ejercicios resueltos algebra lineal ulpgc 2

5/11/2018 Ejercicios Resueltos Algebra Lineal Ulpgc 2 - slidepdf.com

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~. EstmuliM en funci6:n dea e~rango del sis~ema de vecrores M ~ { O. Q:, a) '~1. a.

1 I . ) • ( , a " 1" 1)} del espacio vectorial !eaJR 3 -

Soiudou.:

Plaareando e] determinante de lamatnz asoeiadaal sistema de veetores Me~gu:a]Jimdoloa 0 para esmdiar losvalores del pM'Mnetro II,:

11 1 , d ;

M ,::::; a 1 = a+'Ci ' +.a -il~-I-I;;;; _a3 +3a-2 =0 ~ aJ -3,a:+ 2 . ~ 0

all

son:

a ~ 1 (rafz dohle) y a= - 2.

Per tanto:Para a : ; C : 1 A ,ll :;t - 2 se tiene ,que el sis$e,ma de vectores ,M 'eli 3, PO[ ~oque es

un sistema lmeelmente independiente.

Para, llz::l~2 el rango de la matriz M es z toque indica, que s6~o dos vectores scm

linealimen~e independientes,

Para a= 1 , tcdos lo s elementos de M seran l , elrange de M ser,a , 1 s610 existe

un vector linealmsnte ~ndlependiente.

~~ Expresar el vector IV ' ' ' " ' (-,50.8,11)'como comb:i-nac~6n lineal de ] , I O B vectores x : : : = :

.0,3.4).. y = (l.2,5)~z :::(-1,2,3).

Soluciom

Escrfhiendo v ecmeeembinacion lineal de x, y, z

v ~ O!x+ /3 y+ yZ ~ . a (1.3.4) + e 0.2,5) + y(-1.,2.3) ""'(-5.8,11 ) ,de donde;

a+ .8~ y ""'-5 }

3a+ 2 P + 2 1 " ; ; : ; 8 .

40 : ,+5/3 + 31 ' = = 11

58



Reso,lvienoo elsistema de ecuaciones anterior, renemos.:a :::: 'O .tJ =~1I2 . y:: 912

Dedondie"

Y pedemos dee i r q) l !J Ie(-4,8.1) son las eoordenadas d e v en Iabase <x. y, 2:>

X Las coordenadas de un: v ecrorx referidas al a t base 1 3 : ; ((1.1), ,~O,,-l)} SO[lO"

3). Halle las ccordsnadas de-x' en.base cancnica de R 2,

Aplican do ],af6 rm u ]a d el cambi 0 d e base:

Bx'=x

siendo x las coordenadas del vector em.base canenica

B la m atriz de la. base

x' las eoordenadas de,]vector en base B

Obtenemos e] signientepmdacto metria-vector

Reselviendo, hellamos las coordenedas del vector X en canonicas deIR 2 que SlO]],

x ~ (I.-2)

A(Sea el vector x cova s coo rd enadas en base canonic III de R ~ scm (L, 2, - I), hallar

sus coordeaadas en la naeva base B = = Ht.l~O). ,(0,1.-1),. (2.1,l)}

Aplicando ]a f6m lu la. del c am bi 0' d e base:

Jjx' = x

siendo x las ceordenadas de] vector en base canonica

B la maw de Innueva base

x' 1 i 3 i S coordenadas del vecter en base B

Obtenemos el signieme sistema deecuaciones compatible determinade:



[I 0 2 ] - X ' J ' ( ' 1 J Ii 1 II Y~' , = = 2o -ill]z ~l

Resolviende el sistema haflamos las coordenadas del vectorx' en base . B

x' = = (0.3/2." 1I2)

x - Sea H un subespacio de lR4cuya base es «1,1,1,1), (1,1,l,O), (1..1.0,0».

Hallar dim en sion yecuaciones cartesian as d e H.

Partiendo d e que, todo vector de H puede escribirse como oombinaci6n

lineal de los vectores de la base.esen bimos,

(x. y , Z ,O t) =: a(l.l.i.n + 1 3 ( 1 J.l~O)+ J{1.1.0.0)

a+{3+r=x-

{ t+ .B+y=y

a+ /3 =z

Ct:=t

de donde se obtiene x= y

Siendo el subespaeio H= {(x, )1,(:. t)€ Ii4j x-y =O}

Otra forma de expresar 1!lO vector genera] como combinacion lineal de ]O S

vectores de la base es:

1 1 1 x

1 1 1 y, . , ; : 0

1 10 z

1 0 0 t

Resolviendo e] determinante se obtienen las ecuaciones cartesianas

x - y = o

6. Sea el subespacio S deJRJ cuya base es {(], 2,-1). 0(0, 1] 2)}. MaHar sus

ecuaci ones cartesianas,

Solucien

La dimension de S es 2 pOT tener dos vectores en In base.



60

Espae ios Voo tt!nales Y·A\p1Ifcacrones l ineales

Exp .re san do un vecto r g en eral v= ( x, y, z) como ,combimJ.ci ,6nl inea~ de 108

vectores de la base ohtenemos,

1 0 ~.

2, ~ y';;;;;Sx-2y+z;;;;;O

~1 2 Z

Siendo el su~bespw::io S:::: {(x, y, z) E nt~15x -1) +z:: : : 0 J

7.- Se'a ,e! sebespacio T de I F ! l 4 cuya base es Hl.2,O.1). (- l l i .J.ClI .O)}. RaHar

djmension y ecuaeiones p .mnemcag de T.

SoJudou:

Ex.pres,anciOUilll vectcr general de T como, combinacien lineal de los

vectores de la, base, escri bimos,

Siendo el subespaeio,

r {(x, y , z; t} E I P ! ~ '1(0; - f 3 ' , 20; + f 3 ~0, a ) 1 , a" f 3 E lR}

l r - Sea eI subespacio U de 1 R ? generado po:F el sistema de vectores {(I, 2, 1). (0,

~, -]), (1 ,l.,2)}. H allaruna base , d .:im e]}s:~ 6ny ecuaciones eartessanas.

Solud.on:

Es necesario hallar le i fango de] sistema que genera Uplara saber !ill

dimension y extraer una base.

La matriz aseciada al sistema de vectores es:

[

T h :[I ~]

2 I I

I -I 2

Cuyo range es 2,por tanto el sistema no esbase de U Y hi dimension de U



Espacio s ~ecto :l'iia Jes y A p l ic ac iones . lin eaT :es

Una base de U puede ser eualquier parde vectores linealmeme

~ndepenwentes d.e:~sistema, porejemplo :~( 1.2.] ).,(0,1,-1»

Expresando un vector general v = (x, Y. z) como combinaci6n lineal delos

v ecro res d e la base o bten emes,

~ 0 x

'2 -m y l ; ; ; : -3x+ y+z=o

m 1 z

S l- D a do el subespacio V = { x € I r e4I (a - (3 .a ,a + j3~O )j.a~f 3 E lR} . Ha lla r base y

dimension y ecuac icnes cartes ianas ,

La d im ens ion d e Ves 2 p or existir s olo d e s p s rametro s.

Una base de V consiste en encontrar dos vectores Iinealmenteindependientes de V sustituyendosos velures de los parametres, por ejemplo:

a~ 0 , 1 3 : : : : ; 1 \>~::;; (-1,0,1,0)

Base de v= «1,1.1.0). (-1.0,1,,0;'>,dim. V~ 2

Tenem ns q ue v := (x, y, z t)= (a - Ila, a + / 3 . 0 ) , d e donde,

x= a-J3~ y=a, z~Ct+ f3 , 1",,0

Quedando .x.: y ~I J l = = Y + { 3pm tanto - x + y = - Y + z

de donde x - 2y + z ::;;0

V={{x, y,Z., t) E . ]R.4 f x - 2 y + z :::; ;0 , t ; ; ; ; ; . 0 1 que son las ecuacionescartesi anas de V

H).- S e a . el subespacio W = = { ~E R~ l x~ y + z ~ . o J . Hallar base, dimension y

ecuaci ones-parametric as,

Sol.ll lc.i.on:

62



Las eeuaciones de W son un si:nema de eeuaciones lineales .homogenoo

con una ecua.ciOn y tres inco gnitas cuya ma triz aso ciad a es A= [1 ~ ~ ]

D im W .::= ;W parim.etrClS de ta solucion ~. 2

n lmando como par.am .etto s d o s cualesquiera de las, inc6gmtas, .por ejemplo

y y z la solucioo genera] sera: (y ~ z y , z )

parn.x =O. y::: 1 U. 1..0} yparn x·~ 0. , y~ ' I {-l,O,I)

Unabase deW sera: «1, [.0), (-lli.,O,lli»

P I . - Sea el subespaeio H = { r € 1Pl~ix::;;;} . .HaUa base y d im e n s : ~ o o -

Las ecuaciones de .Hson un sistema de. ecuaciones lineales homogeneo

con una ecuacion ytres incognitas cuya matrizasociada es A ~ [1 0 0]

Obviamente los parametres son y y l.la solncidn general sera: (0, y , . z )

Una. base de H Senl:~(O. 1,0'), (.0,.0,1»

~- Dados des subespacias : S;;;; <H,:o.,l),(O.,lli,O» y T = - «l.l.O),(O,O.W.» de 1R 3

a)'.Hallar: S + T YS n Tdando unabase de cada uno.

Sol.uci6n:

Hallando S+ T:

EI subespacio S + Testa generado por el si sterna de vectores formadopor

las bases de S O J de T, esto es,

63



Esp a.cIos V emoriia lles y Ap lic ac lones L .:il ie ale s

s + T = L{U,O ,1}. (O~ lto). (1 .1 ,0 ), (O ,O ,l)}es necesarioconocer ,eltango de este sistema de vectores, d e ahi su dimension y

extraer una base.

E[ rango del sistema que genera S + T es el rango de au matriz asociada,

queesS, por tanto, dim (S +T) = =3, en este case podemos decir que S + T ::::IR3

Hallando S nT:

Sabiendo ,que 8i un vector v 'E S (")T ~ V € S A V € T, esneces arlo hallar

un vector qJue.satisfaga las eeuaciones eartssianas de,ambos subespacio s,

Ecuaciones cartesianas de S :

lO x

o 1 y =z-x=O, S={(X.y.Z)EJR1/x-z==O}

1 < 0 z

Ecuaciones cartesianas de T:

] 0 x

I] 0 y= x - y= :O . T = = { ( x ~ y, z)E m ? tx - y = = O }

o 1 z

S n T = = { x E n e I x - y = O ~x - z =. o } (I

SnT = {i € R3 / x = y : : ;;z}

1 0 q u e es 10 mismo

La dimension de S (1T es,. obviamente 1. y una base sera; «1., Ll )

Aplicando la frirrnula de las dimensiones,

chm(S+T)=d1imS+dim T-dim (Sri nse ccmprueba que,

dim (S +n= 2 + 2 - 1 = 3



.Espac:tos Vector ia ies y A ip licac ionBS l iinea les

13 .~ Sean E ... { x E lR 3, X = = (0. y " z ) } y F = L{ 0,1.1) • O.2,3)J. H eller base y

dim ension de E + F YE ("')P.

Solucion:

H aUando las bases de E y F:

La dimension de E es 2 p :u es s6 ]0 hil ly dos pa rame tre s, por 10 que una base

de E es < ) (O . l~O ), ,(0,0,1)>

Es neeesano comprobar si los vectores que generan. F soon linealmente,

entonces ccm s,ti'tu ir,an la base de F.

Hallando el rango de la matriz asociada al sistema de vectores que genera

F.

[

1 ~]_

] 3

Cuyo range es 2, el sistema es Iinealmeme independiente y genera a F ,

entonces es base de F.

Halland'o E ' + F :

El snbespaclo E + Festa. generado per el sistema de vectores formado por

[ as bases de E y de F, esto es,

E + F := L{(O .1 .0 ), ~O,O,]).(I,1,1). 0,2.3) ~

es necesario conocer el range de este sistema. de vectores, de ahi su dimension yextraer una base.

E] range de] sistem a q ue genera E + F es el rango de su matriz asociada,

que es 3,.por tanto dim (E +.F):;;; 3, en estecaso podemos decir que E + F = IRJ

Hallando E nF:

Sabiendo que si un vector VE E n F ==} vEE 1\ lJ E F. es necesano haflar

un vector que satisfaga las ecuacioaes cartesianas de ambos subespacios,

Ecuaciones cartesianas de E :

65



. E s p a c i i O l s Ved o ria le s y A , p llc ae r.o ne s L in ea le s

Partiendo de las ecuaciones parametrices tenemos ( . t : . y, z) = (0" y. z )

De donde ze 0 y=y z = z

E = = { e x ; y ,Z ) E ~ ? I x = = o }

I Ix

I 2 y =x-2y+z; ; ; ;O. E={C:t .}" .Z)E n:e lx -2y+z=O}

i l l 3 zI

E riF = { X E l R ? I x ; ; : : ; O~x-2y+ z " " o J

Las ecuaciones de E n F son un sistema de; ecuaciones lineales

homogeneo Cion des ecuaciones y tres incognitas cu y ,a matriz asociada es

[ I 0 0 ]A : ; ; ; ; ; I -2 1

N C O parametres de la solucion :: W incognitas - rgA .::3 - 2= I

Dim E n F = N° parametres de la solucion ::: 1

Tomando como parametro y, la solucion general sera: (0, y, -2)')

Una base de E nFes «0,1.-2»

"- Hallar x e y para. que el vector (2, 1, x. y) pertenezca al subespacio generado

PG ,)fos vectores (6. ], 2, 0) Y (-2. 3, 1, 1).

Soludou:

Primero es necesario hallar el rango de] sistema de vectores que genera el

subespacio que es el ran go de su matriz asoeiada,

6 -2

1 3

2 1

0 1

que obviamente es 2, el sistema es linealmente mdependiente par tanto es base del" "

subespacio,



!Espae ios Vec to ria les y Apl icaciones IU l 1ea le s .

C om o el v ector (2. 3•.x, y) peneneceal su bespacio p uede escribirse comooombinacl!o-nlineal de los v ectcres dela base,

(2, 3 , x, y)= a (6" 2. 1, 0) + . ( 3 (-2, 3 , 1 , 1)

de donde se obtieneel sistema:

00+2,6=2

a+3/3 =3

20: + / 3 = = .x ,

f3~J

R esol v i en d o [as dos ecuaciones prim eras si tiene,

Susti tuyendo en las dos tiltimas tenemos,

E1 vector buscado es (2,3,3/4.9'/4)

J ) f Dado ei sistema d e veetores de lR:~Hl . j2~O,1 ) , . (2,-1.1,2), (2 ,0 ,1 . ,1 ) , (l.l,~,l)]a) P robar que generan un sebespacio de 1R 4

. de dimension 3 .

b) Hallar mpar.a ,que el vector v ; (3., 0, I. m) pertenezea a dicho

subespacio.

c) Hallar T a s coordenadas del vector v respecto de una base dicho

subespacio.

Solucion.:

La matriz asociada a] sistema de vecroreses

1 2 2, 1

2 -1 0 !

0 1 1 ]

1 2 2 1 I

Como las filas la y 4a son iguales , el range de A es < 4. Si tomamos un menor

cualq uiera de orden 3, por ejemplo,

67



EspaotQS.Vector ia les y . A p lic ac ion .es Unea les

1 2 . 2 1

2-1 0=-1

I

1 °1 1 ·

Lae go. los vectores (11 2, 0, 1), (2, -r, 1, 2) Y (2. O. 1. 2.) son I inealmente

mdependientes y son una base de, un subespacio de dim ensiO n 3 .

2 2 .r

-1 0 y=0x~t

1 1 z

2 . 2 l1

Y las ecuaciones cartesianas del snbespacio son: U x , y.z. t)E m : 4/ x ~ t :: : : :O}

b) Para que d vector tV ={3. 0, 1. m) pertenezca al subespacio dado debe

curnplirse

x~t=O

es decir, 3 - m = 0

m=3.

EJ vector buscado es (3, 0, 1,3)

){ Dada la aplicacidn f :]Rl ---7 lR2

definida por: f(x;; X2' XJ) :;; (x., X : i : +X J ) Se

pide:

2)Demostrar que es lineal .

b) Hallar la matriz asoeiada referida a ] , ! I ! S bases canonicas de l l I t 3 Y m : . i .

c)Hallar el Nucleo, su dimensi o m , una base y sus ecuaci ones.

d) Haller la imagen, su dimension.

e) Clasificar 1&aplicacion.

Sot l i lcmn.:

a) Para que j'sea una aplicacionlineal son condiciones necesanas y suficientes:

10 0 fix + Y ) = = f(x) +Ify) rt x,Y e IR~

20 0 !(Ax) =: "A/ (x) 'r f XE]lt1 /\ \lAc R

Desarrol lando10 anterior:



Espac io s Vecto ria le s y A p i l li cac iiones L inea les

r'f[(l1'Xl.~)+(Y~' Y2' Y3)l= f(.l1·,X:z.~)+ ! (YP·Y2 .Y3)

f ( X a +YI'Xz+)'z,~ + Y3 )::(X ..~ + ~)+ (Y l.Y :l, + Y3 )

(X ; + YPXl +Y:1.+ X3 +Ys)"" (4 + y •• ;S +Y2 + X J . +YJ)

2" f[A('1.X:!: .~)] =Af(x..x:l'~)

f (I J .X1 .)~X2· ';Lx"3 )= ;~ (~ .~ +X3)

(ii.~. A X : +A~) :;;;;A .J ; ,A X z +A X J }

Curnplieadose ambas condiciones, entonces f es una. .apbcad6n lineal.

b) Hallando la matriz asociada a las bases canonicas:

Hallamos los transform adcs de ]'QS vectores de Ia base canomca de 1R :

f(el) =1(1,0 •. 0 ) : ; ; ; ; ; (I,O); J(e'l> = 1(0.1.,0);;:: (0,1),; f(e3 ): /(0,0.,1):: (0,1)

Siendo lamatriz asociada:

( 1 0 O JA=·0.1 1

La forma matricial d e la aplicacion lineal sera:

c) Nucleo de Iaaphcacion: N{f) = { X E i 1 R3I f(x);: o J

Luego,

- ( 1 1 1 . :!(X)=Al:=(l . ._ 0 0 ) · · X : ! . : ( . . .O. .J0' 1 ] -0 I

.1:3

Quedando el siguiente sistema de ecuaciones,

De donde: - I t =;.1:2 ~ -X, por [0' que las.ecuaciones de] micleo seran,



Espac io s Vecta ria J l:e s: y Apl icaciones Lineales

Nff) : = : { X E l R 3 I(O.~.-~)}. d im N(j)~ 1 Base del N f J ' F . < . (O~1. -i».

d) Hallando la imagen de f

En una apbcaci6n lineal se tiene, segun la 'F,6rmula de Grassman :

dim m ? ; ; dim N(f) +dim ! m O O

De donde dim Im(f) = 3 - 1 ~ 2 ::::dim ]R 2

e) Como dim N(f) = 1 ' = t ; 0 =}la aphcacionno es myeetiva,

Come hn(f) ~ .RZ :}]a aplica.cibn es sobreyecu va,

Ii. S ea f :R;' .....,R . l definidapor. j" (x, y,z} = (Z l: - y, x ,. y + . 2 : ) . Haller suo

Nucleo, dimension y una base del mismo. Hallar la dimension del subespacic 1m

f

Hallando el subespacio Ndc]eo de!, N(f)= { X E l F e I I(x) = = o }

f (x, y . z)= (2x - y, x + y + z) ~(O,0) = = : : .

2x - y := O } 2x := y }

x+ y+z;;;;o':=} ~3x= z ·

Luego, las eeuaciones del Nucleo de/son:

N(f} = = {XE]RJ J(x,2x.-.3x)} dimN if) = 1,Base N (1)=«1.,2.-3»

Por ser una aphcacidn lineal. aplicamos la Fdrmula de Grassman:

dim IR~ :: dim N if) + dim Im(O

Por 1 0 ' qeeIa dim Im(/');;;; 3 - 1;;;;2 := : dim liz

18. Sea la aplicacion Jineal !:R 4 ~ Iill;;' defimda,

!(If\) =='ul -U;1 fC e'!);;;; u ~ f3 (e.):::: . u1 f(e,) = -u'z +uJ

Siendo { ep e 2 • €3' e 4} una base de ]Fr~y {up u ; 1 .. ~ l 3 } una base de III3..Hallar:

a) La matriz asociadaa la aplicacion linea] referida a las basesanteriores,

70



EspacIos Ve~:nialle6 y Ap:licaolofie6 Lineales

b) E I Nuch :~o,.la .lmagende la apUcac i6n y una base de eada uno.

c) Clasificar la splicacicn.

Saludon:

a) HaUando Jamaeiz asociada a la ,aplicaci6n lineal;

Sus colum nae estaran form adas por la s conrdenadas de los r ransformados

de Is. base {e1"e2,;,e'3' e~Jr-eferidoo a la base { U : i ' " -2 '~}" las coordenadas de estes

vec te re s se r,an,

La matriz aseciada a la apUcacion l ineal referida a amoas bases sera,

r

] 0 I 0 JA = = -:1 0. 0•....-1

o I 0 1·

Hallando el Nticleo de la aplicacion N(f);;;: {XE Ji31 {(x) =OJ

[

O J Xl + X:;. = O } - Xl = x4}

= = 0 ~ - XI - x~ ;;;;;: = = > x.,. = -.t.

ox2

.;, x~ ;:0 x: ;;;;;;

x ; ; : : ; ;4

.

Bntonces las ecuaciones del Niicleo de f seran,

Nff) = {.xE ]R4; i= {~X4,-X4'](,4,X4J} D im N if) ': L Base N if ) = «-1,-

i.i.nj»

Como, dim N if ) = = 1¢I = - I a . .splicacion no , e s inyectiva,

Hallando la dimension de ~aImagen y una base,

Como es una aplicacion Iinealeplicamos la Formula de Grassman,

dim Ilt.t = dim N if) + dim Im(j)

Por lo que dim Jm(f) - = 4 - 1 ....3= dim I r t3

~ la aplicacion es sebreyectiva. Una

base de Im(f) = <O,-l,O),(O,O,l).(l~O,O»



Espacios Vect'oriales yApi~ca.ciones Uneales

19. Sea f : : IR3-+ IR4 una a plie ae io n Iineal, SeaBl = { e ' ! ,el

• e3} una base de 1 : .3 y

sea, B] = {u1,ujUJ.u4}una base 00 J114 • Sabiendo que:

!(em ) =~ +3~, +4u$ +5u .4

f(e,J:= lUI +2u3 +4«4

!(e3) = = il.1 + 2~ + 3u3 +4u4

Sohlci:6n:

Si XE l ie y ,estal! 'eferido a [a base Bh yJ( X)E m4 y estareferido ala bl1ise

B2 , entonces las columnas de la mattiz a&OC] ada.a l a o aplicacion Iineal referida a las

bases BI.y B 2 serb las coordenadas de los transformados de los vectores de la

base B, referidosa la base 82• esto es:

La rnatriz sera,] 2 1

3 0 2 .A_

32 -I

5 4 . 4,

Siendo la forma matricial: Je x ) ~ Ax

HaUando el N ue lec : N {I) = {x E IR3 If (x) ~ O} , ma tric i a lmente sera,

2 : )

x -_-

- .~. 3...X....~~ '.xJ

x =--2 - < 5

Entonees las ecuaciones del N 0.(:[00 son,

)§' , Sea.e] endomorfismo f : T I t : . ~ ~ lR5definido por:

)'1 '~' .l1 ~.x~ Y : : = -4x~ +A.x~ )'3 = -..'f1+ / ; 1 , . 4 A E fit



Hallar;

a) La matriz asociada al endomorfismo respecao a una. base gene-rica.del~

b)l.Para que, valores de A el ,endomorfismoJes inyectivo?c) Para los valores de A en que f no es injective, hallar las eeuaciones

parametncas del Niicleo y su dimensl~6n. .

a) las columnas de la rnatriz aseciada a la Biplk:aci6n lineal referidaa una base

generica de,lR.3se construyen con las coordenades de los transformados de los

v ectores de esa base que SOD:

f,(el) = 1(1,.0,0) = = n~o.~-[)f{ e2) =f ~o.,l~O)·~~O~-4.A.)

f(e3) ."" f (0,0.1) = (-ill.A~O)

Luego [a matriz asociada a,Ia base es,

A = P0

- I J4 1 . A

-1 ). 0

' O J . Hallando los valores de A que hacen a 'f inyectivo:

fin yectiv o ¢;;} dim.N(t)= 0 = = = > (per la F6ITJ1Llllade Grassman )

dim Ii~: dim N(f) + dim. I1n(f) = > dim Imlf) ~. 3 :=: rg A

Paraque el rg A sea 3 debe verificarse que.

1 {I

I A I I = 0 -4

-] 1

-1

A : ; C 0= ;l.?l-4 ~ o = = - 4.:;t 2AA. ~-2

o

Lu ego .j'es u n end ornorf ism o m yectivo si A :;I i:2 Y A ¢-2 .

c)AnaJizando los valores de A :

7 3



'61~.r D a das las aplicaciones lineaJ !es f y g defini,das;

f(x, y , z):: (2x + y" y + z)

g (x, y) ~ (2x, 2y. x + z)

Hanan:. 1 3 1 ) El N'licleo y la [margen de j; djmens:~6n y una base de ambes,

b) Lamatriaasociada af referida a las nuevas base's:

B ~ H m , 0, 0). (0, 1, 0), U~l l , 1) y C::: «i, n , (O~])]c) La matriz asociadaa ta aplicacion g 0f refenda a ]as bases canonicas.

s) HaUoodo el Nucleo de N ( f ) ; ; : ; ; { X E m : ? 1!(x)=O}

f t x ) : : : = f (x, y, z) . : : : ( 2 - x + y , . y + z) ~ (0,0.0)

~y Z }2 ' , X " i F , Y ; , - , ' ,O } " ' " X ~ -,-, ~'-""> . ~ 2 2")'+l~O _ _

y=-z .

N(/) = = f i E SR3!j= = (~.~z,z) } dim N(j) = = L Base de, N(,f)== <0.-2.2»

Como la aplicacicn es lineal se eumple que,

dirn ~,~ =: dim Nif) + dim bn(j)

Par 10 que dim. Jm{f) ~ 3 - .~~ : 2



Esp aeio s Vec t· or,ia le s y A p l ic a.c io :n es l ' ineales

E l su be sp ac io Imagen de f esta generado par el sistem a de vectores de las

imagenes de una base, en este caso de Ia canonica:

como Ia dim Im(f) es 2, basta con tomardos vectores linealmente independientes

del sistema que genera Im (f) y tendremos l a o base. par ejemplo; «2,0».( i.i»

b) Hallando la mnriz de la aphcacion refenda a la s bases B y C:

Pnmero es necesario hallar la matriz de jrefenda. a las bases canonicas:

S tendo l a o matriz,

( 2 1 0 )..A= 0 1 LI

Las matrices asociadas a las bases B ' y C respectivamente son.

(1 I J 1 )

B= 0,,,1 1

o 0 1

( 1 O J '= I

1 ]

Las formclas de] cambio de base son,

( u ) ( 1 O ) ( U ' )v = = · 1 r "," c

Luego la rnatriz M referida a las nuevas ba ses sera ,

( 1 O Y I ( 2 1 0 1 ( 1 0 I I I ( 2M = C-

I

AB;; ; ; 1 1J 0 1 1) 0 1 I, = = I - 2

001

c) Hallando Ia matriz d e g o]. Para ello es necesario hallar In matriz de g referida

a las bases canonicas como, sigue:



Luego la m atnz asociada a.g ser~

(2 O J

H~ 0 2.

m 1

P er T h oque Iamstriz asociada 3.g 0 f sera.

22. Dada la aplicacidn lineal f :R2 - - - + ] F e tal que:

f(O,1)::; (ill.,n,[) 1(2,0):: (l;O,O)

Sepide:

a) Expresi6n mstricial de !lie:specto a las bases canonicas ..

b) Ex presion merricial de jrespeclO a las nuevasbases:

V::: {n, 1),. (O ~2)} Y W = = HI ~ 1. 1),(1.0,0). U, 2. OJ.}

S,ludon:

a} Para nallar la matriz asociada respeeto a las bases c.arn.onicas es necesario

encontrar las imagenes de los vectores de ]3 . base canonica de 7 ] R ~

f (2, 0} ~ 2/ n. O}= = (1, L 0) =}m. 0) :: lf2(l. 0, 0) :: (liZ. 0, 0).

Luego, lamatriz asociada a la aplicacicn lineal respecto a .h'ls c ; : a r n o m c a s es,._ ~

b) Las formulas del cambio de base en J R . ~ y :~? son respect] vamente:

76



Espae tos Vec I, or ia !u y Ap lic a. clo ne s L in ea le s

[' I ' ] [ J - 1 [ ] ' lI 1 1 1 l' 1 1 (I 1

y~ = .1 0 2... .. 0., 0 (1 2~ ( ; ~ J ', 1 0 0 I I 0 1 ) 2 v

Y 3 w ' , .

Siendo ~aexpresion matricial de f refendaa las nuevas bases,

( ~ . : ) . = ( ~ .~ l e i ) ,; .L -1 . - v

Y 3 W ' 2 = »

23. Sea la aplicacion linealde

R~~]R~

definida por la expresion:I(x. y. z) ~ (~y + Z " A x - \ I - 2;~y + 6z, x +Y t- Al)

Estudiar f segun los valores de ) , J , . . Hallar las dimensiones del Nucieo y de

13 Imagen.

Solution:

Hallando la expresion matricial de la apbcacion lineal. De las ecuaciones

d e Ia aplicacion se tiene que:

l(l.o , 0);;;;;(O, A . ~ ) f ~ O , ill, 0): (-t, 2 A L " ] ) f ( O . 0,1):: (1, 6,. .1)

De d.onde la matriz de la aplicacien referida a las bases canonicas es,

, [ 0 - ] I JA= A , 2A 6 .· . : ,

'I 1 A

Hallando ]05 valores de A que hacen rang:o(A) < 3,

o -1

1 . 4 1 = It 2A

1 1

I

6 ;;;::~~-,.1.-6 = 0=, A:= -2/\.A.;;;;; 3

1

7i



Si A I , > = -.2 y A ~.3:} rg A ~ : 3 : : : dim lmif) entonces dim N(f) ::::0 (por b.

f6mlwa de Grassmam)t , .por ' ]0 qjue es inyeetiva "l. pm ser un endomom.smo,

entonces 1eJ) biyec:liv .a. C om o esbJ iyecd va £am Jb:~ em .s 8Ui~yectiva. par 10 'que esU l m " l aU!~()morfism.o . .

A = ( : : ~ 1 1. 9 1 ) 1 Estudiarj" y ctasifieasla segun los v ak ires de a.

b ) Su .pon i!e ,ndo ,a = = m y sea g : lit3---+ Ii otra aplicac~6nlinea]. euya moo1Z

asociada es:

B = ( ~ ~ : JHallar la metriz asocieda 3.g 0f

Soblci.6n:

a) Hallando el rg A . para estudiar lo s v a lo re s de a , .

Eneonces para a :f. O.rg A. ;;;;; ;:;;dim lm{f) ~ r u m N(f} = = 0 y f sera inyecnva y

sobre yeetiva.es decir ,biyect]Y8i., (Isea UtlaJDltom.Drfiismo.

b) PU3..Q :: 1 lam atriz asocsada . a J . 13.aplieacion g (If sera el produeto de la m a triz

aseeiada . 8 1 . gpo r lamatriz aseciada af,quedando,

L a s ecuaeiones d e go!: I P i5. . . . - ? 1 R :'seran,

go/ex. y.2:) =(~- Z. J ' + z)

En forma matricial sera.

78



_ , [ X )l l 0 ~11g o f { x ) ; : : : ; BA x ; : : ; ; c l [ · . . . J y.

0 1 i l l ] ...l

iiSea J:lit3~]Rl la aplicacion Iineal dstermiaedapor:

f(~) =(-5~O~3Jl(e,) ~~O,-],,6)1 /{e3) = = (-5,-1,9)1

Hal],.:

a) Matriz aseeiada a freferida a las bases, c,aml,onicasy la claslficacl,on de f.

b) i,Puede ser el vector (4. -2. - - 3 ) una base del Niicleo def?c)Hal]. Ja imagen p O I ' f de] vector I ( 1, i l l , 1 1 .

Siendo {e].e2 ,e3 } la base canonica de 1 R ~ , la mstriz asociada a,f en base

eandnica sera

[

~ S 0 - 5 J . . . . 1 - 5,A .:= 0. -1 -1 I como IAt= I) A. 0

369 .

Aplicando la f6mIula de las dimensienes

b) Para hallar el nncleo de la apUcacion hacemos

Luego ]as ecaeciones del Nucleo seran,

N(t) = {XElri3; j~-a,-.a"a) Aae: L V r }

Una base del Ndcleo sera, «-~,-l.,l» y como el vector dado (4.~2>-3)[10 esproporeional a] vector de J a base, entonees el vector (4,,- 2,;~3) no es base de]

Nucleo.

79



c) La im a gen d el v ecto r (1,1)1) es

(

-5

f (1,1,1); . '~

80

ejercicios resueltos algebra lineal ulpgc 2

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