Álgebra de boole
DESCRIPTION
Álgebra de BooleTRANSCRIPT
6/11/2015 Álgebra de Boole Wikipedia, la enciclopedia libre
https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_de_Boole 1/39
Álgebra de BooleDe Wikipedia, la enciclopedia libre
Álgebra de Boole (también llamada álgebra booleana), en informática y matemática es una estructura algebraica que esquematiza lasoperaciones lógicas Y, O, NO y SI (AND, OR, NOT, IF)[cita requerida], así como el conjunto de operaciones unión, intersección ycomplemento.
Índice
1 Historia
2 Definición
2.1 Axiomas necesarios
2.2 Teoremas fundamentales
2.3 Orden en el álgebra de Boole
2.4 Principio de dualidad
3 Otras formas de notación del álgebra de Boole
4 Estructuras algebraicas que son álgebra de Boole
4.1 Lógica binaria
4.1.1 Axiomas
4.1.2 Teoremas fundamentales
4.1.3 Orden en el álgebra de Boole
4.2 Álgebra de conjuntos
6/11/2015 Álgebra de Boole Wikipedia, la enciclopedia libre
https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_de_Boole 2/39
4.2.1 Axiomas
4.2.2 Teoremas fundamentales
4.2.3 Orden en el álgebra de Boole
4.3 Lógica proposicional o de predicados
4.3.1 Axiomas
4.3.2 Teoremas fundamentales
4.3.3 Orden en el álgebra de Boole
5 Operaciones en álgebra de Boole
5.1 Operaciones nularias
5.2 Operaciones unarias
5.3 Operaciones binarias
6 Fórmula de Boole bien formada
6.1 Jerarquía de los operadores
7 Véase también
8 Referencias
9 Bibliografía
10 Enlaces externos
Historia
6/11/2015 Álgebra de Boole Wikipedia, la enciclopedia libre
https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_de_Boole 3/39
Se denomina así en honor a George Boole (2 de noviembre de 1815 a 8 de diciembre de 1864), matemático inglés autodidacta, que fue elprimero en definirla como parte de un sistema lógico, inicialmente en un pequeño folleto, The Mathematical Analysis of Logic,1 publicado en1847, en respuesta a una controversia en curso entre Augustus De Morgan y sir William Rowan Hamilton. El álgebra de Boole fue un intentode utilizar las técnicas algebraicas para tratar expresiones de la lógica proposicional. Más tarde fue extendido como un libro más importante:An Investigation of the Laws of Thought on Which are Founded the Mathematical Theories of Logic and Probabilities (también conocidocomo An Investigation of the Laws of Thought2 o simplemente The Laws of Thought3 ), publicado en 1854.
Las interpretaciones respectivas de los símbolos 0 y 1 en el sistema de lógica son Nada y Universo.
George Boole4
En la actualidad, el álgebra de Boole se aplica de forma generalizada en el ámbito del diseño electrónico. Claude Shannon fue el primero enaplicarla en el diseño de circuitos de conmutación eléctrica biestables, en 1948. Esta lógica se puede aplicar a dos campos:
Al análisis, porque es una forma concreta de describir como funcionan los circuitos.Al diseño, ya que teniendo una función aplicamos dicha álgebra, para poder desarrollar una implementación de la función.
Definición
Dado un conjunto: formado cuando menos por los elementos: en el que se ha definido:
Una operación unaria interna, que llamaremos complemento:
En esta operación definimos una aplicación que, a cada elemento a de B, le asigna un b de B.
Para todo elemento a en B, se cumple que existe un único b en B, tal que b es el complemento de a.
La operación binaria interna, que llamaremos suma:
6/11/2015 Álgebra de Boole Wikipedia, la enciclopedia libre
https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_de_Boole 4/39
por la que definimos una aplicación que, a cada par ordenado (a, b) de B por B, le asigna un c de B.
Para todo par ordenado (a, b) en B por B, se cumple que existe un único c en B, tal que c es el resultado de sumar a con b.
La operación binaria interna, que llamaremos producto:
Con lo que definimos una aplicación que, a cada par ordenado (a, b) de B por B, le asigna un c de B.
Para todo par ordenado (a, b) en B por B, se cumple que existe un único c en B, tal que c es el resultado del producto a y b.
Dada la definición del álgebra de Boole como una estructura algebraica genérica, según el caso concreto de que se trate, la simbología y losnombres de las operaciones pueden variar.
Axiomas necesarios
Diremos que este conjunto y las operaciones así definidas: son un álgebra de boole, si cumple las siguientes axiomas:
1a: La ley asociativa de la suma:
1b: La ley asociativa del producto:
2a: Existencia del elemento neutro para la suma:
2b: Existencia del elemento neutro para el producto:
6/11/2015 Álgebra de Boole Wikipedia, la enciclopedia libre
https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_de_Boole 5/39
3a: La ley conmutativa de la suma:
3b: La ley conmutativa del producto:
4a: Ley distributiva de la suma respecto al producto:
4b: Ley distributiva del producto respecto a la suma:
5a: Existe elemento complemento para la suma:
5b: Existe elemento complemento para el producto:
Teoremas fundamentales
Partiendo de los cinco axiomas anteriores, se pueden deducir y demostrar los siguientes teoremas fundamentales:
6a: Ley de idempotencia para la suma:
6b: Ley de idempotencia para el producto:
7a: Ley de absorción para la suma:
6/11/2015 Álgebra de Boole Wikipedia, la enciclopedia libre
https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_de_Boole 6/39
7b: Ley de absorción para el producto:
8a: Ley de identidad para la suma:
8b: Ley de identidad para el producto:
9: Ley de involución:
10: Ley del complemento:
11: Leyes de De Morgan:
Orden en el álgebra de Boole
Sea: un álgebra de Boole, sean a, b dos elementos del conjunto, podremos decir entonces que a antecede a b y lo denotamos:
si se cumple alguna de las siguientes condiciones:
1.
6/11/2015 Álgebra de Boole Wikipedia, la enciclopedia libre
https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_de_Boole 7/39
2. 3. 4.
Estas cuatro condiciones se consideran equivalentes y el cumplimiento de una de ellas implica necesariamente el cumplimiento de las demás.Definiendo un conjunto parcialmente ordenado.
Si se cumple que:
Para los valoras a, b de , que cumple que a antecede a b, o que b antedede a a, se dice que a y b son comparables.
Si se cumple que:
Para los valores a, b de , que cumples qua a no antecede a b, y que b no antedede a a, se dice que a y b son no comparables.
Principio de dualidad
El concepto de dualidad permite formalizar este hecho: a toda relación o ley lógica le corresponderá su dual, formada mediante el intercambiode los operadores suma con los de producto, y de los con los .
6/11/2015 Álgebra de Boole Wikipedia, la enciclopedia libre
https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_de_Boole 8/39
Adición Producto123456
7
8
9
Otras formas de notación del álgebra de Boole
En Lógica binaria se suele emplear la notación , común en la tecnología digital, siendo la forma más usual y la más cómodade representar.
Por ejemplo las leyes de De Morgan se representan así:
Cuando el álgebra de Boole se emplea en electrónica, suele emplearse la misma denominación que para las puerta lógica AND (Y), OR (O) yNOT (NO), ampliándose en ocasiones con XOR (O exclusiva) y su negadas NAND (NO Y), NOR (NO O) y XNOR (equivalencia). lasvariables pueden representarse con letras mayúsculas o minúsculas, y pueden tomar los valores 0, 1
Empleando esta notación las leyes de De Morgan se representan:
6/11/2015 Álgebra de Boole Wikipedia, la enciclopedia libre
https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_de_Boole 9/39
En su aplicación a la lógica se emplea la notación y las variables pueden tomar los valores F, V, falso o verdadero, equivalentes a0, 1
Con la notación lógica las leyes de De Morgan serían así:
En el formato de Teoría de conjuntos el Álgebra de Boole toma el aspecto:
En esta notación las leyes de De Morgan serían así:
Otra forma en la álgebra de conjuntos del Álgebra de Boole, las leyes de De Morgan serían así:
Desde el punto de vista práctico existe una forma simplificada de representar expresiones booleanas. Se emplean apóstrofos (') para indicar lanegación, la operación suma (+) se representa de la forma normal en álgebra, y para el producto no se emplea ningún signo, las variables serepresentan, normalmente con una letra mayúscula, la sucesión de dos variables indica el producto entre ellas, no una variable nombrada condos letras.
La representación de las leyes de De Morgan con este sistema quedaría así, con letra minúsculas para las variables:
y así, empleando letras mayúsculas para representar las variables:
6/11/2015 Álgebra de Boole Wikipedia, la enciclopedia libre
https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_de_Boole 10/39
Todas estas formas de representación son correctas, se utilizan de hecho, y pueden verse al consultar bibliografía. La utilización de una u otranotación no modifica el álgebra de Boole, solo su aspecto, y depende de la rama de las matemáticas o la tecnología en la que se esté utilizandopara emplear una u otra notación.
Estructuras algebraicas que son álgebra de Boole
Hay numerosos casos de distintos análisis de estructuras algebraicas que corresponden al álgebra de Boole, aunque en apariencia son muydiferentes, su estructura es la misma. Vamos a ver algunos de ellos, con el propósito de hacer palpable las similitudes en la estructura y losdistintos ámbitos de aplicación y distinta terminología para referirse a las operaciones o a las variables.
Lógica binaria
Una serie de temas, aparentemente tan distintos, tiene dos cosas en común, la lógica binaria basada en los ceros y los unos y el álgebra deBoole, posiblemente la forma más conocida de este álgebra, que en ocasiones da lugar a la interpretación que el álgebra de Boole es la lógicabinaria exclusivamente, así el conjunto en este caso está formado por dos elementos 0,1, o F, V, o no, sí, dos valores contrapuestos, queson las dos posibles alternativas entre dos situaciones posibles, aquí, sin perdida de la generalidad, tomaremos el conjunto: 0,1 como yahemos dicho:
Donde:
La operación unaria interna, que llamaremos negación:
La operación unaria interna negación, definimos una aplicación que a cada elemento a de 0,1, le asigna un b de 0,1.
Para todo elemento a en 0.1, se cumple que existe un único b en 0,1, tal que b es la negación de a. Como se ve en la tabla.
La operación binaria interna, que llamaremos suma:
6/11/2015 Álgebra de Boole Wikipedia, la enciclopedia libre
https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_de_Boole 11/39
Con la operación suma definimos una aplicación que, a cada par ordenado (a, b) de B por B, le asigna un c de B.
Para todo par ordenado (a,b) en B por B, se cumple que existe un único c en B, tal que c es el resultado de sumar a con b.
la operación binaria interna, que llamaremos producto:
Con la operación producto definimos una aplicación que, a cada par ordenado (a, b) de B por B, le asigna un c de B.
Para todo par ordenado (a, b) en B por B, se cumple que existe un único c en B, tal que c es el resultado del producto a y b. Como se puede veren la tabla.
Axiomas
Así es un álgebra de Boole al cumplir los siguientes axiomas:
1a: La ley asociativa de la suma:
1b: La ley asociativa del producto:
2a: Existencia del elemento neutro para la suma:
2b: Existencia del elemento neutro para el producto:
6/11/2015 Álgebra de Boole Wikipedia, la enciclopedia libre
https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_de_Boole 12/39
3a: La ley conmutativa de la suma:
3b: La ley conmutativa del producto:
4a: Ley distributiva de la suma respecto al producto:
4b: Ley distributiva del producto respecto a la suma:
5a: Existe elemento complementario para la suma:
5b: Existe elemento complementario para el producto:
Luego es álgebra de Boole.
Teoremas fundamentales
Partiendo de estos axiomas se puede demostrar los siguientes teoremas:
6a: Ley de idempotencia para la suma:
6b: Ley de idempotencia para el producto:
7a: Ley de absorción para la suma:
6/11/2015 Álgebra de Boole Wikipedia, la enciclopedia libre
https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_de_Boole 13/39
7b: Ley de absorción para el producto:
8a: Ley de identidad para la suma:
8b: Ley de identidad para el producto:
9: Ley de involución:
10: Ley del complemento:
11: Leyes de De Morgan:
Orden en el álgebra de Boole
Partiendo de álgebra de Boole, dadas dos variables binarias: a, b, que cumplen alguna de estas condiciones:
6/11/2015 Álgebra de Boole Wikipedia, la enciclopedia libre
https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_de_Boole 14/39
entonces a es menor o igual que b. Dados los valores binarios 0 y 1, podemos ver:
1. 2. 3. 4.
Estas cuatro condiciones son equivalentes y el cumplimiento de una de ellas supone el cumplimiento de las otras, en este caso es sencillocomprobarlas todas. Luego podemos decir que 0 antecede a 1 y lo denotamos:
Si además sabemos que 0 y 1 son valores distintos:
El valor binario 0 es menor que el valor binario 1.
Álgebra de conjuntos
Partiendo de un conjunto U, cualesquiera, llamamos conjunto potencia de U, al conjunto de todos lossubconjuntos posibles de U y lo denotamos .
A título de ejemplo podemos considerar:
Que tiene como conjunto potencia:
6/11/2015 Álgebra de Boole Wikipedia, la enciclopedia libre
https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_de_Boole 15/39
Donde podemos definir:
Y como es obvio:
La operación unaria interna, que llamaremos complemento:
En esta operación definimos una aplicación que, a cada elemento A de P(U), le asigna un B de P(U).
Para todo elemento A en P(U), se cumple que existe un único B en P(U), tal que B es el complemento A.
Definiendo el complemento de un conjunto así:
B es el complemento de A, si se cumple que para todo x que pertenezca a B, x pertenece a U y x no pertenece a A.
La primera operación binaria la llamaremos unión:
Con esta operación binaria interna definimos una aplicación que, a cada par ordenado (A, B) de P(U) por P(U), le asigna un C de P(U).
6/11/2015 Álgebra de Boole Wikipedia, la enciclopedia libre
https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_de_Boole 16/39
Para todo par ordenado (A,B) en P(U) por P(U), se cumple que existe un único C en P(U), tal que C es launión A y B.
Definiendo la unión de dos conjuntos como:
El conjunto C es la unión de A y B, si para todo elemento x de C, se cumple que x es elemento de A o de B
La segunda operación binaria la llamaremos intersección:
Con lo que definimos una aplicación que, a cada par ordenado (A, B) de P(U) por P(U), le asigna un C deP(U).
Para todo par ordenado (A,B) en P(U) por P(U), se cumple que existe un único C en P(U), tal que C es laintersección A y B.
Definiendo la intersección de dos conjuntos como:
El conjunto C es la intersección de A y B, si para todo elemento x de C, se cumple que x es elemento de A y de B.
Axiomas
Con lo que podemos plantear: , para un U conocido, como álgebra de Boole si cumple las siguientes axiomas:
1a: La ley asociativa de la unión:
1b: La ley asociativa de la intersección:
6/11/2015 Álgebra de Boole Wikipedia, la enciclopedia libre
https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_de_Boole 17/39
2a: Existencia del elemento neutro para la unión:
2b: Existencia del elemento neutro para la intersección:
3a: La ley conmutativa de la unión:
3b: La ley conmutativa de la intersección:
4a: Ley distributiva de la unión respecto de la intersección:
4b: Ley distributiva de la intersección respecto a la unión:
5a: Existe elemento complementario para la unión:
5b: Existe elemento complementario para la intersección:
Concluyendo que es un álgebra de boole.
Teoremas fundamentales
Partiendo de estos axiomas se puede demostrar los siguientes teoremas:
6a: Ley de idempotencia para la unión:
6/11/2015 Álgebra de Boole Wikipedia, la enciclopedia libre
https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_de_Boole 18/39
6b: Ley de idempotencia para la intersección:
7a: Ley de absorción para la unión:
7b: Ley de absorción para la intersección:
8a: Ley de identidad para la unión:
8b: Ley de identidad para la intersección:
9: Ley de involución:
10: Ley del complemento:
11: Leyes de De Morgan:
Orden en el álgebra de Boole
6/11/2015 Álgebra de Boole Wikipedia, la enciclopedia libre
https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_de_Boole 19/39
Dado álgebra de Boole, podemos comprobar:
1. 2. 3. 4.
Para los conjuntos A y B que cumplen estas propiedades, podemos decir que A antecede a B, que en el caso de conjuntos se diría A es igual oun subconjunto de B y lo denotamos:
Entendiéndose que A es igual o un subconjunto de B cuando:
El conjunto A es igual o un subconjunto de B, si para todo elemento x que pertenezca a A, x pertenece a B.
También se puede comprobar:
Para todo A de las partes de U, si se cumple que: la unión de A y U es U, la intersección de A y U es A, la unión del complemento de A y U esU, la intersección de A y el complemento de U es el conjunto vacío, entonces A es igual o un subconjunto de U.
Esta conclusión forma parte de la definición de las partes de U, pero se puede llegar a ella por el cumplimiento de una de las cuatrocondiciones expuestas, como ya se mencionó, las cuatro condiciones son equivalentes y el cumplimiento de una de ellas implica elcumplimiento de las demás.
Aplicando el mismo razonamiento podemos ver:
6/11/2015 Álgebra de Boole Wikipedia, la enciclopedia libre
https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_de_Boole 20/39
Siendo B un conjunto de las partes de U, llegando a la conclusión de que el conjunto vacío es igual o un subconjunto de B.
Lógica proposicional o de predicados
Una proposición, o un predicado, es un valor de verdad que puede expresarse de forma verbal o con expresiones o relaciones matemática ológica, por ejemplo:
'Hoy es miércoles.''El edificio es alto.''El perro está ladrando.'
Son proposiciones expresadas verbalmente, y también lo son:
'x = 3''mcd(a, b) = 2n + 1'
Dado que cada una de ellas puede ser verdadera o falsa, las proposiciones suelen designarse con letra:
p= 'Llueve'q= 'Llueve mucho'r= 'Llevo paraguas's= 'La calle está mojada'
Las afirmaciones verdadero y falso también son proposiciones, designaremos con: al conjunto de proposiciones, a fin de ver que la lógica deproposiciones es un álgebra de Boole, además consideraremos:
La operación unaria interna, que llamaremos negación:
6/11/2015 Álgebra de Boole Wikipedia, la enciclopedia libre
https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_de_Boole 21/39
La operación unaria interna negación, definimos una aplicación que a cada proposición a, le asigna otra poposición b.
Para toda proposición a, se cumple que existe una única proposición b, tal que b es la negación de a.
La primera operación binaria interna, que llamaremos disyunción:
Con la operación disyunción, definimos una aplicación que a cada par ordenado (a, b) de B por B, le asigna un c de B.
Para todo par ordenado (a,b) en B por B, se cumple que existe un único c en B, tal que c es el resultado de la disyunción de a y b.
La segunda operación binaria interna, que llamaremos conjunción:
Con la operación conjunción definimos una aplicación que, a cada par ordenado (a, b) de B por B, le asigna un c de B.
Para todo par ordenado (a, b) en B por B, se cumple que existe un único c en B, tal que c es el resultado de la conjunción de a y b.
Axiomas
Así es un álgebra de Boole al cumple los siguientes axiomas:
1a: La ley asociativa de la disyunción:
6/11/2015 Álgebra de Boole Wikipedia, la enciclopedia libre
https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_de_Boole 22/39
1b: La ley asociativa de la conjunción:
2a: Existencia del elemento neutro para la disyunción:
2b: Existencia del elemento neutro para la conjunción:
3a: La ley conmutativa de la disyunción:
3b: La ley conmutativa de la conjunción:
4a: Ley distributiva de la disyunción respecto a la conjunción:
4b: Ley distributiva de la conjunción respecto al disyunción:
5a: Existe elemento complementario para la disyunción:
5b: Existe elemento complementario para la conjunción:
Luego es álgebra de boole.
6/11/2015 Álgebra de Boole Wikipedia, la enciclopedia libre
https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_de_Boole 23/39
Teoremas fundamentales
Partiendo de estos axiomas se puede demostrar los siguientes teoremas:
6a: Ley de idempotencia para la disyunción:
6b: Ley de idempotencia para la conjunción:
7a: Ley de absorción para la disyunción:
7b: Ley de absorción para la conjunción:
8a: Ley de identidad para la disyunción:
8b: Ley de identidad para la conjunción:
9: Ley de involución:
10: Ley de complemento:
11: Leyes de De Morgan:
6/11/2015 Álgebra de Boole Wikipedia, la enciclopedia libre
https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_de_Boole 24/39
Orden en el álgebra de Boole
Sabiendo que es álgebra de Boole, se puede comprobar que:
1. 2. 3. 4.
Para las proposiciones: a, b que cumplen alguna de estas condiciones se puede afirmar que a antecede a b. Que en el caso de proposiciones opredicados se dice que a es tanto o más fuerte que b, o que b es más débil que a, y lo representamos:
Así por ejemplo dadas las proposiciones:
a= Llueve muchob= Llueve
podemos ver:
Si: llueve mucho o llueve entonces llueve.
Si se da la circunstancia de cualesquiera de dos, que llueve mucho o llueve, claramente llueve en cualquier caso.
Si: llueve mucho y llueve entonces llueve mucho.
Si afirmamos que llueve mucho y que llueve, y se cumplen las dos circunstancias entonces es que llueve mucho.
6/11/2015 Álgebra de Boole Wikipedia, la enciclopedia libre
https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_de_Boole 25/39
Si: no llueve mucho o llueve es verdadero.
No llueve mucho indica que puede que llueva poco o que no llueva, si no llueve mucho o llueve abarca todas las posibilidades, desde tiemposeco a muy lluvioso, luego la afirmación es verdadera en todo caso.
Si: llueve mucho y no llueve es falso.
Si afirmamos que llueve mucho y simultáneamente que no llueve, la afirmación es claramente falsa.
La afirmación más restrictiva es la más fuerte y la menos restrictiva la más débil, en este caso:
La proposición llueve mucho es tanto o más fuerte que llueve, la afirmación llueve mucho es un caso particular o el mismo caso de llueve.
Operaciones en álgebra de Boole
El álgebra de Boole se basa en un conjunto en el que se han definidos tres operaciones internas: una unaria y dos binarias, como ya hemosvisto, siendo cómoda esta definición. Estrictamente hablando solo son necesarias dos, la unaria y una de las binarias, así, por ejemplo, en lalógica binaria con la negación y el producto podemos definir la suma.
Con la ley de De Morgan:
Esta expresión resulta más compleja, pero partiendo de la negación y el producto binarios define lasuma binaria.
En la imagen de la derecha podemos ver un circuito en paralelo de dos pulsadores a y b, quecorresponde a la suma binaria de a y b, y su equivalente en un circuito en serie de a y b, los dos dancomo resultado la misma tabla de verdad, y por tanto son equivalentes, lo artificioso el circuito seriepara obtener el mismo resultado que en un circuito paralelo deja ver lo conveniente de consideraresa función, la posibilidad de obtener la suma de dos variables binarias mediante la negación y el
6/11/2015 Álgebra de Boole Wikipedia, la enciclopedia libre
https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_de_Boole 26/39
producto señalan que, de forma primaria, el álgebra de Boole se basa solo en dos operaciones, y quecualquier expresión en la que intervenga la suma puede transformarse en otra equivalente en la quesolo intervienen la negación y el producto.
En el caso de la teoría de conjuntos con el complemento y la intersección podemos definir la unión:
De una forma similar al álgebra binaria, o cualquier otra álgebra de Boole, La definición del álgebra con solo dos operaciones complica lasexpresiones, pero permite determinar ciertas relaciones muy útiles, así como otras operaciones distintas.
En el álgebra de Boole definido en un conjunto las operaciones son internas, dado que parte de elemento de , para obtener un resultado en .
Sin perdida de la generalidad, y dado los distintos formas que puede adoptar el álgebra de Boole consideraremos la lógica proposicional conlas proposiciones: a, c, b, etc. Que pueden tomar los valores verdadero: V o falso: F. Y las conectivas lógicas sobre esas proposiciones que dancomo resultado otras proposiciones lógicas, cada proposición: a, b, c, etc. Define un conjunto A, B, C, etc. Que podemos representar de formagráfica en un diagrama de Venn.
Operaciones nularias
Una operación nularia es la que devuelve un valor sin necesidad de argumentos, podemos ver tautología y contradicción
La tautología presenta el valor verdadero sin necesidad de argumentos o independientemente de lasvariables sobre la que se calcule. En teoría de conjuntos corresponde al conjunto universal.
En lógica proposicional corresponde al valor: verdadero:
En un circuito de conmutación corresponde a una conexión fija o puente cerrado.
6/11/2015 Álgebra de Boole Wikipedia, la enciclopedia libre
https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_de_Boole 27/39
La contradicción, por el contrario, presenta siempre el valor falso, sin necesitar argumentos oindependientemente de los argumentos presentados. En teoría de conjuntos corresponde al conjunto vacío.
En lógica proposicional corresponde al valor: falso:
En un circuito de conmutación, corresponde a la no conexión o puente abierto.
Operaciones unarias
Una operación unaria es la que solo necesita un argumento para presentar un resultado, podemos ver dos operaciones unarias: identidad ynegación.
La operación identidad de una proposición presenta el valor de la variación.
6/11/2015 Álgebra de Boole Wikipedia, la enciclopedia libre
https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_de_Boole 28/39
Esta operación se puede hacer con el dispositivo electrónico Buffer amplificador.
En un circuito de conmutación corresponde a un interruptor normalmente abierto: Interruptor NA.
La operación negación lógica de una variable presenta el valor contrario del argumento, o loscasos contrarios de los recogidos en el argumento.
Esta operación se hace con la Puerta NOT.
En un circuito de conmutación corresponde a un interruptor normalmente cerrado: Interruptor NC.
6/11/2015 Álgebra de Boole Wikipedia, la enciclopedia libre
https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_de_Boole 29/39
Operaciones binarias
La operación binaria es la que necesita dos argumentos, de hecho es la forma más generalizada de operación, normalmente cuando nosreferimos a operaciones, nos referimos a operaciones binarias, en el álgebra de Boole podemos ver las siguientes operaciones binarias:
La conjunción lógica presenta resultado verdadero solo cuando sus dos argumentos sonverdaderos.
Normalmente representado:
La conjunción lógica de proposiciones es equivalente a la intersección de conjuntos enteoría de conjuntos, o a la puerta lógica AND:
en circuitos de conmutación seria un circuito en serie de interruptores.
6/11/2015 Álgebra de Boole Wikipedia, la enciclopedia libre
https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_de_Boole 30/39
La Negación alternativa presenta resultado verdadero en todos los casos excepto cuandosus dos argumentos son verdaderos. Esta operación es la negación de la conjunción.
La conjunción lógica de proposiciones es equivalente a la puerta lógica NAND.
La disyunción lógica acepta dos argumentos presentando como resultado verdadero si unou otro de los argumentos es verdadero.
La disyunción puede expresarse:
La operación disyunción lógica de proposiciones, es equivalente a la unión de conjuntosen teoría de conjuntos, a la puerta lógica OR:
y al circuito en paralelo en circuitos de conmutación
6/11/2015 Álgebra de Boole Wikipedia, la enciclopedia libre
https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_de_Boole 31/39
La negación conjunta presenta resultado verdadero solo cuando sus dos argumentos sonfalsos. Esta operación es la negación de la disyunción.
La negación conjunta de proposiciones es equivalente a la puerta lógica NOR.
La condicional material presenta resultado falso si el primer argumento es verdadero y elsegundo falso, en el resto de los casos presenta resultado verdadero, esta operación no esconmutativa y puede expresarse:
A esta operación también se llama implicación: a implica b:
si a es verdadero b es verdadero.si a es falso y b es verdadero, la implicación es falsa.
6/11/2015 Álgebra de Boole Wikipedia, la enciclopedia libre
https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_de_Boole 32/39
si a es falsa, la implicación es verdadera independientemente el valor de b.
A esta operación le corresponde un conjunto de puertas lógicas complejas:
La negación condicional material presenta resultado verdadero si el primer argumento esverdadero y el segundo falso, en el resto de los casos presenta resultado falso, estaoperación no es conmutativa y es la negación de la condicional material, también suelellamarse diferencia de a y b, puede expresarse:
A esta operación le corresponde un conjunto de puertas lógicas complejas:
6/11/2015 Álgebra de Boole Wikipedia, la enciclopedia libre
https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_de_Boole 33/39
La Condicional material inversa es la operación que presenta resultado falso si el primer argumento es falso yel segundo verdadero, en el resto de los casos presenta resultado verdadero, esta operación no es conmutativay es el resultado de permutar a y b en la condicional material, puede expresarse:
A esta operación le corresponde un conjunto de puertas lógicas complejas:
La negación condicional material inverso presenta resultado verdadero si el primerargumento es falso y el segundo verdadero, en el resto de los casos presenta resultadofalso, esta operación no es conmutativa y es la negación de la condicional inverso,también suele llamarse diferencia: b a, puede expresarse:
A esta operación le corresponde un conjunto de puertas lógicas complejas:
6/11/2015 Álgebra de Boole Wikipedia, la enciclopedia libre
https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_de_Boole 34/39
La bicondicional presenta resultado verdadero si los dos argumentos son iguales, esto es:si a y b son verdaderos o si a y b son falsos.
Le corresponde la Puerta XNOR.
La disyunción exclusiva presenta resultado verdadero si los dos argumentos son dispares, esto es si de los dosargumentos uno es verdadero y otro falso, es la negación de la bicondicional:
Esta operación también se llama o exclusivo, uno o el otro pero no los dos, le corresponde la puerta lógica:XOR.
6/11/2015 Álgebra de Boole Wikipedia, la enciclopedia libre
https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_de_Boole 35/39
Fórmula de Boole bien formada
Partiendo de un conjunto: y donde a, b, c, d, ... son variables o constantes que pueden tomar valores del conjunto , donde se han definido lassiguientes operaciones internas:
podemos decir que son fórmulas bien formadas: fbf:
1: Una variable o constante:
6/11/2015 Álgebra de Boole Wikipedia, la enciclopedia libre
https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_de_Boole 36/39
2: La negación de una variable o constante:
3: La operación binaria entre dos variables o constantes:
4: El resultado de sustituir en una fórmula bien formada, una variable o constante por una fórmula bien formada:
La aplicación repetida de estos criterios dará siempre una fórmula bien formada.
ejemplo:
Se podrán emplear tantos paréntesis como sean necesarios para evitar ambigüedades, evitando siempre la utilización superflua de paréntesis.
Jerarquía de los operadores
Al evaluar una expresión booleana, deben realizarse las operaciones de acuerdo con su nivel jerárquico, realizando primero la de mayorjerarquía. Si existen paréntesis, deben resolverse primero los más internos y trabajar hacia fuera. En ausencia de paréntesis, la jerarquía de lasoperaciones es, de mayor a menor, la siguiente:
1. 2. 3.
Si se tienen varias operaciones con la misma jerarquía, éstas pueden ser evaluadas de derecha a izquierda o de izquierda a derecha, el resultadoserá el mismo.
Como ejemplo, considérese la evaluación de las siguientes expresiones booleanas:
6/11/2015 Álgebra de Boole Wikipedia, la enciclopedia libre
https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_de_Boole 37/39
Véase también
Función booleanaFormas Canónicas (Álgebra de Boole)Circuitos de conmutaciónLógica binariaPuerta lógicaSistema digitalTabla de verdadOperador a nivel de bits
Referencias1. Boole, George; Requena Manzano, Esteban: tr. (1 de 1984). El análisis matemático de la lógica (2 edición). Ediciones Cátedra, S.A. ISBN 97884376
02080.2. Boole, George (2003) [1854]. An Investigation of the Laws of Thought. Prometheus Books. ISBN 9781591020899.3. Boole, George; Suárez Hernández, José Antonio: tr. (3 de 1982). Investigación sobre las leyes del pensamiento (1 edición). Ediciones Paraninfo. S.A.
ISBN 9788428311687.4. «El matemático que inventó hace más de 150 años cómo buscar en Google» (http://www.lanacion.com.ar/1761359elmatematicoqueinventohacemas
de150anoscomobuscarengoogle). Consultado el 20 de enero de 2015.
Bibliografía1. AYRES, Frank. Mc GrawHill. Serie Schaum, ed. Álgebra Moderna (1994 edición). ISBN 9684229178.2. González Carlomán, Antonio. Universidad de Oviedo. Servicio de Publicaciones, ed. Retículo completo de Boole, lógica matemática,teoría de conjuntos (2006 edición). ISBN 8483175347.
3. García Zubia, Javier; Sanz Martínez, Jesús; Sotomayor Basilio, Borja. Universidad de Deusto. Departamento de Publicaciones, ed.BooleDeusto v2.1 entorno de diseño lógico (2005 edición). ISBN 8474859735.
4. Giménez Pradales, José Miguel. Universidad Politécnica de Cataluña. Departamento de Matemática Aplicada III, ed. Álgebra de Boolepara ingeniera técnica (2004 edición). ISBN 8493345105.
6/11/2015 Álgebra de Boole Wikipedia, la enciclopedia libre
https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_de_Boole 38/39
5. García Zubia, Javier; Sanz Martínez, Jesús; Sotomayor Basilio, Borja. Universidad de Deusto. Departamento de Publicaciones, ed.BooleDeusto entorno de diseño lógico (2004 edición). ISBN 8474859298.
6. Ginés Gómez, José Carlos. Gines Gómez, José Carlos, ed. Puertas lógicas y álgebra de Boole, electrónica digital técnica detelecomunicación (1998 edición). ISBN 8460795187.
7. Montes Lozano, Antoni. Editorial UOC, S.L., ed. Álgebras de Boole (2002 edición). ISBN 8484299791.8. Montes Lozano, Antoni. Editorial UOC, S.L., ed. Álgebras de Boole (2002 edición). ISBN 8484299260.9. González Carlomán, Antonio. Universidad de Oviedo. Servicio de Publicaciones, ed. Retículo completo de Boole. Lógica matemáticateoría de conjuntos (2001 edición). ISBN 848317264X.
10. Tiñena Salvañà, Francesc. Editorial UOC, S.L., ed. Àlgebres de Boole (gestió) (1998 edición). ISBN 8483185822.11. Tiñena Salvañà, Francesc. Editorial UOC, S.L., ed. Àlgebres de Boole (1998 edición). ISBN 8483186144.12. Permingeat, Noel; Glaude, Denis. Editorial VicensVives, S.A., ed. Álgebra de Boole (1993 edición). ISBN 8431632941.13. Masip Bruin, Xavier; Román Jiménez, José Antonio; Sánchez López, Sergio. Ediciones UPC, S.L., ed. Álgebra de Boole y funciones
lógicas (1996 edición). ISBN 8489636206.14. Jane Ihnsa, Ignacio. Universidad de Barcelona. Publicaciones y Ediciones, ed. Álgebras de Boole y lógica (1989 edición). ISBN 847875
0401.15. Casanova, Gastón. Editorial Tecnos, ed. El álgebra de Boole (1975 edición). ISBN 8430905804.16. Martínez Garza, Jaime; Olvera Rodríguez. Organización y arquitectura de computadoras (2000 edición). ISBN 9684444176.
Enlaces externos
Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Álgebra de Boole.Álgebra de Boole Definición (ftp://ftp.ehu.es/cidira/dptos/depjt/Apuntes/Electronica%20digital/Algebra%20de%20conmut.pdf)Álgebra de Boole y puertas lógicas (http://apuntes.rincondelvago.com/algebradebooleypuertaslogicas.html)Tema 5: Álgebra de Boole y Funciones Lógicas (http://arantxa.ii.uam.es/~ig/teoria/temas/IG_tema520082009.pdf)Álgebra de Boole (http://electronred.iespana.es/alg_boole.htm)Álgebra Booleana (http://lc.fie.umich.mx/~jrincon/elec3cap4.pdf)TEMA 6. ÁLGEBRA DE BOOLE (http://ocw.usal.es/eduCommons/ensenanzastecnicas/electronica/contenido/electronica/Tema6_AlgebraBOOLE.pdf)BOOLEDEUSTO SW didáctico: Tablas de verdad, VK, autómatas... (http://paginaspersonales.deusto.es/zubia)Álgebra de Boole (http://serbal.pntic.mec.es/~cmunoz11/boole.pdf)Álgebra de Boole (http://users.dcc.uchile.cl/~clgutier/Capitulo_3.pdf)Álgebra de Boole (http://usuarios.lycos.es/bnunez/Archivos%20propios/Digitales/Algebra_Boole.pdf)Álgebra de Boole y Diseño de Computadoras (PDF) (http://www.box.net/shared/db3n75vgfg)Curso Completo de Electrónica Digital (http://www.edudevices.com.ar/download/articulos/digitales/Cur_dig_03.pdf)Álgebra de Boole y circuitos con puertas lógicas (http://www.esi2.us.es/~jaar/Datos/FIA/T3.pdf)TEMA 3. Álgebra de Boole (http://www.uhu.es/rafael.lopezahumada/descargas/tema3_fund_0405.pdf)
6/11/2015 Álgebra de Boole Wikipedia, la enciclopedia libre
https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_de_Boole 39/39
Obtenido de «https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Álgebra_de_Boole&oldid=86375038»
Categoría: Álgebra de Boole
Esta página fue modificada por última vez el 2 nov 2015 a las 19:08.El texto está disponible bajo la Licencia Creative Commons Atribución Compartir Igual 3.0; podrían ser aplicables cláusulasadicionales. Léanse los términos de uso para más información.Wikipedia® es una marca registrada de la Fundación Wikimedia, Inc., una organización sin ánimo de lucro.