algebra de conmutación y circuitos lógicos

Manrique © 2005 Sistemas Digitales 1

Algebra de Conmutación y Circuitos Lógicos

Unidad 2


Tabla de Contenido

Introducción Algebra de conmutación Manipulación algebraica Operaciones lógicas Implementación de funciones lógicas Introducción a los Mapas de Karnaugh Propiedades de las compuertas NAND y

NOR


Introducción

En la unidad anterior llegamos hasta la transformación de un problema digital en su equivalente tabla de verdad, en un formato binario, esto sería suficiente para construcción de sistemas que usen memorias de solo lectura (ROM), para realizar la implementación de estos sistemas con otro tipo de componentes (compuertas lógicas) es necesario tener una descripción algebraica de estos sistemas.

De lo dicho anterior, podemos concluir que necesitamos el álgebra para: Interpretar o describir una red de compuertas que componen el

sistema digital. Permite simplificar y minimizar la cantidad de lógica usada en un

sistema. Es básica en el proceso de implementación de una red de

compuertas.


Definición del Algebra de Conmutación Es el conjunto axiomático que normaliza las

operaciones que podrán existir en un ambiente con variables binarias, esto es, variables que puedan asumir únicamente dos valores, incluso, variables que físicamente no son binarias, pero pueden ser representadas en términos binarios.


Operadores del Algebra de Conmutación OR (suma lógica)

Símbolos: + , V a + b (se lee: a or b), y es 1 sí y sólo sí a=1 ó b=1 ó ambos.

AND (producto lógico) Símbolos: . , Λ, o simplemente dos variables seguidas a . b (se lee: a and b), y es 1 sí y sólo sí a=1 y b=1.

NOT (negación, complemento, inversión) Símbolos: ’ a’ (se lee: not a , a negado), y es 1 sí y sólo sí a=0.


Tablas de verdad para las operaciones OR. AND y NOT

a b a + b

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

a b ab

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

a a’

0 1

1 0


Propiedades del Algebra de Conmutación(Postulados y Teoremas)


Propiedad Conmutativa

Las operaciones OR y AND son conmutativas P1a. a + b = b + a P1b. a . b = b . A

Note que el valor para las combinaciones en la tabla de verdad para las segundas y terceras líneas son iguales


Propiedad Asociativa (1)

Las operaciones OR y AND son asociativas P2a. (a+b)+c = a+(b+c) P2b. (a.b).c = a.(b.c)

Esta propiedad es mencionada como la Ley Asociativa, declara que el orden de los factores no altera el resultado.

Esta propiedad nos ayuda a establecer algunas particularidades de las operaciones OR y AND.


Propiedad Asociativa (2)

OR a+b+c+d+…. Es 1 si cualquiera de las variables

es 1 y es 0 sólo si todas las variables son 0. AND

abcd …. Es 1 si todas las variable son 1 y es 0 si cualquiera de las variables es 0.


Las compuertas (1)

Es el elemento básico en los sistemas digitales.

Es un elemento con una sola salida que implementa una de las funciones básicas como AND y OR.

Está disponibles en configuraciones de dos, tres, cuatro y ocho entradas.


Las compuertas (2)

Símbolos para OR y AND


Implementación para la propiedad 2b


Símbolo para la compuerta NOT

El circulo al final del triángulo es la representación de la negación


Identidad

Existen 2 elementos neutros, el 0 y el 1, cumpliéndose la propiedad en dos de los casos, quedando como 1 y 0 lógicos en los otros dos (ver teorema 2): P3a. a.1 = a (identidad) P3b. a+0 = a (identidad)


Nulo

Casos en que no se cumple la propiedad de elemento neutro, pero existen y se definen de esta forma. P4a. a.0 = 0 P4b. a+1 = 1


Complemento

Existe el elemento complementario para cada variable binaria y el resultado para cada operación es el que sigue. P5a. a + a’ = 1 P5b. a . a’ = 0


Idempotencia

La suma o producto de dos variables iguales equivale a la misma variable P6a. a+a = a P6b. a.a = a


Involución

Para todo elemento de un álgebra de boole se cumple que: P7. (a’)’=a


Distributiva

Ambas operaciones son distributivas P8a. a(b+c) = (ab)+(ac) P8b. a+bc = (a+b)(a+c)

(Este postulado no existe para el álgebra común)


Adyacencia

Se define de la siguiente forma: P9a. ab + ab’= a P9b. (a+b)(a+b’) = a


Simplificación

Es una combinación de las propiedades distributivas y asociativas, se usa comúnmente en la simplificación de funciones. P10a. a + a’ b = (a’ + a) (a+b) = a+b P10b. a (a’ + b) = a’ a + a b = ab


Absorción

Ley de Absorción. P11a. a + ab = a P11b. a(a + b) = a


Ley de Moorgan

Ley De Moorgan. P12a. (a + b + c + ...) ' = a' . b' . c' . ... P12b. ( a . b . c. ... ) ' = a' + b' + c' + ...


Manipulación de Funciones Algebraicas


Conceptos importantes

Literal o variable Término de producto Término estándar de productos o minitérmino Sumatoria de productos Sumatoria canónica o sumatoria de términos de

productos estándares. Sumatoria de productos mínima o expresión

simplificada. Nota: cada uno de estos conceptos tiene un

concepto dual para la suma.


La simplificación

El proceso de la simplificación consiste en aplicar los postulados y teoremas del álgebra de conmutación para llegar a la expresión más simple de la ecuación, está, se presentará normalmente en su forma de sumatoria de productos mínima.


Ejemplo de simplificación

F = xy’(z+x+zy’) F=xy’z+xy’x+xy’zy’ F=xy’z+xy’+xy’z F=xy’z+xy’ F=xy’

Simplificar: x’yz’ + x’yz + xy’z’ + xy’z + xyz


Sobre la simplificación

No existe una metodología para realizar la simplificación.

Sólo la práctica es la manera de alcanzar la simplificación más óptima.

La aplicación del álgebra de conmutación no garantiza el llegar a la simplificación óptima.


Implementación de Funciones con Compuertas


Redes con AND, OR y NOT

Una vez que se define la suma de productos mínima se debe de definir el diagrama lógico, compuesto por una red de compuertas que describan la función.


Ejemplo de un circuito de dos niveles zyxzyxyzxzyxf

X’

Y

Z’

X’

Y

Z

X

Y’

Z’

X

Y’

Z


Niveles

El número de niveles corresponde al máximo número de compuertas que una señal debe pasar desde su entrada hasta la salida.

En el caso anterior tenemos dos niveles, esto asumiendo que tenemos disponibles en la entradas los complementos de la literales, cuando no se dispone de los complementos es necesario complementar con compuertas NOT.


Problema

xyzzyxzyxyzxzyxf

a) Diagrama de la suma de productosb) Diagrama de la suma de productos mínimo


Una red multinivel

)( wxzvyxwzh

Las redes multinivel son el resultado de implementar funciones que no esténen la forma ni de suma de productos ni de productos de sumas.


De la Tabla de Verdad a la Expresión Algebraica En la mayoría de los casos, un problema digital es

presentado en la forma de una declaración o como una tabla de verdad, esto nos obliga a tener la habilidad de llevar los datos de una tabla de verdad a una expresión algebraica.

En la tabla de verdad, cada combinación de las variables de entrada corresponde a un termino de producto estándar.

Es posible extraer una sumatoria de productos estándares sumando cada termino de producto cuyo resultado en la tabla de verdad es igual a 1.


Miniterminosa b c Minitermino Número

0 0 0 A’B’C’ 0

0 0 1 A’B’C 1

0 1 0 A’BC’ 2

0 1 1 A’BC 3

1 0 0 AB’C’ 4

1 0 1 AB’C 5

1 1 0 ABC’ 6

1 1 1 ABC 7

•En la tabla se muestra la equivalencia entre las combinaciones de una tabla de verdad y los minitérminos que están asociados a cada uno de los productos estándares de una expresión algebraica.•Los miniterminos pueden ser referidos también por sus números, que están mostrados en la columna de la derecha.


Ejemplo 1A B C f f’

0 0 0 0 1

0 0 1 1 0

0 1 0 1 0

0 1 1 1 0

1 0 0 1 0

1 0 1 1 0

1 1 0 0 1

1 1 1 0 1

La expresión algebraica será:

f(A,B,C) = Σm(1,2,3,4,5)= A’B’C+A’BC’+A’BC+AB’C’+AB’C

f’(A,B,C) = Σm(0,6,7)= A’B’C’+ABC’+ABC

Para la mayoría de los casos la suma de los minitérminos no representa la sumatoria mínima de productos.


Ejemplo 2, con condiciones irrelevantes (don’t care)

a b c f

0 0 0 x

0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 x

1 0 0 0

1 0 1 1

1 1 0 0

1 1 1 0

La expresión algebraica será:

f(a,b,c) = Σm(1,2,5) + Σd(0,3)


Problema

Desarrollar las expresiones algebraicas para EJE1, EJE2 y EJE3.


Finalización del proyecto EJE1 Z2= A’BCD+AB’CD+ABC’D+ABCD’+ABCD

Z2 suma mínima = ACD+BCD+ABC+ABD Diagrama lógico


Introducción a los Mapas de Karnaugh


Mapas de Karnaugh

Es un método gráfico usado para la simplificación de funciones de conmutación.

Propuesto por Maurice Karnaugh en 1953. Los mapas de Karnaugh se compone de un

cuadrado por cada minitérmino posible de una función. 2 variables, 4 cuadrados 3 variables, 8 cuadrados 4 variables, 16 cuadrados


Mapa de Karnaugh para dos variables

A’B’ AB’

A’B AB

m0 m2

m1 m3

0 2

1 3

0 1

0

1

A

B

A

B

Aquí tenemos tres vistas de una mapa de dos variables, las casillas sombreadas, por ejemplo, corresponden al minitérmino 2 donde A=1 y B=0


Representando funciones en un Mapa de Karnaugh (1) Cuando se quiere llevar una función a un

mapa, se coloca un 1 en el casillero correspondiente al minitérmino que resultó como 1 en la función.

Los otros casilleros se dejan en blanco Si existen condiciones irrelevantes, es

necesario poner una X en los minitérminos correspondientes.


Representando funciones en un Mapa de Karnaugh (2)

1

1

0 1

0

1

a

b1 X

1

0 1

0

1

A

B

F(a,b) = Σm(0,3) F(A,B) = Σm(0,3) + Σd(2)


Mapa de Karnaugh para 3 variables

A’B’C’ A’BC’ ABC’ AB’C’

A’B’C A’BC ABC AB’C

00 01 11 10

0

1

AB

C

0 2 6 4

1 3 7 5

00 01 11 10

0

1

AB

C

La idea con la codificación es poder usar el P9a. ab+ab’=a


Mapa de Karnaugh para 4 variables

A’B’C’D’ A’BC’D’ ABC’D’ AB’C’D’

A’B’C’D A’BC’D ABC’D AB’C’D

A’B’CD A’BCD ABCD AB’CD

A’B’CD’ A’BCD’ ABCD’ AB’CD’

00 01 11 10

00

01

11

10

AB

CD

0 4 12 8

1 5 13 9

3 7 15 11

2 6 14 10

00 01 11 10

00

01

11

10

AB

CD


Ejemplo de adyacencia para un mapa de 4 variables Los 1 en dos celdas adyacentes corresponden a un solo término de

producto.

1 1

00 01 11 10

00

01

11

10

AB

CD

1

1

00 01 11 10

00

01

11

10

AB

CD

AC’D A’B’D’


Extendiendo el concepto de adyacencia para agrupar más celdas

1 1 1 1

00 01 11 10

0

1

AB

C

1 1 1 1

00 01 11 10

0

1

AB

C

A’C AC C


Otros ejemplos para grupos de 4

1

1 1 1

1 1 1

1

00 01 11 10

00

01

11

10

AB

CD

1 1

1 1

1 1

1 1

00 01 11 10

00

01

11

10

AB

CD

A’B’ AD B’D’ BD


Grupos de 8

1 1

1 1

1 1

1 1

00 01 11 10

00

01

11

10

AB

CD

1 1 1 1

1 1 1 1

00 01 11 10

00

01

11

10

AB

CD

A’ D’


Ejemplo de simplificación usando Mapas de Karnaugh

1 1

1 1 1

00 01 11 10

0

1

xy

z

1 1

1 1 1

00 01 11 10

0

1

xy

z

x’yz’ + x’yz + xy’z’ + xy’z + xyz

1 1

1 1 1

00 01 11 10

0

1

xy

z

x’y + xy’ + xz


Problema

f = a’b’c’ + a’bc’ + a’bc + ab’c’ Para la función f encontrar:

La suma de productos mínima usando un mapa d karnaugh.

Retomaremos el estudio de los Mapas de Karnaugh un poco más adelante


Compuertas NAND, NOR y OR EXCLUISIVAS


Compuerta NAND y NOR

Como la otras compuertas que estudiamos, también están disponibles en el comercio con dos, tres, cuatro y ocho entradas.

Símbolos para NAND

Símbolos para NOR


Importancia de las NAND y NOR Todas las funciones Booleanas pueden ser

substituibles por una función equivalente que utilice únicamente compuertas NAND y/o NOR, esto con los siguientes objetivos: Disminución del número de componentes en una tarjeta de

circuito impreso. Dar facilidad de mantenimiento futuro y Disminuir el consumo de energía.

La transformación de cualquier función se efectuará mediante la correcta utilización del teorema de Moorgan.


Algunas equivalencias


Metodología para transformar una expresión a NAND1. Una vez obtenida la expresión correspondiente del problema

digital, se realiza a todo el conjunto una doble inversión o negación.

2. Como nos encontramos en el caso de implementar con puertas NAND, si la expresión resultante está en función de productos, las dos negaciones deben dejarse tal cual. Si, por el contrario, es una suma, se aplica el teorema de Moorgan sobre dicha suma.

3. Continuar 2, hasta la obtención de una función compuesta exclusivamente como productos negados.


Metodología para transformar una expresión a NOR1. Con la expresión correspondiente se realiza a todo el conjunto

una doble inversión o negación.2. Si la expresión resultante está en función de sumas, las dos

negaciones deben dejarse tal cual. Si se trata de un producto, tendremos que aplicar el teorema de Moorgan sobre el producto.

3. Continuar 2 (realizando el proceso anterior) hasta la obtención de una función compuesta exclusivamente por sumas negadas.


Compuerta OR-Exclusiva y NOR-Exclusiva

a b a xor b

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0

a b a xnor b

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 1

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