Ajuste polinomial por mnimos cuadrdos

Ajuste polinomial por mnimos cuadrdos Mtodo de los mnimos cuadrados. Polinomio aproximador

X Y X Y X Y0.010.1030.30.5730.650.7230.030.2350.350.5920.70.7530.050.3250.40.6130.750.7830.10.4440.450.6320.80.8180.150.4960.50.6520.850.8560.20.5290.550.6730.870.8730.250.5520.60.6970.89430.8943(xi, yi)Datos de composicin etanol-agua

Una vez establecido la funcin a ajustar se determinan sus parmetros, en el caso de un polinomio, sern los coeficientes del polinomio de modo que los datos experimentales se desven lo menos posible de la frmula emprica.Polinomio aproximador

Gradon,m+1 pares de datos (xi, yi) de modo quenmP(x)=a0+a1x+a2x2+...anxn

Stome un valor mnimo

Polinomio aproximador

Hagamos las derivadas parciales deSrespecto dea0, a1, a2, ...aniguales a cero

Obtenemos un sistema den+1 ecuaciones conn+1 incgnitas,a0, a1, a2, ...an

(1)EjemploSupongamos que tenemos 4 pares de datos y que queremos ajustarlos al polinomio de segundo grado y=a0+a1x+a2x2

EjemploAgrupando trminos las ecuaciones (1) se escribirn

Se despejaa0, a1, a2

EjemploVolvamos al sistema den+1 ecuaciones conn+1 incgnitas. Introduzcamos las expresiones

Se obtiene el siguiente sistema den+1 ecuaciones conn+1 incgnitas

EjemploVolvamos al sistema den+1 ecuaciones conn+1 incgnitas. Introduzcamos las expresiones

Se obtiene el siguiente sistema den+1 ecuaciones conn+1 incgnitas

(3)

Si todos los puntos son distintos, el sistema de ecuaciones tiene una solucin nica.

(2)Formacin de sistemas de ecuaciones

Resolucin de sistemas de ecuaciones

El sistema de ecuaciones se expresa enforma matricial

A X=B

dondeAes la matriz de los coeficientes,Bes la columna de trminos constantes, yXla columna de las incgnitas.

Si el determinante deAes no nulo, existe una matriz inversaA-1. Multiplicando a la izquierda ambos miembros de la ecuacin (1) porA-1obtenemos la columnaXde las incgnitas, es decir, la solucin del sistema.