Álgebra linear

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inear

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ra L

inear

UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSEUNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE

Por:Por:Viviane LiriaViviane Liria

O Problema da O Problema da Alocação deAlocação de

TarefasTarefas

Professora:Professora:Ana IsabelAna Isabel

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eb

ra L

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O Problema da Alocação de O Problema da Alocação de TarefasTarefas

O que é alocação de tarefas?

Problema de distribuição de um número n de instalações para um número n de tarefas, buscando um custo mínimo. Para este problema há exatamente n! maneiras diferentes de alocar as tarefas. Uma alocação com custo mínimo é denominada alocação ótima.

Custo – unidade utilizada para definir a tarefa a ser otimizada. Pode ser reais, quilômetros, horas, etc.

Cij – custo de alocar a i-ésima tarefa à j-ésima instalação.

C11C11 C12C12 ...... C1nC1n

C21C21 C22C22 ...... C2nC2n

...... ...... ...... ......

Cn1Cn1 Cn2Cn2 CnnCnn

C = Matriz-custo

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eb

ra L

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Álg

eb

ra L

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Exemplo1

Uma faculdade pretende instalar ar-condicionado em três de seus prédios num período de uma semana e convida três firmas para

submeter orçamentos para cada um dos prédios. Na tabela 1 aparecem os orçamentos em unidades de 1000 reais.

Prédio 1Prédio 1 Prédio 2Prédio 2 Prédio 3Prédio 3

Firma 1Firma 1 5353 9696 3737

Firma 2Firma 2 4747 8787 4141

Firma 3Firma 3 6060 9292 3636

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Álg

eb

ra L

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O Problema da Alocação de O Problema da Alocação de TarefasTarefasExemplo1

A matriz custo para este problema é a matriz 3x3:

5353 9696 3737

4747 8787 4141

6060 9292 3636

C = Matriz-custo

Como só há seis (3!) alocações possíveis, podemos resolver este problema calculando o custo de cada uma

delas e calculamos sua soma:

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eb

ra L

inear

Álg

eb

ra L

inear


5353 9696 3737

4747 8787 4141

6060 9292 3636

• 53 + 87 + 36 = 176

• 53 + 92 + 41 = 186

• 47 + 96 + 36 = 179

• 47 + 92 + 37 = 176

• 60 + 96 + 41 = 197

• 60 + 87 + 37 = 184

O resultado nos dá duas opções de alocação de tarefas com custo

mínimo.

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eb

ra L

inear

Álg

eb

ra L

inear

Alocação de TarefasAlocação de Tarefas

00 55 00 33

00 44 22 55

66 00 77 77

77 99 00 00

O Método Húngaro

No exemplo anterior conseguimos rapidamente encontrar uma solução, pois a matriz-custo só permitia 6 formas diferentes de

alocação. Porém, quando encontramos um problema mais complexo, o método utilizado torna-se impraticável.

Vamos descrever, agora um método mais prático para resolução de problemas maiores:

Suponhamos que a matriz custo de um problema seja:

Note que todas as entradas são não-negativas e que ela contém

muitos zeros.

Nesta matriz é possível encontrar facilmente uma alocação composta

apenas por zero. Esta alocação deve ser ótima, pois seu custo é

zero.

Álg

eb

ra L

inear

Álg

eb

ra L

inear


O Método Húngaro

Teorema:

Se um número é somado ou subtraído de todas as entradas

de uma linha ou coluna de uma matriz-custo, então uma

alocação de tarefas ótima para a matriz-custo resultante

também é uma alocação ótima para a matriz-custo original.

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eb

ra L

inear

Álg

eb

ra L

inear

Alocação de TarefasAlocação de TarefasO Método Húngaro

Exemplo 2:

Matriz-custo:

9090 7575 7575 8080

3535 8585 5555 6565

125125 9595 9090 105105

4545 110110 9595 115115

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eb

ra L

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Álg

eb

ra L

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9090 7575 7575 8080

3535 8585 5555 6565

125125 9595 9090 105105

4545 110110 9595 115115

Passo 1: Subtraímos a menor entrada de cada linha

1515 00 00 55

00 5050 2020 3030

3535 55 00 1515

00 6565 5050 7070

Passo 2: As três primeiras colunas da matriz já contém entradas zero, portanto, só precisamos subtrair da quarta coluna.

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eb

ra L

inear

Álg

eb

ra L

inear


Passo 3: Riscamos as entradas zero utilizando um número mínimos de traços.

3535 00 00 55

00 3030 00 55

5555 55 00 1010

00 4545 3030 4545

Passo 4: Como o número de traços ainda é inferior a 4, subtraímos a menor entrada da matriz de todas as entradas não riscadas e somamos a todas as entradas riscadas por 2.

1515 00 00 00

00 5050 2020 2525

3535 55 00 1010

00 6565 5050 6565

Passo 5: Repetiremos o passo 3.

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eb

ra L

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Álg

eb

ra L

inear


Passo 3: Como as entradas zero não podem ser riscadas com menos de 4 traços, a matriz encontrada deve conter uma alocação ótima de zeros.

3535 00 00 55

00 3030 00 55

5555 55 00 1010

00 4545 3030 4545

Encontramos, portanto, duas opções para alocação de tarefas.

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eb

ra L

inear

Álg

eb

ra L

inear


O Método Húngaro

Restrições para resolução através do método húngaro:

•O problema deve ser de minimização de custo;

•A matriz custo deve ser quadrada

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eb

ra L

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Álg

eb

ra L

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Alocação de TarefasAlocação de TarefasO Problema de Alocação de Tarefas de Carlos Alberto ParreiraO Problema de Alocação de Tarefas de Carlos Alberto Parreira

KakáKaká RenatoRenato AdrianoAdriano Juninho P.Juninho P. CicinhoCicinho Zé RobertoZé Roberto

Roque Jr.Roque Jr.

LúcioLúcio

MarcosMarcos

Ronaldo G.Ronaldo G.

RobinhoRobinho

??

??

????

??

EmersonEmerson

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eb

ra L

inear

Álg

eb

ra L

inear

Roque Jr.Roque Jr.

LúcioLúcio

MarcosMarcos


RobinhoRobinho

33

22

11

44

55


EmersonEmerson

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eb

ra L

inear

Álg

eb

ra L

inear


Posição 1Posição 1 1515 77 2121 1414 1414 2121

Posição 2Posição 2 1818 88 2323 1616 77 2323

Posição 3Posição 3 1414 99 2020 1414 1919 2121

Posição 4Posição 4 1414 77 1919 1313 1313 1919

Posição 5Posição 5 1717 55 2020 1616 2121 2020

Posição 6Posição 6 00 00 00 00 00 00

Quantos gols fez a seleção nos últimos dez jogos em que cada um desses jogadores jogou nessas posições?

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ra L

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Álg

eb

ra L

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1515 77 2121 1414 1414 2121

1818 88 2323 1616 77 2323

1414 99 2020 1414 1919 2121

1414 77 1919 1313 1313 1919

1717 55 2020 1616 2121 2020

00 00 00 00 00 00

-15-15 -7-7 -21-21 -14-14 -14-14 -21-21

-18-18 -8-8 -23-23 -16-16 -7-7 -23-23

-14-14 -9-9 -20-20 -14-14 -19-19 -21-21

-14-14 -7-7 -19-19 -13-13 -13-13 -19-19

-17-17 -5-5 -20-20 -16-16 -21-21 -20-20

00 00 00 00 00 00

Como temos 6 jogadores e apenas cinco posições, vamos inserir uma linha com todas as entradas zero que representará o banco de reservas.

Para transformar o problema de maximização em um problema de minimização, multiplicaremos todas as entradas por (-1).

Álg

eb

ra L

inear

Álg

eb

ra L

inear


66 1414 00 77 77 00

55 1515 00 77 1616 00

77 1212 11 77 22 00

55 1212 00 55 66 00

44 1616 11 55 00 11

00 00 00 00 00 00

-15-15 -7-7 -21-21 -14-14 -14-14 -21-21

-18-18 -8-8 -23-23 -16-16 -7-7 -23-23

-14-14 -9-9 -20-20 -14-14 -19-19 -21-21

-14-14 -7-7 -19-19 -14-14 -13-13 -19-19

-17-17 -5-5 -20-20 -16-16 -21-21 -20-20

00 00 00 00 00 00

Nessa matriz, subtrai-se a menor entrada de cada linha.

Na matriz obtida, não é preciso subtrair a menor entrada nas colunas pois já temos pelo menos uma entrada zero em cada.

Álg

eb

ra L

inear

Álg

eb

ra L

inear


44 1212 00 55 55 00

33 1313 00 55 1414 00

55 1010 11 55 00 00

33 1010 00 33 44 00

44 1616 33 55 00 33

00 00 22 00 00 22

66 1414 00 77 77 00

55 1515 00 77 1616 00

77 1212 11 77 22 00

55 1212 00 55 66 00

44 1616 11 55 00 11

00 00 00 00 00 00

Agora, temos que riscar todas as entradas zero utilizando o menor número de traços possível.

Como o número de traços utilizados foi menor do que 6, devemos subtrair a menor entrada de todas as entradas não riscadas e somar a menor entrada a todas as entradas riscadas por 2 traços.

Na matriz obtida, vamos repetir os passos anteriores.

Álg

eb

ra L

inear

Álg

eb

ra L

inear


11 99 00 22 55 00

00 1010 00 22 1414 00

22 77 11 22 00 00

00 77 00 00 44 00

11 1313 33 22 00 33

00 00 55 00 33 55

Como não é possível riscar todas as entradas zero com menos de 6 traços, essa matriz deve conter uma alocação ótima de zeros. Obtivemos, portanto o resultado do problema.

Álg

eb

ra L

inear

Álg

eb

ra L

inear



Posição 1Posição 1 11 99 00 22 55 00

Posição 2Posição 2 00 1010 00 22 1414 00

Posição 3Posição 3 22 77 11 22 00 00

Posição 4Posição 4 00 77 00 00 44 00

Posição 5Posição 5 11 1313 33 22 00 33

Posição 6Posição 6 00 00 55 00 33 55

As entradas zero representam o melhor desempenho de cada jogador.

Álg

eb

ra L

inear

Álg

eb

ra L

inear

Posição 1Posição 1









AdrianoAdriano

AdrianoAdriano

AdrianoAdriano

KakáKaká

KakáKaká

KakáKaká RenatoRenato

Juninho P.Juninho P.


CicinhoCicinho

CicinhoCicinho

Zé RobertoZé Roberto




XX

XX

XX

XXXX

XX

XX

XX

XX

Álg

eb

ra L

inear

Álg

eb

ra L

inear










AdrianoAdriano

KakáKaká

RenatoRenato


CicinhoCicinho


Álg

eb

ra L

inear

Álg

eb

ra L

inear

KakáKaká

RenatoRenato

AdrianoAdrianoJuninho P.Juninho P.

CicinhoCicinhoZé RobertoZé Roberto

Roque Jr.Roque Jr.

LúcioLúcio

MarcosMarcos


RobinhoRobinho

EmersonEmerson

Álgebra linear

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