La función

• Es la relación entre 2 variables llamadas x e y.

• Cada valor de x, llamado preimagen, le corresponde un único valor de y llamado imagen.

Variables

• El valor de y depende del valor de x.

• Por lo tanto, y es la variable dependiente y x la variable independiente

Lectura

• La variable y puede escribirse como f(x), donde x es la variable.

• Se lee “f de x”

• Ejemplo:

y = 150 + 25x

f(x) = 150 + 25x

𝒇 𝒙 = 𝟑 ⋅ 𝒙

Variable dependiente

Variable independiente

ALGEBRA Y FUNCIONES Omar Alarcón

EJEMPLO

En una máquina se ingresa un número y sale otro según la indicación dada. Observa la imagen y completa la tabla.

1. Calculamos según la instrucción y el valor de entrada.

Entrada 1 = 3 x 1 + 1= 4 Entrada 2 = 3 x 2 +1 = 7

Entrada 3 = 3 x 4 + 1= 13 Entrada 4 = 3 x 15 +1 = 46

2. Completamos la tabla

DESARROLLO Formas de representar las funciones

Representemos la función ƒ que relaciona los números enteros con su antecesor.

1. Expresión algebraica Podemos representar la función f con una expresión algebraica.

Si x representa un número entero, la expresión x + 1 representa su sucesor. Entonces la expresión queda:

y = x + 1

2. Tabla Al representar la función f en una tabla de valores, obtenemos

Representemos la función ƒ que relaciona los números enteros con su antecesor.

3. Diagrama En un diagrama sagital podemos relacionar los elementos por medio de flechas desde el conjunto de partida al conjunto de llegada.

Formas de representar las funciones

Representemos la función ƒ que relaciona los números enteros con su antecesor.

4. Gráfico La función f es el conjunto de pares ordenados (x, y) que satisfacen y = f (x)

Formas de representar las funciones

• Los valores de x se representan sobre el eje horizontal o las abscisas (x)

• Los valores de y se representan sobre el eje vertical o de las ordenadas (y).

Debes saber que…

EJEMPLO

El valor general de las entradas para una obra de teatro es de $4.500 y la capacidad máxima del teatro es para 150 personas. ¿Cuál es el dominio y cuál el recorrido de la función que modela la cantidad de asistentes y la recaudación de

dinero?

N° 1

- La función que modela la situación es y = 4.500 x

- La variable independiente x es la cantidad de personas que asisten al teatro.

- Variable dependiente y es la recaudación de dinero en pesos.

N°2

- Como x representa la cantidad de personas, los valores que pueden tomar van desde 0 a 150

- Al reemplazarlos en la función resultan los valores de y, es decir:

4.500 x 0. 4.55 x 1… 4.500 x 150

N°3

Luego, el dominio y el recorrido de la función están dados por:

Dom (f) = (0, 1, 2, 3,… 150)

Rec (f) = (0, 4.500, 9.000,… 675.000)

ENTONCES…

• Es el conjunto de valores que la variable x puede tomar, es decir, el conjunto de las preimágenes.

• Se escribe: f(Dom(f)) DOMINIO

• Es el conjunto de imágenes y, es decir, todos los valores que resultan al reemplazar los valores del dominio en la función f

• Se escribe f(Rec(f))

RECORRIDO

FUNCIÓN LINEAL

• Es una función que puede escribirse de la forma:

¿Qué es?

• Propiedad aditiva

• Propiedad homogénea

Propiedades

𝒇 𝒙 = 𝒎 ⋅ 𝒙, 𝒄𝒐𝒏 𝒎 ≠ 𝟎

𝒇 𝒙 + 𝒛 = 𝒇 𝒙 + 𝒇 𝒛

𝒇 𝒄 ⋅ 𝒙 = 𝒄 ⋅ 𝒇 𝒙 , 𝒄𝒐𝒏 𝒄 ≠ 𝟎

EJEMPLO

Se tiene un proyector que puede triplicar el tamaño de las letras de un documento según los requerimientos de los usuarios. Si se decide aumentar seis veces el tamaño original de las letras de un escrito, ¿Cuál debe ser el aumento previo?

DESARROLLO

1. El tamaño del documento se relaciona de manera directamente proporcional con el tamaño de la proyección, por lo tanto podemos representar la función que modela la proyección del documento.

Función que triplica el tamaño de la letras. 𝒇 𝒙 = 𝟑 ⋅ 𝒙

2. Si x representa el tamaño de las letras y a el tamaño con el aumento previo para que en la proyección el tamaño sea 6 veces el del original, analizamos la siguiente igualdad

𝒇 𝒂 = 𝟔 ⋅ 𝒙 = 𝟑 ⋅ 𝟐 ⋅ 𝒙 𝐚 = 𝟐 ⋅ 𝐱 El doble del tamaño original de las letras.

3. El tamaño original debe duplicarse para obtener una proyección en la que el tamaño de las letras sea 6 veces el original.

• Función lineal 𝒇 𝒙 = 𝒎 ⋅ 𝒙, 𝒄𝒐𝒏 𝒎 ≠ 𝟎

• Es una recta que pasa por el origen O(0,0)

• El gráfico dependerá del dominio o del conjunto considerado para graficarla.

Función lineal

• Representa al pendiente de la recta

• Si m > 0, la recta es creciente, y si m < 0, la recta es decreciente.

Valor de m

• Si se conocen 2 punto (x,y) y x2, y2 que pertenecen a la grafica de la función f, la pendiente m se puede calcular de la siguiente forma:

Calcular pendiente

𝒎 =𝐲𝟐 − 𝐲𝟏

𝒙𝟐 − 𝐱𝟏 𝒄𝒐𝒏, 𝒙𝟐 ≠ 𝒙𝟏

EJEMPLO

DESARROLLO

Determina si las funciones f(x)= 2 x y g(x)= -x representan un crecimiento o un decrecimiento ¿Qué punto tienen en común?

1. Construimos la tabla de valores para cada función

2. Graficamos ambas funciones en el plano

Ambas rectas se intersectan en el origen, es decir, el punto O(0,0)

3. Al observar la representación grafica • En la función f, es posible notar que los

valores f(x) crecen a medida que los de x aumentan. Del mismo modo, lo valores de g(x) disminuyen a medida que los de x aumentan.

• La función f representa una función creciente y la función g representa una función decreciente.

FUNCIÓN AFÍN

• Es una función de forma 𝒇 𝒙 = 𝒎 ⋅ 𝒙 + 𝒄

• Donde con 𝒎 𝒚 𝒄 𝒔𝒐𝒏 ≠ 𝟎

Función lineal

• La constante m es la pendiente.

• c es el coeficiente de posición, el cual corresponde al valor en el eje y por donde pasa su gráfica.

Valor de m

EJEMPLO DESARROLLO

La grafica de la función 𝒇 𝒙 = 𝒎 ⋅𝒙 + 𝒄, pasa por los punto A(-2,0) y B(0,6). Completa la tabla con los valores de las imágenes ( 𝒇 𝒙 ) y preimágenes (x) de f.

1. Calculamos la pendiente de la función f

𝒎 =𝟔−𝟎

0 − (−2) =𝟔

2 = 3 Diferencia entre las ordenadas de los puntos A y B.

Diferencia entre las abscisas de los puntos A y B.

2. Reemplazamos el valor de m en la expresión

𝒇 𝒙 = 𝟑 ⋅ 𝒙 + 𝒄 𝒇 𝟎 = 𝟑 ⋅ 𝟎 + 𝒄 = 𝟔 𝒄 = 𝟔

Luego, se tiene que f3(x) = 𝟑 ⋅ 𝐱 + 𝟔 y al completar la tabla obtenemos.