algebra de conmutación: funciones lógicas

5/11/2018 Algebra de conmutaci n: funciones l gicas. - slidepdf.com

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LIC. EN FÍSICA ELECTRÓNICA Curso 03-04 Tema 8

F. MUGARRA, DEP. D’ENGINYERIA ELECTRÒNICAFACULTAT DE FÍSICA Universitat de València

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TEMA 8. ALGEBRA DE CONMUTACIÓN: FUNCIONES LÓGICAS.

8.1. Introducción a la Electrónica Digital.

Los dispositivos electrónicos digitales son circuitos electrónicos que trabajan en sus

entradas y salidas en dos posibles estados físicos que se corresponde, cada uno de ellos,con un valor del voltaje respecto al de referencia, con un cierto margen de tolerancia.

Cada uno de estos estados físicos está asociado a un estado lógico que denominamos ‘0’ó ‘1’. El estado físico asociado al estado lógico ‘1’ es normalmente el de mayor voltajerespecto al nivel de referencia, mientras que asociamos al estado lógico ‘0’ el de menorvoltaje respecto al de referencia, en este caso se dice que se trabaja con lógica positiva.Si invertimos la relación se denomina lógica negativa.

El dispositivo electrónico más usado para definir estos dos estados físicos es eltransistor BJT en la configuración de emisor común, trabajando entre los estados de

corte y saturación como conmutador.

En la figura 8.1 representamos un transistor BJT en la configuración de emisor común,al cual atacamos con una señal Vi que tiene dos niveles posibles VCC y 0 voltios que secorresponden con los dos estados físicos antes mencionados. Para que nuestro circuitoresponda como un dispositivo digital su salida ha de estar siempre en uno de estos dosestados físicos: VCC ó 0 voltios, con un cierto margen de tolerancia.

Efectivamente, si la elección de las resistencias Rb yRC ha sido adecuada, la respuesta a cada uno de éstosdos posibles niveles de tensión a la entrada dan comorespuesta en la salida el nivel de tensión opuesto, esdecir, entrada igual a VCC voltios (‘1’ lógico) lecorresponde una salida 0 voltios (‘0’ lógico) yviceversa. El dispositivo se comporta como undispositivo digital inversor de estados.

Fig. 8.1

La elección de las resistencias ha de conseguir que una entrada de VCC voltios sature altransistor y una entrada de 0 voltios lleve al transistor a corte. Esta elección de estadosno es casual, sino que viene determinada por la fiabilidad de los estados. La alternativa

de escoger alguno de los estados del transistor en conducción, fuera de saturación, seríapoco fiable dada la variedad de características de un mismo transistor, además de losproblemas de ruido.

El nivel bajo en la entrada, Vi = 0 voltios, es evidente que lleva el transistor a corte ypor tanto la salida pasa al estado alto, VS = VCC voltios. Pero para que el nivel alto en laentrada, Vi = VCC voltios, lleve al transistor a saturación se ha de cumplir que:

( )CESATCC

BESATCCCMINFEb VV

VVRhR

−

−<



ELECTRÓNICA LIC. EN FÍSICA Tema 8 Curso 03-04

F. MUGARRA, DEP. D’ENGINYERIA ELECTRÓNICAFACULTAT DE FÍSICA Universitat de València

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Dada la dispersión de valores de hFE, se debe de tomar un valor de Rb y RC queaseguren una saturación del transistor en el peor de los casos. Con esta elección de Rb yRC se garantiza que una entrada "alta", Vi ≈ VCC, da como salida una VS ≈ 0,VC=VCESAT (≈ 0,2 voltios).

8.2. Álgebra de conmutación.

Las operaciones y funciones que van a realizar los dispositivos digitales se rigen por elálgebra de conmutación. Esta es un álgebra de Bool bivaluada, los elementos de estaálgebra pueden tomar dos valores: {0, 1}, y en la que están definidas dos operaciones:

+ Suma.• Producto.

que cumplen los siguientes axiomas:

DUAL

A1. x = 1 sí x ≠ 0 A1’. x = 0 sí x ≠ 1

A2. x = 0 ⇒ x’ = 1 A2’. x = 1 ⇒ x’ = 0

A3. 0 • 0 = 0 A3’. 1 + 1 = 1

A4. 1 • 1 = 1 A4’. 0 + 0 = 0

A5. 0 • 1 = 1 • 0 = 0 A5’. 0 + 1 = 1 + 0 = 1

A partir de estos axiomas se demuestran una serie de teoremas por inducción perfecta.Estos teoremas los agruparemos en teoremas de una sola variable y teoremas de dosvariables. Los teoremas de una sola variable son:

DUAL

T1. x • 1 = x T1’. x + 0 = x

T2. x • 0 = 0 T2’. x + 1 = 1

T3. x • x = x T3’. x + x = x

T4. (x’)’ = x

T5. x•

x’ = 0 T5’. x + x’ = 1





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Los teoremas de dos variables son:

DUAL

T6. Cumplen la propiedad conmutativa respecto a ambas operaciones:

x + y = y + x x • y = y • x

T7. Cumplen la propiedad asociativa respecto a ambas operaciones:

x + (y + z) = (x + y) + z x • (y • z) = (x • y) • z

T8. Cumplen la propiedad distributiva respecto ambas operaciones: suma respecto alproducto y producto respecto a la suma.

x + y • z = (x + y) • (x + z) x • (y + z) = x • y + x • z

T9. Cobertura:

x • (x + y) = x x + x • y = x

T10. Combinación:

(x + y) • (x + y’) = x x • y + x • y’ = x

T11. Consenso:

(x + y) • (x’ + z) • (y + z) = (x + y) • (x’ + z) x • y + x’ • z + y • z = x • y + x’ • z

Igualmente enunciaremos cuatro teoremas de n variables:

T12. Idempotencia generalizado:

x • x • … • x = x x + x + … + x = x

T13. Teorema de DeMorgan:

(x1 • x2 … • xn)’ = x1’ + x2’ … + xn’ (x1 + x2 … + xn)’ = x1’ • x2’ … • xn’





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T14. Teorema de DeMorgan generalizado :

[F(x1, x2, … , xn, +, •)]’ = F(x1’, x2’, … , xn’, •, +)

T15. De expansión, teorema de Shanon:

F(x1, x2, … , xn) = x1 • F(1, x2, … , xn) + x1’ • F(0, x2, … , xn)F(x1, x2, … , xn) = [x1 + F(0, x2, … , xn)] • [x1’ + F(1, x2, … , xn)]

Los teoremas de n variables, T12 a T15, se demuestran por el método de inducciónfinita.

Es importante tener en cuenta lo que se denomina “Principio de dualidad”:

“Cualquier teorema o identidad en el álgebra de conmutación sigue siendo válidosi se intercambian 0 y 1, y las operaciones + y • entre sí ”.

El principio es válido ya que los duales de los axiomas son verdaderos, luego los dualesde los teoremas se demuestran usando los duales de los axiomas.

8.3. Funciones del álgebra de conmutación: Funciones lógicas.

Funciones lógicas son aquellas que formamos combinando variables de nuestra álgebramediante las dos operaciones definidas en ella: + y •. Por ejemplo:

F1 = a • b • c’ + a • b’• c + a’ • b • c

Una representación sencilla de una función lógica es mediante su tabla de verdad. Éstaes la tabla en la que se dan todas las combinaciones posibles de las variables que formanparte de nuestra función lógica y en donde para cada combinación se expresa el valorposible de la función.

La función lógica del ejemplo previo, es una función lógica de tres variables, F(a,b,c), y

poseerá una tabla de verdad con 23 filas:

a b c F1 0 0 0 01 0 0 00 1 0 01 1 0 10 0 1 01 0 1 10 1 1 1

1 1 1 0





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La tabla de verdad del ejemplo define uno de los dos valores posibles {0,1} de F 1 paracada una de las posibles combinaciones de todas las variables que forman parte de lafunción. Pueden darse casos en que esto no sea así ya que nuestra función no tengavalor definido para ciertas combinaciones de las variables, posteriormente trataremoseste caso.

Nos planteamos ahora el problema de definir la función lógica a partir de la tabla deverdad. Para ello definimos previamente tres elementos: término normal, minitérminoy maxitérmino.

Término normal es una suma o producto de las variables de una función, en el quecada una solo aparece una sola vez, y que por tanto no admite simplificación. Porejemplo:

1. a • b • c’

2. a’ + b’ + c,

son términos normales de las variables a, b y c.

Minitérmino es un término producto normal que incluye todas las variables de lafunción. En los ejemplos previos de términos normales, el primer ejemplo sería unminitérmino de las variables a, b y c. Para n variables, el número de minitérminosposibles es 2n.

Maxitérmino es un término suma normal que incluye todas las variables de lafunción. El segundo de los ejemplos sería un maxitérmino de las variables a, b y c. Paran variables, el número de maxitérminos posibles es 2n.

La realización de una función lógica, de la cual se conoce su tabla de verdad, tiene dosmétodos inmediatos. El primero es obvio, como suma de minitérminos:

F(c, b, a) = Σ minitérminos,

F(c, b, a) = abc' + ab'c + a'bc

Para simplificar la escritura se ha suprimido el símbolo de la operación producto. Losminitérminos que incluimos en la suma son aquellos para los que la función era uno enla tabla de verdad. El proceso de construcción es inmediato ya que cada línea de latabla de verdad es un minitérmino.

El segundo método no es tan obvio y se basa en los teoremas T4 y T14:

[F’(c, b, a)]’ = F(c, b, a)





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Construyamos F’ como suma de minitérminos a partir de la tabla de verdad. Será lasuma de los minitérminos para los que F es cero, que en nuestro ejemplo sería:

F’(c, b, a) = a’b’c’ + ab’c’ + a’bc’ + a’b’c + abc

Luego se ha de cumplir, por T4, que:

F = (a’b’c’ + ab’c’ + a’bc’ + a’b’c + abc)’

Si ahora aplicamos T14, a la expresión previa:

F = (a’b’c’)’ (ab’c’)’ (a’bc’)’ (a’b’c)’ (abc)’

F = (a + b + c) (a’ + b + c) (a + b’ + c) (a + b + c’) (a’ + b’ + c’)

F =Π maxitérminos

Luego hemos encontrado una representación de la función como producto demaxitérminos. Se ha de tener en cuenta que los maxitérminos incluidos, son aquellospara los que la función es cero y además que cada variable se ha sustituido por sucomplementaria.

Ambos métodos tienen su forma de realización física, pero para llegar a ello hemos deintroducir los elementos básicos con los que construiremos el circuito físico que realicelas diferentes funciones lógicas posibles.

8.4. Puertas lógicas.

Las puertas lógicas son circuitos digitales que realizan operaciones con variableslógicas mediante las dos operaciones definidas: + y •, y en la definición decomplementario o inverso de una variable, la cual quedó implícita en los axiomas.

8.4.1. Puertas lógicas básicas.

8.4.1.a. Puerta And (Y).

Es la puerta lógica que realiza la operación producto lógico de dos o más variables,según el número de entradas de que disponga. En la figura 8.2 podemos observar susímbolo lógico, su tabla de verdad y el nuevo símbolo, según la nueva normativa derepresentación:





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NUEVO SÍMBOLO

a

& ab

b

Fig. 8.2

En la representación clásica, hemos incluido unos números en las entradas y salidas deldispositivo, así como un número debajo del bloque y un texto encima del mismo.

Los números en las entradas y salidas indicarán el número del pin (patilla) del circuito

integrado (IC) que estamos usando, en este caso es un 7408 (tecnología TTL) que tiene14 pines. De los catorce pines que tiene el IC, doce los usa para los pines de lasentradas y salidas de cuatro de estos bloques, y dos para la alimentación, VCC y tierra(GND).

El texto que está encima del bloque creo que ya podéis suponer lo que es: indica quepertenece al primer IC del esquema general, ya que en nuestro esquema puede tenermás IC, y la letra A indica cual de los cuatro bloques del IC estoy usando.

Como hemos dicho, puede haber puertas AND de mas entradas. Por ejemplo el IC 7411 es una puerta AND de tres entradas y la 7421 es de cuatro entradas.

8.4.1.b. Puerta Or (O).

Es la puerta lógica que realiza la operación suma lógica de dos o más variables ,según el número de entradas de que disponga. En la figura 8.3 podemos observar susímbolo lógico, su tabla de verdad y el nuevo símbolo, según la nueva normativa derepresentación, para la puerta OR de dos entradas:

a≥ 1 a+b

b

Fig. 8.3





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8.4.1.c. Puerta Not (No).

Es la puerta que obtiene el complemento de una variable, figura 8.4.

a 1 a’

Fig. 8.4

8.4.1.d. Puerta Nand (NoY).

Es la puerta que obtiene el inverso, o completo, del producto lógico de dos o másvariables. En la figura 8.5 podemos observar su símbolo lógico, su tabla de verdad y elnuevo símbolo, para la puerta NAND de dos entradas::

a& (ab)’

b

Fig. 8.5

8.4.1.e. Puerta Nor (NoO).

Es la puerta que obtiene el inverso, o complemento, de la suma lógica de dos o másvariables. En la figura 8.6 podemos observar su símbolo lógico, su tabla de verdad y el

nuevo símbolo, para la puerta NOR de dos entradas:

a≥ 1 (a+b)’

b

Fig. 8.6





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8.4.1.f. Puerta EXor (Or Exclusiva).

Es la puerta que obtiene la función anticoincidencia de dos variables. En la figura

8.7 se da su símbolo lógico clásico, la tabla de verdad y el símbolo de la puerta según lanueva normativa.

aa⊕b

b = 1

Fig. 8.7

8.4.1.g. Puerta EXNor (NOr Exclusiva).

Es la puerta que obtiene la función coincidencia de dos variables. En la figura 8.8 seda su símbolo lógico clásico, la tabla de verdad y el símbolo de la puerta según la nuevanormativa.

a=1 (a⊕b)’

b

Fig. 8.8

8.5. Síntesis y análisis de Funciones lógicas.

A la hora de realizar una función lógica recurrimos a puertas NAND o puertas NOR, yaque con cualquiera de ambas se puede realizar todas las demás. Por ejemplo veamos larealización de todas los tipos de puertas previamente expuestas con puertas NAND,figura 8.9, salvo las puertas anticoincidencia y coincidencia de dos variables lógicas,puertas EXOR y EXNOR.

Se deja como ejercicio la realización con puertas NAND, de una puerta EXOR o

EXNOR.





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Fig. 8.9

En la realización, síntesis, hemos de buscar métodos para optimizar la realización. Elproceso contrario sería el análisis de un circuito ya construido. En general esto últimono es muy complicado, por ello nos centraremos en los métodos para simplificar lasíntesis de funciones lógicas.

8.6. Simplificación de Funciones lógicas: Tablas de Karnaugh.

El método más empleado para realizar una función lógica, de la cual se sabe su tabla de

verdad, es la tabla de Karnaugh, siempre y cuando el número de variables lógicas no sea





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ab 0 1

0

1

0 0

1 1

muy alto. La razón es que a través de ella podemos realizar fácilmente simplificacionesque permiten una realización sencilla de la función.

La tabla de Karnaugh de una función lógica es una tabla verdad de dos entradas, en laque entre cada casilla y sus contiguas solo cambia el estado de una de las n variables

que son parte de la función lógica. Téngase en cuenta que las casillas que están en loslaterales de la tabla también tienen el mismo número de contiguas que el resto de lascasillas de la tabla, pero parte de ellas en lado opuesto de la tabla.

Veamos algunos ejemplos que nos ilustren lo que acabamos de exponer:

F(b, a) = ba + ba’ == b (a+a’) = b

F(c, b, a) = cba + cba’ == cb (a+a’) = cb

Los ejemplos previos con dos y tres variables son demasiado sencillos, por esorecurriremos a un ejemplo con cuatro variables para explicar el método de la Tabla deKarnaugh.

F(d, c, b, a) = d’c’ba + d’cba + dcb’a’ + dcba+ dcba’ + dc’b’a’ + dc’ba + dc’ba’

Lo primero que hemos de tener en cuenta es que los términos contiguos de cualquiertérmino de la tabla son aquellos que se obtienen al cambiar una de las variables deltérmino, por su complementaria. Por ejemplo el término dcba tiene cuatro términos

contiguos, a saber: dcba’, dcb’a, dc’ba y d’cba. Por lo tanto los elementos de la tabla

badc

00 01 10

00

01

11

11

10

0 0 0

0 0 0

0

0

1

1

1 1

1 1

1

1





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que están en el extremo de una línea o columna se tocan, en contigüidad, con elelemento del otro extremo de su línea o columna.

Por ejemplo los contiguos del elemento dc’b’a, último elemento de la segundacolumna, tiene como elementos contiguos: dc’b’a’, dc’ba, dcb’a y al elemento que está

el primero de la segunda columna d’c’b’a. Como segundo ejercicio obtenemos loscuatro elementos contiguos del elemento ab’cd’

ELEMENTO CONTIGUOSdc’ba’ dc’ba dcba’ dc’b’a’ d’c’ba’

La posición del elemento dc’ba’, y de sus cuatro elementos contiguos en una tabla deKarnaugh se da en la figura 8.10.

Fig. 8.10

El método de simplificación usando esta tabla, consiste en reunir los términos contiguosque son unos de la función:

a) Dos términos contiguos de valor ‘1’, en la tabla, forman un término producto enel que se ha eliminado una variable. En nuestro ejemplo tenemos múltiples casosde este tipo, por ejemplo:

dcb’a’ + dc’b’a’ = (c + c’) db’a’ = db’a’

badc 00 01 10

00

01

11

11

dc'ba'

10

dc'ba

dcba'

dc'b'a'

d'c'ba'

badc

00 01 10

00

01

11

11

10

0 0 0

0 0 0

0

0

1

1

1 1

1 1

1

1





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b) Cuatro términos contiguos de valor ‘1’, que forman un cuadrado o una línea encolumna o fila, dan lugar a un término producto en que hemos eliminado dosvariables. En el ejemplo se podrían formar tres de estas agrupaciones. Tomandocomo ejemplo la tercera columna:

d’c’ba + d’cba + dcba + dc’ba =(d’ + d) cba + (d’ + d) c’ba =cba + c’ba = (c’ + c) ba = ba

En el proceso de simplificación de cuatrominitérminos hemos pasado a un término productode solo dos variables. Si realizamos el mismoproceso con los dos últimos términos de lascolumnas primera y cuarta se obtendrá el términoda’, esta agrupación se puede ver en la tablacontigua.

Por tanto la función lógica de la tabla de Karnaugh contigua será:

F(d, c, b, a) = ba + da’ Fig. 8.11

Si se observa la tabla se ve que existen más agrupaciones que no hemos usado. La razónde ello es que su uso no daría como resultado una realización de la función más sencilla.Una aclaración importante es que un minitérmino que sea ‘1’, se puede usar para variasagrupaciones simultáneamente. La justificación la tenemos en el teorema T3.

Otra cuestión que todavía no nos hemos planteado, pero que surge muchas veces en el

diseño, son los términos indiferentes. Términos indiferentes son los que no se puedendar físicamente en nuestra realización y su hipotético valor no influye en el valorde la función, es decir le son indiferentes. En la tabla de verdad se marcarán con una X,y se usarán como cero o uno según más nos interese para obtener la mejorsimplificación de la función.

En los ejemplos expuestos nos hemos parado en el método de simplificación enagrupaciones de cuatro elementos, pero el proceso sigue indefinidamente. Si lograraagrupar ocho términos contiguos todos unos, es decir si en nuestra tabla las dos últimasfilas fueran todo unos, agrupándolos obtendríamos un término en que hemos eliminadotres variables, en este caso sería a.

badc 00 01 10

00

01

11

11

10

0 0 0

0 0 0

0

0

1

1

1 1

1 1

1

1

badc

00 01 10

00

01

11

11

10

0 0 0

0 0 0

0

0

1

1

1 1

1 1

1

1





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La realización de la función como suma de términos producto se basa en el uso depuertas NAND. Veamos a continuación como realizar la función de la tabla medianteestas puertas.

F(c, b, a) = ba + da’

Fig. 8.12

Fig. 8.13

Fig. 8.14





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Es importante que se comprenda la equivalencia de los circuitos representados en lasfiguras 8.12 a 8.14. En la primera transformación, figura 8.13, añadimos una doblenegación a las señales de paso de las salidas de las puertas AND hacia las entradas de lapuerta OR, por tanto no alteramos la función. En la segunda transformación, figura8.14, el paso no es tan evidente, pero si se piensa es obvio. Una puerta OR con sus

señales de entrada complementadas, equivale a una puerta NAND. Para comprenderlobasta aplicar el teorema de DeMorgan. Por tanto la realización de una función comosuma de términos producto es inmediata y muy sencilla, mediante puertas NAND.

La función que hemos seleccionado para el ejemplo, una vez simplificada, constaba dela suma de dos términos producto de dos variables cada uno. La realización queacabamos de implementar con puertas NAND ha dado lugar a que cada términoproducto requiera una puerta NAND con tantas entradas como variables tiene el términoproducto, y donde las variables complementadas, se obtienen mediante puertas NAND trabajando como puerta inversora. La realización se acaba llevando la salida de estaspuertas NAND a la entrada de una puerta NAND, una entrada por cada puerta NAND,

es decir por cada término producto de la función lógica a realizar.

Como ejercicio se propone, que a partir de la función:

F(d, c, b, a) = d’c’b’a’ + d’c’b’a + d’c’ba + d’c’ba’+d’cb’a + d’cba + dcba ,

que una vez simplificada mediante una tabla de Karnaugh da:

F(d, c, b, a) = d’c’ + d’a + cba ,

Se ha de realizar con puertas NAND. El resultado de la realización debe ser:

Fig. 8.15





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Al igual que hemos utilizado la tabla de Karnaugh para simplificar y obtener laexpresión más sencilla de la suma de términos producto con puertas NAND, también lapodemos utilizar para obtener la expresión simplificada del producto de sumas.

Realicemos el mismo proceso de simplificación, pero ahora con F’, es decir con los

términos de la tabla que son ceros. Un vistazo a la tabla, figura 8.11, nos sugiereagrupar los ceros en dos bloques, cada uno de cuatro términos contiguos: el primeroserá d’a’ y el segundo b’a, por tanto F’:

F’(c, b, a) = d’a’ + b’a

Empezamos la realización con puertas NAND, figura 8.16,.e iniciamos latransformación:

Fig. 8.16





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Nuevamente se ha de tener en cuenta que la última transformación que se realiza en lafigura 8.16, se basa en el teorema de DeMorgan. El esquema que hemos obtenidosugiere una transformación: anular las dobles inversiones, por tanto debe dar:

Fig. 8.17

Con lo cual hemos obtenido al final de la figura 8.17 una realización de la funcióncomo producto de términos suma, usando exclusivamente puertas NOR.

Respecto de la metodología de simplificación de una tabla de Karnaugh, lógicamentenos hemos quedado en una breve introducción, y dado que se sale del marco de estecurso solo indicar que la misma es programable, no obstante si daremos algunas pistassencillas.





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En primer lugar se introduce el concepto de implicante primo : “aquel implicante,término producto, tal que si se elimina alguna variable de él ya no implica a lafunción”. A efectos prácticos son los términos que hemos obtenido, una vezsimplificada la función.Se dice que un implicante primo es esencial si es el único implicante primo que

recubre algún uno de la función.

El método más sencillo de simplificación es: primero poner los implicantes primosesenciales, si los hay, y después añadir el resto hasta cubrir todos los unos.

También es importante tener en cuenta lo que se denomina nivel de una función: “elnúmero máximo de puertas que debe pasar cualquiera de las variables de lafunción para llegar a la salida ”. Evidentemente nos interesa que este sea mínimo, paraevitar lo que se denomina riesgos estáticos o dinámicos, debido a los retardos queintroduce cada puerta.

Otra cuestión es usar el mínimo número de IC, ahorra espacio y por tanto costo derealización; coste de integrados, de placa y de espacio, que también es importante.

Respecto a las entradas que puedan sobrar en una puerta, no se deben dejar al aire, ytampoco es conveniente que una variable ataque a dos entradas de la misma puerta, apesar que por simplificar y por no complicar las cosas, se haya usado en los esquemas.En el tema siguiente se comprenderán las razones de esto último.

El método de la tabla de Karnaugh, como hemos dicho previamente, es útil para unnúmero limitado de variables. Si el número de variables crece hay que recurrir a otrosmétodos programables tal como el método de Quine-McCluske.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS DEL TEMA.

1. “Diseño digital principios y prácticas” (Cap. 3) John F. Wakerly

2. “Circuitos y sistemas digitales” (Cap 4 y 5) J. E. García Sánchez, D. Gil Tomás, M. Martínez Iniesta





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PROBLEMAS

1. Demuestra la propiedad asociativa en el álgebra de Boole bivaluada:

(X1 + ..... + XN-1) + XN = X1 + (X2 + ..... + XN)

SOLUCIÓN.

Para demostrar la propiedad asociativa del álgebra de Boole bivaluada,usaremos el método de inducción.

Hemos de demostrar que:

(X1 + ..... + XN-1) + XN = X1 + (X2 + ..... + XN)

Es decir la operación suma de N variables booleanas tiene resultado único, ypor tanto se cumple:

(X1 + ..... + XN-1) + XN = X1 + (X2 + ..... + XN) = X1 + X2 + ..... + XN

Empezamos para demostrarlo para N = 3:

(X1 + X2) + X3 = X1 + (X2 + X3) = X1 + X2 + X3

Usaremos para ello la tabla adjunta.

X1 X2 X3 X1 + X2 X2 + X3 (X1 + X2) + X3 X1 + (X2 + X3)0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 1 1 10 1 0 1 1 1 10 1 1 1 1 1 11 0 0 1 0 1 11 0 1 1 1 1 11 1 0 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1

De la misma forma se haría la demostración para N = 4, y por tanto:





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(X1 + X2 + X3) + X4 = X1 + (X2 + X3 + X4) = X1 + X2 + X3 + X4

Aplicando el método de la inducción finita se supone que se cumple para N-1 y se ha de demostrar para N.

Por tanto suponemos que se cumple para N-1:

(X1 + .... + XN-2) + XN-1 = X1 + (X2 + ... + XN-1) = X1 + X2 + ... + XN-1

y se ha de demostrar que se cumple para N:

(X1 + .... + XN-1) + XN = X1 + (X2 + ... + XN) = X1 + X2 + ... + XN

Para ello partimos de la primera expresión:

(X1 + .... + XN-1) + XN = X1 + (X2 + .... + XN-1) + XN = X1 + (X2 + .... +XN)

2. Demuestra que en el álgebra de Boole bivaluada se cumplen las propiedadesenunciadas.

a. x + x’y = x + yb. x’ + xy = x’ + yc. xy + xy’z = xy + xzd. xy + x’z + yz = xy + x’ze. xy + x’z = (x + z) (x’ + y)f. x’y’ + xy = (x’ + y) (x + y’)

SOLUCIONES.

a. x + x’y = x (1 + y) + x’y = x 1 + xy + x’y = x + (x + x’)y = x + yb. x’ + xy = x’ (1 + y) + xy = x’ 1 + x’y + xy = x’ + (x’ + x)y = x’ + yc. xy + xy’z = xy(1 + z) + xy’z = xy 1 + xyz + xy’z = xy + x(y + y’) z = xy +xzd. xy + x’z + yz = xy + x’z + (x + x’)yz = xy + x’z + xyz + x’yz =

xy + xyz + x’z + x’yz = xy (1 + z) + x’z (1 + y) = xy + x’z

Los casos e y f se dejan como ejercicios.





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3. Realiza una puerta AND de tres entradas con puertas AND de dos entradas.

SOLUCIÓN.

4. Realiza ahora una puerta NAND de tres entradas con puertas NAND de dosentradas. Analiza la diferencia de comportamiento de ambos tipos puertas en la

expansión del número de entradas y su relación con la propiedad asociativa.

SOLUCIÓN.

La diferencia en la solución de los problemas 3 y 4, reside en que mientras laoperación AND tiene la propiedad asociativa:

a (bc) = (ab) c = abc

La operación NAND no tiene la propiedad asociativa:

a’ (bc)’ ≠ (ab)’ c’ ≠ (abc)’





22

5. Dada una tabla de Karnaugh de cuatro variables lógicas: a, b, c y d. Obténlos cuatro términos contiguos en la tabla del minitérmino a’b’c’d’, e indicasu posición en la tabla.

SOLUCIÓN.

Los elementos contiguos los obtenemos complementando cada vez una delas variables:

Minitérmino: d’c’b’a’

Contiguos: d’c’b’a d’c’ba’ d’cb’a’ dc’b’a’

En la tabla de Karnaugh se muestra con M la posición del minitérmino, ycon C la posición de sus cuatro contiguos.

6. Dada la función lógica de cuatro variables: F(d, c, b, a) = d’c’b’a + d’cb’a +d’cba + dcb’a + dcba + dc’b’a. Simplifica la función: primeroalgebraicamente y posteriormente mediante una tabla de Karnaugh.Compara resultados.

SOLUCIÓN.

Si planteamos la simplificación algebraica directa, aplicando la propiedaddistributiva obtendríamos:

d’c’b’a + d’cb’a + d’cba + dcb’a + dcba + dc’b’a == d’b’a (c’+c) + (d’+d) cba + db’a (c+c’) == (d’+d) b’a + cba = b’a + cba

badc

00 01 10

00

01

11

11

10

M

C

C

C C





23

Pero si antes de usar la propiedad distributiva duplicamos el segundo ycuarto minitérmino, el resultado que se obtiene es:

d’c’b’a + (d’cb’a + d’cb’a) + d’cba + (dcb’a + dcb’a) + dcba + dc’b’a == d’b’a (c’+c) + d’ca (b’+b) + dca (b’+b) + db’a (c+c’) == (d’+d) b’a + (d’+d) ca == b’a + ca

Que es un forma más simplificada. Es evidente que no es fácil de intuir queminitérminos hay que duplicar, salvo que usemos una tabla de Karnaugh.En la tabla de Karnaugh adjunta de la función, se ve en las agrupacionesque minitérminos estamos usando de forma múltiple:

7. Dada la función lógica F (d, c, b, a) = Σ (0, 1, 2, 4, 5, 6, 8, 9, 12, 13, 14),implementa dicha función mediante puertas NAND y puertas NOR.

SOLUCIÓN.

Tal como se da la función: F(d, c, b, a),significa que se ha de tomar como variablemás significativa la “d” y como menossignificativa la “a”, por tanto la expresión dela función lógica:

F (d, c, b, a) = Σ (0, 1, 2, 4, 5, 6, 8, 9, 12, 13,14)

equivale a la tabla anexa

d c b a F

0 0 0Nº

0 01

23456789

10111213

1415

1

1 1111 11 11 1 1

1

11111

11

111 1

11

11

11

1

1

000

000 00000

000 00

000

0000

000

0

0

11

1

111

11

11

1

0

0

00

0

badc 00 01 10

00

01

11

11

10

0

0

0

0

0

0

0

1

1

1

1

1

1

0 0

0





24

Pasemos a realizar la tabla de Karnaugh de la función propuesta. La tablase da en el cuadro anexo, donde se han puesto a “1” los minitérminos de losque consta la función. El número de orden de cada minitérmino se haindicado en la esquina superior izquierda del mismo.

Para realizar la función con puertas NAND simplificamos la funciónmediante la tabla de Karnaugh, realizando las siguientes agrupaciones detérminos en “1”:

a) 0, 1, 4, 5, 12, 13 8, 9 = b’b) 0, 2, 4, 6 = d’a’c) 4, 6, 12, 14 = ca’

Cuya realización estándar con puertas NAND es:

Pero en este caso es evidente que la realización es simplificable ya que serealiza una doble inversión de la variable “b”. La nueva realización más

sencilla la podemos ver en el esquema siguiente:

00 01 10

00

01

11

11

10

0 1 23

4 5 67

8 9 1011

12 13 1415

badc

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1

0

0

0

0 0





25

Para realizar la función con puertas NOR simplificamos la función

mediante la tabla de Karnaugh, realizando las siguientes agrupaciones detérminos en “0”:

a) 3, 7, 15, 11 = bab) 11, 10 = dc’b

Cuya realización estándar con puertas NOR es:





26

8. Dada la función: F (d, c, b, a) = b’a + cba + c’ba + d’ba’ + d’c’a’. Simplifica yrealiza dicha función con puertas NAND.

SOLUCIÓN.

Para simplificar la función realizamos su tabla de Karnaugh. Para ello agrupamoslos tres primeros términos de la función:

b’a + cba + c’ba = b’a + ba = a

Este término pone a ‘1’ las dos columnas centrales dela tabla de Karnaugh, tal como muestra la tablaadjunta

Faltan por añadir los dos últimos términos de lafunción. Para ello los desarrollamos:

d’ba’ + d’c’a’ = d’ba’ (c’ + c) + d’c’a’ (b’ + b) == d’c’ba’ + d’cba’ + d’c’b’a’ + d’c’ba’ == d’c’ba’ + d’cba’ + d’c’b’a’

El último término está duplicado y se ha simplificado.

Se han obtenido tres minitérminos producto queañaden tres nuevos unos a la tabla de Karnaugh. Estaresulta la tabla adjunta.

Las agrupaciones a realizar son tres:

X1 : aX2 : d’c’

X3 : d’b

Tal como muestra la tabla adjunta. Por tanto lafunción será:

F (d, c, b, a) = a + d’c’ + d’b

badc

00 01 10

00

01

11

11

10

1

1

1

1

1

1

1

1

badc

00 01 10

00

01

11

11

10

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

0

0

0

0

0

ba

dc 00 01 10

00

01

11

11

10

0

0

0

0

1

1

1

1

1

1

0

1

1

1

1

1

X1

X2

X3





27

La realización con puertas NAND de la función simplificada es la que muestra elesquema adjunto.

9. La función F (d, c, b, a) está definida por el mapa de Karnaugh de la figuracontigua. Realiza dicha función con puertas NOR.

dc \ ba 00 01 11 1000 0 1 0 001 1 1 0 111 1 1 0 110 0 1 0 0

SOLUCIÓN.

Para realizar la función con puertas NOR se busca en la tabla de Karnaugh lamejor agrupación de ceros, la cual es:

1) Las cuatro esquinas dan el témino c’a’

2) La tercera columna da el término ba

F’ (d, c, b, a) = c’a’ + ba

F (d, c, b, a) = (c’a’ + ba)’ = ( (c + a)’ + (b’ + a’)’ )’

Que conduce a la realización con puertas NOR del esquema adjunto.





28

10. Realiza con puertas NAND y después con puertas NOR, la función cuya tablade Karnaugh es la de la figura contigua, donde las X son términos indiferentes..

dc \ ba 00 01 11 10

00 0 1 0 001 1 1 0 X11 1 1 0 X10 0 1 0 0

SOLUCIÓN.

Para la realización con puertas NAND realizamosla mejor agrupación posible de unos tomando losdos términos indiferentes (X) como unos. De la

tabla de Karnaugh adjunta se deducen dostérminos:

X1 : ca’X2 : b’a

La realización con puertas NAND es la del circuitoadjunto.

badc

00 01 10

00

01

11

11

10

0

0

0

1

1

1

1

0

1X1

X2

00

0

0

1

X

X





29

Para realizarlo con puertas NOR los términosindiferentes interesa tomarlos como ‘0’, por

tanto se obtienen los términos X1 y X2 quemuestra la tabla de Karnaugh adjunta.

X1 : bX2 : c’a’

Esta simplificación lleva a la realización

badc

00 01 10

00

01

11

11

10

0

0

0

1

1

1

1

0

1

X1

X2

00

0

0

1

X

X





30

11. Realiza con puertas NAND de dos entradas la función lógica: F(d, c, b, a) = ba+ cb + dc.

SOLUCIÓN.

Elaboramos la tabla de Karnaugh paracomprobar que la simplificación es máxima, yesta nos muestra que es así.

X1 : baX2 : dcX3 : cb

Por tanto la realización con puertas NAND necesitaría tres puertas NAND de dosentradas y una de tres entradas. Como se ha de realizar sólo con puertas NAND dedos entradas, la puerta de tres entradas se realiza como se desarrolló en elproblema 4º. El esquema resultante es el del esquema adjunto.

12. Realiza mediante puertas NOR la inversa de la función: F (d, c, b, a) = ca+ db

SOLUCIÓN.

Puesto que la inversa de la función : F (d, c, b, a) = ca+ db, tiene por ceros en sutabla de Karnaugh lo que en la tabla de Karnaugh de la función F son unos. Laagrupación de ceros en la tabla de Karnaugh de la función F’ será la simplificaciónque nos dan de la función F:

ca + db

La realización con puertas NOR de F’ será:

ba

dc00 01 10

00

01

11

11

10

0

0

0

0

1

11

0

1

1

1

1

1

X1

X2

X3

0

0

0





31

13. La tabla adjunta, es la tabla de verdad de una función lógicade cuatro variables: F(d, c, b, a). Obtener:

a) Tabla de Karnaugh de la función F(d, c, b, a).

b) Realiza dicha función con el mínimo posible de puertasNAND, de cualquier número de entradas.

c) Realiza dicha función con el mínimo posible de puertasNOR de dos entradas.

SOLUCIÓN.

a)

b) En la tabla de Karnaugh se obtienen tres agrupaciones de ‘1’ que son:

X1: caX2: daX3: dc

Lo cual conduce a la realización con puertas NAND:

d c b a F0 0 0 0 00 0 0 1 00 0 1 0 00 0 1 1 00 1 0 0 0

0 1 0 1 10 1 1 0 00 1 1 1 11 0 0 0 01 0 0 1 11 0 1 0 01 0 1 1 11 1 0 0 11 1 0 1 1

1 1 1 0 11 1 1 1 1

badc

00 01 10

00

01

11

11

10

0

0

00

1

11

0

1

1

1

1

1

0

0

0





32

c) Para la realización con puertas NOR se realiza la agrupación de ceros,resultando los tres términos:

X1: c’a’X2: d’a’X3: d’c’





33

14. Da la tabla de Karnaugh de la función: F(d, c, b, a) = c’a + db’

Se puede obtener directamente de los dosimplicantes primos que nos dan.

Si no se logra obtener directamente, sepuede recurrir a deshacer la simplificaciónque dio lugar a la obtención de los términosque forman la función:

F(d, c, b, a) = c’a + db’ =c’a (b+b’) (d+d’) + db’ (a+a’) (c+c’) =c’abd + c’abd’ + c’ab’d + c’ab’d’ +db’ac + db’ac’ + db’a’c + db’a’c’

El minitérmino db’c’a está duplicado ya que estaba contenido en ambosimplicantes primos esenciales

15 Simplifica la función cuya tabla deKarnaugh se adjunta, para realizarla con:

1. Puertas NAND2. Puertas NOR

---------------------------------------------------------

Para realizarla con puertas NANDrealizamos la agrupación de ‘1’ :

Las filas centrales es el implicante primoesencial c. La segunda columna es el implicante primo esencial es b’a:

F(d, c, b, a) = c + b’a





34

Para realizarla con puertas NOR realizamos laagrupación de ‘0’ :

No existe ningún implicante primo esencial si usamos

la flexibilidad que introducen los términosindiferentes, por ello se pueden obtener cuatrorealizaciones diferentes pero equivalentes:

c’a’ + d’b

c’a’ + c’bF’ (d, c, b, a) =

dc’ + c’b

dc’ + d’b

F’(d, c, b, a) = c’a’ + d’b ? F(d, c, b, a) = ( c’a’ + d’b )’F’(d, c, b, a) = c’a’ + c’b ? F(d, c, b, a) = ( c’a’ + c’b )’F’(d, c, b, a) = dc’ + c’b ? F(d, c, b, a) = ( dc’ + c’b )’F’(d, c, b, a) = dc’ + d’b ? F(d, c, b, a) = ( dc’ + d’b )’

Realizamos con puertas NOR la primera de las cuatro agrupaciones:

F(d, c, b, a) = ( c’a’ + d’b )’ = ( (c’a’)’’ + (d’b)’’ )’ = ( (c+a)’ + (d+b’)’ )’

algebra de conmutación: funciones lógicas

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