algebra.- problemas resueltos - patricia lopez acosta

PROBLEMAS RESUELTOS ÁLGEBRA LINEAL

Operaciones con Matrices y Determinantes

DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 1 de 11 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta

TEMA: OPERACIONES CON MATRICES Y DETERMINANTES Problema 1: Sean las matrices:

[ ]2 1 1 3 3 2

2 1 ; 0 ; 2 1 3 ; 2 1 21 2 2 5 2 8

xA y B C D

z

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Calcular los valores de x, y, z para que se verifique la siguiente igualdad:

A+BC=D SOLUCIÓN:

• Producto [ ]1 2 1 30 2 1 3 0 0 02 4 2 6

BC BC⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

• Por tanto : A = D - BC

3 3 2 2 1 3 3 2 3 1 2 3 1 2 12 1 2 0 0 0 2 1 2 2 1 25 2 8 4 2 6 5 4 2 2 8 6 1 0 2

A− − − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − = − = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

• Igualando términos 2 1 1 2 1

2 1 2 1 21 2 1 0 2

xy

z

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥− = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

x = 1 y = 2 z = 0

• NOTA: Dos matrices de distinto orden no se pueden sumar ni restar. Así, dos matrices del mismo orden se dice que son conformes respecto a la suma.

• NOTA: El producto AB está definido (puede realizarse) cuando el numero de columnas de A es igual al número de renglones de B. Cuando esto ocurre se dice que las matrices A y B son conformes respecto a la multiplicación.




Problema 2: Demostrar que ( )2 2 22A B A AB B+ ≠ + + a) Suponiendo que A y B son matrices cuadradas del mismo orden:

11 12

21 22

a aA

a a⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

y 11 12

21 22

b bB

b b⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

• Se tiene: 11 11 12 12

21 21 22 22

a b a bA B

a b a b+ +⎡ ⎤

+ = ⎢ ⎥+ +⎣ ⎦

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )

11 11 12 12 11 11 12 122

21 21 22 22 21 21 22 22

22 11 11 12 12 21 21 11 11 12 12 12 12 22 22

211 11 21 21 21 21 22 22 22 22 12 12 21 21

( )a b a b a b a b

A Ba b a b a b a b

a b a b a b a b a b a b a bA B

a b a b a b a b a b a b a b

+ + + +⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ + + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤+ + + + + + + + +⎢ ⎥+ =⎢ ⎥+ + + + + + + + +⎣ ⎦

2

11 12 11 122 11 12 21 11 12 12 222

21 22 21 22 11 21 12 21 22 12 21

a a a a a a a a a a aA

a a a a a a a a a a a⎡ ⎤+ +⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

2

11 12 11 122 11 12 21 11 12 12 222

21 22 21 22 11 21 12 21 22 12 21

b b b b b b b b b b bB

b b b b b b b b b b b⎡ ⎤+ +⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

11 12 11 12 11 11 12 21 11 12 12 22

21 22 21 22 21 11 22 21 21 12 22 22

2 2 2a a b b a b a b a b a b

ABa a b b a b a b a b a b

+ +⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

2 2

2 2 11 12 21 11 12 21 11 11 12 21 11 12 12 22 11 12 12 22 11 12 12 222 2

11 21 22 21 11 21 22 21 21 11 22 21 22 12 21 11 12 21 21 12 22 22

2 2 2 22

2 2 2 2a a a b b b a b a b a a a a b b b b a b a b

A AB Ba a a a b b b b a b a b a a a b b b a b a b⎡ ⎤+ + + + + + + + + +

+ + = ⎢ ⎥+ + + + + + + + + +⎣ ⎦

( )2 2

2 11 11 11 12 21 11 12 21 12 21 12 21 11 12 11 12 11 12 11 12 12 22 12 22 12 22 12 222..... .....

a a b a a b a b b a b b a a a b b b b a a a a b b a b bA B

⎡ ⎤+ + + + + + + + + + + + ++ = ⎢ ⎥

⎣ ⎦

( )22 22A AB B A B∴ + + ≠ +




b) Utilizando propiedades de matrices

2 2 2

2 2

2 2

2 2 2 2

( ) 2( )( ) 2

( ) ( ) 22

2

A B A AB BA B A B A AB B

A A B B A B A AB BA AB BA B A AB B

AB BA AB

+ ≠ + +

+ + ≠ + +

+ + + ≠ + +

+ + + ≠ + +∴ + ≠

NOTA: La multiplicación de matrices no es conmutativa, esto es: En general AB BA≠ ; pero cuando AB BA= se dice que las matrices son permutables o que conmutan. De esta manera, es importante poner énfasis en el orden en que dos matrices se multiplican; asi en los siguientes productos:

" " " "

" " " "

AB A premultiplica a B

BA A postmultiplica a B

→

→

Problema 3: Calcular la inversa de la matriz 1 2 31 3 31 2 4

A⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

por transformaciones

elementales. SOLUCIÓN:

1 2 1 3

1 2 3 1 0 01 3 3 0 1 0 ( 1) ; ( 1)1 2 4 0 0 1

A R R R R⎡ ⎤⎢ ⎥= − + − +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

2 1

1 2 3 1 0 00 1 0 1 1 0 ( 2)0 0 1 1 0 1

R R⎡ ⎤⎢ ⎥≈ − − +⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

3 1

1 0 3 3 2 00 1 0 1 1 0 ( 3)0 0 1 1 0 1

R R⎡ − ⎤⎢ ⎥≈ − − +⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

1 0 0 6 2 30 1 0 1 1 00 0 1 1 0 1

⎡ − − ⎤⎢ ⎥≈ −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

Por lo tanto 1

6 2 31 1 01 0 1

A−

− −⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦




Comprobación 1 1AA A A I− −= =

1 2 3 6 2 3 6 2 3 2 2 0 3 0 3 1 0 01 3 3 1 1 0 6 3 3 2 3 0 3 0 3 0 1 01 2 4 1 0 1 6 2 4 2 2 0 3 0 4 0 0 1

A− − − − − + + − + +⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − = − − − + + − + + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − − + + − + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Si cumple, 1AA I− = NOTAS:

• Operaciones entre renglones → de arriba hacia abajo. • El resto de los elementos de la columna donde esta el pivote “1” deben ser

CEROS. • Los ceros de las columnas deben obtenerse de izquierda a derecha.

Problema 4: Sean las matrices

1 0 10 1 00 1 01 0 0

M

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

y 2 3

0 2 0 30 4 31 0 1 2

xM x x x

⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

Determinar el conjunto de valores de x R∈ tales que tr(MN) = 0 SOLUCIÓN:

• Multiplicando:

2 3

1 0 10 2 0 3

0 1 00 4 3

0 1 01 0 1 2

1 0 0

xMN x x x

⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎣ ⎦

⎣ ⎦

2 2

2 2

0 0 1 2 1 3 20 4 30 4 30 2 0 3

xx x x

MNx x xx

+ + − +⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥=⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦




2

2

( ) 1 4 3 0

( 2) 4 4 0

4 16 4(1)(4)2(1)

4 16 16 4 22 2

2

tr MN x x

x x x

x

x

x

∴ = + + + =

+ ⇐ + + =

− ± −=

− ± − −= = = −

∴ = −

• Comprobación

Si x = -2

1 0 1 1 4 1 3 20 4 0 3

0 1 0 0 8 4 240 8 4 24

0 1 0 0 8 4 241 0 1 2

1 0 0 0 4 0 3

( ) 1 8 4 3 8 8 0

MN

tr MN cumple

− − +⎡ ⎤ ⎡ ⎤−⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−

⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∴ = − + + = − =

Problema 5: Sean las matrices:

1 0 2 2 40 0 2

0 1 ; 2 2 01 1 0

2 0 4 4 8A B y C

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − = = −⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Determinar la matriz X que satisface la ecuación matricial:

1 02

AXB C− =




SOLUCIÓN:

• 1 11* *2

X A C B− −=

como A y C no son matrices cuadradas no tienen inversa • Estableciendo el sistema de ecuaciones lineales:

1 0 1 1 2

0 0 20 1 1 1 0

1 1 02 0 2 2 4

a bc d

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥− = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦

1 1 2

0 0 21 1 0

1 1 02 2 2 2 4

a bc da b

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − = −⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦

2 1 1 22 1 1 0

2 2 4 2 2 4

b b ad d cb d a

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

• Igualando términos

1b = 2 2

1a

a==

1d = − 2 0

0c

c− ==

• Finalmente

1 10 1

X ⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦




Problema 6: Calcular el determinante de la siguiente matriz por el método de la matriz triangular:

1 2 1 32 2 1 53 5 1 81 1 2 2

A

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥=⎢ ⎥− − −⎢ ⎥− − −⎣ ⎦

SOLUCIÓN:

• Convirtiendo la matriz “A” en una matriz triangular superior:

1 2 1 3 1 4

1 2 1 32 2 1 5

( 2) ; (3) ; (1)3 5 1 81 1 2 2

R R R R R R

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥ − + + +⎢ ⎥− − −⎢ ⎥− − −⎣ ⎦

No varía el determinante

3 2 3 4

1 2 1 30 2 1 1

(2) ; ( 1)0 1 2 10 1 1 1

R R R R

−⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥≈ + − +⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

3 2

1 2 1 30 0 3 10 1 2 10 0 3 0

R R

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥≈ ⇔⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

No varía el determinante Intercambio de filas, cambia de signo el determinante

3 4

1 2 1 30 1 2 1

(1)0 0 3 10 0 3 0

R R

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥≈ +⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

1 2 1 30 1 2 10 0 3 10 0 0 1

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥≈⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

No varía el determinante matriz triangular superior

• Calculando el determinante

det(A) = 3

det( ) (1)(1)( 3)(1) ( 3)A = − − = − −




Problema 7: Calcular por el método del desarrollo del desarrollo por cofactores el valor del siguiente determinante:

2 1 5 24 6 0 10 2 1 01 6 7 1

A

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥=⎢ ⎥−⎢ ⎥−⎣ ⎦

SOLUCIÓN:

• Los ceros del tercer renglón sugieren que el desarrollo por cofactores se lleve a cabo por el mismo, es decir:

31 32 33 34det( ) (0* ) (2* ) (1* ) (0* )A C C C C= + − +

• Calculo de cofactores:

3 232 32

32

32

32

32

( 1)

2 5 24 0 11 7 1

(0 56 5 0 14 20)

( 51 34) ( 17)

17

C M

C

C

C

C

+= −

−= −

− −

= − − + − + +

= − − + = − −

=

3 333 33

33

33

33

33

( 1)

2 1 24 6 11 6 1

12 48 1 12 12 4

36 29 7

7

C M

C

C

C

C

+= −

= − −−

= − + − − − −

= − =

=

• Finalmente

det( ) 2(17) 1(7) 34 7det( ) 27

AA

= − = −=




Problema 8: Calcular el determinante de la siguiente matriz empleando el método de condensación:

1 1 5 2 33 2 1 0 11 1 2 1 00 2 1 3 11 2 4 0 1

A

− − −⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥= −⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

SOLUCIÓN:

• Los ceros de la cuarta columna sugieren que se trabajen con ella; y tomar como pivote el (1) del tercer renglón:

3 1 3 4

1 1 5 2 3 1 1 1 0 33 2 1 0 1 3 2 1 0 1

(2) ; ( 3)1 1 2 1 0 1 1 2 1 00 2 1 3 1 3 5 5 0 11 2 4 0 1 1 2 4 0 1

R R R R

− − − − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ − +− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

• Desarrollando por cofactores según la cuarta columna:

4 3

1 1 1 3 1 1 1 33 2 1 1 3 2 1 1

det( ) (1)( 1) ( 1)3 5 5 1 3 5 5 1

1 2 4 1 1 2 4 1

A +

− − − −− −

= − = −− − − − − −

• Eligiendo ahora el primer renglón para el desarrollo y tomando como pivote al (1)

de la primera columna:

1 2 1 3 1 4

1 1 1 3 1 0 0 03 2 1 1 3 5 4 10

det( ) ( 1) (1) ; (1) ; ( 3)3 5 5 1 3 2 8 8

1 2 4 1 1 3 5 2

A C C C C C C

− −− −

= − + + − +− − − − −

−




• Desarrollo por cofactores según el primer renglón

11C = [ ] [ ]det( ) ( 1) 80 100 96 240 200 16 ( 1) 192 540 ( 1)( 348)

det( ) 348

A

A

= − − + − − + = − − = − −

∴ =

Problema 8: Determinar la inversa de la matriz 1 0 23 1 42 1 0

A⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

por medio de la adjunta.

SOLUCIÓN:

• Calculando cofactores de los elementos de “A”:

211

312

413

431

532

1 4( 1) 0 4 4

1 0

3 4( 1) (0 8) 8

2 0

3 1( 1) 3 ( 2) 5

2 1

0 2( 1) 0 ( 2) 2

1 4

1 2( 1) (4 6) 2

3 4

C

C

C

C

C

−= − = − = −

= − = − − =

−= − = − − =

= − = − − =−

= − = − − =

321

422

523

633

0 2( 1) (0 2) 2

1 0

1 2( 1) 0 4 4

2 0

1 0( 1) (1 0) 1

2 1

1 0( 1) 1 0 1

3 1

C

C

C

C

= − = − − =

= − = − = −

= − = − + = −

= − = − − = −−

• Matriz adjunta:

4 8 5 4 2 2( ) 2 4 1 8 4 2

2 2 1 5 1 1

T

Adj A− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − − = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

• Calculo del determinante:

1 0 2det( ) 3 1 4 0 6 0 ( 4 4 0) 6 det( )

2 1 0A A

⎡ ⎤⎢ ⎥= − = + + − − + + = =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦




• Calculando la inversa: Inversa de la matriz “A”

[ ]1

1

1

1 ( )det( )

4 2 21 8 4 26

5 1 1

2 1 13 3 3

4 2 13 3 35 1 16 6 6

A Adj AA

A

A

−

−

−

=

−⎡ ⎤⎢ ⎥∴ = −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦

⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥∴ = −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦


Tema 2. Espacios Vectoriales

DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 1 de 5 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS

FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta

SUBTEMA: ESPACIOS VECTORIALES

Problema 1: Sea V = {a} el conjunto con el único elemento “a”. Determinar si V es un

Espacio Vectorial sobre los reales con las operaciones de adición y multiplicación por un

escalar definidas por:

: a + a = a

: a = a R

SOLUCIÓN:

1.- Cerradura para la suma: u v x V

a + a = a V cumple por definición

2.- Conmutativad de la suma: u v v u

a + a = a +a

a = a cumple

3.- Asociatividad de la suma: u v w u v w

a + [a + a] = [a + a] + a

a + a = a + a

a = a cumple

4.- Existencia de vector neutro: e a

*Izquierda: e u u *Derecha: u e u

a + a = a a + a = a

a = a cumple a = a

5.- Existencia de inverso aditivo: z a

*Izquierda: z u u *Derecha: u z u

a + a = a a + a = a

a = a cumple a = a

6.-Cerradura para la multiplicación: u y V

α a = a V cumple por definición

7.- Distributiva de la multiplicación para la suma de vectores: u v u v





α (a + a) = α a + α a

α a = a + a

a = a cumple

8.- Distributiva de la multiplicación para la suma de escalares: u u u

(α + β) a = α a + β a

a = a + a

a = a cumple

9.- Asociativa de la multiplicación: u u

α (β a) = (α β) a

α a = a

a = a cumple

10.- Unicidad: 1 u u

1 a = a

a = a cumple

Por tanto, “V” sí es un Espacio Vectorial sobre los reales.

Problema 2: Sea el conjunto A = {(x,y) | x,y R} y las operaciones de adición y

multiplicación por un escalar definidas por:

: u v = (x1 + y2,x2 + y1) u = (x1,x2); v = (y1,y2) A

: u = ( x1, x2) R y u = (x1,x2) A

Determinar si A tiene estructura de Espacio Vectorial.

SOLUCIÓN:

1.- Cerradura para la suma: u v x A

u v = (x1 + y2,x2 + y1) A cumple por definición

2.- Conmutativad de la suma: u v v u

(x1,x2) + (y1,y2) = (y1,y2) + (x1,x2)

(x1 + y2,x2 + y1) (y1+x2,y2+x1) no cumple





3.- Asociatividad de la suma: u v w u v w

(x1,x2) + [(y1,y2) + (w1,w2)] = [(x1,x2) + (y1,y2)] + (w1,w2)

(x1,x2) + (y1+w2,y2+w1) = (x1 + y2,x2 + y1) +(w1,w2)

(x1+y2+w1,x2+y1+w2) (x1+y2+w2,x2+y1+w1) no cumple

4.- Existencia de vector neutro: 1 2( , )e e e

*Derecha: u e u *Izquierda: e u u

(x1,x2) + (e1, e2) = (x1, x2) (0,0) + (x1,x2) = (x1,x2)

(x1+e2,x2+e1) = (x1,x2) (0+ x2,0+ x1) = (x1,x2)

Igualando términos: (x2,x1) (x1,x2)

x1+e2 = x1 x2+e1 = x2

e2 = 0 e1 = 0 No existe vector neutro,

(0,0)e no se cumple el axioma

5.- Existencia de inverso aditivo: 1 2( , )z z z

Puesto que no existe vector neutro, entonces no existe inverso-aditivo,

no se cumple el axioma


α ( x1, x2) = (αx1,x2) V cumple por definición


α [(x1,x2) + (y1,y2)] = α(x1,x2) + α(y1,y2)

α (x1+y2,x2+y1) = (αx1,x2) + (αy1,y2)

(αx1+αy2,x2+y1) ( αx1+y2,x2+αy1) no cumple


(α + ) (x1,x2) = α(x1,x2) + (x1,x2)

(αx1 + x1,x2) = (αx1,x2) + ( x1,x2)

(αx1 + x1,x2) (αx1+x2,x2+ x1) no cumple

9.- Asociativa de la multiplicación: u u

α [β (x1,x2)] = (α β) (x1,x2)

α (β x1,x2) = (α β x1,x2)

(α β x1,x2) = (α β x1, x2) cumple





10.- Unicidad: 1 u u

1 (x1,x2) = (x1,x2)

(x1,x2) = (x1,x2) cumple

Por tanto, “A” no es un Espacio Vectorial sobre los reales.

Problema 3: Sea el conjunto F = (x,y) x 0; y 0; x, y R , el campo de los reales y la

adición y multiplicación por un escalar definidas por:

: u v = (x1,y1) + (x2,y2) = (x1+x2,y1+y2) u = (x1,y1); v = (x2,y2) F

: u = (x1,y1) = ( x1, y1) R y u = (x1,y1) F

Si por todo (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3) F y , R se cumple que:

1.- (x1,y1) + (x2,y2) F cerradura para la suma

2.- (x1,y1) + (x2,y2) + (x3,y3) = (x1,y1) + (x2,y2) + (x3,y3) Asociativa de la suma

3.- (x1,y1) + (x2,y2) = (x2,y2) + (x1,y1) Conmutativa de la suma

4.- 1 (x1,y1) = (x1,y1) F, donde uno es la unidad del campo R Unicidad

5.- (x1,y1) = ( ) (x1,y1) Asociativa de la multiplicación (no cumple si ó 0)

Determinar si F es un Espacio Vectorial sobre R; en caso de afirmativo dar al vector

neutro; en caso negativo, decir cuales axiomas no se cumplen.

SOLUCIÓN:

Se verifican únicamente los axiomas que no se dieron:

6.- Existencia de vector neutro: 1 2( , )e e e

*Izquierda: e u u *Derecha: u e u

(e1,e2), (x1,y1) = (x1,y1) (x1,y1) + (e1,e2) = (x1,y1)

(e1 + x1,e2 + y1) = (x1,y1) (x1+e1,y1+e2) = (x1,y1)

Igualando: Igualando:

e1 + x1 = x1 e2 + y1 = y1 x1 + e1= x1 y1 + e2 = y1

e1 = 0 e2 = 0 e1 = 0 e2 = 0

e = (0,0) F no cumple e = (0,0) F

7.- Existencia de inverso aditivo: 1 2( , )z z z

*Izquierda: z u e *Derecha: u z e

(z1,z2) + (x1,y1) = (0,0) (x1,y1))+(z1,z2) = (0,0)

(z1+x1,z2+y1) = (0,0) (x1+z1, y1+z2) = (0,0)





Igualando: Igualando:

z1+x1 = 0 z2+y1 = 0 x1+z1 = 0 y1+z2 = 0

z1 = -x1 z2 = -y1 z1 = -x1 z2 = –y1

z =(-x1,-y1) F no cumple z =(-x1,-y1) F


α (x1,y1) = (αx1,αy1) F no cumple si 0


α [(x1,y1) + (x2,y2)] = α (x1,y1) + α (x2,y2)

α (x1+x2,y1+y2) = (αx1,αy1) + (αx2,αy2)

(α x1 + α x2,α y1 + α y2) = (α x1 + α x2,α y1+ α y2) no cumple si 0


(α + ) (x1,y1) = α (x1,y1) + (x1,y1)

(α x1 + x1,α y1 + y1) = (α x1,α y1) + ( x1, y1)

(α x1 + x1,α y1+ y1) = (α x1 + x1,α y1+ y1) no se cumple si α= =0

Por tanto, el conjunto F no es un espacio vectorial sobre el campo de los reales.




SUBTEMA. COMBINACIÓN Y DEPENDENCIA LINEAL Problema 1: Sea el conjunto { }, ,A u v w= , donde ( )2,1u = , ( )2,4v = y ( )5,4w = .

Representar al vector w como combinación lineal de los vectores u y v . SOLUCIÓN:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

1 2

1 2

1 1 2 2

1 2 1 2

Con la ecuacion de combinacion lineal:

Sustituyendo valores:5,4 2,1 2,4

5,4 2 , 2 ,4

5,4 2 2 , 4

w u v

•

= α + α

•

= α + α

= α α + α α

= α + α α + α

1 2

1 2

Igualando terminos:2 2 5

4 4

•α + α =α + α =

2

1 2 1 1

Resolviendo el sistema de ecuaciones anterior matricialmente:

2 2 5 1 4 4 1 4 41 4 4 0 6 3 0 1 1/ 2

12

4 4 4 2 2

Por tanto:

122

w u v

•

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞→ →⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

α =

α + α = → α = − → α =

•

= +

Combinación lineal pedida




Problema 2: Determinar si el siguiente conjunto de vectores de R3:

( ) ( ) ( ){ }1,0,2 , 0, 4,2 , 2,0, 4A = − − − es linealmente dependiente o independiente. SOLUCIÓN:

( ) ( ) ( )( ) ( )

Con la ecuacion de dependencia lineal:

0

Sustituyendo valores:

1,0,2 0, 4,2 2,0, 4 0

2 , 4 ,2 2 4 0,0,0

Igualando terminos:2 04 0

2 2 4 0

u v w

•

α +β + γ =

•

α − +β − + γ − =

−α + γ − β α + β − γ =

•−α + γ =

− β =α + β − γ =

Resolviendo el sistema anterior matricialmente:

1 0 2 1 0 2 1 0 20 4 0 0 1 0 0 1 02 2 4 0 2 0 0 0 0

De donde se obtiene:

0 0

0

2 0 2

a R

a

•

− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− → →⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

•

γ = → γ = ∈

β =

α − γ = → α =

• Los escalares α y γ son diferentes de cero, por tanto, el conjunto “A” es linealmente dependiente (es un conjunto generador).




Problema 3: Determinar si el siguiente conjunto de vectores de R3:

( ) ( ) ( ){ }1,0, 2 , 4,2,0 , 0,2, 4B = − − − es linealmente dependiente o independiente. SOLUCIÓN:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

1 2 31 2 3

1 2 3

1 2 2 3 1 3

1 2

2 3

1 3


0

Sustituyendo valores:1,0, 2 4,2,0 0,2, 4 0,0,0

4 ,2 2 , 2 4 0,0,0

Igualando terminos: 4 02 2 02 4 0

b b b

•

α + α + α =

•

α − + α − + α − =

α − α α + α − α − α =

•α − α =α + α =

− α − α =

3

2 3 2

1 2 1

Resolviendo el sistema anterior matricialmente:1 4 0 1 4 0 1 4 0 1 4 00 2 2 0 1 1 0 1 1 0 1 12 0 4 0 8 4 0 0 4 0 0 1

De donde se obtiene:

0

0 0

4 0 0

•

− − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟→ → →⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

•

α =

α + α = → α =

α − α = → α =

• Los escalares α, β y γ son iguales a cero, por tanto, el conjunto “B” es linealmente independiente (es una base).




Problema 4: Para el conjunto: ( ){ }2 2 2A 5 ,2 2 3,2 3 3k x x x x x x= − + − + + −

Obtener el valor de k R∈ , tal que “A” sea linealmente dependiente. SOLUCIÓN:

1 2 3


0a a a

•

α + β + γ =

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

2 2 2

Sustituyendo valores:

5 2 2 3 2 3 3 0

Aplicando isomorfismo y realizando operaciones: 5,1,0 2, 2,3 2,3, 3 0,0,0

5 2 2 , 2 3 ,3 3 0,0,0

k x x x x x x

k

k

•

⎡ ⎤α − + + β − + + γ + − =⎣ ⎦

•

α − + β − + γ − =

α − α + β + γ α − β + γ β − γ =

( )

( )

( )

Igualando terminos:5 2 2 0

2 3 03 3 0

Resolviendo el sistema de ecuaciones anterior matricialmente:1 2 3 1 2 3 1 2 35

5 2 2 0 2 8 3 17 0 1 12 80 3 3 0 1 1 0 0 9

k

kk k k

k k

•

α − + β + γ =

α − β + γ =β − γ =

•

− − −− +⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− → − − + → −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− +− − − +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( )Del ultimo renglon de la matriz escalonada anterior se observa que:

9 0k•

− + γ =

Donde se debe cumplir que:

0 9 0y k•

γ ≠ − + =

• Por tanto, para que A sea linealmente dependiente: 9k = .

A es linealmente dependiente




Problema 5: Sea { }A = u, ,v w un conjunto de vectores linealmente independiente de un

espacio vectorial “V”. Determinar si el conjunto de vectores { }B = u 2 , ,v w u v u v− + + − es linealmente dependiente o independiente. SOLUCIÓN:

( ) ( ) ( )

1 2 3

Ecuacion de dependencia lineal para la base "B":

0 Sustituyendo valores:

2 0

2 0

b b b

u v w u v u v

u v w u v u v

•

α +β + γ =•

α − + +β + + γ − =

α − α + α +β +β + γ − γ =

( ) ( ) ( ) Factorizando:

2 0

"A" es linealmente independiente, por tanto:0

2 00

u v w se obtiene la ecuacion dedependencia lineal para A

•

α +β + γ + − α +β − γ + α = ←

•α +β+ γ =

− α +β − γ =α =

Resolviendo matricialmente:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 0 3 1 0 1 1 0 1 1

1 0 0 0 1 1 0 0 2 0 0 1

•

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − → → →⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

• De la matriz escalonada anterior, se obtiene que:

0γ =

0 0β + γ = → β =

0 0α +β+ γ = → α =

• Los escalares α, β y γ son iguales a cero, por tanto, el conjunto “B” es linealmente independiente (es una base).




TEMA: MATRIZ DE TRANSICIÓN Y VECTOR DE COORDENADAS Problema 1: Sean las bases A y B de un espacio vectorial definido sobre los números complejos:

( ) ( ){ }( ) ( ){ }1,0, , 1 ,1,1

1, ,1 , 1,1,0

A i i

B i i

= −

= +

Obtener la matriz de transición de la base A a la base B. SOLUCIÓN:

• Combinación lineal de { }1 2,A a a= respecto a { }1 2,B b b= :

1 1 1 2 2

2 1 21 2

a b b

a b b

= α +α

= β +β

( ) ( )

( ) ( )1 1 2

2 1 2

,

,

T

BT

B

a

a

= α α

= β β 1 1

2 2

ABM

α β⎛ ⎞= ⎜ ⎟α β⎝ ⎠

A B

• Sustituyendo los valores conocidos:

*Para la 1er combinación lineal: *Para la 2ª combinación lineal: ( ) ( ) ( )( ) ( )

1 2

1 2 1 2 1

1,0, 1, ,1 1,1,0

1,0, , , (1 )

i i i

i i i

= α + +α

= α +α α +α α +

( ) ( ) ( )( ) ( )

1 2

1 2 1 2 1

1 ,1,1 1, ,1 1,1,0

1 ,1,1 , , (1 )

i i i

i i i

− = β + +β

− = β +β β +β β +

Igualando Términos: Igualando Términos:

1 2

1 2

1

10

(1 )i

i i

α +α =α +α =α + =

( )

1 2

1 2

1

11

1 1

ii

i

β +β = −β +β =

β + =

*de : *de :

( )( )

2

1

1 11 1 1

ii ii i i i

− −α = ⋅ =

+ − + − 2

12

ii

+=

− ( )

( )1

11 11 1 1

i ii i i i

− −β = ⋅ =

+ − + − 2

12

ii

−=

−

11 12 2

i∴α = + 11 12 2

i∴β = −




*de : *de :

2 1

22

1 12 2

1 1 1 12 2 2 2

i i i

i i i

⎛ ⎞α = −α = − −⎜ ⎟⎝ ⎠

α = − − = − +

22 1

2

1 1 1 11 1 12 2 2 2

1 1 1 112 2 2 2

i i i i i

i i

⎛ ⎞β = −β = − − = − +⎜ ⎟⎝ ⎠

β = − − = −

21 12 2

i∴α = − 21 12 2

i∴β = −

• NOTA: Los escalares obtenidos arriba deben satisfacer las ecuaciones

correspondientes.

• Finalmente:

1 1 1 12 2 2 21 1 1 12 2 2 2

AB

i iM

i i

⎛ ⎞+ −⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎝ ⎠

Matriz de transición de “A” a “B”

Problema 2: Sea V un espacio vectorial sobre el campo de los reales, y sean { }1 2 3, ,A v v v= y { }1 2 3, ,B w w w= dos bases de V donde:

1 1 2 3

2 1 2 3

3 1 2

2

2

w v v v

w v v v

w v v

= − +

= + −

= −

(a) Determinar la matriz de transición de la base A a la base B. (b) Expresar al vector 1 2 3x v v v= + + como combinación lineal de los vectores de la base B. SOLUCIÓN: (a) • De acuerdo con los datos del problema se conoce la matriz B

AM .

• Para obtener entonces ABM , sólo se calcula la inversa de

1B AA BM M

−⎡ ⎤ =⎣ ⎦ :




11 2 1 1 0 0 1 2 1 1 0 0 1 2 1 1 0 02 1 1 0 1 0 0 5 1 2 1 0 0 1 1 5 2 5 1 5 0

1 1 0 0 0 0 0 3 1 1 0 1 0 3 1 1 0 1

BAM

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎡ ⎤ = − − → →⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎣ ⎦⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − − − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 0 3 5 1 5 2 5 0 1 0 3 5 1 5 2 5 0 1 0 0 1/ 2 1/ 2 3/ 20 1 1 5 2 5 1 5 0 0 1 1 5 2 5 1 5 0 0 1 0 1 2 1/ 2 1/ 20 0 1 5 1 5 3 5 1 0 0 1 1 2 3 2 5 2 0 0 1 1 2 3 2 5 2

⎛ − ⎞ ⎛ − ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟→ →⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − − − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∴ 1 2 1 2 3 2 1 1 3

11 2 1 2 1 2 1 1 12

1 2 3 2 5 2 1 3 5

ABM

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Matriz de transición de “A” a “B”

(b) • Se busca ahora escribir al vector “ 1 2 3x v v v= + + ” como combinación lineal de “B”.

• Para ello, se puede hacer 1 2 3x v v v= α +β + γ ( )A

xα⎡ ⎤⎢ ⎥= β⎢ ⎥⎢ ⎥γ⎣ ⎦

A Vector de coordenadas de x en la base A

• Es decir, del vector 1 2 3x v v v= + + dado, se sabe que ( )111

Ax

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

• Por tanto, realizando la multiplicación ( ) ( )A

BB Ax M x= ⋅ con los datos ya conocidos,

se obtiene:

( )1 1 3 1 1 1 3 5

1 1 11 1 1 1 1 1 1 32 2 2

1 3 5 1 1 3 5 9B

x⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − − − − −⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∴ ( )5 23 29 2

Bx

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

Vector de coordenadas de x en la base B

• Finalmente, la combinación lineal pedida se escribe como:




1 2 35 3 92 2 2

x w w w= + − x como combinación lineal de la base B

Problema 3: Sean 3P≤ el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a tres con coeficientes reales y { }3 2 22 , 2 , 1,1B t t t t t= + + + una base de 3P≤ . Determinar el vector de coordenadas del vector p(t) = a + bt + ct2 + dt2 en la base B. SOLUCIÓN:

• “p(t)” como combinación lineal de la base “B”:

1 2 3 4( )p t b b b b= α +β + γ + δ • Sustituyendo valores:

( ) ( ) ( )

2 3 3 2 2

2 3 3 2 2

2 3 3 2

( 2 ) (2 ) ( 1)2 22 2

a bt ct dt t t t t ta bt ct dt t t t t ta bt ct dt t t t

+ + + = α + +β + + γ + + δ

+ + + = α + α + β +β + γ + γ + δ

+ + + = α + α + β + β+ γ + γ + δ

• Igualando los términos correspondientes, se tiene:

3 3t dtα = ( ) 2 22 22 22 2

t ctc

c

α + β =

α + β =β = − α

( ) t bt

bb

β+ γ =

β+ γ =γ = −β

2

aca a b d

γ + δ =

δ = − γ = − + −

d=α 22

c d−β =

2cb dγ = − +

2ca b dδ = − + −

• Finalmente:

[ ]

22

( )2

2

B

dc d

p t cb d

ca b d

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥=

−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

− + −⎢ ⎥⎣ ⎦

Vector de coordenadas de p(t) en la base “B”




Problema 4: Sean { }1 2 3, ,A v v v= y { }1 2 3, ,B w w w= dos bases de un espacio vectorial “V”.

Si la matriz de transición de la base “B” a la base “A” es 1 2 00 1 2 2 0 1

BAM

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

y

{ }2 2 2A , 1,x x x x= + − , obtener la base “B”. SOLUCIÓN:

• De “B” como combinación lineal de “A” se sabe:

1 1 1 2 2 3 3

2 1 1 2 2 3 3

3 1 1 2 2 3 3

w v v v

w v v v

w v v v

= α +α +α

= β +β +β

= γ + γ + γ

1 1 1

2 2 2

3 3 3

1 2 00 1 22 0 1

BAM

α β γ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= α β γ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟α β γ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

B A

• Sustituyendo valores en las combinaciones lineales correspondientes:

2 21 (1)( ) (0)( 1w x x= + + 2

2 2

) (2)( )

2 2

x x

x x x

+ −

= + − → 2

1 3 2w x x= −

2 2

22 2

(2)( ) (1)( 1) 0 2 +1w x x

x x= + + +

= + → 2

2 3 1w x= +

2 2

3

2 2

0 (2)( 1)) (1)( ) 2 2w x x x

x x x= + + + −

= + + − → 2

3 3 2w x x= − +

• Finalmente:

{ }2 2 23 2 ,3 1, 3 2B x x x x x= − + − + es la base “B” pedida




Problema 5: En el espacio vectorial de las matrices diagonales de orden dos con

elementos reales sobre el campo de los reales, se tienen las bases 1 0 1 0

,0 1 0 1

A⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭ y

2 0 1 0,

0 0 2B

α⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭. Si la matriz de transición de la base B a la base A es

2 1 20

BAM

m−⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

, determinar los valores de m y α.

SOLUCIÓN:

• Escribiendo a “B” como combinación lineal de “A” se sabe:

1 1 1 2 2

2 1 1 2 2

b a a

b a a

= α +α

= β +β 1 1

2 2

2 1/ 20

BAM

mα = β = −⎡ ⎤

= ⎢ ⎥α = β =⎣ ⎦

B A

• Sustituyendo valores (con isomorfismo) en las combinaciones lineales anteriores, se tiene:

( ) ( ) ( )2,0,0, (2) 1,0,0,1 (0) 1,0,0, 1α = + − ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2,0,0, 2

1,0,0, 2 ( 1 2) 1,0,0,1 ( ) 1,0,0, 1 1 2,0,0, 1 2 ,0,0, 1 2 ,0,0, 1 2m m m m m

=

− = − + − = − − + − = − + − −

• Por igualación de vectores en cada expresión anterior, se obtienen los valores de m

y α pedidos:

*De la ec. : α = 2

*De la ec. :

1 1 31 12 2 2

1 1 3: 2 22 2 2

m m

o bien m m

= − + ⇒ = + =

− = − − ⇒ = − = m = 3/2

Ec.Ec.




Problema 6: . Sea F el espacio vectorial de las funciones reales variable real sobre el campo de los reales y W el subespacio generado por la funciones ƒ:R→R y g: R→R definidas por ƒ(x)=sen2x y g(x)=cos2x. Para las bases { }2 2, cosA sen x x= y { }1,cos 2B x= de W determinar: (a) La matriz de transición de la base A a la base B. (b) El vector de coordenadas respecto a la base B del vector cuyas coordenadas respecto a

la base A son 2

2−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

.

SOLUCIÓN: (a) • Combinación lineal de “B” en “A”:

1 1 1 2 2

2 1 1 2 2

b a a

b a a

= α +α

= β +β 1 1

2 2

BAM

α β⎡ ⎤= ⎢ ⎥α β⎣ ⎦

B A • Sustituyendo valores: *Con identidades trigonométricas:

2 21 2

2 21 2

1 coscos 2 cos

sen x xx sen x x

= α +α

= β +β

2 2

2 2

1 coscos 2 cos

sen x xx sen x x

= +

= − + ⇒

1 11 1

BAM

−⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

• Calculando la inversa de la matriz anterior B

AM :

( ) 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 2 1 21 1 0 1 0 2 1 1 0 1 1 2 1 2 0 1 1 2 1 2

BAM

− ⎛ − ⎞ ⎛ − ⎞ ⎛ − ⎞ ⎛ ⎞= → → →⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 2 1 21 2 1 2

ABM ⎡ ⎤

∴ = ⎢ ⎥−⎣ ⎦ Matriz de transición de “A” a “B”

(b) • El vector de coordenadas respecto a la base B se obtiene multiplicando:

( ) ( )ABB A

v M v= ⋅ , donde ( ) 22A

v−⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

proporcionado como dato del problema

• Sustituyendo valores:

( ) 1 1 2 2 2 01 11 1 2 2 2 22 2B

v− − +⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ → ∴ ( ) 0

2Bv ⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

Vector de Coordenadas





SUBTEMA. SUBESPACIOS VECTORIALES

Problema 1: Determinar si el subconjunto W es un subespacio vectorial bajo la

condición dada:

W = a, b,c 4 2 0; , ,a b c a b c R

SOLUCIÓN:

Tomando en cuenta la condición dada c = 4a + 2b , el nuevo conjunto W es:

W = a, b, 4a + 2b ,a b R

Verificando axiomas:

1.- Cerradura para la suma:

1 1 1 1 2 2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2 1 2

, ,4 2 , ,4 2

, ,4 4 2 2

, ,4 2

u v a b a b a b a b

a a b b a a b b

a a b b a a b b

Si 1 2 3 1 2 3;a a a b b b , entonces:

3 3 3 3, ,4 2u v a b a b W cumple

2.- Cerradura para la multiplicación:

, ,4 2

, ,4 2

u a b a b

a b a b

Si 4 4;a a b b , entonces:

4 4 4 4, ,4 2u a b a b W cumple

Por tanto, el subconjunto W sí es un subespacio vectorial de R3.





Problema 2: Sea nP el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a n

con coeficientes reales. Determinar cuál de los siguientes subconjuntos son subespacios

vectoriales de nP :

(a) ( ) | (7) 0A p x p

(b) ( ) | ( 5) 2 (3)B p x p p

SOLUCIÓN:

(a) Verificando axiomas para el subconjunto A:


1

2

1 2

(7) 0

(7) 0

( )(7) 0

u p

v p

u v p p

Si 1 2 3p p p entonces:

3(7) 0u v p A Cumple


(7) 0 ( )(7) 0u p p

Si 4p p entonces:

4(7) 0u p A Cumple

Por tanto, el subconjunto A sí es un subespacio vectorial de nP .

(b) Verificando axiomas para el subconjunto B:






1 1

2 2

( 5) 2 (3)

( 5) 2 (3)

u p p

v p p

1 2 1 2( )( 5) 4 ( )(3)u v p p p p B No cumple


( 5) 2 (3) ( )( 5) 2 ( )(3)u p p p p

Si 4p p entonces:

4 4( 5) 2 (3) 1u p p B No cumple

Por tanto, el subconjunto B no es un subespacio vectorial de nP .

Problema 3: Sean M y N dos subespacios del espacio vectorial real de las matrices de

m n, donde:

; , , ,0 0

2 ; , , ,0 0

a b cM b a c a b c d R

d

a b cN c a b a b c d R

d

Demostrar que el conjunto M N es un subespacio vectorial de las matrices de m n.

SOLUCIÓN:

La intersección es:

; 2 ; , , ,0 0

a b cM N b a c c a b a b c d R

d





Tomando en cuenta las condiciones del conjunto intersección anterior:

0

2 0

a b c

a b c

Se tiene, matricialmente que:

1 1 11 1 1 1 1 1

21 2 1 0 3 2 0 1

3

De donde: 2

03

b c 2

3b c

0a b c 2

3a c c

1

3a c

Por tanto, la intersección se transforma en:

1 2

,3 3

0 0

c c cM N c d R

d

Conjunto intersección

Verificando axiomas:


1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( )

3 3 3 3 3 3

0 0 0 0 ( ) 0 0

c c c c c c c c c c c cu v

d d d d

Si 1 2 3c c c y 1 2 3d d d , entonces:





3 3 3

3

1 2

3 3

0 0

c c cu v M N

d

Cumple


1 2 1 2

3 3 3 3

0 0 0 0

c c c c c cu

d d

Si 4c c y 4d d , entonces:

4 4 4

4

1 2

3 3

0 0

c c cu M N

d

Cumple

Por tanto, queda demostrado que M N sí es un subespacio vectorial de las

matrices de m n.




SUBTEMA: VARIEDAD LINEAL

Problema 1: Expresar al conjunto 3

,a a

A a b Rb a

⎧ ⎫−⎛ ⎞⎪ ⎪= ∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭

como una variedad lineal

para: a) a = b = 0 b) a = b = 1

SOLUCIÓN:

(a) Para a = b = 0 0 30 0ov

−⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

vector de apoyo

• Escribiendo la variedad lineal:

L = w + ov w = L – ov = 3a a

b a−⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

- 0 30 0

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

∴ w = a ab a⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

vector asociado

• Por tanto:

0 3,

0 0a a

L a b Rb a

⎧ ⎫−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪= + ∈⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭

Variedad lineal para a = b = 0

w ∈ W (sí es S.E.V.)

(b) Para a = b = 1 1 21 1ov

−⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

• La variedad Lineal: L = w + ov w = L – ov




• Sustituyendo Valores:

3 1 2 1 3 2 1 11 1 1 1 1 1

a a a a a aw w

b a b a b a− − − − + − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= − = ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Vector asociado

Pero: c c

wd c⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

vector asociado si se considera a –1 = c b – 1 = d

• Por tanto:

1 2,

1 1c c

L c d Rd c

⎧ ⎫−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪= + ∈⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭

Variedad lineal para a = b = 1

w ∈ W (sí es S.E.V.)

Problema 2: Determinar si el conjunto solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales tiene estructura de variedad lineal: -x - 3y + 2z = 10 3x + 8y – 4z = -26 2x + 5y – 2z = -16 En caso afirmativo, dar su espacio asociado, su dimensión y una base. En caso contrario, justificar su respuesta. SOLUCIÓN:

• Resolviendo el sistema matricialmente:

1 3 2 10 1 3 2 10 1 3 2 103 8 4 26 0 1 2 4 0 1 2 42 5 2 16 0 1 2 4 0 0 0 0

− − − − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − → − − → − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

• Se llega al sistema de ecuaciones equivalente:

x + 3y – 2z = -10 y – 2z = -4 0 z = 0




z = a ∈ R y = 2a – 4 x = - 3y + 2z – 10 = -3 ( 2a – 4) + 2a – 10 = -6a + 12 + 2a – 10 x = -4a + 2 • Por tanto, el conjunto solución (C.S.) resulta:

C.S. = ( ){ }4 2,2 4,a a a a R− + − ∈

• El vector de apoyo se obtiene para a = 0 → ov =(2,-4,0)

• De la variedad lineal L = w + ov se despeja w = L – ov .

• En donde sustituyendo valores:

w = (-4a + 2,2a - 4,a) – (2,-4,0) = (-4a + 2 – 2, 2a -4 + 4, a – 0) ∴ w = (-4a , 2a , a) Vector asociado

• Finalmente:

{ }( 4 ,2 , ) (2, 4,0)L a a a a R= − + − ∈ Variedad lineal

• Donde ( ){ }4 ,2 ,W a a a a R= − ∈ Espacio asociado

• Cuya dimensión y base canónica son:

dim W = 1 ; { }. ( 4, 2,1)canB = −




Problema 3: Determinar si el siguiente subconjunto de los polinomios de grado menor o igual a dos:

( ) ( ){ }21 3 5 ,L a x b x b a b R= − − + + ∈ tiene estructura de variedad lineal; si es así, dar su espacio asociado, y su base canónica. SOLUCIÓN:

• Vector de apoyo para a = b = 0 → 2 3 5ov x x= − − + • Nuevamente del concepto de variedad lineal L = w + ov se puede despejar y

sustituir:

( ) ( )( ) ( )2 21 3 5 3 5

1 1

ow L v a x b x b x x

a

= − = − + − + + − − +

= − +( ) 2 3 3x b+ − +( ) 5 5x b+ + −( ) 2ax bx b w= + + =

• Por tanto:

( ) ( ){ }2 2 3 5 ,L ax bx b x x a b R= + + + − − + ∈ “L” sí es variedad lineal

• Espacio asociado:

{ }2 ,W ax bx b a b R= + + ∈ Espacio asociado (sí es S.E.V.) dim W = 2 Bcan. de W = { }2 , 1x x + Base canónica

vector asociado


Tema 3. Transformaciones Lineales


TEMA: TRANSFORMACIÓN LINEAL, NÚCLEO Y RECORRIDO Problema 1: Sean 2P≤ el espacio vectorial real de los polinomios de grado menor o igual a dos con coeficientes reales y la transformación 3

2:F P≤→ definida por:

1 2( , , ) ( )F a b c a b v cv= + − ; donde 21 1v x= + ; 2 23 1 , ,v x P a b c≤= − ∈ ∀ ∈

Determinar si F es lineal. SOLUCIÓN:

• Se define la función sustituyendo los valores de 1v y 2v dados: 2 2( , , ) ( )( 1) (3 1) ( ) 3 ( )F a b c a b x c x a b x cx a b c= + + − − = + − + + + 2( , , ) ( ) 3 ( )F a b c a b x cx a b c= + − + + +

• Se verifican los dos axiomas para que una función sea una transformación lineal: 1.- Superposición: ( ) ( ) ( )F u v F u F v+ = + : Sean 1 1 1( , , )u a b c= → 2

1 1 1 1 1 1( ) ( ) 3 ( )F u a b x cx a b c= + − + + +

2 2 2( , , )v a b c= → 22 2 2 2 2 2( ) ( ) 3 ( )F v a b x c x a b c= + − + + +

1 2 1 2 1 2( , , )u v a a b b c c+ = + + +

( )F u v+ = 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2( ) 3( ) ( )a a b b x c c x a a b b c c+ + + − + + + + + + +

• Sustituyendo en el axioma ( ) ( ) ( )F u v F u F v+ = + :

2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2( ) 3( ) ( ) ( ) 3 ( ) ( ) 3 ( )a a b b x c c x a a b b c c a b x cx a b c a b x c x a b c⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + + − + + + + + + + = + − + + + + + − + + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2( ) 3( ) ( ) ( ) 3( ) ( )a a b b x c c x a a b b c c a a b b x c c x a a b b c c+ + + − + + + + + + + = + + + − + + + + + + +

2.- Homogeneidad: ( ) ( )F u F uα = α ⋅ : Sea 1 1 1( , , )u a b cα = α α α → 2

1 1 1 1 1 1( ) ( ) 3 ( )F u a b x c x a b cα = α +α − α + α +α +α • Sustituyendo en el axioma ( ) ( )F u F uα = α ⋅ : ( )2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1( ) 3 ( ) 3 ( )a b x c x a b c a b x c x a b c⎡ ⎤α +α − α + α +α +α = α + − + + +⎣ ⎦

( ) ( )2 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 13 ( ) 3 ( )a b x c x a b c a b x c x a b c⎡ ⎤ ⎡ ⎤α + − + + + = α + − + + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

• Por tanto, la transformación F sí es lineal.

Nueva función

Cumple

Cumple




Problema 2: Sea la transformación 22:S P R≤ → , definida por:

2( ) ( , )S ax bx c a b c+ + = +

Determinar: (a) Si S es una transformación lineal (b) El núcleo de la transformación S (c) El recorrido de la transformación S (d) Verificar ( ) ( )2 2dim P dim N S dim S P≤ ≤= +

SOLUCIÓN: (a) Para determinar si S es lineal, se verifican los dos axiomas siguientes:

1.- Superposición: ( ) ( ) ( )1 2 1 2S v v S v S v+ = +

Sean: 21 1 1 1v a x b x c= + +

→ ( ) ( )1 1 11S v a b ,c= +

2

2 2 2 2v a x b x c= + +

→ ( ) ( )2 2 22S v a b ,c= +

( ) ( ) ( )21 2 1 2 1 2 1 2v v a a x b b x c c+ = + + + + +

● Sustituyendo en el axioma, se tiene:

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2 1 2S v v a a b b ,c c S v S v+ = + + + + = + ← Cumple

2.- Homogeneidad: ( ) ( )1 1S v S vα = α ⋅

Sea 2

1 1 1 1v a x b x cα = α +α +α → ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1S v a b , c S vα = α +α α = α ⋅ ← Cumple

• Por tanto, la transformación S sí es lineal. (b) El núcleo N(S) de la transformación se define como ( ) { ( ) }20R2N S v P S v .≤= ∈ =

● Se propone al vector 2

2v ax bx c P≤= + + ∈ . ● Se iguala la imagen de v con el vector cero del codominio:




( ) ( ) ( ) ( )2 , 0,0S v S ax bx c a b c= + + = + =

● Igualando términos en los vectores anteriores: 0;a b+ = 0c = ● De donde a b= − y 0=c . ● Por tanto, el vector propuesto se transforma en: 2 2v ax bx c bx bx= + + = − + . ● Finalmente, el núcleo es: ( ) { }2 N S bx bx b R= − + ∈ ( ) 1dim =SN (c) El recorrido de la transformación se determina a partir de la base canónica del dominio

{ }22P ax b x c a,b,c R≤ = + + ∈ :

}{ 22 1canonicaB de P x ,x,≤ =

● Se obtienen las imágenes de los vectores de la base canónica anterior:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

2 1 0

1 0

1 0 1

S x ,

S x ,

S ,

=

=

=

● Las imágenes anteriores constituyen el Conjunto Generador del recorrido:

( ){ ( ) ( )}1 0 1 0 0 1C.G , , , , ,= ● Se determina el Espacio Renglón del conjunto generador anterior:

⇒⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛→

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛→

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

001001

100001

100101

( ) ( ) ( )}{2 1 0 0 1canonicaB de S P , , ,≤ =

● Obteniendo el vector genérico con la base canónica anterior:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 0 0 1 0 0w a , b , a, ,b a,b= + = + =




● Finalmente, el recorrido es: ( ) ( ){ }2S P a,b a,b R≤ = ∈ .

( ) 22dim S P≤ =

(d) Verificando ( ) ( )2 2dim P dim N S dim S P≤ ≤= + se tiene:

3 1 2= + ← Cumple Problema 3: Para la transformación lineal 3

2:S R M→ definida por:

2( , , )

x y y zS x y z

y z x y z− +⎡ ⎤

= ⎢ ⎥+ − +⎣ ⎦

donde 2M es el espacio vectorial real de las matrices simétricas de orden dos con elementos reales, obtener: (a) El núcleo ( )N S de la transformación, su dimensión y una de sus bases. (b) El recorrido 3( )S R de la transformación, su dimensión y una de sus bases. (c) Demostrar que: 3 3dim dim ( ) dim ( )R N S S R= + . SOLUCIÓN: (a) • Esquemáticamente la transformación es:

• El núcleo está dado por el conjunto { }23( ) ( ) 0MN S v R S v= ∈ = .

• Para determinar N(S), se propone al vector: 3( , , )v x y z R= ∈ .

• Cuya imagen es:

2 0 0( )

0 0x y y z

S vy z x y z− +⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

20M

Núcleo Recorrido

3R =Dominio S 2M =Codominio




• Igualando términos en los vectores anteriores, se llega al sistema de ecuaciones:

2 0

00

x yy z

x y z

− =+ =

− + =

• Resolviéndolo matricialmente, se tiene:

1 2 0 ( 1) 1 2 0 1 2 0 2 00 1 1 0 1 1 ( 1) 0 1 1 01 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0

x yy z

z

− − − − − =⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⇒ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− =⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∼ ∼

• Es decir, el vector ( , , )v x y z= propuesto originalmente se transforma en:

( 2 , , )v z z z= − −

• Por tanto: { }( ) ( 2 , , )N S z z z z= − − ∈ Núcleo de transformación S

dim ( ) 1N S = Dimensión

{ }( ) ( 2, 1,1)canonicaB de N S = − − Base canónica (b) • El recorrido es un conjunto de la forma: { }3 3( ) ( )S R S u u R= ∈ .

• El dominio de la transformación S es { }3 ( , , ) , ,R x y z x y z= ∈ .

• La base canónica del dominio es { }3 (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)canonicaB de R = .

• Las imágenes de los vectores de la base canónica anterior son: 1 0

(1,0,0)0 1

S ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

; 2 1

(0,1,0)1 1

S−⎡ ⎤

= ⎢ ⎥−⎣ ⎦;

0 1(0,0,1)

1 1S ⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

• Las cuales, constituyen al conjunto generador del recorrido:

1 0 2 1 0 1. . , ,

0 1 1 1 1 1C G

⎧ − ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭

2

2

x y

x z

=

∴ = −

y z

z z

= −

=




• Se obtiene el espacio renglón generado por el conjunto anterior (aplicando isomorfismo):

3

1 0 0 1 (2) 1 0 0 11 0 0 1

2 1 1 1 0 1 1 1 ( ) ,0 1 1 1

0 1 1 1 0 0 0 0canonicaB de S R

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − ↵ ⇒ = ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∼

• Vector genérico del recorrido (haciendo combinación lineal con los vectores de la base canónica anterior):

1 0 0 10 1 1 1

a bw a b w

b a b⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= + = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

• Finalmente:

( )3

3

,

dim ( ) 2

a bS R a b R

b a b

S R

⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪= ∈⎨ ⎬⎢ ⎥+⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭

=

(c) •Se verifica el teorema: 3 3dim dim ( ) dim ( )R N S S R= +

3 1 2= + Cumple Problema 4: Para la transformación lineal 3 3:T R R→ definida por:

( ) ( ), , 3 ,6 ,2T x y z x y x z y z= + − +

Obtener: (a) El núcleo de T y su dimensión. (b) El recorrido de T y su dimensión. SOLUCIÓN: (a) • El núcleo está dado por el conjunto ( ) { ( ) }33R T v 0RN T v= ∈ =

• Se propone al vector ( ) 3, ,v x y z R= ∈ , cuya imagen es:

Matriz canónica escalonada

Recorrido de la transformación S

Dimensión




( ) ( ) ( )33 ,6 ,2 0 0,0,0RT v x y x z y z= + − + = =

● Igualando términos: 020603

=+=−=+

zyzxyx

● Resolviendo el sistema de ecuaciones anterior matricialmente:

⇒⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⇒

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−⇒

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

000120013

120121

013

120106

013

000203

==+=+

zzyyx

Rkz ∈= ; zy −=2 → ky21

−= ; yx −=3 → =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−= kx

21

31 xk =

61

● Por tanto, el vector propuesto originalmente se transforma en:

( ) =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −== kkkzyxv ,

21,

61,, ( ) vkkk =− 6,3,

● Siendo el núcleo de la transformación T:

( ) { }( , 3 ,6 ) RN T k k k k= − ∈ ( ) 1dim =TN (b) ● Para determinar el recorrido de la transformación, se toma en cuenta el dominio:

( ){ }3 , , , ,R x y z x y z R= ∈ ; 3dim 3 =R

● La base canónica del dominio R3 es ( ) ( )( )}{3 1,0,0 , 0,1,0 0,0,1 .canonicaB de R =

● Las imágenes de la base canónica anterior, constituyen al conjunto generador C.G. del recorrido:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )}{1,0,0 3,6,0

0,1,0 1,0,2 . . 3,6,0 , 1,0,2 , 0, 1,1

0,0,1 0, 1,1

T

T C G

T

= ⎫⎪

= = −⎬⎪= − ⎭




● Determinando el espacio renglón a partir del conjunto generador anterior:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−⇒

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−⇒

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−⇒

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−⇒

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

− 000110

201

110110

201

110660

201

110063201

110201063

escalonadacanonicaForma

● De la matriz en forma canónica escalonada se obtiene:

( ) ( )}{3( ) 1,0,2 , 0,1, 1canonicaB de T R = −

● El vector genérico es por tanto:

( ) ( ) ( )1,0,2 0,1, 1 , ,2w a b a b a b w= + − = − =

● Finalmente, el recorrido es:

( ) ( ){ }3 , ,2 ,T R a b a b a b R= − ∈ ; ( )3dim 2T R = (c) ● Verificando el axioma ( ) ( )3 3dim dim N T dim :R T R= +

3 1 2 = + ← Se cumple




SUBTEMA: MATRICES ASOCIADAS A UNA TRANSFORMACIÓN Problema 1: Sean 2P≤ y 3P≤ los espacios vectoriales de lo polinomios de grado menor o igual a dos y menor o igual a tres, respectivamente, y sea 2 3:T P P≤ ≤→ la transformación definida por:

( ( )) ( )T p x x p x= ⋅

(a) Determinar la matriz asociada con T . (b) Obtener la matriz asociada con T y referida a las bases:

{ }2 2 2: 1 ,1 3 2 ,5 4 4A x x x x x− + + + + y { }2 3: 1, , ,B x x x

(c) Con las matrices de los incisos anteriores calcular la imagen del vector 21 5v x x= + − . SOLUCIÓN: (a) • Para obtener la matriz asociada con T , ( )M T , se calculan las imágenes de la base canónica del dominio { }2

2 , ,P a bx cx a b c R≤ = + + ∈ .

• Imágenes de { }2

2 1, ,canonicaB de P x x≤ = :

2

2 3

(1)( )( )

T xT x xT x x

=

=

=

• Las imágenes anteriores escritas como columnas (aplicando isomorfismo) son las columnas de la matriz buscada:

0 0 01 0 0

( )0 1 00 0 1

M T

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Matriz asociada con T

(b) • La imagen del vector 21 5v x x= + − se determina con la expresión ( ) ( )T v M T v= ⋅ ,

es decir, multiplicando:




2 2 3

0 0 0 01

1 0 0 1( ) ( ) 5 (1 5 ) 5

0 1 0 51

0 0 1 1

T v M T v T x x x x x

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⋅ = = ⇒ + − = + −⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(c) • Para determinar la matriz asociada con T y referida a las bases A y B , se calculan primero las imágenes de los vectores de la base A :

2 31(1 ) ( )T x x x T a− = − =

2 2 32(1 3 2 ) 3 2 ( )T x x x x x T a+ + = + + =

2 2 33(5 4 4 ) 5 4 4 ( )T x x x x x T a+ + = + + =

• Se escriben a las imágenes anteriores como combinación lineal de los vectores de la base B , es decir:

3 2 31 1 2 3 4( ) (1) ( ) ( ) ( )T a x x x x xα α α α= − = + + +

Igualando términos: - 1 0α = ; 2

2 1

x xα

α

=

=;

2 23

3

0

0

x xα

α

=

=;

3 34

4 1

x xα

α

= −

= − 1

01

( )01

BT a

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

2 3 2 32 1 2 3 4( ) 3 2T a x x x x x xβ β β β= + + = + + +

Igualando términos: 1 0β = ; 2

2 1

x xβ

β

=

=;

2 23

3

3

3

x xβ

β

=

=;

3 34

4

2

2

x xβ

β

=

= 2

01

( )32

BT a

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

2 3 2 33 1 2 3 4( ) 5 4 4T a x x x x x xγ γ γ γ= + + = + + +

Igualando términos: 1 0γ = ; 2

2

5

5

x xγ

γ

=

=;

2 23

3

4

4

x xγ

γ

=

=;

3 34

4

4

4

x xγ

γ

=

= 3

05

( )44

BT a

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Imagen pedida (obtenida con ( )M T )




• Finalmente la matriz buscada es:

0 0 01 1 5

( )0 3 41 2 4

ABM T

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

(d) • La imagen del vector 21 5v x x= + − se obtiene con la expresión:

( ) ( ) ( )AB AB

T v M T v⎡ ⎤ = ⋅⎣ ⎦

• Escribiendo a 21 5v x x= + − como combinación lineal de la base { }2 2 21 ,1 3 2 ,5 4 4A x x x x x= − + + + + , se tiene:

2 2 2(1 ) (1 3 2 ) (5 4 4 )v x x x x x= α − +β + + + γ + + 2 21 5 ( 5 ) (3 4 ) ( 2 4 )x x x x+ − = α +β+ γ + β+ λ + −α + β+ γ

• Igualando términos:

5 13 4 5

2 4 1

α +β+ γ =β+ γ =−α + β+ γ = −

• Resolviendo el sistema de ecuaciones anterior matricialmente:

1 1 5 1 (1) 1 1 5 1 1 1 5 1 1 1 5 10 3 4 5 0 3 4 5 ( 1) 0 3 4 5 0 3 4 51 2 4 1 0 3 9 0 0 0 5 5 (1/ 5) 0 0 1 1

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∼ ∼ ∼

• Se llega a:

5 1

3 4 5

1

α +β+ γ =β+ γ =

γ = −

; donde: 5 4 5 4( 1)

3 33

− γ − −β = =

β = y

1 51 3 5( 1)

3

α = −β− γα = − − −

α =

( )331

Av

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

• Realizando la multiplicación:

Matriz asociada con T y referida a las bases A y B




0 0 0 0 03

1 1 5 3 3 5 1( ) 3

0 3 4 9 4 51

1 2 4 3 6 4 1

BT v

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ −⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤ = = =⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦− − + − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

• Escribiendo a ( )T v como combinación lineal de la base { }2 31, , ,B x x x= :

2 3 2 3( ) (0)(1) (1)( ) (5)( ) ( 1)( )T v x x x x x x= α +β + γ + δ = + + + −

• Se obtiene finalmente, la imagen pedida:

2 2 3(1 5 ) 5T x x x x x+ − = + − Problema 2: Sea 2 2:H R R→ la transformación lineal cuya matriz asociada es

1 2( )

2 3AAM H

−⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦

, y donde { }( 1,0), (0, 2)A = − . Determinar:

(a) La regla de correspondencia de la transformación H . (b) La imagen del vector ( 1,3)u = − utilizando la matriz ( )A

AM H . SOLUCIÓN: (a) • A partir de la expresión ( ) ( ) ( )A

A AAH v M H v⎡ ⎤ = ⋅⎣ ⎦ puede determinarse la regla de

correspondencia de H , de la siguiente manera:

• Se propone al vector ( ) 2,v x y R= ∈ .

• Se escribe a v como combinación lineal de la base A:

( 1,0) (0, 2) ( , 2 )( , ) ( , 2 )vx y= α − +β = −α β

= −α β

Vector de coordenadas de ( )T v en la base B

Imagen del vector v pedida (obtenida con ( )A

BM T )




• Igualando términos: ( )12 1

2A

xx y v

y−⎡ ⎤

α = − β = → = ⎢ ⎥⎣ ⎦

• Multiplicando:

( ) ( )312 2

1 222 3A A

x x yH v H v

y x y− +− ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦+−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

• Escribiendo a ( )H v como combinación lineal de la base A :

( ) ( ) 32( 1,0) 0,2 ( )( 1,0) (2 )(0,2) ( , 4 3 )H v x y x y x y x y= γ − + δ = + − + + = − − +

• Se llega finalmente a:

( ) ( ), , 4 3H x y x y x y= − − + (b) • La imagen de u se determina con la misma expresión ( ) ( ) ( )A

A AAH u M H u⎡ ⎤ = ⋅⎣ ⎦ .

• Se escribe a u como combinación lineal de la base A :

( )1,0 (0, 2)

( 1,3) ( , 2 )u = α − +β

− = −α β

• Igualando términos: ( )32 3

2

11

Au ⎡ ⎤

α = β = → = ⎢ ⎥⎣ ⎦

• Multiplicando:

( ) ( )3 9 52 2 2

1 2 1 1 3 22 3 2A A

H u H u− − +⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦− − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

• Escribiendo a ( )H u como combinación lineal de la base A :

Vector de coordenadas de v en la base A

Vector de coordenadas de

( )H v en la base A

Regla de correspondencia de H

Vector de coordenadas de u en la base A

Vector de coordenadas de ( )H u en la base A




( ) ( ) ( ) 521,0 0,2 (2)( 1,0) ( )(0,2) ( 2,0) (0,5) ( 2,5)H u = γ − + δ = − + = − + = −

• Se obtiene finalmente: ( ) ( 2,5)H u = −

Problema 3: Sea la transformación lineal 2 3 : S R R→ , cuya matriz asociada es

1 1 0 1

1 0

ABM

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

, referida a las bases ( ) ( )}{ 1,1 , 0, 1A = − del dominio y

( ) ( ) ( )}{ 1,0,1 , 0,1,1 , 1,1,0B = del codominio. Determinar la regla de correspondencia de la transformación S. SOLUCIÓN:

• Para determinar la regla de correspondencia se utiliza la expresión:

( ) ( ) ( )[ ] vT v S BA =⋅ABM

• Se propone al vector ( ) 2 x,yv R= ∈ .

• Se escribe a v como combinación lineal de la base A: 1 21 2 v a a= α + α .

• Sustituyendo e igualando términos se obtiene:

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 1 2, 1,1 0,-1 , x y = α + α = α α −α

∴ 1 xα = 2 x-yα =

( ) ( )1 2 , T

Av = α α = ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡− yxx

• Realizando la multiplicación ( ) ( ) ( )[ ]BA

AB vSM v S = , se obtiene el vector de

coordenadas de ( )vS en la base B:

Imagen del vector u

Vector de coordenadas de v en la base A




( )1

1

1

1 1 x x-y 2x-y x

0 1 0 x-y x-y x-y

0 1 x 0 xB

S vβ+ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎡ ⎤⋅ = + = = β =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ β⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

• Escribiendo a ( )vS como combinación lineal de v :

( ) 1 1 2 2 3 3 S v b b b= β +β +β

• Sustituyendo valores:

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 2x-y 1,0,1 0,1,1 x 1,1,0S v x y= + − +

( ) ( ) ( )2x-y,x-y x,2x-y x-y 3x-y,2x-y,3x-2yS v = + + =

• Se llega finalmente a: ( ) ( ), 3 ,2 ,3 2 S x y x y x y x y= − − − Regla de correspondencia pedida




TEMA: TEOREMA DE CAYLEY-HAMILTON Problema 1: Utilizar el Teorema de Cayley-Hamilton para obtener:

(a) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2 3 1 1-

A donde 3A

(b) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=−

1- 1- 6 1 0 4- 2 2 11-

B donde 1B

SOLUCIÓN: (a) • Se calcula la matriz A I− λ :

-1 1 1 0 -1- 1

3 2 0 1 3 2-

A Iλ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

− λ = −λ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥λ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

• Se determina el polinomio característico:

( )( ) 2 2 1 2 3 -2-2 3 5A I− λ = − − λ − λ − = λ + λ + λ − = λ − λ − • Se evalúa ( ) 0P A = , sustituyendo la matriz A en el polinomio característico anterior:

( ) 2 A 5 0P A A I= − − = • De donde: IAA 52 += . • Y por tanto: 3 6 5A A I= + . • Finalmente, sustituyendo valores, se obtiene A3:

3 -1 1 1 0

6 5 3 2 0 1

A⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦




⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

17 18 6 1- 3A

(b) • Se calcula la matriz B I− λ :

-11 2 2 0 0 -11- 2 2 -4 0 1 0 0 -4 - 1

6 -1 -1 0 0 6 -1 -1- B I

λ λ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥ ⎢ ⎥− λ = − λ = λ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥λ λ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

• Se determina el polinomio característico:

( ) 12811-11- det 322 ++−−=− λλλλλIB 3 212 8 1= − λ − λ − λ + • Se evalúa ( ) 0P B = , sustituyendo la matriz B en el polinomio característico anterior:

( ) 3 12 8 0P B B B B I= + + − = • Factorizando:

2( 12 8 )B B B I I+ + = • La inversa resulta:

1 2 12 8B B B I− = + + • Finalmente, sustituyendo valores, se obtiene B-1:

1

-11 2 2 -11 2 2 -11 2 2 -4 0 1 -4 0 1 12 -4 0 1

6 -1 -1 6 -1 -1 6 -1 -1 B−

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

8 0 0 0 8 0 0 0 8

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

1

1 0 2 2 -1 3 4 1 8

B−

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦





TEMA: INVERSA DE UNA TRANSFORMACIÓN

Problema 1: Sean 2P el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a

dos con coeficientes reales, 2M el espacio vectorial de las matrices simétricas de orden

dos con elementos reales, 2 , ,1A x x una base de 2P , 1 0 0 1 0 0

, ,0 0 1 0 0 1

B una

base de 2M y 2 2:S P M una transformación lineal. Si la matriz asociada con S y

referida a las bases A y B es 12

1 0 0

0 0

0 0 1

A

BM S . Determinar:

(a) La regla de correspondencia de S .

(b) La regla de correspondencia de 1S .

SOLUCIÓN:

(a) Para determinar la regla de correspondencia de S , se utiliza la expresión:

A

BAB

S v M S v

Se propone al vector 2

2v ax bx c P , y se escribe como combinación lineal de

la base A: 2 2v x x ax bx c

Se igualan términos en la expresión anterior:

A

a

a b c v b

c

Se realiza la multiplicación A

BAB

S v M S v :

1 12 2

1 0 0

0 0

0 0 1B

a a

b b S v

c c

Vector de coordenadas

de v en la base A


de S v en la base B





Se escribe a S v como combinación lineal de la base B :

121

2 12

1 0 0 1 0 0

0 0 1 0 0 1

a bS v a b c

b c

Finalmente se obtiene:

1

22

12

a bS ax bx c

b c

(b) Para la regla de correspondencia de 1S se utiliza 1

1( )B A

A BM S M S .

Calculando la inversa de 12

1 0 0

0 0

0 0 1

A

BM S :

111

2

1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0

0 0 0 1 0 0 1 0 0 2 0 0 2 0

0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1

A B

B AM S M S

Para obtener la regla de correspondencia de la transformación inversa se utiliza la

expresión 1 1B

AB A

M S w S w .

Se propone por tanto al vector 2

a bw M

b c, y se escribe como combinación

lineal de la base B :

1 0 0 1 0 0

0 0 1 0 0 1

a bw

b c

Regla de correspondencia

de “ S ”

Matriz asociada con la

transformación inversa 1S





Se igualan términos:

B

a a

b w b

c c

Realizando la multiplicación 1 1B

AB A

M S w S w :

1

1 0 0

0 2 0 2

0 0 1A

a a

b b S w

c c

Escribiendo a 1S w como combinación lineal de la base A :

1 2( ) (2 ) ( )S w a x b x c

Finalmente se llega a:

1 2 2a b

S ax bx cb c

Vector de

coordenadas de

w en la base B


de 1S w en la base A

Regla de correspondencia de

la transformación inversa 1S




TEMA: VALORES Y VECTORES CARACTERÍSTICOS Problema 1: Sea 2M el espacio vectorial real de las matrices de 2x2 con elementos reales y el operador lineal 2 2:S M M→ definido por:

( ) TS A A=

Determinar: (a) Los valores característicos de S. (b) Los espacios característicos correspondientes a cada uno de los valores característicos de S, sus dimensiones y una de sus bases. SOLUCIÓN: (a) • Se determina primero la matriz asociada M(S) = A, calculando las imágenes de los

vectores de la base 2

1 0 0 1 0 0 0 0 = , , ,

0 0 0 0 1 0 0 1canonicaB de M⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎪⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎪ ⎭⎩

del dominio

2

b a,b,c,d R

c da

M⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪= ∈⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎪⎪ ⎭⎩

:

1 0 1 0 0 0 0 0

S⎡ ⎤ ⎡ ⎤

=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

0 0 0 1 1 0 0 0

S⎡ ⎤ ⎡ ⎤

=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

0 1 0 0 0 0 0 1

S⎡ ⎤ ⎡ ⎤

=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

0 0 0 0 0 1 0 1

S⎡ ⎤ ⎡ ⎤

=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

• Se determina la matriz :IA λ−

1 0 0 0 1 0 0 0 1- 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 - 1 0

0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1

A I

λ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ λ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− λ = − λ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

0 1 - 0 0 0 0 1-

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥λ⎢ ⎥λ⎣ ⎦

( )

1 0 0 0 0 0 1 0

0 1 0 0 0 0 0 1

M S A

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦




• Se calcula ( ) 0det A I−λ = :

( ) 2 2

- 1 0det (1- ) 1 - 0 (1- ) ( )(1- ) (1- ) (1- )(1- )( 1) 0

0 0 1-A I

λ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎡ ⎤− λ = λ λ = λ λ λ − λ = λ λ λ − =⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥λ⎣ ⎦

• Resolviendo la ecuación anterior, se obtienen los valores característicos del operador lineal S: 1λ = y -1λ =

(b) • Los espacios característicos se determinan con la expresión ( )v 0A I−λ = , para cada valor característico obtenido anteriormente.

• Es decir, para 1λ = se tiene la matriz

0 0 0 00 1 1 0

0 1 1 00 0 0 0

A I

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥− λ =⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

.

• Resolviendo matricialmente el sistema de ecuaciones ( )v 0A I− λ = , donde

2

a bv M

c d⎡ ⎤

= ∈⎢ ⎥⎣ ⎦

:

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 00 -1 1 0 0 1 -1 0 0 0 0 00 1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

a b c d

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥≈ ≈⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

6447448

• Del sistema de ecuaciones equivalente final, se obtiene:

0b c− = ; 0 0a = ; 0 0d = • De donde: b c= ; a a= ; d d= .

• Por lo que, el vector a bv

c d⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

original se transforma en a bv

b d⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

.




• Finalmente se obtiene que:

( )1 , ,a b

E a b d Rb d

⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪λ = = ∈⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭

→ Espacio característico para 1λ =

( )1 0 0 1 0 0

1 , ,0 0 1 0 0 1canonicaB de E

⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤λ = = ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭ → Base canónica

( )1 3dim E λ = = → Dimensión

• Ahora bien, para el otro valor característico -1λ = se tiene la matriz:

2 0 0 00 1 1 00 1 1 00 0 0 2

A I

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥− λ =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

• Resolviendo matricialmente el sistema de ecuaciones ( )v 0A I− λ = , donde

2

a bv M

c d⎡ ⎤

= ∈⎢ ⎥⎣ ⎦

:

a b c d

2 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 00 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0

0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 10 0 0 2 0 0 0 1 0 0 0 0

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥≈ ≈⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

6447448

• Del sistema de ecuaciones equivalente final, se obtiene: 0a = ; 0b c+ = ; 0d = b c= −

• Por lo que, el vector a bv

c d⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

original se transforma en 00c

vc

−⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

.




• Finalmente se obtiene que:

( )0

10c

E c Rc

⎧ ⎫−⎡ ⎤⎪ ⎪λ = − = ∈⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭

→ Espacio característico para 1λ = −

( )0 1

11 0canonicaB de E

⎧ ⎫−⎡ ⎤λ = − = ⎨ ⎬⎢ ⎥

⎣ ⎦⎩ ⎭ → Base canónica

( )1 1dim E λ = − = → Dimensión




TEMA. MATRIZ DIAGONALIZADORA Y MATRIZ DIAGONAL Problema 1: Sea la transformación lineal 3 3:T → y su matriz asociada

1 0 2( ) 0 1 0

3 0 2M T

⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

(a)Determinar, si es posible, una matriz diagonalizadora. (b)Obtener, si existe, la matriz asociada a “T”. SOLUCIÓN:

(a)•Matriz diagonalizadora: 1D P A P−= i i ; donde: A= matriz diagonalizable, P= matriz diagonalizadora o diagonalizante

•Matriz ( )A I M T Iλ λ− = − =

1 0 2

0 1 03 0 2

A Iλ

λ λλ

−⎛ ⎞⎜ ⎟− = − −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

•Polinomio característico:

(1 )( 1 )(2 ) [6( 1 )] 0λ λ λ λ− − − − − − − =

( 1 )[(1 )(2 ) 6] 0λ λ λ− − − − − = 2( 1 )[2 2 6] 0λ λ λ λ− − − − + − =

2( 1 )( 3 4) 0λ λ λ− − − − =

1

1 0

1

λ

λ

− − =

= −

2

2 3

3 4 0

3 9 4(1)( 4) 3 9 16 3 52(1) 2 2

4 , 1

λ λ

λ

λ λ

− − =

± − − ± + ±= = =

∴ = = −

Valores característicos.




•Vectores característicos: Para 1 1λ = −

1 1( ) 0A I Vλ− = 2 0 2 00 0 0 03 0 3 0

xyz

⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

x y z x y z 1 0 13 0 30 0 0

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

↵ ∼1 0 10 0 00 0 0

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

0

0 0x zy

y y

+ ==

=

Para 2 4λ =

2 2( ) 0A I Vλ− = 3 0 2 (1)

0 5 03 0 2

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

∼3 0 2

0 1 0 3 2 00 0 0

x z−⎛ ⎞⎜ ⎟⇒ − + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

•Por tanto, una base de R3 es:

{ }3 ( 1,0,1), (0,1,0), (2,0,3)Basede = − (b)•Por tanto:

1 0 20 1 01 0 3

P−⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Por tanto: 1 0 0

0 1 00 0 4

D−⎛ ⎞⎜ ⎟= − →⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Matriz diagonal asociada a “T” donde: 1D P A P−= i i

( 3)−

2 3

23

z x

x z

=

=

0y =

( )

{ }{ }

2 2

2

.

2 ,0, ´ 2 ,0,33

( ) (2 ,0,3 )

(2,0,3)can

v z z o v z z

E z z z

B

λ

⎛ ⎞∴ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

= ∈

={ }{ }

1

1

.

( , , )

( ) ( , , ) ,

( 1,0,1), (0,1,0)can

v z y z

E z y z z y

B

λ

∴ = −

= − ∈

= −

x z= −

Conjunto linealmente independiente

Es una matriz diagonalizadora.




Comprobación:

•Multiplicando:

1

3 0 2 1 0 2 1 0 21 0 5 0 0 1 0 0 1 05

1 0 1 3 0 2 1 0 3

3 6 0 6 4 1 0 2 3 0 2 1 0 21 10 5 0 0 1 0 0 5 0 0 1 05 5

1 3 0 2 2 1 0 3 4 0 4 1 0 3

3 2 0 6 61 0 5 05

4 4 0 8 12

D P A P−

− −⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

− + − + − − −⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟= − = −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

− − −⎛ ⎞⎜= −⎜⎜− + +⎝ ⎠

i i

5 0 0 1 0 01 0 5 0 0 1 05

0 0 20 0 0 4D

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − = − =⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

•Cálculo de la inversa:

1

1 0 2 1 0 0 (1) 1 0 2 1 0 0 1 0 2 1 0 00 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 01 0 1 0 0 3 0 0 5 1 0 1 (1/ 5) 0 0 1 1/ 5 0 1/ 5 (2)

1 0 0 3/ 5 0 2 / 5 3 0 210 1 0 0 1 0 0 5 05

0 0 1 1/ 5 0 1/ 5 1 0 1P−

⎛ − ⎞ ⎛ − − ⎞ ⎛ − − ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ − ⎞ −⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟∴ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

∼ ∼

∼

Problema 2: El operador 3 3:S → tal que

( , , ) ( 3 , 2 6 , 4 6 5 )S x y z x y z x y z x y z= + + − + + − + +

tiene los valores característicos 1 2 3λ λ= = y 3 6λ = .¿Tiene S una representación matricial diagonal correspondiente, así como una base de 3 a la que esta referida dicha diagonal?; en caso negativo, explicar la razón de esa negativa.




SOLUCIÓN: Determinando la matriz asociada: Dominio { } { }3 3

.( , , ) , , (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)canx y z x y z B de= ∈ ⇒ = • Imágenes:

(1,0,0) (1, 2, 4)(0,1,0) (3,6,6)(0,0,1) (1,1,5)

SSS

= − −==

•Matriz:

1 3 12 6 14 6 5

A Iλ

λ λλ

−⎛ ⎞⎜ ⎟− = − −⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠

Vectores característicos: Para 1 2 3λ λ= =

1 1( ) 02 3 1 ( 1);( 2) 2 3 1 2 3 02 3 1 0 0 0 34 6 2 0 0 0 2

A v x y z

x y zy zx

λ− =

− − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⇒ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∼

Para 3 6λ =

Valores característicos:

{ }{ }

1

1 2

.

2 3 ( , , 2 3 )

( ) ( , , 2 3 ) ,

(1,0, 2), (0,1, 3)can

z x y v x y x y

E x y x y x y

B

λ λ

= − ∴ = −

= = − ∈

= −

1 2 3

1 3 1( ) 2 6 1 3 6

4 6 5M S A λ λ λ

⎛ ⎞⎜ ⎟⇒ = − = ⇒ = = =⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠




1 02

33 02

0 0

x z

y z

z

z z

− =

− =

=

=

12

32312

x z

zy

y z

=

=

=

{ }{ }

3

3

.

1 1, ,2 2

( ) ( , , 2 )

(1,1, 2)can

v z z z

E z z z z

B

λ

⎛ ⎞∴ = ⎜ ⎟⎝ ⎠= ∈

=

•Por tanto, “S” sí tiene una representación matricial diagonal.

•Base de { }3 (1,0, 2), (0,1, 3), (1,1, 2)= −

•Matriz:

1 0 10 1 12 3 2

P⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

base a la que está referida la matriz diagonalizadora.

x y z 3 3( ) 05 3 1 5 3 1 1 0 1/ 2 1 0 1/ 22 0 1 ( 2) 1 0 1/ 2 (5) 0 3 3/ 2 ( 2) 0 3 3/ 24 6 1 0 6 3 0 6 3 0 0 0

A I vλ− =

− − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∼ ∼ ∼

3 0 00 3 00 0 6

D⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

1D P A P−= i i

Matriz diagonalizadora.




Problema 3: Determinar si la matriz: 1 2 10 1 10 0 2

A−⎛ ⎞

⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

es diagonalizable. En caso afirmativo, obtener una matriz P tal que 1P A P− i i sea diagonal; en caso negativo, justificar su respuesta. SOLUCIÓN:

•Obtención de matriz ( )A Iλ− : 1 2 1

0 1 10 0 2

A Iλ

λ λλ

− −⎛ ⎞⎜ ⎟− = −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

•Polinomio característico:

1 2 3

det( ) (1 )(1 )(2 ) 01 0 1 0 2 0

1 1 2

A Iλ λ λ λλ λ λ

λ λ λ

− = − − − =∴ − = − = − =

= = =

•Vectores característicos: Para 1 1λ =

1 1( ) 00 2 1 00 0 1 00 0 1 0

A I vxyz

λ− =

−⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠

Valores característicos

0 2 10 0 10 0 0

x y z−⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⇒⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

{ }{ }

1

1

.

( ,0,0)

( ) ( ,0,0)

(1,0,0)can

v x

E x x

B

λ

∴ =

= ∈

=




2 0 0

0 0 0

y z y

z x

x x

− = ⇒ =

= =

=

Para 3 2λ =

3 3( ) 0

1 2 1 00 1 1 00 0 0 0

A I v

xyz

λ− =

− −⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− =⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

1 2 10 1 10 0 0

x y z− −⎛ ⎞

⎜ ⎟− ⇒⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

2 0 2

0

0 0

x y z x y z x z

y z y z

z z z

− + = → = − ∴ =

− = → =

= → =

{ }( ){ }

3

3

.

( , , )

( ) ( , , )

1,1,1can

v z z z

E z z z z

B

λ

∴ =

= ∈

=

•A lo más se puede obtener un conjunto:

( ){ }3 1,0,0 , (1,1,1)=

•Con lo cual se concluye que: “A” no es diagonalizable.

•Por tanto, no hay una matriz diagonalizadora “P”, y la matriz “A” no tiene una representación matricial diagonal.

Con sólo dos vectores y se requieren 3!


Tema 4. Espacios con Producto Interno


SUBTEMA: PRODUCTO INTERNO Problema 1: Determinar si la siguiente función es o no un producto interno:

( ) ( ) ( ) ( ) 21 2 1 2 1 1 2 2 3 3; , , , , ,u v x x y y u x y v x y w x y= − ∀ = = = ∈

SOLUCIÓN: 1.- Simetría o conmutatividad: ( ) ( )u v v u=

( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 2 2 1 1, , , ,x y x y x y x y⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎣ ⎦ ⎣ ⎦

1 2 1 2 2 1 2 1x x y y x x y y cumple− = − ←

2.- Aditividad o distributividad: ( ) ( ) ( )u v w u v u w+ = +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 3 2 3 1 1 2 2 1 1 3 3, , , , , ,x y x x y y x y x y x y x y⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + = +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( ) ( )1 2 3 1 2 3 1 2 1 2 1 3 1 3x x x y y y x x y y x x y y+ − + = − + −

( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3x x x y y y x x x y y y cumple+ − + = + − + ← 3.- Homogeneidad: ( ) ( )u v u vα α=

( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 1 2 2, , , ,x y x y x y x yα α α⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( )1 2 1 2 1 2 1 2x x y y x x y yα α α− = −

( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2x x y y x x y y cumpleα α− = − ←

4.- Positividad: ( ) 0 0u u para u> ← ≠

( ) ( ) ( ) 2 21 1 1 1 1 1 1 1, ,u u x y x y x y no cumple si x y⎡ ⎤= = − ← =⎣ ⎦

1 2 2

1

1(1) (1) 0

1x

Siy= ⎫

− =⎬= ⎭

por tanto, ( )u v no es un producto interno bajo la función dada.




Problema 2: Determinar el conjunto de valores de “k” ∈ , para que la función:

( ) ( ) ( ) 21 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2; , , ,u w u w u w u w ku w u u u w w w= − − + ∀ = = ∈

Sea un producto interno en 2 , tomando en cuenta que la función cumple con la propiedad:

( ) ( ) ( )u w v u w u v+ = +

SOLUCIÓN: • La propiedad que se da como dato es la “aditividad”. Las otras dos propiedades (simetría y homogeneidad) no sirven para determinar “k” ya que son igualdades; por tanto: 4.- Positividad: ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2, ,u u u u u u u u u u u u ku u⎡ ⎤= = − − +⎣ ⎦

¿ ( ) 2 21 1 2 22 0u u u u u ku= − + > ?

( ) ( )1,1 ; 1, 1

1 2 0 1 2 01 3

Si u uk k

k k

= = −

− + > + + >> > −

( )

( )

( )

2 21 1 2 21 2 0

1, 1 1 2 1 04 0

1,0 1 0 0 01 0

1,1 1 2 1 00 0

Si k u u u u

ucumple

ucumple

uno cumple

= ⇒ − + >

∗ = − ⇒ + + >

> ←

∗ = − ⇒ + + >

> ←

∗ = ⇒ − + >

= ←

( )

2 21 1 2 22 2 2 0

1, 1 1 2 2 05 0

Si k u u u u

ucumple

= ⇒ − + >

∗ = − ⇒ + + >

> ←




( )

( )

( )

1,1 1 2 2 05 0

1,0 1 0 0 01 0

0, 1 0 0 2 02 0

ucumple

ucumple

ucumple

∗ = − ⇒ + + >

> ←

∗ = ⇒ + + >

> ←

∗ = − ⇒ + + >

> ←

Por lo tanto, el valor de “k” para que la función dada sea un producto interno es 1k > Problema 3: En el espacio vectorial 2 se define la función:

( ) ( ) ( ) 21 2 1 2, ; , , ,

Tf v w vAw v v v w w w= ∀ = = ∈

donde v y w están representados como vectores renglón y 2 11 2

A ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

. Determinar si la

función dada es un producto interno. SOLUCIÓN: * Definiendo la función:

( ) ( )

( ) ( )

( )

11 2

2

11 2 1 2

2

1 1 2 1 1 2 2 2

2 1,

1 2

2 2

2 2

wv w v v

w

wv w v v v v

w

v w v w v w v w v w

⎛ ⎞⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠⎛ ⎞

= + + ⎜ ⎟⎝ ⎠

∴ = + + +

1.- Simetría o conmutatividad:

( ) ( )

1 1 2 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2

1 1 2 1 1 2 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

v w w v

v w v w v w v w w v w v w v w v

v w v w v w v w v w v w v w v w cumple

=

+ + + = + + +

+ + + = + + + ←




2.- Aditividad o distributividad:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2, , , , , ,

v w z v w v z

v v w z w z v v w w v v z z

+ = +

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + = +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2 1 1 2 1 1 2 2 22 2 2 2 2 2v w z v w z v w z v w z v w v w v w v w v z v z v z v z+ + + + + + + = + + + + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 2 22 2 2 2v w z v w z v w z v w z v w z v w z v w z v w z

cumple

+ + + + + + + = + + + + + + +

↵

3.- Homogeneidad:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

1 2 1 2 1 2 1 2

1 1 2 1 1 2 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2

1 1 2 1 1 2 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2

, , , ,

2 2 2 2

2 2 2 2

v w v w

v v w w v v w w

v w v w v w v w v w v w v w v w

v w v w v w v w v w v w v w v w cumple

α α

α α α

α α α α α

α α

=

⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎣ ⎦ ⎣ ⎦+ + + = + + +

+ + + = + + + ←

4.- Positividad:

( )( ) ( ) ( )

( )

2 21 2 1 2 1 2 1 1 2 2

2 21 1 2 2

0

, , 2 2

2 2 2 0; 0

v v

v v v v v v v v v v v v

v v v v v v v cumple

>

⎡ ⎤= = + + +⎣ ⎦

∴ = + + > ∀ ≠ ←

Por tanto, la función dada si es un producto interno. Problema 4: Determinar si la función:

( ) ( ) ( )2

3 3 21 2 1 2

1, , , ,i i

if u v x y u x x v v v

=

= ∀ = = ∈∑

es un producto interno en 2 . SOLUCIÓN: * El producto interno es: ( ) 3 3 3 3

1 1 2 2,f u v x y x y= +




1.- Simetría o conmutatividad:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2

3 3 3 3 3 3 3 31 1 2 2 1 1 2 2

3 3 3 3 3 3 3 31 1 2 2 1 1 2 2

, , , ,

u v v u

x x y y y y x x

x y x y y x y x

x y x y x y x y cumple

=

⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎣ ⎦ ⎣ ⎦+ = +

+ = + ←

2.- Aditividad o distributividad:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2

1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2

; ,

, , , , , ,

u v w u v u w sea w z z

x x y z y z x x y y x x z z

+ = + =

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + = +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( ) ( )3 33 3 3 3 3 3 3 3 3 31 1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2x y z x y z x y x y x z x z+ + + = + + +

( ) ( ) ( ) ( )3 33 3 3 3 3 3 3 31 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2x y z x y z x y z x y z no cumple+ + + ≠ + + + ←

3.- Homogeneidad:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2

3 33 3 3 3 3 31 1 2 2 1 1 2 2

3 3 3 3 3 3 3 3 3 31 1 2 2 1 1 2 2

, , , ,

u v u v

x x y y x x y y

x y x y x y x y

x y x y x y x y no cumple

α α

α α α

α α α

α α α α

=

⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎣ ⎦ ⎣ ⎦

+ = +

+ ≠ + ←

4.- Positividad:

( )( ) ( ) ( )

( )

2 23 3 3 3 3 31 1 2 2 1 2

6 61 2

0

0 0

u u

u u x x x x x x

u u x x u cumple

>

= + = +

∴ = + > ∀ ≠ ←

Por tanto, la función dada no es un producto interno.




DEMOSTRACIONES Problema 1: Sea V un espacio vectorial real y sean ,u v V∈ . Demostrar que si

u v u v+ = − entonces u y v son ortogonales. SOLUCIÓN: Demostración:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

1 12 2

21 12 2

u v u v u v u v

u v u v u v u v

u v u v u v u v

u u v v u v u u v v u v

u u u v v u v v u u u v v u v v

u u

+ + = − −

⎡ ⎤+ + = − −⎢ ⎥

⎣ ⎦

+ + = − −

+ + + = − − −

+ + + = − − +

( ) ( )2 u v v v+ + ( )u u= ( ) ( )2 u v v v− +

( ) ( )( )

2 2 0

4 0

u v u v

u v

+ =

=

( ) 0 Por tanto y v son ortogonalesu v u∴ = ←




Problema 2: Sea V un espacio vectorial real y sean ,u v V∈ . Demostrar que:

2 2 2 22 2u v u v u v+ + − = +

SOLUCIÓN: Demostración:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

2 2 2 2

2 2 2 21 1 1 12 2 2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

u v u v u v

u v u v u v u v u u v v

u v u v u v u v u u v v

u u v v u v u u v v u v u u v v

u u u v

+ + − = +

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + + − − = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

+ + + − − = +

+ + + + − − − = +

+ ( )v u+ ( ) ( ) ( )v v u u u v+ + − ( )v u− ( ) ( ) ( )2 2v v u u v v+ = +

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 Queda demostrada la igualdadu u v v u u v v∴ + = + ←




SUBTEMA: ÁNGULO Y DISTANCIA Problema 1: En el espacio vectorial M de las matrices de mxn con elementos en R, se tiene el siguiente producto interno:

( ) ( ) ,TA B tr A B A B M= ∀ ∈

Si 1 00 0 1

Aα−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠ y

1 0 00 1 0

B ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

. Determinar Rα ∈ , tal que:

(a) La distancia entre A y B sea 3 .

(b) El ángulo entre A y B sea 603π= ° .

SOLUCIÓN:

(a) La distancia se obtiene con: ( ),d A B A B B A= − = −

• De donde:

1 0 1 0 00 0 1 0 1 0

0 00 1 1

A B

A B

α

α

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠

−⎛ ⎞− = ⎜ ⎟− −⎝ ⎠

• Realizando el producto interno:

( )

( )

2

2 2

( ) ( )

0 0 0 0 00 0

0 1 0 1 10 1 1

1 0 1 1

0 1 1 2

TA B A B tr A B A B

tr tr

A B A B

α

α α

α α

⎡ ⎤− − = − −⎣ ⎦⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞

−⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − =⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥− − +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

∴ − − = + + + = +

• Por tanto: ( ) 2, 2d A B α= +

• Tomando en cuenta la condición dada ( ), 3d A B = :

( ) 2, 2 3d A B α= + =




• Despejando el valor de α buscado:

2

2

2 31

α

α

+ =

=

1α∴ = ± ← Valor para el cual ( ), 3d A B =

(b) El ángulo se obtiene con: ( )

cosA B

A Bθ =

⋅

• Calculando los productos internos necesarios:

( )

( )

( )

2 2

2

1 0 1 0 01 0 0

0 0 0 0 0 10 1 0

1 0 1 0

1 0 1 01 0

0 0 0 0 0 2 20 0 1

1 0 1

1 01 0 0

0 10 1 0

0 0

A B tr tr

A A tr tr A

B B tr

α

αα

α αα α α

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = =⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥− − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = = + → = +⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥− − − +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

1 0 00 1 0 2 20 0 0

tr B⎛ ⎞⎜ ⎟ = → =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

• Sustituyendo valores en la expresión para determinar el ángulo:

2

1 1cos cos6022 2

θα

= = ° =+ ⋅

• Despejando α:

( )

2

22

2 2 2

( 2)(2) 2

α

α

+ ⋅ =

+ =

2

2

2

2 4 42 0

0

α

α

α

+ =

=

=

0α∴ = ← Valor para el cual cos 60θ = °




Problema 2: Calcular la distancia y el ángulo entre los vectores ( )1 , 2z i i= − − y

( )2 ,2w i i= − que pertenecen al espacio vectorial 2C , respecto al producto interno usual definido por:

( ) ( ) ( ) 21 1 2 2 1 2 1 2, , ,z w z w z w z z z w w w C= + ∀ = = ∈

donde 1w y 2w son los conjugados de 1w y 2w , respectivamente. SOLUCIÓN: (a) La distancia se obtiene con: ( ),d z w z w= − • De donde: ( ) ( ) ( )1 , 2 2 ,2 1 3 , 2z w i i i i i i− = − − − − = − − −

• Calculando se producto interno:

( ) ( ) ( )1 3 , 2 1 3 , 2 (1 3 )(1 3 ) ( 2 )( 2 )

1 3

z w z w i i i i i i i i

i

⎡ ⎤− − = − − − − − − = − + + − − − +⎣ ⎦

= + 3i− 29 4 2i i− + − 2i+ 2 1 9 4 1 15 15i z w− = + + + = → − =

• Por tanto:

( ), 15d z w∴ = ← Distancia entre los vectores z y w

(b) El ángulo se calcula, en este caso, con la expresión: ( )

cosR z w

z wθ ≅

⋅


( ) ( ) ( )

2

1 , 2 2 ,2 (1 )( 2 ) ( 2 )(2 )

2 2

z w i i i i i i i i

i i

⎡ ⎤= − − − = − − + − +⎣ ⎦

= − + 24 2i i− − 6i= −




( ) ( ) ( )1 , 2 1 , 2 (1 )(1 ) ( 2 )(2 )

1

z z i i i i i i i i

i

⎡ ⎤= − − − − = − + + −⎣ ⎦

= + i−

( ) ( ) ( )

2 2

2

4 1 1 4 6 6

2 ,2 2 ,2 (2 )( 2 ) (2 )(2 )

4 4 2

i i z

w w i i i i i i i i

i i

− − = + + = → =

⎡ ⎤= − − = − + − +⎣ ⎦

= − + + 2i− 2 4 4 1 9 9i w− = + + = → =

• Sustituyendo valores se llega a:

0cos 06 9

θ ≅ ≅⋅

90θ∴ ≅ ° ← Ángulo entre los vectores z y w Problema 3: Sean F el espacio vectorial de las funciones continuas en el intervalo [-1,1] y el producto interno definido por:

( ) 1

1( ) ( ) ,f g f t g t dt f g F

−= ⋅ ∀ ∈∫

Para las funciones ( ) 1( )

( ) 1

f tg t t

h t t

=⎧⎪ =⎨⎪ = +⎩

determinar: (a) el ángulo entre f y h; y (b) la distancia

entre g y h. SOLUCIÓN:

(a) Ángulo entre f y h: ( )

cosf h

f hθ =

⋅





( )

( ) [ ] ( )

( )

121 1

1 11

1 1 1

11 1

131 1 2 2

1 11

1 1(1)(1 ) (1 ) 1 1 22 2 2

(1)(1) 1 1 2 2

1 1(1 )(1 ) (1 2 ) 1 1 1 13 3 3

2 8 823 3 3

tf h t dt t dt t

f f dt dt t f

th h t t dt t t dt t t

h

− −−

−− −

− −−

⎡ ⎤ ⎛ ⎞= + = + = + = + − − + =⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎣ ⎦

= = = = − − = → =

⎡ ⎤ ⎛ ⎞= + + = + + = + + = + + − − + −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

= + = → =

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

• Sustituyendo valores en la expresión del ángulo:

2 2cos823

θ = =⋅ 2

1 1 1 322 (2)(2) 4 12 2

3 3 3 3

= = = =⋅ ⋅ ⋅

• Por tanto:

3cos

2θ∴ = ← Ángulo entre f y h

(b) Distancia entre g y h: ( , )d g h g h= − • Realizando el producto interno: (1 ) 1g h t t− = − + = −

( ) [ ] ( )1 1 1

11 1( 1)( 1) 1 1 2g h g h dt dt t

−− −− − = − − = = = − − =∫ ∫

• Finalmente: ( , ) 2d g h g h∴ = − = ← Distancia entre g y h




SUBTEMA: PROCESO DE GRAM-SCHMIDT Problema 1: Sean 2P≤ el espacio vectorial real de los polinomios de grado menor o igual a dos con coeficientes reales, { }21, ,B x x= una base de 2P≤ y el producto interno en 2P≤ definido por:

( ) 1

1( ) ( )p q p x q x dx

−= ∫

(a) A partir de B, determinar una base ortogonal de 2P≤ . (b) Obtener el vector de coordenadas de 2( ) 1 2 3h x x x= + − en la base ortogonal del inciso anterior. SOLUCIÓN: (a) ¿La base B es ortogonal?

( )121 1

1 2 1 11

1 11( ) 02 2 2xv v x dx xdx

− −−

⎡ ⎤= = = = − =⎢ ⎥

⎣ ⎦∫ ∫

( )131 12 2

1 3 1 11

1 1 1 1 21( ) 03 3 3 3 3 3xv v x dx x dx

− −−

⎡ ⎤ ⎛ ⎞= = = = − − = + = ≠⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎣ ⎦∫ ∫ ← B no es ortogonal

• Mediante el proceso de Gram-Schmidt:

( )( )( )( ) [ ] ( )

1 1 1

2 1

2 2 1

1 1

1 1

2 1 1 1

1 1 11 1 11 1

2

1

(1) 0

1(1) 1 1 2

0 (1)2

w v w

v ww v w

w w

v w x dx xdx

w w dx dx x

w x

− −

−− −

= → ∴ =

= −

= = =

= = = = − − =

∴ = −

∫ ∫

∫ ∫

2w x→ =




( )( )

( )( )

( )

( )

( )

3 1 3 2

3 3 1 2

1 1 2 2

1 12 23 1 1 1

141 33 2 1

1

1 1 22 2 1 1

23

21( )3

1 1 04 4 4

2( )3

2 / 3 0(1) ( )2 2 / 3

v w v ww v w w

w w w w

v w x dx x dx

xv w x dx

w w x x dx x dx

w x x

− −

−−

− −

= − −

= = =

⎡ ⎤= = = − =⎢ ⎥

⎣ ⎦

= = =

∴ = − −

∫ ∫

∫

∫ ∫

23

13

w x→ = −

• Por tanto:

2 11, ,3OGB x x⎧ ⎫= −⎨ ⎬

⎩ ⎭ ← Base ortogonal

(b) El Vector de coordenadas en la base ortogonal BOG del inciso anterior buscado es:

( )1

2

3

BOGh

ααα

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

; donde sus coordenadas se obtienen con: ( )( )

11

1 1

h w

w wα = ,

( )( )

22

2 2

h w

w wα = y

( )( )

33

3 3

h w

w wα = .

• Calculando los productos internos correspondientes:

( )( ) ( )

( )( )

1 11 2 21 1 1 1

1 1

12 311

1 1

; (1 2 3 )(1) (1 2 3 )

1 1 1 ( 1 1 1) 0

2

h wh w x x dx x x dx

w w

x x x h w

w w

α− −

−

= = + − = + − =

⎡ ⎤= + − = + − − − + + → =⎣ ⎦

=

∫ ∫

1 0α∴ =




( )( ) ( )

( )

( )

1 12 2 2 32 2 1 1

2 2

123 4

21

2 2

2

; (1 2 3 )( ) ( 2 3 )

2 3 1 2 3 1 2 3 42 3 4 2 3 4 2 3 4 3

23

43

h wh w x x x dx x x x dx

w w

x x x h w

w w

α

α

− −

−

= = + − = + − =

⎡ ⎤ ⎛ ⎞= + − = + − − − − → =⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

=

=

∫ ∫

23

24 22

α= → ∴ =

( )( ) ( )

( )

( )

1 13 2 2 2 3 4 23 3 1 1

3 3

12 41 2 3 4 3 5

11

3

23 3

1 1 2; (1 2 3 ) 2 33 3 3

1 2 2 32 2 33 3 3 3 3 2 5

1 1 2 1 3 1 1 2 1 3 83 3 3 2 5 3 3 3 2 5 15

13

h wh w x x x dx x x x x x dx

w w

x x xx x x x dx x x

h w

w w x

α− −

−−

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = + − − = + − − − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎡ ⎤⎛ ⎞= − − + + − = − − + + −⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦

⎛ ⎞= − − + + − − − − + + → = −⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞= −⎜⎝ ⎠

∫ ∫

∫

( )

12 51 1 4 2 3

1 11

3 3

3

2 1 23 9 5 9 9

1 2 1 1 2 1 85 9 9 5 9 9 45

8

x xdx x x dx x

w w

α

− −−

⎡ ⎤⎛ ⎞= − + = − + =⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦

⎛ ⎞= − + − − + − → =⎜ ⎟⎝ ⎠

−=

∫ ∫

158 3

45 315

45

α= − → ∴ = −

• Por tanto:

( )023

OGBh

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

← Vector de coordenadas




Problema 2: Sea 2P≤ el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a dos con coeficientes reales, y el producto interno en 2P≤ , definido por:

( )2

0 1 20 0 1 1 2 2 22

0 1 2

( )2 3

( )p x a a x a x

p q a b a b a b Pq x b b x b x ≤

= + += + + ∀ ∈

= + +

Obtener una base ortogonal de 2P≤ , a partir de la base { }21 ,1 ,1B x x x= + + + . SOLUCIÓN: • Utilizando el proceso de Gram-Schmidt:

( )( )( ) ( )( ) ( )

( )( )

( )( )

( ) ( )

1 1

21

2 1

2 2 1

1 1

22 1

2 21 1

2 2 22 2

3 1 3 2

3 3 1 2

1 1 2 2

23 1

1

1 1 1(1) 2(1)(1) 3(0)(1) 3

1 1 1(1) 2(1)(1) 3(1)(1) 6

3 1 1 1 1 1 11 (1 ) 16 2 2 2 2 2 2

11 1(1

w v

w x x

v ww v w

w w

v w x x x

w w x x x x

w x x x x x x w x x

v w v ww v w w

w w w w

v w x x

=

∴ = + +

= −

= + + + = + + =

= + + + + = + + =

∴ = + − + + = − + − − → = + −

= − −

= + + =

( )

( )

23 2

2 22 2

2 23 3

) 2(0)(1) 3(0)(1) 1

1 1 1 112 2 2 2

1 1 1 1 1 1 32 2 2 2 2 2 2

1 1/ 2 1 1 1 2 11 (1 )6 3/ 2 2 2 2 3 3

v w x x

w w x x x x

w x x x x w x

+ + =

⎛ ⎞= + − =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞= + − + − =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞∴ = − + + − + − → = −⎜ ⎟⎝ ⎠

• Finalmente: 2 21 1 1 2 11 , ,2 2 2 3 3OGB x x x x x⎧ ⎫= + + + − −⎨ ⎬

⎩ ⎭ ←Base ortogonal




Problema 3: Sea 2P≤ el espacio vectorial real de los polinomios de grado menor o igual a dos con coeficientes reales, y sea el conjunto { }21,1 ,1B x x x= + + + una base de 2P≤ . Determinar a partir de B una base ortonormal de dicho espacio, considerando el producto interno en 2P≤ definido por:

( )2

1 1 11 1 2 2 3 3 22

2 2 2

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )p x a b x c x

p q p x q x p x q x p x q x Pq x a b x c x ≤

= + += + + ∀ ∈

= + +

donde 1 1x = − ; 2 0x = ; 3 1x = . SOLUCIÓN: • El producto interno dado es: ( ) ( 1) ( 1) (0) (0) (1) (1)p q p q p q p q= − − + +

• ¿B es ortogonal?: ( )1 2 11 (1)(0) (1)(1) (1)(2) 3 0v v x⎡ ⎤= + = + + = ≠⎣ ⎦ ← B no es ortogonal

• Utilizando el proceso de Gram-Schmidt:

( )( )( )( ) ( ) ( )

1 1

1

2 1

2 2 1

1 1

2 1

1 1 1 1

1

3

11 (1)(1) (1)(1) (1)(1) 3

w v

w

v ww v w

w w

v w

w w w w

=

∴ =

= −

=

= = + + → =

2313

w x∴ = + − (1) 1= 1x+ − 2w x→ =




( )( )

( )( )

( ) ( )

3 1 3 2

3 3 1 2

1 1 2 2

23 1 1 1 1(1) (1)(1) (3)(1) 5

v w v ww v w w

w w w w

v w x x

= − −

= + + = + + =

( ) ( )( ) ( )

( )

23 2

2 2

2 23 3

1 (1)( 1) (1)(0) (3)(1) 2

( 1)( 1) (0)(0) (1)(1) 2

5 2 21 (1)3 2 3

v w x x x

w w x x

w x x x w x

= + + = − + + =

= = − − + + =

∴ = + + − − → = −

• Por tanto: 2 21, ,3OGB x x⎧ ⎫= −⎨ ⎬

⎩ ⎭ ←Base ortogonal

• Para la base ortonormal:

( )

1 1 11

2 2 22

2 23 3 3 3

3

2 2 23

1 1 1(1)3 3

1 1 1( )2 2

1 2 2 1 1 2 2 1 1 6 2;3 3 3 3 3 3 3 3 9 3

1 2 3 2 3 23 2 3 2 32

3

e w ew

e w e x xw

e w w w x xw

e x x x

= → ∴ = =

= → ∴ = =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞= = − − = + − − + = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∴ = − = − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

• Finalmente:

21 1 3 2, ,2 33 2ONB x x

⎧ ⎫⎪ ⎪= −⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

← Base ortonormal




SUBTEMA: COMPLEMENTO ORTOGONAL Problema 1: Sean 2 2M × el espacio vectorial de las matrices de 2×2 con elementos reales

sobre el campo de los reales y ,a b

W a b Rb a

⎧ ⎫−⎡ ⎤⎪ ⎪= ∈⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭

un subespacio de 2 2M × . Con el

producto interno en 2 2M × definido por:

( ) ( ) 2 2,TA B tr AB A B M ×= ∀ ∈ Determinar: (a) El complemento ortogonal de W.

(b) La matriz de A cuya distancia a la matriz 1 11 1

B ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

sea mínima.

SOLUCIÓN: (a) El complemento ortogonal se determina con: ( ){ }2 2 0;W v M v u u W⊥

×= ∈ = ∀ ∈ .

• Se proponen los vectores: 2 2x y

v Mz w ×⎡ ⎤

= ∈⎢ ⎥⎣ ⎦

y a b

u Wb a−⎡ ⎤

= ∈⎢ ⎥⎣ ⎦

.

• Se realiza el producto interno ( ) 0v u = :

( )

( ) ( ) 0

x y a b x y a bv u tr

z w b a z w b a

ax by bx aytr ax by bz aw

az bw bz aw

a x w b y z

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞− + +⎡ ⎤= = − + + +⎜ ⎟⎢ ⎥− + +⎣ ⎦⎝ ⎠

= − + + + =

• Para que se cumpla la expresión anterior:

0 00 0

( ) ( ) 0a x w b y z≠ ≠= =

− + + + =




• Es decir: 0

0

x w x w

y z y z

− + = → =

+ = → = −

• Con los valores anteriores, el vector 2 2x y

v Mz w ×⎡ ⎤

= ∈⎢ ⎥⎣ ⎦

propuesto, se transforma en

w zv

z w−⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

.

• Finalmente:

,w z

W w z Rz w

⊥ ⎧ ⎫−⎡ ⎤⎪ ⎪= ∈⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭

← Complemento ortogonal

• Otra solución para determinar el complemento ortogonal es considerar el mismo vector

2 2x y

v Mz w ×⎡ ⎤

= ∈⎢ ⎥⎣ ⎦

, y como vectores u , a los vectores de la base canónica del subespacio

W:

.

1 2

1 0 0 1,

0 1 1 0canB

u u

⎧ ⎫−⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭↑ ↑

• Y realizando los productos internos:

( )11 0 1 0

0 1 0 1

0

x y x yv u tr

z w z w

x ytr x w x w

z w

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞−⎡ ⎤= = − + = → =⎜ ⎟⎢ ⎥−⎣ ⎦⎝ ⎠




( )20 1 0 11 0 1 0

0

x y x yv u tr

z w z w

y xtr y z y z

w z

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞⎡ ⎤= = + = → = −⎜ ⎟⎢ ⎥

⎣ ⎦⎝ ⎠

• Obteniéndose, al igual que en la primera solución, que el vector v inicial se transforma

en w z

vz w

−⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

, y por consiguiente el complemento ortogonal es:

,w z

W w z Rz w

⊥ ⎧ ⎫−⎡ ⎤⎪ ⎪= ∈⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭

.

(b) Para determinar la matriz A cuya distancia a la matriz 1 11 1

C ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

sea mínima, se utiliza:

C A B= + donde A W∈ ; B W ⊥∈ y 2 2C M ×∈

• Considerando los vectores: a b

A Wb a−⎡ ⎤

= ∈⎢ ⎥⎣ ⎦

y w z

B Wz w

⊥−⎡ ⎤= ∈⎢ ⎥⎣ ⎦

, y sustituyendo

valores en la sumatoria anterior, se tiene:

1 11 1

1 11 1

C A Ba b w z

b a z w

a w b zb z a w

= +

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦− + −⎡ ⎤ ⎡ ⎤

=⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Igualando términos:

1 (1)1 (2)1 (3)1 (4)

a wb zb za w

= − + →= − →= + →= + →




• De (1): 1w a= + ; sustituyendo en (4): 1 1 2 0 0a a a a= + + → = → = • Por tanto: 1w = • De (2): 1b z= + ; sustituyendo en (3): 1 1 2 0 0z z z z= + + → = → = • Por tanto: 1b =

• Con los valores encontrados se tiene que: 0 11 0

A W⎡ ⎤

= ∈⎢ ⎥⎣ ⎦

y 1 00 1

B W ⊥⎡ ⎤= ∈⎢ ⎥⎣ ⎦

• Donde 0 11 0

A W⎡ ⎤

= ∈⎢ ⎥⎣ ⎦

← Matriz cuya distancia a la matriz 1 11 1

C ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

es mínima.




SUBTEMA: DESIGUALDAD DEL TRIÁNGULO Problema 1: Verificar que los vectores (1 5 , )z i i= + y (5 , )w i i= − que pertenecen al espacio vectorial C2, satisfacen la desigualdad del triángulo respecto al producto interno definido por:

( ) 21 1 2 2 1 2 1 25 ( , ), ( , )z w z w z w z z z w w w C= + ∀ = = ∈

donde 1w y 2w son los conjugados de 1w y 2w , respectivamente. SOLUCIÓN: * La desigualdad del triángulo es: z w z w+ ≤ +

* La sumatoria es:

(1 5 , ) (5 , ) (1 5 5 , ) (6 4 , 2 )

(6 4 , 2 )

z w i i i i i i i i i i

z w i i

+ = + + − = + + − + = +

+ = +

* Calculando los productos internos necesarios: a) ( ) (6 4 , 2 ) (6 4 , 2 ) 5(6 4 )(6 4 ) (2 )(2 )z w z w i i i i i i i i+ + = ⎡ + + ⎤ = + + +⎣ ⎦

( )

2 2

5(6 4 )(6 4 ) (2 )( 2 )5(36 24 24 16 ) ( 4 )5(36 16) 45(52) 4260 4

264

i i i ii i i i

z w z w

= + − + −

= − + − + −= + += += +

+ + =

264z w∴ + =




b) ( ) (1 5 , ) (1 5 , ) 5(1 5 )(1 5 ) ( )( )z z i i i i i i i i= ⎡ + + ⎤ = + − + −⎣ ⎦

( )

5(1 25) 15(26) 1130 1

131z z

= + += += +

=

131z∴ =

c) ( ) (5 , ) (5 , ) 5(5 )(5 ) ( )( )w w i i i i i i i i= ⎡ − − ⎤ = − + + −⎣ ⎦

( )

5(25 1) 1130 1

131w w

= + += +

=

131w∴ =

* Sustituyendo valores en la desigualdad del triángulo: z w z w+ ≤ +

264 131 131

264 2 131

264 4(131)264 524

≤ +

≤

≤

≤

* Por tanto: 264 524< ← Se cumple la desigualdad del triángulo




SUBTEMA: ORTOGONALIDAD Y TEOREMA DE PITÁGORAS Problema 1: Determinar el valor de k para que los vectores:

( )f t t k= + y 2( )g t t= sean ortogonales, utilizando el producto interno definido por:

( ) 1

0( ) ( )f g f t g t dt= ∫

SOLUCIÓN: • Los vectores f(t) y g(t) son ortogonales cuando ( ) 0f g = .

• Por tanto, sustituyendo valores e igualando con cero:

( )

( )

14 31 12 3 2

0 00

1 1( )( ) ( )4 3 4 3

1 1 04 3

t tf g t k t dt t kt dt k k

f g k

⎡ ⎤= + = + = + = +⎢ ⎥

⎣ ⎦

= + =

∫ ∫

• Despejando:

34

k∴ = − ← Para que f(t) y g(t) sean ortogonales

Problema 2: En el espacio vectorial C2 se define el producto interno:

( ) ( ) ( )2

21 2 1 2

1

; , , ,n nn

z w z w z z z w w w C=

= ∀ = = ∈∑

donde nw es el conjugado de nw . Si ( ),z k i= y ( )2 ,2w i i= − .

(a) Obtener k C∈ , para que los vectores z y w sean ortogonales. (b) Con el valor de k obtenido en el inciso anterior, verificar que z y w satisfacen el teorema de Pitágoras.




SOLUCIÓN: (a) El producto interno dado es: ( ) 1 1 2 2z w z w z w= +

• Haciendo ( ) 0z w = se tiene:

( ) ( ) ( )

( )2, 2 ,2 (2 ) ( 2 ) 2 2 2 2 0

2 2 0

z w k i i i k i i i k ki i k ki

z w k ki

⎡ ⎤= − = + + − = + + − = + + =⎣ ⎦

∴ = + + =

(2 ) 2

2 2 (2 ) 4 22 2 (2 ) 4 2

k ii ik

i i i i

+ = −− − − − +

= = ⋅ =+ + − + 2i− 2

4 2 4 24 1 5 5

i ii

− + −= = +

+−

4 25 5

k i∴ = − + ← Para que z y w sean ortogonales

(b) Teorema de Pitágoras:

2 2 2z w z w+ = +


( ) ( ) ( ) 4 2, 2 ,2 2 , 2 2 ,35 5

z w k i i i k i i i i i i⎛ ⎞+ = + − = + − + = − + + −⎜ ⎟⎝ ⎠

6 3 ,35 5

z w i i⎛ ⎞+ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

o bien: ( )1 6 3 ,155

z w i i+ = −

( ) ( ) ( ) [ ]1 1 16 3 ,15 6 3 ,15 (6 3 )(6 3 ) (15 )( 15 )

5 5 251 (36 1825

z w z w i i i i i i i i

i

⎡ ⎤+ + = − − = − + + − =⎢ ⎥

⎣ ⎦

= − 18i+ 2 2 1 19 225 ) (36 9 225) (270)25 25

i i− − = + + =

∴ ( ) 545

z w z w+ + =




( ) ( ) ( ) [ ]1 1 14 2 ,5 4 2 ,5 ( 4 2 )( 4 2 ) 5 ( 5 )5 5 25

1 (16 825

z z i i i i i i i i

i

⎡ ⎤= − + − + = − + − − + − =⎢ ⎥⎣ ⎦

= + 8i−

( ) ( ) ( )

2 2 1 1 94 25 ) (16 4 25) (45)25 25 5

2 ,2 2 ,2 (2 )(2 ) 2 ( 2 ) 4 2

i i

w w i i i i i i i i i

− − = + + = =

⎡ ⎤= − − = − + + − = +⎣ ⎦ 2i− 2 24

454 1 4 95

i i− − =

= + + = =

• Sustituyendo valores en el teorema de Pitágoras:

2 2 254 9 455 5 5

54 9 455 5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= +

• Finalmente: 54 545 5= ← Queda demostrado el teorema

Problema 3: Obtener con el producto interno usual en 3R , un vector unitario que sea ortogonal a los vectores ( )1,1, 1x = − , ( )2,1,2y = − y ( )1,0,1z = − . SOLUCIÓN: • Se propone el vector ( ) 3, ,v a b c R= ∈

• Para que sea ortogonal a los vectores x , y , z , se realizan:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

, , 1,1, 1 0 ............(1)

, , 2,1,2 2 2 0 ....(2)

, , 1,0,1 0 ...............(3)

v x a b c a b c

v y a b c a b c

v z a b c a c

⎡ ⎤= − = + − =⎣ ⎦

⎡ ⎤= − = − + + =⎣ ⎦

⎡ ⎤= − = − + =⎣ ⎦




• De la ecuación (3) se tiene que: c a= • Sustituyendo en la ecuación (1): a b a+ − 0= → ∴ 0b = • Comprobando en la ecuación (2): 2 2 0a b c− + + = → 2a− 2b a+ + 0= → ∴ 0b = • Por tanto: ( ),0, Vector ortogonal a , ,v a a x y z= ←

• Asimismo, para que el vector v sea unitario, se realiza:

( )( )( ) ( ) ( )

12

2 2

1

1

,0, ,0, 1

v v v

v v

v v a a a a a a

= =

=

⎡ ⎤= = + =⎣ ⎦

2

2

2 112

12

a

a

a

=

=

= ±

• Finalmente, el vector unitario pedido es:

1 1,0,2 2

v ⎛ ⎞= ± ±⎜ ⎟⎝ ⎠

← Vector unitario y ortogonal a los vectores x , y , z

algebra.- problemas resueltos - patricia lopez acosta

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