los sistemas de nmeros reales. La teora de conjuntosse ha convertido en una disciplina amplia en s misma y mu-chos matemticos la ven como el fundamento de las matem-ticas modernas. Los descubrimientos de Cantor de que losconjuntos infinitos tambin se pueden contar y tienen tama-os diferentes se encuentran entre los resultados ms sor-prendentes de las matemticas modernas.

Problemas histricosEl sistema numrico de Babilonia se basaba en 60. Entonces

2,30 significa y 4,25,14 significa

4 +2560

+14

602= 4 +

15143600

= 4.42055555

2 +3060

= 2.5

1. Cules son los siguientes nmeros en la notacin de Ba-bilonia?

Álgebra y trigonometría - 7ma edición - sullivan

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