algebra y geometrÍa i dpto. de matemÁtica escuela de

ALGEBRA Y GEOMETRÍA I

DPTO. DE MATEMÁTICA

ESCUELA DE FORMACIÓN BÁSICA

F.C.E.I.A – U.N.R

SUPERFICIES

ING. RICARDO F. SAGRISTÁ

-2006-

-Álgebra y geometría I -

2

SUPERFICIES.-

1.- Ecuaciones de superficies.

Ya hemos estudiado la superficie más sencilla que puede presentarse: el plano. Sabemos ya que la

ecuación de un plano, referido a un sistema de coordenadas cartesiano ortogonal, es de primer

grado en las variables x, y, z (coordenadas de un punto genérico del mismo), es decir:

�� 0 �1�

La ecuación puede escribirse por brevedad así: � ��, �, �� 0 �2� en la que representa las

operaciones a que están sometidas en (1) las variables x, y, z.

Con este convenio si �₁��₁, �₁, �₁� pertenecen al plano, sus coordenadas han de satisfacer las

ecuaciones �1� � �2�, es decir se cumplirá: ��₁ � ��₁ � ��₁ � � 0 o bien � ��₁, �₁, �₁� 0 .

Más general ahora, llamaremos ecuación de una superficie a la relación que liga las coordenadas de

un punto genérico de la misma.

Si esa relación es de la forma � ��, �, �� 0 dicha superficie podrá caracterizarse como el siguiente

lugar geométrico de punto del espacio:

� ��, �, ��; ��, �, �� 0�

Para llegar a la ecuación de la superficie, llamaremos con �, �, � a las coordenadas de un punto de

la misma y escribiremos las condiciones que representen que efectivamente dicho punto pertenece

a la superficie definida.-

Una superficie puede definirse, dando una propiedad común a todos sus puntos. También puede

definírsela por el movimiento de una línea en el espacio sujeto a ciertas condiciones.-

2.- Algunos ejemplos sencillos:

Superficies cuyas ecuaciones contienen una sola variable:

� Ejemplo 1: supongámonos estudiar la superficie caracterizada así: � ��, �, ��; �� 4

La ecuación de la superficie es entonces: �² � 4 0 ; �; �,


3

la que se descompone así: �� 2� ! �� 2� 0

entonces la superficie puede caracterizarse en forma equivalente así: � ��, �, �� , �� 2�� 2� 0� ��, �, ��; � � 2 0� " ��, �, ��; � � 2 0�

Es decir nuestra superficie S, está formada por dos planos paralelos al plano coordenado

YZ.-

� Ejemplo 2:

Estudiar la superficie siguiente: � ��, �, ��/�² � � � 6 0�

La ecuación �² � � � 6 0 tiene las raíces �% 2 ; �� 3

Entonces : �² � � � 6 �� 2�� 3� 0 ; �, � , luego ��, �, ��, � 2� " ��, �, ��, � �3�, es decir

dos planos paralelos al plano coordenado XY.

Si la ecuación no tiene raíces reales, el lugar geométrico considerado es el conjunto vacio.-+

3.- Superficies cilíndricas con generatrices paralelas a los ejes

Estudiemos la superficie generada por un recta, llamada generatriz que se desplaza

manteniéndose paralela al eje Oz, y apoyándose en la curva Γ contenida en el plano XY,

llamada directriz.

Supongamos que la ecuación de la directriz en su plano sea: (�� 0 ; �3� .

Sea �₀��₀, �₀, �₀� en un punto perteneciente a la curva Γ,

luego sus coordenadas deben verificar la ecuación (3) es

decir será (��₀�₀� 0 .

Consideremos la generatriz que pasa por P₀. Como esa recta

es por definición paralela al eje Oz, sea normal al plano

coordenado XY y un punto *��₀, �₀, �₀� de ella verifica

también la ecuación (3) pues se cumple que (��₀�₀� 0

independientemente del valor de z.-

Una superficie como la que estudiamos se llama cilíndrica de generatriz paralela al eje z y de

directriz Γ.

Podemos asimismo expresarla como el siguiente lugar geométrico de puntos del espacio:


4

ax + by =d ; z=0

ax + by =d ; z=1

ax + by = d ; z=2

ax + by =d ; z

en donde

la ecuación f(xy)=0 es la ecuación de la superficie en estudio.

De igual modo los siguientes lugares geométricos son respectivamente superficies cilíndricas

Siendo sus ecuaciones

, respectivamente.

� Ejemplo 3:

El plano

es un caso particular de superficie cilíndrica cuya directriz es la recta y de

generatriz paralela al eje z

Fig.2

� Ejemplo 4:

La ecuación z²=2px, pensada en el espacio, es decir y, es la ecuación de una superficie

cilíndrica cuya directriz es la parábola z²=2px (curva contenida en el plano XZ) y de generatriz

paralela al eje y.

La ecuación de la superficie cilíndrica es z²=2px. La

ecuación de la directriz es z²=2px, y=0


5

4.- Ecuaciones de curvas en el espacio

En los sencillos ejemplos anteriores vimos como es posible representar una superficie dada en

un sistema de coordenadas cartesianas, mediante una ecuación ��, �, �� 0.

Las curvas pueden ser dadas como intersección de dos superficies lo que equivale a decir por

dos ecuaciones simultáneas o sistema de dos ecuaciones.

Nosotros ya hemos estudiado un caso particular: la línea recta en el espacio, determinada por

dos planos: / ��, �, �� ; �%� � �%� � �%� � �% 0� 0 ��, �, �� ; �� 0�

siendo en este caso la ecuación:

1�%� � �%� � �%� � �% 0�� 02

En general, si (% ��, �, �� 0 y (� ��, �, �� 0 son las ecuaciones de dos superficies, la curva

de intersección de ambas: estará formada por los puntos cuyas coordenadas satisfacen las dos

ecuaciones o sea esa curva intersección 3 es: Γ ��, �, ��; (% ��, �, �� 0� 0 ��, �, ��; (� ��, �, �� 0� Se dice brevemente que la intersección está dada por el sistema

1 (% ��, �, �� 0 (� ��, �, �� 02 También una curva en el espacio, referida a un sistemas de coordenadas cartesianas

ortogonales, puede ser representada analíticamente por sus ecuaciones paramétricas: � (�7�; � 8�7�; � 9�7�

en donde �, �, � son las coordenadas de un punto corriente de la curva, coordenadas éstas que

son funciones del parámetro t. Esta forma es particularmente adecuada para la descripción de

curvas generadas por el movimiento de un punto en el espacio. En este caso el parámetro t es

el tiempo y la posición del punto (o sea de sus coordenadas) queda completamente

determinado para cada instante t.

Nosotros ya conocemos un caso particular: las ecuaciones para métricas de la recta:

/� :� �% � 7 ;%� �% � 7 ;�� % � 7 ;<2

Otro ejemplo importante son las ecuaciones: � � ! cos 7 ; � � ! ?@A 7 ; � B ! 7

donde a y k son constantes y P(x,y,z) el punto corriente.

Estas son las ecuaciones paramétricas de una curva, llamada hélice circular.


6

Ella está contenida en el cilindro, de generatrices paralelas al eje z, de ecuación:

�² � �² �²,

que se obtiene eliminando t entre las dos primeras

ecuaciones �² �² � ��?² 7 �² �² � ?@A² 7 �� cos� 7 � ?@A�7� = ��

Aquí el parámetro t es el angulo de giro sobre el plano

XY, a partir del eje Ox. Si t aumenta en 2π según las

ecuaciones de esta curva, x e y no varían, en efecto:

Dcos 7 cos�7 � 2E� ; ?@A 7 ?@A �7 � 2E�F,

pero en cambio z aumenta en la cantidad G B�2E � 7� � B7 2EB, que es independiente de t y que

recibe el nombre de paso de la hélice.

5.- Superficies cilíndricas (caso general).- Cilindro

Un cilindro o superficie cilíndrica, es generada por una recta generatriz que se mantiene

paralela a una dirección dada y apoyándose en un curva 3 (directriz) contenida en un plano

no paralelo a la recta (Fig.5).

Sean las ecuaciones de la generatriz que suponemos paralela al vector ;H �;%, ;�, ;<� pasa

por �I ��I, �I, �I�

8 :� �I � 7 ;%� �I � 7 ;�� I � 7 ;<2 �4�

o bien � � �I;% � � �I;� � � �I;< 7

Un punto � ��, �, �� pertenecerá a la superficie cilíndrica si y solo si sus coordenadas

satisfacen estas ecuaciones (4), en las que �I ��I, �I, �I�debe desplazarse a su vez sobre la

directriz 3. Sean las ecuaciones de la misma

1 (% ��, �, �� 0 (� ��, �, �� 02 (5)


7

La condición de apoyarse la generatriz sobre la directriz se obtiene pensando que el punto P₀

(x₀,y₀,z₀) debe verificar las ecuaciones (5), es decir, de (4) obtenemos:

�I = � � 7 ;%�I � � 7 ;��I � � 7 ;< ,

Como decíamos por pertenecer P₀ a la directriz 3 tenemos:

�6� 1(%D�� 7 ;%�, �� 7 ;��, �� 7 ;<�F 0(�D�� 7 ;%�, �� 7 ;��, �� 7 ;<�F 02

Eliminando t entre las ecuaciones (6) se obtiene la ecuación de la superficie cilíndrica.

� Ejemplo 5:

Hallar la ecuación de la superficie cilíndrica cuya generatriz tiene coeficientes directores

(1,1,1) y la directriz viene dada por la intersección de los planos: Γ 1� � � � � � 1 0� � � � � 0 2 Las ecuaciones de la generatriz son:

� � �I1 � � �I1 � � �I1 7

De donde: �I � � 7 ;%; �I � � 7 ;�; �I � � 7 ;<

Como P₀ se mueve sobre 3, sus coordenadas deben de verificar las ecuaciones de ella:

1�� 7� � �� 7� � �� 7� � 1 0�� 7� � �� 7� � �� 7� 0 2 Es decir: 1� � � � � � 7 � 1 0� � � � � � 7 0 2

Eliminando t entre estas dos últimas ecuaciones: 2� � 2� � 1 0, ecuación de la superficie cilíndrica buscada,

que en este caso es un plano, cosa que se puede deducir al principio por ser la directriz 3,

una recta.


8

� Ejemplo 6:

Hallar la ecuación de una superficie cilíndrica cuya directriz es la curva

19�� 4�� = 5

2 y la generatriz en la recta de coeficientes directores (1,-2,3). Los puntos de la superficie

cilíndrica, deben de satisfacer a la familia de rectas paralelas:

� � 51 = � � �I

�2 � � �I3 7 �7�

En la que el punto P₀ (5, y₀, z₀) es un punto que a su vez se desplaza sobre la directriz

contenida en este caso en un plano paralelo al plano coordenado YZ. De (7) tenemos: �I � � 27�I � � 37

Como � � 5 7 , reemplazando: �I � � 2�� 5��I � � 3�� 5�

que reemplazamos en la ecuación de la directriz: 9�� 3� � 15�� 4�� 2� � 10�� 1

que es la ecuación buscada. Por razones obvias, esta superficie se llama cilindro hiperbólico.

6.- Superficies cónicas.-

Estudiemos ahora el lugar geométrico generado por una recta (generatriz) que gira de

manera que uno de sus puntos (llamado vértice) queda siempre fijo y apoyándose sobre una

curva 3 (directriz) Fig.6. Dicho lugar geométrico recibe el nombre de superficie cónica o

brevemente cono. Tratemos te obtener su ecuación.


9

Sean: N��%, �%, �%� el vértice y

1 (% ��, �, �� 0 (� ��, �, �� 02 las ecuaciones de la directriz 3,

P₀ (x₀, y₀, z₀) un punto de la superficie cónica, perteneciente a la directriz. Por lo que ha de

verificarse

�8� 1 (% ��₀, �₀, �₀� 0 (� ��₀, �₀, �₀� 02 La generatriz correspondiente del cono será:

�9�PQRQS� �% � ��I � �%� ! %T� �% � ��I � �%� ! %T� �% � ��I � �%� ! %T

2 que es la recta que une P₀ con el vértice V.

Al variar P₀ desplazándose sobre 3, siempre se verificaran las ecuaciones (8) y la recta

describirá el cono.

Para obtener la ecuación del mismo, habrá entonces que eliminar x₀, y₀, z₀ entre las dadas

ecuaciones (8) y (9). Para efectuar esa eliminación, conviene poner en las ecuaciones (9) el

parámetro en la forma %T y despejar:

U�I 7�� %� � �%� 7�� %� � �%�I 7�� %� � �%2 sustituyendo estos valores en (8), se tiene:

: (% D7�� %� � �%, 7�� %� � �%, 7�� %� � �%F 0 (� D7�� %� � �%, 7�� %� � �%, 7�� %� � �%F 0 2

La ecuación de la superficie cónica se obtendrá al eliminar t entre las dos últimas ecuaciones.

Como las variables x, y, z, aparecen únicamente en los binomios �� %�; �� %�; �� %�

resulta que al eliminar t nos quedará la ecuación de la superficie cónica de la forma:

�10� �D�� %�; �� %�; �� %�F 0

es decir una ecuación en la que las variables pueden ser consideradas iguales a �� %�; �� %�; �� %�.


10

Esta ecuación (10) tiene un propiedad importante, la de ser homogénea, es decir la de tener

todos sus términos la misma dimensión con respecto a las variables �� %�; �� %�; �� %�. Para demostrar esta afirmación, pensaremos primero que el vértice V que está en el origen

de coordenadas, es decir en este caso sea �% = �% = �% = 0, quedando la ecuación (10) de la

superficie cónica función de x, y, z: o sea � ��, �, �� 0. Ahora bien si � ��I, �I, �I�

pertenece a la superficie, �I, �I, �I han de verificar la ecuación, es decir será ��I, �I, �I� 0 pero en ese caso también la verificara el punto �V�I, V �I, V�I� es decir

� �V�I, V �I, V�I� 0 �11�

(En donde λ es un parámetro real), pues las ecuaciones � = V�I; � = V�I ; � = V�I son las

ecuaciones para métricas de una recta que pasa por el origen y por P₀, es decir una generatriz

de la superficie cónica. Por lo tanto para que se verifiquen (11) la función � ��, �, �� 0

ecuación de un cono cuyo vértice está en el origen de coordenadas ha de ser homogénea n

las tres variables x, y, z (esta condición no es suficiente, ej. �² � �² � �² 0 es homogénea

en x, y, z. Su única solución es (0,0,0). Si el vértice V tiene coordenadas x₁, y₁, z₁, no todas

nulas podemos pensar en hacer una traslación de ejes al vértice. Como ya sabemos las

coordenadas referidas al nuevo sistema de ejes serán �� %�; �� %�; �� %� y la

ecuación del cono tomará la forma ya conocida (10).

Tenemos ahora de nuevo el caso del cono con su vértice en el origen, aplicando la conclusión

recién vista, afirmamos que la ecuación (10) es homogénea en las tres variables que en este

caso son �� %�; �� %�; �� %�.

� Ejemplo 7:

Hallar la superficie cónica cuya directriz es:

Γ U�� 1� � ��7@�2

y el vértice V≡ (0, 0,0), la ecuación generatriz será (si x₀≠0; y₀≠0; z₀≠0) ��I ��I ��I como cualquiera sea el punto donde se apoye la generatriz, tendrá z₀ = c tenemos ��I ��I ��

de donde �I � ! �� ; �I � ! ��


11

Reemplazando en la primera ecuación de la directriz: �²�² �²�² � �²�² �� 1

o sea �²�² � �²�² � �²�² 0

que es la ecuación del cono buscada.

¿Cómo son las secciones que se obtienen al seccionar el cono, con planos paralelos al plano

coordenado XY?

� Ejemplo 8:

Hallar la ecuación del cono de vértice V= (2, 1, 4) y directriz

1 � � � � � 0�² � �² � �² � 4 02 Las ecuaciones de la generatriz que pasa por el vértice y un P₀ de la directriz son: � � 2�I � 2 � � 1�I � 1 � � 4�I � 4 17

Despejando �I, �I, �I las reemplazamos en las ecuaciones de la directriz:

1 7�� 2� � 2 � 7�� 1� � 1 � 7�� 4� � 4 0D7�� 2� � 2F� � D7�� 1� � 1F� � D7�� 4� � 4F� � 4 02 despejando t de la primera

7 1� � � � � � 1

reemplazando a la segunda tenemos la ecuación buscada: �3� � 2� � 2�� 3� � 2� � 2�� 4� � 4� � 3�� 4�� 1�� 0

� Ejemplo 9:

Hallar la ecuación del cono elíptico con vértice V≡(2,-1,3) y cuya directriz es la elipse

perteneciente al plano XY: Γ 14�² � �² 1� 0 2 las ecuaciones de la generatriz que pasa por V y por un punto P₀ de 3 son: � � 2�I � 2 � � 1�I � 1 � � 33 17 pues el punto P₀ de apoyo de la generatriz sobre la directriz sea P₀(x₀, y₀, z₀).

De ellas obtenemos:

�I �3� � 2��3 � � , �I 3� � �3 � �

que reemplazadas en la primera ecuación de la directriz nos da: 4�3� � 2�� 3� � �� 3 � ��²


12

7.- Superficies de revolución:

Se llama superficie de revolución a aquella que se obtiene haciendo rotar una curva contenida

en un plano alrededor de una recta del mismo plano. La recta en cuestión se llama eje de

rotación. Los puntos de la generatriz describen circunferencias contenidas en planos normales

al eje, cuyo centro está en este último y se llaman paralelos de la superficie. Los planos que

pasan por eje, cortan a la superficie según curvas llamadas meridianos de la superficie.

tratemos ahora de hallar la ecuación de estas superficies.- Para ello consideremos los ejes

coordenados tales que el eje Oy sea el eje de rotación y que el plano coordenado YZ sea el que

contenga a la generatriz.- Fig. 7

La ecuación de la generatriz será entonces de la forma: �12) ��, �� 0 ; � 0

Si Q es un punto de la generatriz, al girar alrededor del eje Oy, describe como ya hemos

dicho una circunferencia de centro C y radio CQ, que es la Z que es la figura en (12): Al pasar

entonces el punto Q a la posición P, el radio CQ se mantiene igual al CP.

Este último puede expresarse como √�� , si llamamos con x, y, z las coordenadas de P.

es claro que en este giro alrededor del eje Oy, la y no varía. Luego la relación que deben

cumplir las coordenadas x, y ,z de un punto P perteneciente a la superficie es la misma (12)

pero con el z = CQ reemplazando por el valor \� √�� , es decir

� ]�, ^�� _ 0

que es la ecuación buscada. Resumiendo entonces, si la generatriz está en el plano

coordenado YZ, y su ecuación es ��, �� 0, la ecuación de la superficie de revolución de

eje Oy, se obtiene reemplazando z. por √�� en dicha ecuación de la curva generatriz.


13

Un razonamiento similar permite concluir que si la generatriz por ejemplo gira alrededor del

eje Oz, y está contenido en el plano ZY, siendo su ecuación ��) 0, la ecuación de la

superficie de revolución será

� ]^�� , �_ 0

� Ejemplo 10:

La generatriz es la curva de ecuación: �� 1; � 0

el eje de giro en el Ox. La ecuación de la superficie de revolución es: �� ² � �� 1

Si el eje de giro es el eje Oz entonces la ecuación de la superficie de revolución respectiva es:

�� ²�� 1

� Ejemplo 11:

Ecuación de la generatriz: �² 2G� ; � 0 el eje, de giro el eje Oz. La superficie de

revolución que se engendra tiene por ecuación: �² � �² 2G�

8.- Superficies esféricas:

Si r es un numero real positivo y C un punto fijo del espacio se llama superficie esférica de

centro C y radio r, al lugar geométrico de los puntos P, tal que su distancia a C sea r. Es decir: � ��, |\�HHHH| a�

Si ahora tomamos un sistema de ejes coordenados de referencia (con la base canónica

asociada) en el que C≡ (a, b, c) y recordamos que la expresión:

|\�HHHH| b�� ²

nos da la distancia entre los puntos (a, b, c) y (x, y, z) del espacio, entonces la superficie

esférica puede caracterizarse así: \ ��, �, ��: �� /²�

la condición: �13� �� /²

es cumplido solo por dos puntos de la superficie esférica, por solo ellos. Es por lo tanto la

ecuación de esta superficie.


14

Si el centro coincide con el origen de coordenadas la ecuación se reduce a la expresión: �² � �² � �² /²

Si desarrollamos la ecuación (13) tenemos ahora: �14) �� 2�� 2�� 2�� 0

en la que � �� /� c /� �� .

Es claro que toda ecuación del tipo anterior que cumpla con la condición: �� d 0

será la de una superficie esférica de centro (a, b, c) y radio r tal que: / ��

según hemos dicho. Si esta expresión diera cero el único punto que verifica la ecuación es el

punto (a, b, c). Se dice en ese caso que la superficie esférica da radio nulo. Si la expresión diera

negativa no existe superficie esférica (conjunto vacío).

La ecuación más general posible de 2º grado en tres variables es: �15� e�� f�� \�� g�� h�� i� � j� � k� � l 0

donde por lo menos uno de los coeficientes de los términos de 2º grado es distinto de cero.

Vemos que la ecuación (14) es un caso particular de la (15) donde: i �2� ; j �2�; k �2� � l �� /� � ; e f \ Y 0; g h � 0

La ecuación de la superficie esférica es una ecuación de 2º grado en tres variables. Pero no

toda ecuación de 2º grado representa una superficie esférica como es fácil verificar. En efecto

observando la ecuación (14) vemos que para que una ecuación de 2º grado represente una

superficie esférica es necesario que sean iguales los coeficientes de x², y², z², y que sean nulos

los coeficientes de los términos rectangulares xy, xz, zy. Es decir empleando la notación de (15)

que sean: �16� e f \ Y 0 ; h � i 0 � Ejemplo 12:

Sea la ecuación: �� 2� � 4� � 6� � 2 0 queremos averiguar el centro y el

radio de la superficie cilíndrica. Agrupando los términos en x² y x tenemos (completando

cuadrados) �� 2� �� 1�� 1�� 4� �� 2�� 4 �� 6� �� 3�� 9 Reemplazando: �� 1�� 2�� 3�� 14 � 2 0

�� 1�� 2�� 3�� 16

hemos llevado a nuestra ecuación a la forma (13) y en ella reconocemos que el centro es

C (-1,2,-3) y el radio r = 4.


15

Ahora bien, las condiciones (16) si bien son necesarias no son suficientes, para poder afirmar

que una ecuación del tipo (15) representa una superficie esférica. En efecto, consideremos la

ecuación siguiente �� 1 0 en la cual e f \ ≠ 0 ; h � i 0.

Pero el conjunto ? ��, �, ��; �� 1 0� m

Tratemos entonces de encontrar condiciones suficientes para que una ecuación del tipo (15)

represente una superficie esférica. En ella hagamos entonces e f \ Y 0 ; h � i 0 e�� e�� e�� i� � j� � k� � l 0

Dividiendo por A, tenemos:

�� ie � � je � � ke � � le 0

Completando los cuadrados tenemos:

�� i2e�� i�4e� � �� j2e�� j�4e� � �� k2e�� n� � k2eo� � k�4e� � le 0

�� i2e�� j2e�� k2e�� i� � j� � k� � 4el4e�

La expresión anterior será efectivamente una superficie esférica si el 2º miembro es

positivo, lo que exige i� � j� � k� � 4el d 0 que es la condición suficiente buscada.

9.- Estudio elemental de las cuadráticas. Ecuaciones reducidas

� Elipsoide:

Propongámonos estudiar la superficie llamada elipsoide cuya ecuación es la siguiente:

�� 1 �17�

en donde a, b, c son números reales positivos. Esta ecuación muestra que si el punto

P≡ (x, y, z) pertenece al elipsoide, el punto de coordenadas (-x, y, z) también pertenece a

ese elipsoide. Ello significa que el plano coordenado ZY es un plano de simetría. Por razones

análogas son también planos de simetría del elipsoide los planos coordenados ZX y XY. Estos

planos de simetría se llaman planos principales. Las intersecciones de los planos de simetría

entre sí nos dan los ejes coordenados, que son a su vez ejes de simetría del elipsoide pues si

el punto P pertenece al mismo, también ha de pertenecer al él el punto (-x, -y, z), lo que

significa que el eje Oz es un eje de simetría. Con un razonamiento similar se prueba que los

ejes Ox y Oy son también ejes de simetría.


16

El elipsoide es por fin, simétrico con respecto al origen de coordenadas, como fácilmente

puede comprobarse pueda si el punto P(x, y, z)pertenece al elipsoide, el punto (-x, -y, -z)

también satisface la (17) y por lo tanto pertenece al elipsoide.

Por ese motivo el origen, recibe el nombre de centro de simetría de la superficie.

Fig. 8

Los seis puntos �p�, 0,0); �0, p�, 0); �0,0, p�), son como puede verificarse, los puntos del

elipsoide donde este corta a los ejes Ox, Oy, Oz respectivamente reciben el nombre de

vértices.

Los segmentos de longitudes 2a, 2b, 2c se llaman ejes del elipsoide. Las longitudes a, b, c se

llaman entonces semiejes.-

Las intersecciones del elipsoide con los ejes coordenados se llaman trazas o secciones

principales del mismo; las mismas son elipses cuyas ecuaciones son:

U�� 1� 0 ; :�� 1� 0 2 ; U�� 1� 0 22 sobre el plano XY, sobre el plano XZ, sobre el plano YZ. Una sección con un plano de

ecuación z=h paralelo al plano XY es: �� 1 � 9�� ; � 9 �18�

o bien ��n��o �� 9��

n��o �� 9�� 1; � 9

Esto es la ecuación de una elipse, si |h|<0, contenida en un plano de cota h sobre o debajo

del plano XY.

Entonces para valores de h tales que –c < h < c pero creciente en valor absoluto, el plano se

aleja del plano XY y los ejes de las elipses respectivas se hacen cada vez menores.

Para h = ± c, no existe elipse alguna, pero claramente se ve en (18), que las secciones planas

con el plano z= h se reducen a los puntos (0, 0, +c) y (0, 0, -c).

Si |h|> c, también en (18) es fácil ver que la intersección con el plano z = h, es vacía.


17

El elipsoide se encuentra entonces totalmente comprendida entre los planos z = p c ; ∀x, ∀y. De igual manera las secciones planas, paralelas a los planos coordenados XZ, YZ, son

elipses cuyos semiejes decrecen si los planos se alejan y el elipsoide se encuentra también

totalmente entre los planos x = p a, e y = pb. El elipsoide es entonces una superficie

cerrada.

Si a= b se verifica fácilmente en (17) teniendo en cuenta lo dicho en el punto 7.- que el

elipsoide es de revolución cuyo eje es el eje Oz. Su ecuación es en este caso: �� 1

Si b = c, o, a = c, tendremos entonces un elipsoide de revolución cuyo eje coincide con el eje

OX y Oy respectivamente. Si a = b = c, el elipsoide se transforma en una esfera de ecuación:

��

� El hiperboloide de una hoja

Estudiemos ahora la superficie llamada hiperboloide de una hoja cuya ecuación es: �� 1 �19�

El examen de esta ecuación pone de inmediato de manifiesto, que esta superficie es

simétrica:

a).- Con respecto a cada uno de los planos coordenados

b).- Con respecto a los ejes coordenados

c).- Con respecto al origen

Para comprobar estas afirmaciones, se procede igual que para el caso del elipsoide. También

podemos deducir de (19) que las intersecciones del hiperboloide de una hoja con los ejes Ox

y Oy son respectivamente los puntos: (±a, 0, 0) ; (0, ±b, 0) pero el hiperboloide no corta al

eje Oz pues no hay solución real para la ecuación

– �� 1

Las trazas de esta superficie con los planos coordenados son: �� 1, � 0 ; �� 1, � 0 ; �� 1, � 0

La primera de las cuales, es una elipse de semiejes a y b. Las otras dos ecuaciones

representan hipérbolas cuyos semiejes reales son a y b respectivamente.

En cuanto a las ecuaciones de las secciones planas, que se obtienen con planos paralelos al

plano XY y de ecuación z = h, se obtienen remplazando en la ecuación (19) obteniéndose:

Sobre el plano XY Sobre el plano XZ Sobre el plano YZ


18

�� 1 � 9��

proponemos al lector que verifique, que se trata de elipses para todo h real y cuyos

semiejes aumentan cuando h crece en valor absoluto.

Análogamente las secciones del hiperboloide con planos

paralelos al plano XZ, se obtienen considerando la

intersección del mismo con planos de ecuación y = k. �� 1 � B��

Proponemos como ejercicio demostrar que estas secciones

planas son hipérbolas para cualquier para cualquier valor

de k excepto para k=b.

Si y = k = pb, de (19) se obtiene que la sección

correspondiente es un par de rectas de ecuaciones: � p �� , � p�

es decir contenidas en un plano paralelo al XZ.

Igualmente se estudian las secciones de hiperboloide con

planos de ecuación � r, que dejamos también como

ejercicio para el lector.

Si a = b el hiperboloide de ecuación (19) se transforma en una superficie de revolución cuyo

eje es el Oz y de ecuación �� 1 �9sG@/��r�s�@ �@ ;A� 9�t� �@ /@u�r;�sóA�

Por último diremos que las ecuaciones: �� 1 � � �� 1

representan también hiperboloides de una hoja.

� El hiperboloide de dos hojas.-

Estudiemos ahora la superficie llamada hiperboloide de dos hojas cuya ecuación es :

� �� 1 �20�

Por de pronto podemos afirmar que esta superficie es simétrica con respecto a cada uno de

los planos y ejes coordenados y con respecto al origen. Los puntos de intersección del

hiperboloide con el eje Oz son los puntos: (0,0, c) y (0,0,-c) esta superficie no corta a los ejes

Ox ni Oy. Sus intersecciones con los planos coordenados XZ y YZ son respectivamente.

� �� 1 , � 0 y � �� 1, � 0

que representan hipérbolas de igual semieje real c.


19

El hiperboloide de dos hojas corta al plano XY, pues no hay soluciones reales para la

ecuación

– �� 1

Las secciones planas que se obtienen seccionando la superficie en estudio con los planos de

ecuación z=h son elipses si |9| d � ; si |9| w �, no hay intersección y si 9 ± � se

obtienen los ya conocidos puntos de intersección con el eje Oz, resultado que proponemos

verificar como ejercicio al lector.

Las secciones que se obtienen con planos de ecuaciones � B, son hipérbolas cuyos

semiejes crecen al crecer k en valor absoluto como es fácil verificar.

A la misma conclusión se arriba si cortamos el hiperboloide con planos de ecuación � r ,

es decir paralelos al YZ.

Si � � la ecuación (20) se transforma así: �� 1

que representa a un hiperboloide de dos hojas de revolución, cuyo eje coincide con el eje

Oz.

Por otra parte las ecuaciones: �� 1 ; � �� 1

también representan a hiperboloides.


20

� El paraboloide elíptico:

Estudiemos ahora la superficie llamada paraboloide elíptico de ecuación �� 2�� 21�; � d 0

Como siempre estudiemos primero las simetrías de la superficie. El paraboloide elíptico es

simétrico con respecto a los planos YZ, ZX pero no con respecto al XY.

Además es simétrico únicamente con respecto al eje Oz.

No es simétrico entonces con respecto al origen de coordenadas. A las conclusiones

anteriores se llega de la misma manera que hicimos para el elipsoide.

El paraboloide pasa por el origen pero no corta a los ejes

en ningún otro punto. Sus intersecciones con los planos

coordenados tienen por ecuaciones:

xyz{z � |z}z 0� 0 ?��/@ @r ~�2 ; xyz{z 2�� 0 2 ?��/@ @r ~� ; x|z}z 2�� 0 2 ?��/@ @r ��

La primera de las cuales representa al origen (0, 0, 0). Las otras dos representan parábolas.

Las secciones con planos paralelos al plano XY dan elipses de ecuación: �� 2��

o sea ��2��9 � ��2��9 1

Esta ecuación representa una elipse si c y h son del mismo signo en cambio si son de distinto

signo la ecuación ultima no representa ninguna curva. Esto significa que si c > 0, la superficie

está situada totalmente por encima del plano XY. Las secciones que se obtienen con planos

paralelos al XZ �� B� tienen por ecuación

� 12� �� B��

que representan parábolas para distintos valores de k cuyos vértices se alejan del plano XY

a medida que k aumenta.


21

A la misma conclusión que se llega para las secciones paralelas al plano YZ.- �� r ; �, ��

Si a=b la ecuación (21) se transformara así: �� 2��

que representa un paraboloide de revolución cuyo eje coincide con el eje Oz.

Además las ecuaciones: �� 2�� ; �� 2��

representan paraboloides elípticos.

� El paraboloide hiperbólico:

Sea la superficie llamada paraboloide hiperbólico cuya ecuación es:

�� 2�� 22� Es simétrico con respecto a los planos coordenados YZ, ZX y con respecto al eje Oz.

El paraboloide pasa por el origen de coordenadas y no tiene ningún otro punto en común

con los ejes.

Sus intersecciones con los planos coordenados son:

:�� 0 2 ; U�� 2�� 0 2 ; :� �� 2�� 0 2 La primera de las cuales puede escribirse así: ]�� _ ]�� _ 0

lo que implica: ]�� _ 0 ó ]�� _ 0

es decir son dos rectas contenidas en el plano XY y que pasan por el origen. Las otras dos

representan parábolas contenidas en los planos XZ y ZY respectivamente.

En cuanto a las secciones con planos de ecuación � 9 , es decir paralelos al XY sus

ecuaciones se obtienen reemplazando en (22):

�� 2�9 , � ?@�, ��2��9 � ��2��9 1

Esta ecuación representa para distinto valores de h hipérbolas, si c > 0 y h también el eje

transversal es paralelo al eje Ox, si h en cambio es negativo el eje transversal es paralelo al

eje Oy. Si h crece en valor absoluto, los planos respectivos se alejan del plano XY y los

semiejes de las hipérbolas crecen indefinidamente.


22

En cuanto a las secciones con planos paralelos al XZ, es decir planos de ecuación � B, se

trata de curvas cuyas ecuaciones son del tipo 12� �� B��

es decir son parábolas para distintos valores de k cuyos vértices se alejan del plano XY

cuando k aumenta su valor absoluto. Si � d 0, la concavidad es hacia arriba, si � w 0, la

concavidad es hacia abajo.

A una conclusión similar se puede arribar para las secciones del paraboloide hiperbólico con

planos de ecuación � r, es decir planos paralelos al YZ. Se tiene

� 12� � r��

Las ecuaciones:

�� 2�� ; �� 2��

son también paraboloides hiperbólicos.

algebra y geometrÍa i dpto. de matemÁtica escuela de

Documents